Eletromagnestismo - Corrente, resistência e força eletromotriz

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Prof. Dr. Danilo Roque H.
e-mail: droqueh@unifei.edu.br
Física Geral III
Corrente, resistência e força eletromotriz
https://sites.google.com/site/droqueh/
 
Física geral III (Fis403)
● Conteúdo 
– Corrente elétrica: definição, unidades.
– Fluxo de corrente
– Corrente, velocidade de deriva e densidade de corrente.
– Resistência e resistividade. Definição e lei de ohm.
– Resistividade e temperatura
– Resistência: interpretação
– Força eletromotriz: definição. 
– Resistência interna
– Energia e potencia em circuitos elétricos
– Potencia em uma resistência pura
– Potencia de saída de uma fonte
● Bibliografia 
- Elementos de eletromagnetismo, 5a edição, 2012. Matthew N. O. Sadiku
- Fundamentos de Física 3: eletromagnetismo, LTC: RESNICK, R; HALLIDAY, D.
- Física: Eletricidade, Magnetismo e Tópicos de Física Moderna, L.T.C: SEARS, F. W; ZEMANSKY, M. W. 
 
Corrente elétrica
● Definição 1: todo movimento de carga de uma 
região a outra em uma unidade de tempo.
● Definição 2: É a carga neta que flui através de 
uma área transversal A por unidade de tempo. 
● Na condição de equilíbrio o campo elétrico dentro 
do condutor é zero. 
● Nem todas as cargas dentro do condutor estão em 
repouso. Nos metais, os elétrons se movem 
aleatoriamente dentro do metal, em forma análoga 
às moléculas de gás. 
● Velocidade dos elétrons 106 m/s
● Os elétrons não podem escapar do metal devido à 
força elétrica dos íons
● Não existe uma velocidade líquida preferencial, 
logo não existe corrente. 
E⃗=0⃗
 
Corrente elétrica
● Na presença de um campo elétrico externo 
constante, as partículas com carga q sentem uma 
força 
● No vácuo esta força produz a aceleração 
(exemplo: fluxo de elétrons no MEV): 
● Dentro de um condutor, as partículas 
experimentam colisões frequentes com os íons 
massivos quase estacionários do material.
● Em cada colisão a partícula muda para uma 
direção aleatória. 
● O efeito neto do campo elétrico externo é deslocar 
a partícula uma distância x =vd t
● A velocidade média vd com a qual a partícula se 
desloca é chamada de velocidade deriva e é da 
ordem de 10-4 m/s
F⃗=q E⃗
a⃗= q
m
E⃗
 
Corrente elétrica
● Corrente: 
Consideremos um elemento de volume do cilindro 
(Figura do lado) com área transversal A e 
comprimento dx = vddt por onde passa um 
elemento de carga dQ em um diferencial de tempo 
dt. A corrente se define como: 
● Unidades:
F⃗=q E⃗
I=dQ
dt
I=dQ
dt
=[coulom /seg ]=Ampere (A)
 
Corrente elétrica
● Corrente: 
Consideremos um elemento de volume do cilindro 
(Figura do lado) com área transversal A e 
comprimento dx = vddt por onde passa um 
elemento de carga dQ em um diferencial de tempo 
dt. A corrente se define como: 
● Unidades:
● Velocidade de deriva
quando aplicado um campo externo, as partículas 
com carga positiva se deslocam na direção do 
campo, enquanto que as com carga negativa o 
fazem em sentido contrario ao campo. 
● Se dentro do condutor existem n partículas com 
carga q, n será a concentração de cargas. A carga 
total é
F⃗=q E⃗
I=dQ
dt
I=dQ
dt
=[coulom /seg ]=Ampere (A)
Q=nq
 
Corrente elétrica
● Todas as partículas de movem com a mesma 
velocidade média vd 
● Em um tempo dt a partícula se move a distância
●
●
● O elemento de volume é: 
●
o diferencial de carga é:
●
●
● A corrente elétrica escreve-se como:
●
●
●
● E a densidade de corrente define-se como:
F⃗=q E⃗
dx=v ddt
dV=Adx=Av ddt
dQ=ρdV
I=dQ
dt
=Anq vd
I
A
=J=nq vd
J⃗=nq v⃗ d Forma vetorial
 
