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CAPÍTULO 5
DERIVADAS E APLICAÇÕES
A derivada de uma função é a parte da matemática que permite 
estudar a rapidez com que determinada quantidade está variando em 
relação a uma outra. Por exemplo, por meio das derivadas podemos deduzir 
a velocidade com que uma determinada população está crescendo, ou uma 
solução química está se dissolvendo, ou o melhor ponto para se pôr uma 
coluna num edifício... 
As aplicações das derivadas são muitas e variadas. 
Converse com os seus professores da área técnica, ou 
pesquise em livros da sua área, e descubra as 
aplicações possíveis... apresente o resultado da sua 
busca para seus colegas de classe!!!
Vamos à teoria?
1. DEFINIÇÃO 
 A derivada de uma função f em relação a x é a função f ´ 
definida por 
f ' ( x )=lim
h→0
f ( x+h )− f ( x )
h
quando o limite existe.
Obs.: A derivada de uma função f em relação a x no ponto a, é dada por: 
f ' (a )=lim
h→ 0
f (a+h )− f (a )
h
Outras Notações para derivadas:
D x f ( x ) - lê-se “d sub x de f de x”
dy
dx – “d y d x”
y´ – y linha.
Exercício: Usando a definição, calcule a derivada das seguintes funções:
a) f ( x )=x2
b) g ( x )= x2−5 x
c) h ( x )=x2−5 x+6
d) f ( x )=x3
e) g ( x )=3 x2+2 x
g) g ( x )=4 x
h) g ( x )=−2
i) g ( x )=6
j) f ( x )=senx
k) f ( x )=2x
f) h ( x )=3 x
Respostas dos Exercícios:
a) f ' ( x )=2 x ; b) g ' ( x )=2 x−5 ; c) h' ( x )=2 x −5 ; d) f ' ( x )=3 x2 ; 
e) g ' ( x )=6 x+2 ; f) h' ( x )=3
g) g ' ( x )=4 ; h) g ' ( x )=0 ; i) g ' ( x )=0 ; j) f ' ( x )=cosx ; k) 
f ' ( x )=2x ln 2
A partir do cálculo das derivadas das funções acima, procure encontrar 
regras práticas para as funções genéricas: f ( x )=xn , f ( x )=kx , f ( x )=k , 
f ( x )=ak
2. REGRAS BÁSICAS DE DERIVAÇÃO
n. Função Derivada
1 f ( x )=k , k ∈ R f ' ( x )=0
2 f ( x )=c . g ( x ) f ' ( x )=c . g ' ( x )
3 f ( x )=g ( x )± h ( x ) f ' ( x )=g ' ( x )± h ' ( x )
4 f ( x )=g ( x ) .h ( x ) Regra do produto f ' ( x )=g ' ( x ) .h ( x )+ g ( x ) .h ' ( x )
5
f ( x )= g ( x )
h ( x ) f
' ( x )= g
' ( x ) .h ( x )−g ( x ) .h ' ( x )
[h ( x ) ]2
6 f ( x )=xn f ' ( x )=n x n− 1
7 f ( x )=g (h ( x )) Regra da cadeia f ' ( x )=g ' (h ( x )) .h ' ( x )
8 f ( x )=e x f ' ( x )=ex
9 f ( x )=e g ( x ) f ' ( x )=eg ( x ) . g ' ( x )
10 f ( x )=ax f ' ( x )=ax .lna
11 f ( x )=ln ⁡ ∨ x∨ f ' ( x )=1
x
12 f ( x )=loga x f ' ( x )= 1
x . lna
13 f ( x )=senx f ' ( x )=cosx
14 f ( x )=cosx f ' ( x )=−senx
15 f ( x )=tgx f ' ( x )=sec2 x
16 f ( x )=cossecx f ' ( x )=−cossecx .cotgx
17 f ( x )=sec x f ' ( x )=secx .tgx
18 f ( x )=cotgx f ' ( x )=−cossec2 x
19 f ( x )=arcsenx f ' ( x )= 1
√1−x 2
20 f ( x )=arccosx f ' ( x )= −1
√1−x 2
21 f ( x )=arctgx f ' ( x )= 1
1+ x2
22 f ( x )=arccossecx f ' ( x )= −1
x√ x2−1
23 f ( x )=arcsecx f ' ( x )= 1
x√ x2−1
24 f ( x )=arccotgx f ' ( x )= −1
1+ x2
25 f ( x )=senh x f ' ( x )=cos h x
26 f ( x )=cos h x f ' ( x )=senh x
27 f ( x )=tg h x f ' ( x )=sec h2 x
28 f ( x )=cossec h x f ' ( x )=−cossec h x .cotg h x
29 f ( x )=sech x f ' ( x )=−sec h x .tg h x
30 f ( x )=cotg h x f ' ( x )=−cossec h2 x
ALGUMAS FÓRMULAS TRIGONOMÉTRICAS IMPORTANTES
Identidades Trigonométricas
sen2 x+cos2 x=1 1+tg 2 x=sec2 x 1+cotg 2 x=cossec 2 x
secx= 1
cosx cossecx=
1
senx
cotgx= 1
tgx
= cosx
senx 
 tgx= senxcosx
sen (−x )=senx cos (− x )=cosx tg (− x )=−tgx
sen( π2 − x)=cosx cos ( π2 − x)=senx tg (π2 − x)=cotgx
Fórmulas de Adição e Subtração
sen ( x+ y )=senx.cosy+seny.cosx 
sen ( x − y )=senx.cosy−seny.cosx 
cos ( x+ y )=cosx.cosy− senx.seny 
cos ( x− y )=cosx.cosy+senx.seny 
tg ( x+ y )= tgx+ tgy
1−tgx.tgy 
tg ( x − y )= tgx− tgy
1+tgx.tgy 
Fórmulas de Arco Duplo:
sen2x=2senx.cosx cos2x=cos2 x −sen2 x
tg2x= 2tgx
1−tg 2 x
Fórmulas de Arco Metade:
sen2 x=1−cos2x
2 cos
2 x=1+cos2x
2
Lei dos Senos
a
senA
= b
senB
= c
senC 
Lei dos Cossenos
a2=b2+c2−2bc.cosA 
b2=a2+c2−2ac.cosB 
c2=a2+b2−2ab.cosC 
3. DERIVADAS SUCESSIVAS
Podemos calcular derivadas sucessivas para as funções, ou seja, 
podemos calcular derivadas das derivadas. É isto que chamamos de 
derivadas sucessivas.
