Capitolo 2 Metodos numericos

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Docentes: Zacarias Mutombene e Manuel Guilherme/Metodos Numericos/2018 Page 1 
 
Universidade Eduardo Mondlane 
Faculdade de Engenharias 
 
Curso de Licenciatura Engenharia Ambiental, Civil, Electrónica, Elétrica, 
Informática, Mecânica e Química 
2º Ano, 2º Semestre, Ano Lectivo 2018 
Capítulo 2: Interpolação polinomial de funções 
 
I. Intrdução: 
Seja uma função tabelada para um conjunto de valores 
 
 
 
 
Usando a função tabelada determinam o valor da função f(x) com qualquer x. Este 
problema é chamado Interpolação de funções. 
Definição: Se F(x) é uma função tal que e se f(x) for 
substituída por F(x) num intervalo, então F(x) é chamada Função Interpoladora da função 
f(x), neste intervalo. 
Se a função F(x), função interpoladora, for um polinómio, temos a interpolação 
polinomial. A função interpoladora pode ter várias formas diferentes de polinómios. 
A interpolação tem o seguinte teorema como base matemática. 
Teorema (devido a WEIERSTRASS) 
Toda Função f(x) contínua num intervalo [a,b] pode ser aproximado nesse 
intervalo tanto quanto se quiser pôr um polinómio, isto é, 
 | | . 
O significado deste teorema é: qualquer que seja a precisão previamente dada, pode-se 
encontrar um polinómio P(x) que aproxima-se a função f(x) dentro da precisão 
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II. Fórmula de interpolação de Lagrange 
A fórmula de Lagrange que estudamos neste parágrafo pode ser utilizada para qualquer conjunto 
de estando igualmente espaçados ou não. 
Para a função tabelada: 
 … 
 … 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: 
Seja dada a função tabelada: 
x 40 42 45 48 49 50 
f 1.60206 1.62325 1.65321 1.68124 1.69002 1.69897 
Calcular f(47). 
Resolução: 
 
As substituições na fórmula de lagrange: 
 
 
 
 + (termo respectivo no ) 
 
 
 + (termo respectivo no ) 
 
 
 1.65321 
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 1.68124 
 
 
 1.69002 
 
 
 1.69897 
III. Diferenças finitas ( igualmente espaçados) 
Definição: 
 Seja f(x) a função tabelada, chama-se 1ª diferença da função no ponto , 
denotada por 
De modo semelhante a 2ª diferença da função no ponto é a 1ª diferença da 1ª diferença 
 . A k-ésima diferença da função no ponto é a 1ª diferença da (k-1)-ésima 
diferença; 
 . 
 
Vamos estudar um caso muito importante onde os valores de formam uma progressão 
aritmética, em outras palavras, os valores de são igualmente espaçados (separados). 
 , nesta expressão, h é a razão da progressão. 
 
1. Diferença e caminho descendente 
Suponhamos que a função tabelada é dada para conjunto dos 
 As diferenças 
 são 
apresentados na seguinte forma. 
X F 
...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (*) 
 
 
 
 
 
 
 
 
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...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... 
(*) caminho descendente do ponto . 
Caminho descendente: manteve-se um índice constante, por exemplo , para 
todas as diferenças temos um caminho descendente correspondente a esse índice. 
 
Observação: 
Para os ficando próximo do início da tabela, os caminhos descendentes 
correspondentes tem mais diferenças que os ficando proximo do fim da tabela. 
 
2. Diferenças e caminho ascendentes. 
Apresentamos uma outra versão das diferenças. Desta vez utilizamos os índices 
superiores para as diferenças. A tabela das diferenças é a seguinte. Utilizando o símbolo 
 para as diferenças ascendentes. 
 
X F 
...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 (*) 
 
 
 
 
...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... 
(*) caminho ascendente do ponto . 
 
Caminho ascendente: se manteve um índice constante por exemplo para todas as 
diferenças, temos um caminho ascendente correspondente a esse índice. 
 
A nossa observação sobre o número de diferenças nos caminhos ascendentes é 
semelhante ao caso dos caminhos descendentes e para os ficando próximo do fim da 
tabela, os caminhos ascendentes correspondentes tem mais diferenças que os ficando 
próximo do início da tabela. 
Exemplo: 
Seja a função tabelada: 
 
x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 
f 0.8912
1 
0.9320
4 
0.9635
9 
0.9854
5 
0.9975
0 
0.9995
7 
0.9916
7 
0.9738
5 
0.9463
0 
0.9093
0 
 
 
A tabela das diferenças: 
X F 
1.1 0.89121 
 0.04083 
1.2 0.93204 -0.00928 
 0.03155 -0.00041 
1.3 0.96359 -0.00969 0.00029 
 0.02186 -0.00012 -0.00034 
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1.4 0.98545 -0.00981 -0.00005 
 0.01205 -0.00017 0.00023 
1.5 0.99750 -0.00998 0.00018 
 0.00207 0.00001 -0.00014 
1.6 0.99957 -0.00997 0.00004 (*) 
 -0.00790 0.00005 0.00010 
1.7 0.99167 -0.00992 0.00014 (**) 
 -0.01782 0.00019 -0.00005 
1.8 0.97385 -0.00973 0.00009 
 -0.02755 0.00028 
1.9 0.94630 -0.00945 
 -0.03700 
2.0 0.90930 
 
Linha (*) : caminho descendente do ponto x=1.3 
Linha (**) : caminho ascendente do ponto x=1.9. 
 