Corrente elétrica
● Em forma geral, um condutor pode ter vários tipos 
de partículas com diferentes cargas q1, q2,..,qi, 
cada um com concentrações n1, n2,...,ni e 
velocidade de deriva vd1, vd2,...vdi, logo a corrente 
será:
● A relação entre a corrente e a densidade de 
corrente pode ser escrito como:
● Para uma superfície arbitraria
I=∑
i=1
N
niqi v di A
dx
I= J⃗⋅A⃗
J⃗=∑
i=1
N
niq i v⃗ di
q1
q2
q3 −q4
−q5
−qi
E⃗
I
J⃗
n^
A
A⊥
I=∫ J⃗⋅A⃗
 
Conservação da carga
● A carga total de um sistema isolado é constante. 
Esta se conserva não apenas localmente, mas em 
todo o sistema ponto a ponto 
● A corrente elétrica que atravessa uma superfície 
arbitraria fechada é: 
Da definição de corrente e aplicando o teorema de 
Gauss temos a equação da continuidade
● Interpretação física: analogia com o campo elétrico 
a corrente que passa por uma superfície é 
produzida pela variação temporal das cargas 
naquela superfície e é constante ao longo do 
condutor (Fig. a).
As correntes convergem ou divergem a um 
mesmo ponto (Fig. b)
∇⋅J⃗=−∂ρ
∂ t
I=−∮ J⃗⋅A⃗
a
a '
b '
c '
b
∇⋅ε E⃗=ρ
∇⋅J⃗=−∂ρ
∂ t
c
I 1=I 2+ I 3
I 2
I 3
I 1
a
Fig. b
Fig. a
I
 
Resistividade elétrica: Lei de Ohm
● Em um condutor em equilíbrio, a superfície do 
condutor encontra-se ao mesmo potencial: é uma 
superfície equipotencial.
● Em um condutor por onde circula corrente I, a 
superfície não é mais equipotencial, pois devido ao 
campo elétrico aplicado aparece um gradiente de 
potencial. 
● O campo elétrico dentro do condutor onde circula 
uma corrente I é diferente de zero. 
● Experimentalmente tem se achado que a 
densidade de corrente depende campo elétrico 
aplicado e das propriedades do material. 
● Para alguns condutores metálicos:
E⃗=−∇⋅V⃗
E⃗≠0⃗
E⃗≠0⃗
J⃗ α J⃗ ( E⃗)
Fig. a. Condutor com corrente
I
J⃗ α E⃗ J⃗=ρ E⃗
ρ = Resistividade elétrica
σ=
1
ρ = Condutividade elétrica
Unidades:
ρ=
J
E
=
V /m
A /m ²
=V .m /A
ρ=[Ω∗m ]
 
Resistividade elétrica
E⃗=−∇⋅V⃗
E⃗≠0⃗
E⃗≠0⃗
 
Resistividade e temperatura
ρ(T )=ρ0[1+α(T−T 0)]
A resistividade varia em função da temperatura 
Para um intervalo relativamente pequeno (até 100°C) 
Metal: resitividade aumenta 
com a temperatura Semiconductor: 
resitividade diminui 
aumentando a 
temperatura
Supercondutor: A 
temperaturas por baixo de 
Tc a resistividade é zero.α
α = Coeficiente de temperatura da resistividade 
 
Resistividade e temperatura
Mércurio Sódio
Germânio
 
Resistência elétrica
● Para um condutor com resistividade , sabemos que:
E⃗=ρ J⃗
● Frequentemente não estamos interessados em medir 
 E nem J. Gostaríamos de medir I e V.
Corrente fluindo da 
região com maior 
potencial para com 
menor potencial
Região com 
maior potencial
Região com 
menor potencial
V = Diferença de 
potencial entra 
as bordas
● Para um condutor onde a densidade de corrente é 
proporcional ao campo elétrico temos que a diferença 
de potencial entre dois pontos é proporcional à 
corrente:
R=ρ L
A
V=RI
● R é a resistência do condutor ao passo da corrente 
elétrica e depende das propriedades intrínsecas do 
material () e das características geométricas do 
condutor. 
● A resistência também varia com a temperatura, em 
forma análoga à resistividade. 
R=V
I
=
Voltios
ampere
=Ohm(Ω)
● Unidades:
R(T )=R0[1+α(T−T 0)]
 
Resistência elétrica
Região com 
maior potencial
R(T )=R0[1+α(T−T 0)] I (T )=I 0(e
V /nkT−1)
V= IR
 
Resistores
● Definição: Dispositivo de um circuito feito para ter um valor especifico de resistência 
entre seus extremos.
● simbolo
 