Notação:
f ´ ´ ( x )=d
2 f
d x2
: representa a derivada segunda da função f.
f (n ) ( x )=d
n f
d xn
: representa a derivada n-ésima da função f.
Exemplo 1: Calcular a derivada terceira da função f ( x )=2x5−3x+9
df
dx
=10 x4−3
d 2 f
d x2
=40 x3
d3 f
d x3
=120 x2
Exemplo 2: Calcular a derivada segunda da função f ( x )=sen2x
f ´ ( x )=df
dx
=2cos2x
f ´ ´ ( x )=d
2 f
d x2
=−2sen2x
4. QUAL O SIGNIFICADO GEOMÉTRICO DA DEFINIÇÃO DE DERIVADA?
Considere uma função genérica f ( x ) . Considere ainda dois pontos 
P ( xP , yP ) e Q (xQ , yQ ) sobre o gráfico de y= f ( x ) . Assim, 
P ( x P , f (x P )) e Q (xQ , f ( xQ )) .
P
Analise o gráfico e imagine o significado da expressão: 
f (xQ )− f ( xP )
xQ− x P
.
A que conclusão você chegou? O que essa expressão tem a ver com a 
expressão do limite na definição de derivada?
Vejamos as respostas...
 
A expressão 
f (xQ )− f ( xP )
xQ− x P
 representa a inclinação da reta secante à 
curva, que passa por P e Q . Isto é:
inclinaçã o secPQ=
f ( xQ )− f (x P )
xQ−x P
(1)
Obs.: Essa expressão é também conhecida como a que nos fornece a taxa 
de variação média da função entre os pontos P e Q .
Agora, estamos querendo interpretar geometricamente a 
definição de derivada. A expressão que temos aqui não é 
exatamente a que aparece na definição de derivada. O que 
as difere? Qual o significado dessa diferença? Observe, 
analise e discuta com seus colegas...
Quando fazemos Q→P , (1) torna-se:
lim
Q→P
inclina ção secPQ=
lim
Q→ P
f (xQ )− f ( xP )
xQ−x P
Ou seja:
inclinaçã o tgP= lim
Q→P
f (xQ )− f (x P )
xQ− xP
(2)
Fazendo x P= x e xQ=x P+h=x+h , (2) pode ser rescrita como:
inclinaçã o tgP= lim
h→0
f ( x+h )− f ( x )
h
que é exatamente a definição de derivada de uma função. Assim, podemos 
dizer que a derivada de uma função num ponto x=a é a inclinação da 
reta tangente à curva nesse ponto, que também é chamada de taxa de 
variação instantânea da função nesse ponto. Voltaremos ao assunto “taxa 
de variação” depois... antes, um exemplo de como encontrar a equação de 
uma reta tangente, usando a derivada...
Exemplos.
1. Encontre a equação da reta tangente à parábola f ( x )=x2 nos pontos 
P1 (1,1 ) ,P2 (0,0 ) e P3 (−1,1 ) .
Lembrete: Podemos encontrar a equação de uma reta, 
quando são dados a inclinação da reta e um ponto, por meio 
da fórmula y− y0=m (x −x0 ) , em que m é a inclinação 
da reta (no caso da reta tangente, m é o valor da 
derivada da função no ponto em que se quer a reta 
tangente), e (x0 , y0 ) são as coordenadas do ponto.
Solução do exemplo 1: 
Façamos para o ponto P3 (−1,1 ) . Aqui, (x0 , y0 )=(−1,1 ) . Iniciamos 
calculando a inclinação da reta tangente em P3 , ou seja, 
f ´ (x0 )= f ´ (−1 )=2. (−1 )=−2 . 
