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APLICAÇÃO DE SÉRIE DE POTÊNCIA PARA SOLUÇÃO DE PROBLEMA EM 
ENGENHARIA ELÉTRICA 
 
José Francisco Rodrigues 1, Renato Crivellari Creppe 2, Luiz Gongaza Campos Porto 3, José Alfredo Covolan Ulson 4, Paulo 
José Amaral Serni 5 
 
1 School of Engineering Bauru/UNESP, Bauru, Brasil, jfranc@feb.unesp.br 
2 Scholl of Engineering Bauru/UNESP, Bauru, Brasil, creppe@feb.unesp.br 
3 Scholl of Engineering Bauru/UNESP, Bauru, Brasil, porto@feb.unesp.br 
4 Scholl of Engineering Bauru/UNESP, Bauru, Brasil, ulson@feb.unesp.br 
5 Scholl of Engineering Bauru/UNESP, Bauru, Brasil, paulojas@feb.unesp.br 
 
 
Resumo: O artigo aborda o desenvolvimento das equações 
gerais das ondas de propagação de tensão e corrente elétrica 
ao longo dos tradicionais e reais sistemas de transmissão de 
energia elétrica, que através dos modelos matemáticos 
utilizados na engenharia elétrica e das condições de 
contorno inerentes ao estudo, culmina em um sistema de 
equações diferenciais ordinárias de segunda ordem. A 
solução desse sistema é de conhecimento clássico na 
literatura, porém, para a situação em particular dos sistemas 
de transmissão de energia elétrica, foi possível propor uma 
metodologia de resolução não usualmente aplicada, mas 
satisfatória e suficientemente precisa para o objetivo em 
análise se tratando da aplicação de série de potência, em 
particular a série de Maclaurin, na solução das equações 
diferenciais ordinárias. A análise efetuada e os resultados 
encontrados são apresentados no corpo do artigo e 
demonstram que satisfazem integralmente sua utilização em 
fenômenos desse porte em linhas de transmissão. 
 