 
3. Fórmula de interpolação de Newton 
Usando as diferenças finitas no caso em que os são igualmente espaçados, pode se 
construir as fórmulas de interpolação que são chamadas de Newton. 
1ª fórmula: Newton Descendente 
Usando as diferenças descendentes, obtém-se a fórmula de interpolação Newton 
descendente: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (1) 
Onde: 
 f(x) é o valor da função no ponto x, a calcular-se. 
 As diferenças 
 
 etc. estão no caminho descendente do ponto . 
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 O ponto é chamado marca da interpolação e é determinado com a seguinte regra: 
 é escolhido entre os e é o máximo inferior a x. 
Por exemplo: se x = 1.25, deverá ser 1.2. Os pontos são pontos 
seguintes do . 
 Na prática não se usa directamente a fórmula (1) mas introduz-se a grandeza que é 
definida da seguinte forma: 
 
 
 
 . 
Sendo assim os factores , ...... são: 
 
 
 . 
Substituindo essas expressões na fórmula (1) tem-se: 
 
 
 
 
 
 
 
(1.1) 
 
Os coeficientes do polinómio (1.1) podem ser calculados pouco a pouco como o seguinte: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 , etc. 
 
 
 
 (1.2) 
 
 
 
Exemplo: 
 Calcular o valor de f(1.25) da função tabelada no exemplo anterior pela fórmula 
de Newton descendente (ND). 
Temos que seguir os seguintes passos: 
 Passo 1. 
 Calcular as diferenças (a tabela feita) 
 
Passo 2. 
 Determinar h, , e o caminho descendente de . 
 diferença entre os x da primeira coluna. 
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 Passo 3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Passo 4. 
Substituir os valores de de 
 na fórmula 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2ª fórmula: Newton Ascendente 
De modo semelhante usando as diferenças finitas, tem-se a fórmula de Newton 
ascendente: 
 
 
 
 
 
 
 
 (2) 
Onde: 
 f(x) é o valor da função no ponto x, a calcular-se. 
 As diferenças 
 
 etc. estão no caminho ascendente do ponto . 
 O ponto é chamado marca da interpolação e é determinado com a seguinte regra : 
 é escolhido entre os e é o mínimo superior a x. 
 
 Por exemplo: se x = 1.87, deverá ser 1.9. 
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 Tem aplicação para os próximo do fim da tabela. 
Na prática introduzem-se os números que são coeficientes do polinómio 
interpolador , os cálculos são mostrados no exemplo a seguir: 
 
Exemplo: 
 Calcular para a função tabela dada no exemplo anterior pela fórmula de Newton 
Ascendente. 
Passo 1: 
 Calcular as diferenças (a tabela feita) 
 
 Passo 2. 
 Determinar h e e o caminho descendente de . 
 diferença entre os x da primeira coluna. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Passo 3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Passo 4. 
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Substituir os valores de de 
 na formula 
 
 
 (2.2) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
∑ 
 
Observação: 
A vantagem de utilizar a fórmula de Lagrange é que não se deve calcular as diferenças mas a 
grande desvantagem é que ela é encontrada com um número elevado de operações aritméticas 
 
 
 
 
 
 
Capítulo 2: Interpolação Polinomial de Funções 
 
1. Determinar o polinómio de Lagrange da forma para a função 
tabelada 
a) 
X 1 3 4 
F(X) 5 12 -1 
 
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b) 
 
 
 
2. Determinar o polinómio de Lagrange da forma para a 
função. 
X -1 0 2 3 
F(X) -12 2 -12 -28 
 
Sugestão: Para um cálculo rápido do polinómio L(X), pode usar a expressão bem 
conhecida da matemática: 
 
 
 
3. Seja a função tabelada 
X 1 3 4 5 
F(X) 5 12 -1 6 
 
a) Determinar o polinómio de Lagrange da forma para a 
função. 
b) Calcular o valor f(3.5) usando o polinómio calculado em cima 
c) Calcular o valor f(3.5) directamente pelas substituições numéricas. 
 
 
4. Seja a função tabelada 
X 1 1.34 1.76 2.02 2.50 2.81 
F(X) 0.69315 1.52653 3.14478 4.50989 7.82977 10.56205 
 
Calcular o valor f(1.91) pela fórmula de Lagrange. 
 
5. Seja a função 
 
X 1.9 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 
F(X) 0.42355 0.47953 0.77655 1.12768 1.50663 1.88854 2.34433 2.53467 
 
a) Verificar se são igualmente espaçados? Caso sim determinar o incremento h 
X 1 
 
 
4 
F(X) 
 
 
12 -1 
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b) Calcular as diferenças até 4ª ordem 
c) Determinar a marca de interpolação ND para o ponto X = 2.221 
d) Determinar a marca de interpolação NA para o ponto X = 2.4634 
e) Desenhar os caminhos de interpolação determinados na perguntas c) e d) 
f) Listar as diferenças de cada caminho de interpolação acima determinado. 
 
 
6. Seja a função 
X F(X) 
1.0 -2.97745 
1.1 -2.74938 
1.2 -2.50042 
1.3 -2.23050 
1.4 -1.93955 
1.5 -1.62749 
1.6 -1.29423 
1.7 -0.93969 
1.8 -0.56373 
1.9 -0.16626 
2.0 0.25286 
 
a) Suponhamos que vão se usar as interpolações ND ou NA, diga qual entre essas duas 
interpolações, a que dará a maior precisão de calcular: 
O valor f(1.25) ? 
O valor f(1.77) ? 
b) Calcular o valor f (1.25) 
c) Calcular o valor f (1.77) 
d) Calcular o valor f (1.57) pelas fórmulas ND, NA e LG.