A equação da reta tangente será:
y− y0=m (x −x0 )⇒ y−1=−2 ( x− (−1 ) )⇔ y −1=−2x−2⇔ y=−2x−1
O gráfico seguinte apresenta a função f ( x )=x2 com a reta 
tangente em P3 (−1,1 ) , de equação y=−2x−1 :
Encontrar a equação da reta tangente à curva nos 
outros dois pontos fica como exercício pra 
você!!!!!!!!!!!
2. Encontre a equação da reta tangente à parábola f ( x )=1x no ponto 
P1 (1,1 ) .
Exercício pra você!!!!!!!!!!!
Há pouco, falamos em Taxa de Variação, vamos deixar registrado as 
definições de “Taxa de Variação média” e “Taxa de Variação Instantânea”, 
uma das aplicações de derivadas mais usadas...5. TAXA DE VARIAÇÃO: 
 Suponhamos que f é uma função que descreve a relação de duas 
quantidades x e y : y= f ( x ) .
O número f ( x+h )− f ( x ) mede a variação em y que corresponde a 
uma variação h em x . Assim , o quociente f ( x+h )− f ( x )
h
 mede a 
taxa de variação média de y em relação a x no intervalo [ x , x+h ] , 
isto é:
taxa de varia ção media= f ( x+h )− f ( x )
h
Quando tomamos o limite do quociente acima referido quando 
h→0 ( h tende a zero), obtemos a taxa de variação instantânea de 
y em relação a x. Ou seja,
taxa de va ria ção instant ânea=lim
h→ 0
f ( x+h )− f ( x )
h
Como aplicamos essa definição num problema real?
Exemplo 1: Suponha que a distância (em pés) percorrida por um 
automóvel ao longo de uma estrada t segundos após partir do repouso é 
dada pela função f (t )=2 t 2 , 0≤ t ≤ 30 . (obs.:1 pé 30cm)
a) Calcule a velocidade média do automóvel nos intervalos de tempo 
[22 ; 23 ] , [22 ;22,1 ] , [22 ; 22,01 ] e [22 ; 22,001 ] .
b) Calcule a velocidade instantânea do automóvel quando t=22 .
c) Compare os resultados obtidos nas partes a) e b).
Solução:
Pra quê precisamos dessas informações?
Em Ciências, muitas funções não são descritas por equações 
explícitas; elas são definidas por dados experimentais. O exemplo a seguir 
mostra como estimar a inclinação da reta tangente ao gráfico de uma 
dessas funções.
Exemplo 2: o flash de uma câmera opera armazenando carga em um 
capacitor e liberando-a instantaneamente quando o flash é disparado. Os 
dados da tabela seguinte descrevem a carga Q armazenada no capacitor 
(medida em microcoulombs) no instante t (medido em segundos após o 
flash ter sido disparado). Use os dados para fazer o gráfico dessa função e 
estime a inclinação da reta tangente no ponto onde t=0,04 . (A inclinação 
da reta tangente representa um fluxo de corrente elétrica do capacitor para 
o flash, medido em microampères).
t 0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10
Q 100,00 81,87 67,03 54,88 44,93 36,76
Solução:...Para estimar a inclinação da reta tangente há vários modos, dois 
deles são...
a) Encontre a inclinação aproximada da reta tangente por meio dos 
valores da tabela próximos de 0,04. 
Um exemplo: inclinaçã o Q (0,06 )−Q (0,02 )
0,06−0,02
=54,88−81,87
0,04
−675
b) Plote os pontos do gráfico, trace uma curva por esses pontos. 
Construa um triângulo retângulo onde a hipotenusa seja parte da reta 
tangente à curva em t=0,04 . Meça os catetos oposto e adjacente 
ao ângulo de inclinação da reta. A razão entre essas medidas é o 
valor estimado da inclinação da reta tangente.
Obs.: o significado físico da resposta desse exemplo é que a corrente que 
flui do capacitor para o flash após 0,04 s é cerca de -675 microampères.
Exercícios:
1. Um tanque com capacidade de 1000 galões de água é drenado pela 
base em meia hora. Os valores da tabela mostram o volume V de 
água remanescente no tanque (em galões) após t minutos.
t 5 10 15 20 25 30
V (t ) 694 444 250 111 28 0
a) Se P for o ponto (15,250 ) sobre o gráfico de V, encontre as 
inclinações das retas secantes PQ , onde Q e o ponto sobre o 
gráfico correspondente a t=5,10, 20, 25e 30 .
b) Estime a inclinação da reta tangente em P pela média das 
inclinações de duas retas secantes.
c) Use o gráfico da função para estimar a inclinação da reta tangente 
em P (Essa inclinação representa a taxa segundo a qual a água 
flui do tanque após 15 minutos).
d) Usando o Excel, interpole uma função (faça um gráfico de 
dispersão dos dados, adicione linha de tendência, e marque para 
exibir a equação e o R-quadrado no gráfico) polinomial de grau 3.
e) Calcule a derivada da função obtida no item d) no ponto 
(15, 250 ) .
f) Compare o valor obtido em e) com os obtidos nos itens b) e c). 
Comente os resultados.