Palavras Chave: Linhas de transmissão, modelagem 
matemática, série de potência, equações diferenciais. 
1. INTRODUÇÃO 
Os modelos matemáticos são utilizados na tentativa de se 
poderem estudar os fenômenos físicos na natureza e assim 
representá-los da forma mais adequada possível. Nesses 
modelos é usual não se utilizar todos os parâmetros 
envolvidos no sistema físico real (SFR), pois além de trazer 
grande complexidade na representação e estudo do modelo 
matemático como também da constatação de sua eficiência e 
adequação através da utilização das simulações, muitos 
desses parâmetros não possuem importância significativa 
nos resultados finais, o que conduz na maioria das vezes a 
utilização somente dos parâmetros de maior relevância e 
contribuição. 
 A distribuição das tensões e correntes e a transferência 
de energia ao longo de uma linha de transmissão podem ser 
analisadas por alguns processos matemáticos, sendo de se 
esperar que todos conduzam ao mesmo resultado. Essa 
análise, evidentemente, tem por finalidade permitir ao 
pesquisador chegar a expressões analíticas finais que são 
empregadas diretamente na solução de problemas práticos. 
Se os diversos métodos conduzem aos mesmos resultados 
finais, todos deveriam ser aceitáveis. No entanto, nos 
problemas de engenharia, em geral, não é suficiente 
procurar uma fórmula que possa ser aplicada 
indiscriminadamente na solução de um problema particular, 
sem o conhecimento completo das limitações e 
simplificações admitidas em sua derivação. Tal 
circunstância poderia levar ao uso indevido dessa 
formulação. As chamadas soluções matemáticas dos 
fenômenos físicos exigem, normalmente, simplificações e 
idealizações. A derivação matemática de uma equação a 
partir de princípios fundamentais deve, além da equação 
propriamente dita, fornecer todas as informações referentes 
às restrições, aproximações e limitações que são impostas. É 
fundamental que se examine com o maior rigor, sob o ponto 
de vista da generalidade, a aceitabilidade dos princípios 
fundamentais adotados como ponto de partida para a sua 
dedução. 
 Vale à pena ressaltar que, de acordo com a física, a 
expressão “linha de transmissão” se aplica a todos os 
elementos de circuitos elétricos que se destinam ao 
transporte de energia, independentemente da quantidade de 
energia transportada, freqüência e outros parâmetros. Essa 
mesma teoria geral é aplicável independente do 
comprimento físico das linhas, realizadas as necessárias 
ressalvas. 
 Mestre Lord Kelvin já preconizava “Entender um 
fenômeno físico significa associá-lo a números”. Portanto, 
no decorrer do trabalho apresentar-se-á a análise matemática 
no comportamento de ondas viajantes de tensão e corrente 
nas linhas de transmissão, sendo realizada de forma 
genérica, ou mais precisamente, considerando tensões e 
correntes como funções genéricas no tempo, para mais 
adiante embasar o estudo sistemático para as linhas de 
transmissão excitadas por correntes senoidais em regime 
permanente e no domínio da freqüência, terminando com a 
proposta de solução das equações diferenciais que regem 
esse comportamento, através da aplicação de séries de 
potência [1]. 
 O cálculo dos níveis de tensão e corrente em todos 
condutores que constituem uma linha de transmissão será 
analisado através da solução de equações diferenciais 
ordinárias por desenvolvimento em série [2]. A aplicação 
desta metodologia mostrará que o manuseio de uma 
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Aplicação de Série de Potência para Solução de Problema em Engenharia Elétrica 
 José Francisco Rodrigues, Renato Crivellari Creppe, Luiz Gongaza Campos Porto ,José Alfredo Covolan Ulson, Paulo José Amaral Serni 
2 
proposta relativamente simples trará resultados confiáveis e 
precisos no estudo desenvolvido. 
2. A PROPAGAÇÃO ELETROMAGNÉTICA 
 As equações de propagação de ondas de tensão e 
corrente nos sistemas trifásicos de transmissão de energia 
elétrica podem ser obtidas através de um sistema simples 
constituído por um condutor em presença de um plano de 
terra infinito, neste caso representado pelo modelo 
monofásico, uma vez que o sistema trifásico é considerado 
equilibrado [3, 4]. O arranjo de um condutor em presença de 
um plano de terra ideal é mostrado na figura 1, onde se 
representa apenas um comprimento infinitesimal. As 
grandezas V1 (tensão) e I1 (corrente) são na realidade 
funções da distância (x) e do tempo (t), de maneira que as 
equações gerais de propagação deduzem-se diretamente das 
expressões que resultam da aplicação das duas leis de 
Kirchoff na Figura 1, resultando em um conjunto de 
equações diferenciais parciais indicadas nas equações (1) e 
(2), para um sistema monofásico de transmissão. 
 
 
Fig. 1. Representação de um elemento infinitesimal de linha 
monofásica. 
 
),(I.R
),(I
L
),(V
111
1
11
1 tx
x
tx
x
tx






 (1) 
),(V.G
),(V
C
),(I
111
1
11
1 tx
x
tx
x
tx






 (2) 
 
onde: 
 R11 = resistência da linha por unidade de comprimento 
(Ω/km). 
 L11 = indutância da linha por unidade de comprimento 
(H/km). 
 G11 = condutância da linha por unidade de comprimento 
(S/km). 
 C11 = capacitância da linha por unidade de comprimento 
(F/km). 
 Aplicando a transformada de Fourier às equações (1) e 
(2), vem: 
 
),(I.LR(
),(V
1)11j.11
1 . wx
dx
wxd w (3) 
 
),(V.LG(
),(I
1)11j.11
1 . wx
dx
wxd w (4) 
ou 
 
),(I).(
),(V
111
1 wxwZ
dx
wxd
 (5) 
 
),(V).(G
),(I
111
1 wxw
dx
wxd
 (6) 
 
 As equações diferenciais de derivadas parciais (1) e (2) 
transformaram-se desta forma em equações diferencias 
ordinárias (5) e (6) válidas para uma dada freqüência 
angular w, lembrando que: 
f
1
j V.
-
-e).,(1V),(1V  


dttxwx wt (7) 
onde: 
f
1
V → exprime os valores de “fase”, logo f
1
V),(1V wx 
é a tensão na “fase 1”, no ponto x, no domínio da freqüência.Assim, em notação simplificada, é possível escrever: 
 
f
111
f
1 I.Z
V

dx
d
 (8) 
 
f
111
f
1 V.Y
I

dx
d
 (9) 
 
 Se o sistema de transmissão for composto por “n” 
condutores, verifica-se que as expressões (8) e (9) passam a 
ter um maior grau de complexidade à medida que “n” 
aumenta. A fim de ilustrar essa situação, considere uma 
linha bifásica constituída por dois condutores em presença 
de um plano de terra infinito, indicada na Figura 2. 
 