Resistores
● Tipos: resistores fixos
 
Resistores
● Tipos: variáveis – Potenciômetros 
terminais
● Tipos: variáveis – Reostatos 
 
Resistência: Valor nominal e valor real 
Valor nominal: valor indicado pelo 
fabricante. Varia dentro duma margem de 
erro especificado. 
Valor medido: valor obtido usando o 
multímetro 
 
Força eletromotrize circuito
J⃗=σ E⃗1
● Para que em um condutor flua uma corrente 
constante, este deve ser parte de uma 
trajetória fechada onde necessariamente tem 
que existir uma fonte de energia. 
● Em um condutor isolado, o campo elétrico que 
se produz dentro do condutor gera um 
movimento das cargas, logo gera corrente 
● Depois de um breve tempo aparece uma 
acumulação de cargas com sinais contrários 
nas bordas, gerando o campo elétrico 
contrario, logo o campo elétrico total é zero. 
E⃗total=E⃗1−E⃗2= 0⃗
J⃗=0⃗
 
Força eletromotriz 
● Para que no condutor a corrente flua 
constantemente, é necessário que exista 
algum agente externo que forneça energia, 
caso contrario as cargas deixaram de circular.
● A corrente sempre circula do potencial maior 
para o menor. É necessário que as cargas 
voltem ao ponto novamente e para isso é 
necessário energia não elétrica Esta é 
conhecida como força eletromotriz (fem) () 
● O dispositivo que fornece a fem é chamada de 
fonte de fem. 
ε=
w
q
=
ΔU
q
=V
Fonte de fem ● Unidades: vóltios
 
Força eletromotriz 
● Exemplo:
- baterias
- geradores elétricos
- células solares
- termopares
- Células de combustível 
● As fontes de fem convertem algum tipo de 
energia não elétrica em energia elétrica e a 
transfere ao circuito ao que esta conectada. 
ε=
w
q
=
ΔU
q
=VFonte de fem
 
Fonte ideal de fem
● Caracteristica
Preserva a diferença de potencial constate entre 
seus terminais, sem importar a corrente por ela. 
● A diferença de potencial entre os pontos a e b é 
igual à fem. 
ΔV=V a−V b=V ab=ε
● Devido à diferença de potencial entre os pontos 
a e b aparece um campo elétrico interno, que 
arrasta a carga positiva para o lado do terminal 
negativo.
E⃗=−∇V
F⃗ e=q E⃗=−q∇ V
● A fonte de fem fornece uma força não elétrica Fn, 
contraria a Fe a fim de manter a diferença de 
potencial
Terminal com 
elevado potencial
Força não 
elétrica leva a 
carga para o 
potencial alto.
Força 
elétrica
Terminal com baixo 
potencial
Fonte ideal 
de feml
 
Fonte ideal de fem
● Se não houver Fn a carga fluiriam entre terminais 
até que a Vab = 0. 
● Para manter Vab diferente de zero, é necessário 
que Fn seja da mesma ordem de grandeza que 
Fe.
ΔV=V a−V b=V ab=ε
● Origem de Fn:
depende da classe de fonte. Por exemplo:
- campo magnético (gerador elétrico)
- reações químicas (baterias, células de combustível) 
- força mecânica (gerador de Van de Graff)
- etc.
W ab=qε
Terminal com 
elevado potencial
Força não 
elétrica leva a 
carga para o 
potencial alto.
Força 
elétrica
Terminal com baixo 
potencial
Fonte ideal 
de fem
● Se Fn realiza trabalho sobre o sistema, então o 
trabalho é positivo e o potencial Vab > 0
● No caso de uma fonte ideal: Existe uma mudança na energia potencial, mas não na 
energia cinética.
W ab=W e+W n=qε−qV ab=0 V ab=ε
 
Fonte ideal de fem
● Se uma fonte ideal é conectada a um circuito com 
 resistência R, a diferença de potencial Vab 
estabelece um campo elétrico dentro do condutor. 
● Pela lei de Ohm temos:
V ab=I R
Fonte ideal 
de fem
ε=I R
 
Fonte real de fem
● É uma fonte ideal, porém onde se levou em conta 
a resistência interna da fonte. 
● A resistência interna do material depende das 
características intrínsecas do material.
V ab=ε−I r
Diagrama de uma fonte real.
● Se a resistência interna segue a lei de Ohm, 
então o potencial entre os terminais é dado por:
● A corrente se calcula aplicando a lei de Ohm em 
todo o circuito.
I= ε
R+r
V ab
ab
 