Resultado da letra d)
2. Um monitor é usado para medir os batimentos cardíacos de um 
paciente após uma cirurgia. Ele fornece um número de batimentos 
cardíacos após t minutos. Quando os dados na tabela são 
colocados em um gráfico, a inclinação da reta tangente representa a 
taxa de batimentos cardíacos por minuto.
t 36 38 40 42 44
Batimentos 
Cardíacos
2530 2661 2806 2948 3080
O monitor estima esse valor calculando a inclinação de uma reta 
secante. Use os dados para estimar a taxa de batimentos cardíacos 
após 42 minutos usando a reta secante entre os pontos com os 
valores de t dados.
a) t = 36 e t = 42
b) t = 38 e t = 42
c) t = 40 e t = 42
d) t = 42 e t = 44
Quais são suas conclusões?
3. O ponto P ( 4,2 ) está sobre a curva y=√ x . 
a) Se Q for o ponto (x ,√ x ) , use a calculadora para encontrar a 
inclinação da reta secante ( PQ corretas até a sexta casa 
decimal) para os seguintes valores de x :
i) 5 ii) 4,5 iii)4,1 iv) 4,001 v) 4,001 vi)3
vii) 3,5 viii) 3,9 ix)3,99 x) 3,999.
b) Usando o resultado da parte a), encontre o valor da inclinação da 
reta tangente à curva em P ( 4,2 ) ;
c) Usando a inclinação da parte b), encontre uma equação da reta 
tangente à curva em P ( 4,2 ) . 
5.1 A DERIVADA COMO TAXA DE VARIAÇÃO
Vejamos a utilização da derivada em algumas situações didáticas...
1. Física: velocidade - Se s= f (t ) for uma função posição de uma 
partícula que está se movendo em uma reta, então ∆s∆t representa a 
velocidade média sobre um período de tempo ∆ t , e v= dsdt 
representa a velocidade instantânea (taxa de variação instantânea do 
deslocamento em relação ao tempo). Da mesma forma, se v= dsdt é a 
velocidade instantânea, a=dv
dt
=d
2 v
d t 2
 é a aceleração instantânea (taxa 
de variação da velocidade em relação ao tempo)
Exemplo: A posição de uma partícula é dada pela equação 
s= f (t )=t3−6 t 2+9t , onde t é medido em segundos e s é medido em 
metros.
a) Encontre a velocidade no instante t ;
b) Qual é a velocidade depois de 2s? E depois de 4s?
c) Quando a partícula está em repouso?
d) Quando a partícula está se movendo pra frente?
e) Encontre a distância total percorrida pela partícula durante os 
primeiros 5 segundos.
2. Química – concentração - A concentração de um reagente A é o 
número de mols (6,022×1023moléculas ) por litro e é denotada por [A ] . 
A concentração varia durante a reação, o que a torna uma função do 
tempo t . A taxa média da reação do produto C sobre um 
intervalo de tempo t 1≤ t ≤ t2 é: 
∆ [C ]
∆t
=
[C ] ( t 2 )− [C ] (t 1 )
t 2−t1
, enquanto que a 
taxa de reação instantânea é dada por 
taxa de reação= lim
∆t→ 0
∆ [C ]
∆ t
=
d [C ]
dt
Exemplo: Cristais de Clorato de Sódio são fáceis de crescer no formato de 
cubos permitindo uma solução de água e clorato de sódio evaporar 
vagarosamente. Se V for o volume de cada cubo com comprimento de 
lado x , mostre que a taxa de variação do volume de cada cubo em 
relação ao comprimento da aresta é igual à metade da área da superfície do 
cubo.
3. Biologia – crescimento populacional: Seja n= f ( t ) o número de 
indivíduos em uma população no instante t . A variação no tamanho 
da população entre os instantes t 1 e t 2 é ∆n= f (t 2 )− f (t 1) e 
portanto, a taxa média de crescimento durante o período de tempo 
t 1≤ t ≤ t2 é: ∆n∆ t =
f (t 2 )− f ( t1 )
t 2−t 1
 e a taxa de crescimento 
instantâneo é dndt .
Exemplo: A população P da China, em bilhões, pode ser aproximada pela 
função P=1,15 (1,014 )t onde t é o número de anos desde o 
início de 1993. Segundo este modelo, quão depressa a população estava 
crescendo no início de 1993? E no início de 1995?
Outros exemplos “matemáticos”:
1. Está sendo bombardeado ar para dentro de um balão esférico, e seu 
volumecresce a uma taxa de 100cm3/s . Quão rápido o raio do 
balão está crescendo quando o diâmetro é 50 cm?
R: drdt=
1
25π
cm / s
2. Quando detritos orgânicos são despejados em um lago, o 
conseqüente processo de oxidação reduz a quantidade de oxigênio do 
lago. No entanto, dado tempo suficiente, a natureza irá restaurar a 
quantidade de oxigênio ao seu nível natural. Suponha que a 
quantidade de oxigênio, t dias após os detritos orgânicos serem 
despejados no lago, seja igual a f (t )=100 [ t 2+10t+100t 2+20t+100 ] , com t>0
a) Determine uma expressão genérica para a taxa de variação da 
quantidade de oxigênio no lago em qualquer instante no tempo t .
b) Com que rapidez a quantidade de oxigênio no lago está mudando 1 
dia, 10 dias e 20 dias após os detritos terem sido despejados? 
Interprete os resultados.