 
Fig. 2. Representação de um elemento infinitesimal de um sistema de 
dois condutores. 
 
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3 
 
 Não é agora difícil reconhecer que as equações 
diferenciais ordinárias que regem, em regime permanente, o 
comportamento do sistema de dois condutores, são: 
f
212
f
111
f
1 I.ZI.Z
V

dx
d
 (10) 
 
f
222
f
112
f
2 I.ZI.Z
V

dx
d
 (11) 
e 
f
212
f
111
f
1 V.YV.Y
I

dx
d
 (12) 
 
f
222
f
112
f
2 V.YV.Y
I

dx
d
 (13) 
 
ou em forma matricial compacta: 
 
.
-
f.
=
.
-
f
I.Z
V

dx
d
 (14) 
e 
.
-
f.
=
.
-
f
V.Y
I

dx
d
 (15) 
 
onde: 
 
.
=
Z = matriz de impedâncias longitudinais da linha em 
Ohm. 
 
.
=
Y = matriz de admitâncias transversais da linha em 
siemens. 
 
.
-
V = vetor de tensões de fase dos “n” condutores na 
linha em volts. 
 
.
-
I = vetor de corrente dos “n” condutores na linha em 
ampères. 
 
 Derivando as equações (10) e (11) em relação à x e 
substituindo-se nas equações obtidas as equações (12) e (13) 
é possível obter-se: 
f
212112212
112121111
f
1
)VY.ZY.Z(
)VY.ZY.Z(
V
f
2
2


dx
d
 (16) 
 
f
222221212
f
112221112
f
2
)VY.ZY.Z(
)VY.ZY.Z(
V
2
2


dx
d
 (17) 
 
 Observa-se das equações acima que a solução clássica, 
mesmo para o caso de 2 condutores é bastante trabalhosa [5, 
6]. As dificuldades de se trabalhar com as equações de 
propagação em sistemas de 2 ou mais condutores reside no 
fato de que as equações diferenciais de segunda ordem de 
tensão e corrente de cada fase dependem dos valores dessas 
grandezas nas demais fases, isto é, dependem do 
acoplamento mútuo entre fases. 
 A solução matricial do sistema de equações diferenciais 
resultante, expressas pelas equações (14) e (15), pode ser 
orientada com o intuito de contornar este problema [7, 8]. 
Resolvendo da maneira usual, podem-se derivar as equações 
(14) e (15) em relação à x e em seguida utilizar as equações 
(14) e (15) na derivada de segunda ordem, resultando: 
 
.
-
.
=
.
=2
.
-
2
f
f
V.Y.Z= 
V
dx
d
 (18) 
 
 
.
-
.
=
.
=2
.
-
2
f
f
I.Z.Y= 
I
dx
d
 (19) 
 
 Essas equações podem ainda escrever-se na forma: 
 
.
-
f
.
=
2
2
.
-
f2
V.W= 
V
dx
d
 (20) 
 
.
-
f
.
=
2
t2
.
-
f2
I.W= 
I
dx
d
 (21) 
onde: 
.
=
.
=
.
=
2 Y.ZW  
 
.
=
.
=
.
=
2
t Z.YW  
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Aplicação de Série de Potência para Solução de Problema em Engenharia Elétrica 
 José Francisco Rodrigues, Renato Crivellari Creppe, Luiz Gongaza Campos Porto ,José Alfredo Covolan Ulson, Paulo José Amaral Serni 
4 
 
.
=
2
tW matriz transposta de 
.
=
2
W 
 A matriz 
.
=
2
W é quadrada, sendo utilizada com o intuito 
de simplificar a análise e definida como sendo o produto da 
matriz de impedância e admitância. 
 A solução das equações (20) e (21) pode ser realizada 
através de metodologias existentes na literatura que tratam 
do assunto em questão. É importante destacar que alguns 
programas computacionais possuem incorporados, nos 
mesmos, ferramentas específicas para aplicação deste caso, 
porém não se pode perder de vista que a situação física aqui 
analisada trata de fenômenos de propagação de ondas de 
tensão e corrente em linhas de transmissão e assim os 
parâmetros envolvidos fazem parte deste universo, podendo 
levar a situações de problemas relacionados com 
convergências dos métodos empregados. De maneira geral a 
solução para as equações (20) e (21) são da forma: 
 