Variação do potencial entorno de um circuito
● Suponhamos que temos uma carga viajando 
dentro de um circuito, passando por diferentes 
meios e volta a sua posição original. A diferença 
de energia potencial é zero:
● O ganho de energia ou potencial esta associado 
com e, enquanto as perdas estão associadas com 
as resistência interna r e externa R.
ε−I r−IR=0
● Se a resistência interna segue a lei de Ohm, 
então o potencial entre os terminais é dado por:
● Conservação da carga: A carga não pode sumir
I= ε
R+r
a
 
Energia e potência em circuitos elétricos
● Consideremos um elemento Z do circuito. Pode 
ser um resistor, bateria ou qualquer outro 
elemento. 
● Se Vab > 0, Va > Vb, logo a energia potencial 
diminui na medida que a carga passa do ponto a 
ao ponto b. O sistema perde energia no elemento. 
● Conforme a carga passa pelo elemento Z, sofre 
uma mudança na sua energia potencial U = q Vab
● Se Vab < 0, Va < Vb, energia potencial aumenta, 
ou seja, o elemento cede energia para o sistema. 
● O trabalho Wab = qVab pode representar a perda 
de energia (energia consumida pelo elemento Z) 
ou o ganho de esta (energia doada pelo elemento 
Z)
Z
 
Exercícios
L
a
b
c
R= ρ
2 π L
ln ( b
a
)
● Exercício 7.1:
Um cilindro cuja parte interior é vazia tem comprimento L e raio b, enquanto a parte vazia tem raio 
a, e esta feito de uma material cuja resistividade é r. Se estabelece uma diferença de potencial 
entre a superfície interna e a externa do cilindro, cada uma das quais são superfícies 
equipotenciais, de forma que a corrente flui em forma radial através do cilindro. Qual é a resistência 
do cilindro?
 
Exercícios
● Exercício 7.2
Um fio de cobre tem diâmetro nominal 1,02 mm e conduz uma corrente constante de 1,67 A, 
para alimentar uma lampada de 200 watts. A densidade de elétrons livres é 8,5x1028 elétrons por 
metro cúbico. Determine:
(a) a densidade de corrente,
(b) velocidade de deriva.
(c) calcule a magnitude do campo elétrico se  = 1,72x10-8 ohm-m e a seção transversal é 
8.20x10-7m2
(d) A diferença de potencial entre dois pontos separados uma distância de 50 m.
(e) A resistência do fio de comprimento 50 m. 
(f) Se a resistência do item anterior for a 20°C,calcule a resistência a 0° e 100°C (a = 0,00393 
(°C)-1.
 
Exercícios
● Exercício 7.3
Dada a densidade de corrente:
a) Calcular a corrente total que atravessa o plano y = 1 na direção de , 0 < x <1 e 0 < z < 2.
b) determine a corrente total deixando a região 0<x, x< 1, 2<z<3
J⃗=−104 (sen 2x e−2 y i^+cos2 x e−2 y j^) kA /m2
j^
 
Exercícios
● Exercício 7.4
A densidade de corrente um uma determinada região é aproximadamente:
a) quanta corrente passa na superfície r = 5, quando t = 1 s
b) Determine a densidade de carga  (r,t), assumindo que  tende para zero quando t é infinito. 
J⃗=0,1
r
e−10
6 t a^r j^
 
Exercícios
● Exercício 7.5
Um corpo dielétrico carregado com densidade de carga r e constante dielétrica é colocado 
dentro de um condutor metálico com condutividade s em t = 0, depois de um tempo a carga do 
dielétrico é distribuída na superfície do condutor. Achar a distribuição da densidade de carga em 
função do tempo dentro do condutor. 
 
Exercícios
● Exercício 7.6
Uma bateria subministra fem = 1,5 V e tem resistência interna r = 0.5 Ohm. A bateria esta 
conectada a uma resistência externa R = 5 Ohm e forma um circuito fechado. Se colocarmos um 
voltímetro e um amperímetro para medirmos a diferença de potencial no resistor e a corrente 
que passa por ela, quais seriam os valores observados. 
 
Exercícios
● Exercício 7.7
O circuito que se mostra na figura esta composto por duas baterias, cada uma delas com uma 
fem e resistências internas e dois resistências externas. Calcular:
(a) A magnitude e direção da corrente no circuito.
(b) O potencial nos terminais a e b (Vab) da bateria com fem = 16 V
(c) a diferença de potencial do ponto a com respeito ao ponto c (Vac)
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