R: a) dfdt =100 [ 10 t 2−1000(t 2+20t+100 )2 ] b) -6,76; 0; 0,37.
5.2TAXAS RELACIONADAS
Muitas vezes as quantidades com que trabalhamos variam em função 
de uma quantidade que está variando em função de outra, por exemplo, 
suponha que exista uma mancha circular de óleo num lago. A área 
manchada com o óleo varia em função do raio desse círculo, que varia à 
medida em que o tempo passa. Nesse caso, temos três 
quantidades/grandezas (área, raio e tempo) que estão associadas entre si. A 
variação de uma depende da variação da outra. Quando isso acontece, 
dizemos que as taxas estão relacionadas. Nos problemas de “taxas 
relacionadas” usamos a regra da cadeia para estabelecer a relação entre as 
variações, e em muitos casos, fazer um desenho do problema em questão 
ajuda muito na sua solução. Vejamos alguns problemas:
1. O raio de uma circunferência cresce à razão de 21 cm/s. Qual a taxa de 
crescimento do comprimento da circunferência em relação ao tempo? 
2. Uma usina de britagem produz pó de pedra, que ao ser depositado no 
solo forma uma pilha cônica onde a altura é aproximadamente igual a 4/3 
do raio da base.
A) determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base.
B) Se o raio da base varia a uma taxa de 20cm/s, qual a razão de variação 
do volume quando o raio mede 2m? 
Estratégia para resolver problemas de taxas relacionadas (Anton, 
p.271):
1. Desenhe uma figura e classifique as quantidades que variam.
2. Identifique as taxas de variação que são conhecidas e a taxa de variação 
que precisa ser encontrada.
3. Ache uma equação que relacione a quantidade, cuja taxa de variação é 
para ser encontrada com as quantidades cujas taxas de variação são 
conhecidas.
4. Diferencie ambos os lados desta equação em relação ao tempo e resolva 
para a derivada que dará a taxa de variação desconhecida.
5. Calcule essa derivada em um ponto apropriado. 
6. DIFERENCIAÇÃO IMPLICITA
Até agora trabalhamos com funções que, na sua maioria, estavam 
escritas na forma y= f ( x ) ; nesse caso, dizemos que y é uma função 
explícita de x . Uma equação como x2+ y2=4 nos dá y como uma 
função implícita em x . Seu gráfico é o círculo :
y não é uma função de x no círculo inteiro (por quê?). Porém 
y=√4− x2 (parte superior do círculo) e y=−√4−x2 (parte inferior do 
círculo) são funções.
Mas a equação do círculo inteiro representa uma curva que tem uma 
reta tangente em cada ponto. O coeficiente angular dessa reta tangente 
pode ser encontrado derivando-se a equação do círculo em relação a x : 
d
dx
(x2 )+ d
dx
( y2 )= d
dx
( 4 )
Ao pensarmos em y como uma função de x e ao usarmos a 
regra da cadeia, obtemos: 2 x+2 y . dydx=0 , donde: 
dy
dx
=− x
y . 
A derivada aqui depende tanto de y como de x , isso porque 
para muitos valores de x existem dois valores de y e a curva tem uma 
inclinação diferente em cada um deles.
Analise o coeficiente angular da reta tangente ao 
círculo nos diferentes quadrantes. O que é possível 
perceber? (Faça uma descrição).
Exemplo 1: A equação x2+ 12 y −1=0 define implicitamente a função 
y=2 (1− x2 ) .
Exemplo 2: Se y= f ( x ) é definida por x2 y2+xseny=0 , determinar y '
.
Solução: 
Inicialmente, observe que não conhecemos explicitamente a função 
y= f ( x ) cuja derivada queremos calcular. Então, usando a regra da 
cadeia e derivando implicitamente em relação a x, temos:
(x2 y2 ) '+ ( xseny ) '=(0 ) '
(x2 )' y2+( x2 ) ( y2 )'+ ( x )' seny+ x ( seny ) '=(0 ) '
2 x . y2+( x2 )2 y . y '+1. seny+ xcosy . y '=0
(x2 )2 y . y '+ xcosy . y '=−2 x . y2−1. seny
y ' (2 x2 y+ xcosy )=−2 x . y 2−1. seny
y '=−2 x . y
2−1. seny
2 x2 y+xcosy
y '=−2 x . y
2+1. seny
2 x2 y+ xcosy
que é a derivada da função y que atende à condição x2 y2+xseny=0 .
Vamos tentar por tudo o que vimos até agora em prática? Resolva os 
exercícios seguintes... e se houver dúvidas, consulte a professora, ou o 
monitor da disciplina, ou seus colegas de classe!!
Exercício 1: Determinar a equação da reta tangente à curva 
x2+ 1
2
y −1=0 no ponto (−1 ;0 ) .
Exercício 2: Encontre todos os pontos da curva y3− xy=−6 onde a reta 
tangente é horizontal ou vertical.
Exercício 3: Encontre dydx para a equação x
2+ y2−4 x+7 y=15 . Sob que 
condições em x ou y a reta tangente é horizontal? E vertical? 
Exercício 4: Calcule d
2 y
d x2
 aplicando derivação implícita sobre a relação 
4 x2+9 y 2=36 .