 
.
-
r
..
-
i
..
.
-
f V.eV.eV W.W
xx
 
 (22) 
)V.eV.e.(YI
.
-
r
..
-
i
.
.
-
f
 WW
0 xx
 


 (23) 
onde : 
.
-
iV e 
.
-
rV = vetores constantes de integração 
 0Y

= matriz de admitâncias características da linha 
de transmissão. 
 
 Deve ainda enfatizar que nas equações (22) e (23) todos 
os parâmetros vetoriais e matriciais apresentados são 
complexos, a menos do comprimento da linha de 
transmissão, x. 
3. SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PELO 
DESENVOLVIMENTO DE SÉRIE DE POTÊNCIA 
 As equações diferenciais ordinárias, que traduzem em 
regime permanente, o comportamento das tensões e 
correntes num sistema de N condutores colocados em 
presença da terra são, como se viu anteriormente, as 
seguintes: 
 
.
-
.
=
.
- I.Z
V

dx
d
 (24) 
d
dx
I
Y V-
.
= -
 
. .
. (25) 
 
 Nestas, a referência do eixo das abscissas "x" (x=0), 
encontra-se no terminal transmissor ou gerador, isto é, na 
geração. 
 A dificuldade na solução destas equações, conforme já 
mencionado, encontra-se no fato de que existem várias 
variáveis em cada uma delas. Desta forma buscou-se uma 
proposta de possível solução, que pudesse contornar as 
dificuldades apresentadas nas outras formas de solução e 
que não trouxesse prejuízos de qualidade nos resultados 
finais. Assim sendo, foi proposta uma nova metodologia 
tratando-se do o desenvolvimento em série de Mclaurin [1, 
7] nas equações (24) e (25), como indica as equações (26) e 
(27). 
 
.....|
V
!2
 + |
d
V
 + |
VV
03
.
-
32
02
.
-
2
0
.
--
.
-
  xxx dx
dx
x
d
x
dx
d
dx
d
 
 (26) 
 
......|
I
!2
 + |
I
 + |
II
03
.
-
32
02
.
-
2
0
.
-
.
-   xxx dx
dx
dx
d
x
dx
d
dx
d
 
 (27) 
 
 Truncando-se a série no terceiro termo, o que não impõe 
erros expressivos, resolve-se o problema, derivando-se as 
equações (24) e (25), 
.
-
.
=
.
=2
.
-
2
V.Y.Z= 
V
dx
d
 
.
-
.
=
.
=
.
=3
.
-
3
I.Z.Y.Z= 
V
dx
d
 (28) 
 
.
-
.
=
.
=2
.
-
2
I.Z.Y= 
I
dx
d
 
.
-
.
=
.
=
.
=3
.
-
3
V.Y.Z.Y= 
I
dx
d
 (29) 
 
 Substituindo-se as equações (28) e (29) em (26) e (27), e 
através de manipulações e substituições, resultam as 
equações (30) e (31) já simplificadas: 
 
V V ZI
2!
ZY V
- 0- = 0-
. 2
= = 0-
. . . . . .
  x x (30) 
I I Y V Y ZI
- 0- = 0- = = 0-
. . . . . . .
!
  x x
2
2
 (31) 
 
onde os vetores V0 e I0 , são respectivamente os vetores das 
tensões e correntes nos condutores do sistema na origem da 
abscissa (x = 0). 
 As equações (30) e (31) permitem o conhecimento dastensões e correntes em todos condutores que compõem um 
sistema de transmissão de energia elétrica em qualquer 
posição ao longo da linha de transmissão. Portanto, fazendo 
uso da aplicação do desenvolvimento de série de potência na 
solução das equações diferenciais (24) e (25) foi possível 
obter-se uma solução, prática, precisa para o objetivo em 
questão e de forma relativamente simples e eficaz. 
 Também, observando-se as equações (30) e (31) 
verifica-se que nos sistemas de transmissão de energia 
elétrica, além dos condutores fases e cabos pára-raios, se 
existirem outros condutores compondo o sistema, como, por 
exemplo, condutores isolados e estes estiverem próximos e 
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5 
paralelos aos condutores que transportam energia elétrica, 
há possibilidade do conhecimento dos valores das tensões 
induzidas nestes últimos condutores isolados fazendo dessas 
equações. Esta situação é apresentada através da Figura 3. 
 