OBS.: Note que a diferenciação implícita será usada quando a função 
explícita não for fácil de ser calculada, ou não for possível de ser obtida. No 
caso do exemplo 1, acima, a derivada da função poderia ter sido calculada 
usando a diferenciação implícita na equação x2+ 12 y −1=0 
ou a diferenciação explícita (como usamos até agora) em y=2 (1− x2 ) . O 
resultado obtido seria o mesmo nos dois casos. Teste!!!!
Exemplos: 
1. Uma escada com 10 pés de comprimento está apoiada em uma parede 
vertical. Se a base da escada desliza, afastando-se da parede a uma taxa 
de 1 pé/s, quão rápido o topo da escada está escorregando para baixo na 
parede quando a base da escada está a 6 pés da parede? 
Solução:
Informações do problema:
dx
dt
=1 pé
s
dy
dt
=?
x=6 pés
 y 10
 x
Relação entre as variáveis envolvidas: x2+ y2=100
Sabemos que y= f ( t ) e x=g (t ) pois ambas estão se movendo em 
função do tempo.
Logo, precisamos derivar implicitamente, em relação a t , a equação 
x2+ y2=100 , para obtermos 
dy
dt .
Assim, 
2x dx
dt
+2y dy
dt
=0⇒ dy
dt
=− x
y
dx
dt
=−6
8
.1=−0,75 pé / s
2. Uma partícula move-se ao longo da curva y=√1+x3 . Quando ela 
atinge o ponto (2,3 ) , a coordenada y está crescendo a uma taxa de 
4cm /s . Quão rápido está variando a coordenada x do ponto 
naquele instante?
Solução:
Dados do problema: dydt =4cm /s ; x=2e y=3 ; 
dx
dt
=??
Derivando implicitamente a função dada, em relação a t,
dy
dt
= 3 x
2
2√1+x3
dx
dt
⇒ dx
dt
=0,5cm /s
Aplicação da diferenciação implícita: Teorema (a regra da potência): Se 
n for um número real qualquer e f ( x )=xn então f ' ( x )=n . xn−1 .
Prova: Seja y=x n . Aplicando o logaritmo natural, temos: lny=ln (xn ) . 
Usando a propriedade da potência para o logaritmo, segue que: 
ln∣y∣=nln (∣x∣) , x ≠0 . Derivando implicitamente em relação a x (com o uso 
da regra de derivação para o ln) : 
(ln∣y∣) '=n (ln∣x∣) '
y '
y
=n . 1
x
= n
x
Isolando y ' vem: y '=n. yx . Como y=x
n , 
y '=n. x
n
x
⟹ y '=n .x n− 1 
7. DIFERENCIAIS
Chamamos de diferencial de uma função às variações na variável 
independente de uma função, devido a variações na variável dependente. 
Essas variações são denotadas por dy , quando se referirem à variáveldependente, ou dx , quando se referirem à variável independente. Se, por 
exemplo, quisermos estimar a variação no volume de uma lata de óleo a 
partir da variação do raio dessa lata, podemos fazer isso usando essa parte 
do cálculo diferencial. É o único jeito de fazer isso? Não, mas talvez seja o 
mais rápido e fácil...
Detalhe: tanto melhores serão as estimativas, quanto menores 
forem as variações em x .
 
Se y= f ( x ) é uma função diferenciável, então a diferencial dx é 
uma variável independente, isto é, a dx pode ser dado um valor real 
qualquer. A diferencial dy é então definida em termos de dx pela 
equação: dy= f ' ( x )dx
Gráfico: 
Exemplos:
1. Compare os valores de ∆ y e dy se y=x3+x 2−2x+1 e x 
variar :
a) De 2 a 2,05
b) De 2 a 2,01
2. O raio de uma esfera tem 21 cm, com um erro de medida possível de 
no máximo 0,05cm. Qual é o erro máximo cometido ao usar este 
valor de raio para computar o volume da esfera?
3. Use as diferenciais para estimar o número:
a) √36,1
b) (1,97 )6
c) 3√1,03
Definição: se o valor verdadeiro de uma quantidade é q, e uma medida ou 
um cálculo produz um erro ∆q , então ∆qq é chamado de erro relativo 
na medida ou cálculo. Quando expresso com uma porcentagem, ∆qq é 
chamado de erro percentual. Na prática, o erro relativo é aproximado por 
dq
q .
Exemplo: o lado de um quadrado é medido com um erro percentual de 
±5 . Estime o erro percentual na área calculada do quadrado. 
Resolução: dxx =±0,05 e A= x
2 .
dA
A
=2xdx
x2
=2dx
x
=2. dx
x
=2. (±0,05 )=± 0,10
Ou seja, o erro percentual da área calculada do quadrado é de ± 10%.
8. FORMAS INDETERMINADAS E REGRA DE L’HÔSPITAL
Quando estudamos limites de funções racionais em que numerador e 
denominador tendiam a zero, ou ao infinito, buscamos alternativas para o 
cálculo desses limites, e usamos a fatoração, ou a divisão de polinômios, ou 
até mesmo uma tabela pra resolver nosso problema. No entanto, nesse 
momento temos condições de fazer os mesmos cálculos de limites sem 
precisarmos das manobras usadas anteriormente. Isso é feito usando a 
regra de L´Hôspital.