 
Fig. 3. Linha de transmissão e condutor isolado paralelo e na 
vizinhança da mesma. 
 
 
 Com a aplicação das equações (30) e (31), percebe-se 
claramente que é possível estender as investigações e 
pesquisas nesta área da engenharia elétrica a outras questões 
similares que envolvam os sistemas de transmissão de 
energia elétrica em operação no país e reais, como exemplo, 
valores de tensões induzidas em condutores isolados 
localizados nas vizinhanças das linhas de transmissão. A 
determinação de níveis de tensões induzidas em condutores 
isolados que possam estar nas vizinhanças dos sistemas de 
transmissão de energia, em algumas oportunidades, podem 
atingir valores tais que causem sérias conseqüências às 
pessoas que mantém contato físico com os mesmos podendo 
até mesmo causar danos físicos fatais. 
 Assim, as equações (30) e (31) podem ser expandidas e 
expressas em forma de matrizes particionadas, como nas 
equações (32) e (33), lembrando que todos sistemas de 
transmissão de energia elétrica utilizados no Brasil possuem 
cabos pára-raios multi-aterrados. 
 
 
























































































io
.
-
co
.
-
ii
.
=
ic
.
=
ci
.
=
cc
.
=
ii
.
=
ic
.
=
ci
.
=
cc
.
=
2
io
.
-
co
.
-
ii
.
=
ic
.
=
ci
.
=
cc
.
=
io
.
-
co
.
-
i
.
-
c
.
-
V
V
YY
YY
ZZ
ZZ
.
2!
I
I
.
ZZ
ZZ
.
V
V
V
V
x
x
 (32) 
 
 
























































































io
.
-
co
.
-
ii
.
=
ic
.
=
ci
.
=
cc
.
=
ii
.
=
ic
.
=
ci
.
=
cc
.
=
2
io
.
-
co
.
-
ii
.
=
ic
.
=
ci
.
=
cc
.
=
io
.
-
co
.
-
i
.
-
c
.
-
I
I
ZZ
ZZ
YY
YY
.
2!
V
V
.
YY
YY
.
I
I
I
I
x
x
 (33) 
 
onde os sub-índices significam: 
 
 c – condutores fases do sistema de transmissão. 
 i – eventuais condutores isolados do sistema de 
transmissão, se existirem. 
 
 Fazendo x =  na equação (33), se estará desta forma, 
na posição do extremo receptor da linha de transmissão, isto 
é, na carga elétrica e assim é possível obter-se todas as 
correntes existentes no extremo final da linha. 
 Se o interesse recair particularmente sobre a corrente no 
condutor isolado, esta pode ser obtida através da equação 
(34). 
 
+IZY+ZY
2
VY+VY-II
co
.
-
ic
.
=
ii
.
=
cc
.
=
ic
.
=
2
io
.
-
ii
.
=
co
.
-
ic
.
=
io
.
-
=i
.
-















io
.
-
ii
.
=
ii
.
=
ci
.
=
ic
.
=
2
IZY+ZY
2
+ 


 (34) 
 
 Porém, como o condutor isolado não possui injeção de 
corrente em seus terminais, logo io
.
-
=i
.
-
II  = 0. Isto aplicado 
na equação (34) resulta na equação (35), que fornece a 
tensão na origem do condutor isolado: 
 
co
.
-
ic
.
=
ii
.
=
cc
.
=
ic
.
=
-1
ii
.
=
co
.
-
ic
.
=
-1
ii
.
=
io
.
-
IZY+ZY.
.Y
2
+VYY-=V

















 
 (35) 
 
 Fazendo x =  , na equação (32), é possível obter a 
equação (36), que fornece a tensão induzida no final do 
condutor isolado. 
 
Proceedings of the 9th Brazilian Conference on Dynamics Control and their Applications 
Serra Negra, SP - ISSN 2178-3667 439
Aplicação de Série de Potência para Solução de Problema em Engenharia Elétrica 
 José Francisco Rodrigues, Renato Crivellari Creppe, Luiz Gongaza Campos Porto ,José Alfredo Covolan Ulson, Paulo José Amaral Serni 
6 
+VYZ+YZ
2
IZ+IZ-VV
co
.
-
ic
.
=
ii
.
=
cc
.
=
ic
.
=
2
io
.
-
ii
.
=
co
.
-
ic
.
=
io
.
-
=i
.
-















io
.
-
ii
.
=
ii
.
=
ci
.
=
ic
.
=
2
VYZ+YZ
2
+ 





 (36) 
 
 Observa-se na equação (36) que uma vez conhecidas às 
tensões e correntes nos condutores fases no início da linha 
de transmissão e utilização da equação (35), é possível 
determinar a tensão induzida no final do condutor isolado. 
6. CONCLUSÕES 
 O emprego da metodologia descrita anteriormente, na 
obtenção das equações de vetores de tensões e correntes que 
compõem um sistema de transmissão de energia elétrica e 
eventuais condutores isolados, se existirem, proporcionou 
uma alternativa matematicamente adequada e 
suficientemente precisa para o estudo apresentado, uma vez 
que estes resultados foram comparados com os métodos 
clássicos. 
 Desta forma, foi possível obter-se uma nova 
“ferramenta” analítica para uso em engenharia elétrica, 
totalmente satisfatória na análise e cálculos de tensões e 
correntes ao longo das linhas de transmissão, desde seu 
início até o final, como também possibilitou avaliarem-se 
valores das tensões induzidas em condutores isolados 
colocados próximos e paralelamente às linhas, cujos valores 
de tensões podem atingir em algumas situações peculiares, 
níveis extremamente perigosos, porém conhecidos e 
diagnosticados através da aplicação das equações (30) e 
(31). 
 A implementação computacional das equações (30), 
(31), (35) e (36) possibilitou a elaboração de um programa 
em linguagem científica de alto nível para os cálculos dos 
níveis de tensões e correntes e, quando comparados com 
resultados de outros métodos de soluções matemáticas, 
mostraram-se bastantes eficientes. 
 
AGRADECIMENTOS 
Agradecemos ao Departamento de Engenharia Elétrica 
da Faculdade de Engenharia de Bauru pela disponibilidade 
de recursos materiais para os testes computacionais do 
programa elaborado. 
REFERENCIAS 
[1] W. Kaplan, “Cálculo Avançado”, v. II, Edgard Blucher: 
São Paulo, 1996. 
[2] J. F. Rodrigues, “Extração de Pequenas Potências por 
Efeitos Eletromagnéticosnas Proximidades das Linhas 
Elétricas de Alta Tensão”, dissertação (mestrado em 
engenharia elétrica) – Escola Federal de Engenharia de 
Itajubá-EFEI, Itajubá, 189p, 1985. 
[3] R. D. Fuchs, “Transmissão de Energia Elétrica - Linhas 
Aéreas”, 2.ed. LTC: Rio de Janeiro, 1979. 
[4] J. R. Carson, “Wave Propagation in Oerhead Wires With 
Ground Return”, Bell system tech-jour, New York, Vol. 
5, pp. 539-555, 1926. 
[5] W. E. Boyce, “Equações Diferenciais Elementares e 
Problemas de Valores de Contorno”, 8.ed. LTC: Rio de 
Janeiro, 2006. 
[6] D. G. Zill, “Equações Diferenciais”, Makron Books: São 
Paulo, 2000. 
[7] R. A. F. Nunes, “Transmissão de Energia Elétrica: 
Teoria Modal de Propagação”, EFEI, (1982, Notas de 
Aula). 
[8] L. M. Wedepohl, “Aplication of matrix methods to the 
solution of travelling-wave phenomena in polyphase 
system”, Proc. IEE, Vol. 12, 1963. 
[9] O. Merino. “A short history of complex numbers”. 
Technical report, University of Rhode Island, Kingston, 
2006. 
 
 
 
Proceedings of the 9th Brazilian Conference on Dynamics Control and their Applications 
Serra Negra, SP - ISSN 2178-3667 440