 
Suponha que f e g são funções diferenciáveis e g ' ( x )≠0 
próximo a a , exceto possivelmente no próprio a . Suponha que:
lim
x→a
f ( x )=0 e lim
x→a
g ( x )=0
 ou que
lim
x→a
f ( x )=±∞ e lim
x→a
g ( x )=± ∞
Então,
f ( x )
g ( x )
=lim
x→a
f ' ( x )
g ' ( x )
lim
x→a
❑
se o limite do lado direito existir.
Em síntese, quando um limite é da forma indeterminada, podemos 
calcular o limite usando as derivadas das funções que geraram a 
indeterminação no limite. Faça isso nos exemplos seguintes. Calcule-
os também pelos métodos que você usou quando estou limites 
(capítulo 4) e compare os resultados. 
Exemplos: Calcular: 
a) x
2−25
x −5
=¿ lim
x→5
❑
b) lnxx−1=¿ limx→1
❑
c) e
x
x2
=¿ lim
x→∞
❑
9. MÁXIMOS E MÍNIMOS
Outra aplicação das derivadas é a obtenção de máximos e mínimos de 
funções. Essa ideia pode ser usada para encontrar as dimensões ideais de 
uma embalagem, por exemplo, mas também é usada para o esboço de 
gráficos de funções polinomiais de grau maior que 2. Vamos aprender a 
fazer isso, mas antes, precisamos de alguns conceitos...
 
Definição 1: 
• Uma função f tem um máximo relativo em c , se existir um 
intervalo aberto I , contendo c , tal que f ( c )≥ f ( x ) , para todo 
x∈ I ∩D ( f ) .
• Uma função f tem um mínimo relativo em c , se existir um 
intervalo aberto I , contendo c , tal que f ( c )≤ f ( x ) , para todo 
x∈ I ∩D ( f ) .
Proposição 1: Suponha que f ( x ) existe para todos os valores de 
x∈ (a ,b ) e que f tem um extremo relativo em c , onde a<c<b . 
Se f ´ (c ) existe então f ´ (c )=0 .
(a demonstração dessa proposição pode ser encontrada no livro Cálculo A, 
de Diva Flemming.)
Observações: 
1)a condição f ´ (c )=0 é necessária, mas não suficiente, ou seja, se 
f ´ (c )=0 , a função f pode ter ou não um extremo relativo em c . 
Veja a função f ( x )=x3 . Tem-se f ´ (0 )=0 , porém não se tem um 
extremo relativo em 0.
2) o ponto c∈ D ( f ) tal que f ´ (c )=0 ou f ´ (c ) não existe é chamado 
ponto crítico de f .
3) uma função definida num intervalo pode admitir diversos pontos 
extremos relativos. O maior valor (ou menor valor) de função num intervalo 
é chamado máximo absoluto (ou mínimo absoluto) da função nesse 
intervalo. Isto é, se f ( x )≤ f ( c ) para todo x∈ D ( f ) , então f ( c ) é 
chamado de valor máximo absoluto e c é chamado de maximizante. 
Analogamente, se f ( x )≥ f ( c ) para todo x∈ D ( f ) , então f ( c ) é 
chamado de valor mínimo absoluto e c é chamado de minimante.
Para determinar o extremo absoluto num intervalo fechado 
[a ,b ] , procede-se assim:
1. Determinar os pontos críticos de f que estão em 
(a ,b ) ;
2. Calcular o valor de f em cada ponto crítico 
encontrado e f (a ) e f (b ) ; 
3. O valor máximo e mínimo absoluto de f 
corresponderão ao maior e menor números, 
respectivamente, encontrados no passo 2.
Exemplo: Determine o extremo absoluto da função f ( x )=x2 definida no 
intervalo [−1,2 ] .
Proposição 2: Seja f : [a ,b ]→R uma função contínua, definida em um 
intervalo fechado [a ,b ] . Então f assume máximo e mínimo relativo em 
[a ,b ] .
Teorema de Rolle: Seja f uma função definida e contínua em [a ,b ] e 
derivável em (a ,b ) . Se f (a )= f (b )=0 , então existe pelo menos um 
ponto c entre a e b tal que f ´ (c )=0 .
Teorema do Valor Médio: Seja f uma função contínua em [a ,b ] e 
derivável em (a ,b ) . Então existe um número c tal que 
f ´ (c )= f (b )− f (a )
b−a
.
Exemplo: Determine o extremo relativo da função f ( x )=x2+6x−3
Proposição 3: Seja f uma função contínua em [a ,b ] e derivável em 
(a ,b ) .
a) Se f ´ ( x )>0 ∀ x∈ (a ,b ) então f é crescente em [a ,b ] .
b) Se f ´ ( x )<0 ∀ x∈ (a ,b ) então f é decrescente em [a ,b ] .
Exemplo: Determinar os intervalos em que as funções seguintes são 
crescentes ou decrescentes, bem como os pontos de máximo e mínimo 
relativos, se existirem.
a) f ( x )=x3−1
b) f ( x )=x4−2 x3+2 x2
CRITÉRIOS (TEOREMAS) PARA DETERMINAR OS EXTREMOS DE UMA 
FUNÇÃO
1. CRITÉRIO DA DERIVADA PRIMEIRA: Seja f uma função 
contínua em [a ,b ] que possui derivada em todo ponto do intervalo 
(a ,b ) , exceto possivelmente num ponto c .
i) Se f ´ ( x )>0 para todo x<c e f ´ ( x )<0 para todo x>c , 
então f possui um máximo relativo em c ;
ii) Se f ´ ( x )<0 para todo x<c e f ´ ( x )>0 para todo x>c , 
então f possui um mínimo relativo em c ;
2. CRITÉRIO DA DERIVADA SEGUNDA: Sejam f uma função 
derivável num intervalo (a ,b ) e c um ponto crítico de f neste 
intervalo, isto é, f ´ (c )=0 , com a<c<b . Se f admite derivada 
f ´ ´ em (a ,b ) , temos:
i) Se f ´ ´ (c )<0 , f tem um valor máximo relativo em c ;
ii) Se f ´ ´ (c )>0 , f tem um valor mínimo relativo em c .
Exemplos: Usando os critérios acima, determine os extremos das seguintes 
funções:
a) f ( x )=x3−12x+6
b) g ( x )=18x+3 x2−4 x3
Concavidade e Pontos de Inflexão:
Definição 2: 
• Uma função é dita côncava para cima no intervalo (a ,b ) se 
f ´ ( x ) é crescente neste intervalo. 
• Uma função é dita côncava para baixo no intervalo (a ,b ) se 
f ´ ( x ) é decrescente neste intervalo. 
Proposição 4: Seja f uma função contínua no intervalo [a ,b ] e 
derivável até 2ª ordem no intervalo (a ,b ) :
i) Se f ´ ´ ( x )>0 para todo x∈ (a ,b ) então f é côncava 
para cima em (a ,b ) ;
ii) Se f ´ ´ ( x )<0 para todo x∈ (a ,b ) entãof é côncava 
para baixo em (a ,b ) ;
Definição 3: Um ponto P (c , f (c ) ) do gráfico de uma função contínua 
f é chamado um ponto de inflexão, se existe um intervalo (a ,b ) 
contendo c , tal que uma das seguintes situações ocorra:
i) f é côncava para cima em (a , c ) e côncava para baixo em 
(c ,b ) ;
ii) f é côncava para baixo em (a ,c ) e côncava para cima em 
(c ,b ) ;
Exemplo: Determinar os pontos de inflexão e reconhecer os intervalos onde 
as funções seguintes tem concavidade voltada para cima ou para baixo.
a) f ( x )=( x −1 )3
b) g ( x )= x4−6 x2
Procedimento para o Esboço de um gráfico:
1. Encontrar D ( f ) .
2. Calcular os pontos de intersecção com os eixos (quando isso não 
requer muito cálculo).
3. Encontrar os pontos críticos (isto é, resolver a equação f ´ ( x )=0 ).
4. Determinar os intervalos de crescimento e decrescimento de f ( x ) .
5. Encontrar os máximos e mínimos relativos.
6. Determinar a concavidade e os pontos de inflexão.
7. Encontrar as assíntotas verticais e horizontais, se existirem.
8. Esboçar o gráfico. 
Exemplo: Esboçar o gráfico das seguintes funções:
a) f ( x )=2x−x2
b) g ( x )=13 x
3+3 x2−7x+9
c) h ( x )=14 x
4− 5
3
x3+4 x2−4x+8
d) m ( x )=x 4−32x+8
10.PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO:
A teoria mostrada até aqui nos permite resolver alguns problemas de 
otimização. O seguinte roteiro é útil para a solução destes.
Roteiro para resolver problemas de otimização:
1. Atribua uma letra a cada variável mencionada no problema. Se 
apropriado, desenhe e nomeie uma figura.
2. Encontre uma expressão para a variável a ser otimizada.
3. Use as condições dadas no problema para escrever a quantidade a 
ser otimizada como uma função de uma variável. Observe quaisquer 
restrições a serem colocadas no domínio de f devido a considerações 
físicas do problema.
4. Otimize a função f em seu domínio determinando os pontos críticos.
5. Determine a solução do problema.
Exemplos
1. Um homem deseja ter um jardim de forma retangular no seu quintal. 
Ele tem 50m de material para cercar seu jardim. Encontre as 
dimensões do maior jardim que ele pode ter se usar todo o material.
2. Cortando quadrados idênticos de cada canto de um pedaço 
retangular de papelão e dobrando as abas resultantes, o papelão 
pode ser transformado numa caixa aberta. Se o papelão tem 16 cm 
de comprimento e 10 cm de largura, encontre as dimensões da caixa 
com volume máximo.
3. Achar dois números positivos cuja soma seja 70 e cujo produto seja o 
maior possível.
4. Um fio de comprimento l é cortado em dois pedaços. Com um 
deles se fará um círculo e com o outro um quadrado. Como devemos 
cortar o fio a fim de que a soma das suas áreas compreendidas pelas 
figuras seja mínima?
5. Uma companhia exige que os recipientes de seus embutidos tenham 
uma capacidade de 54cm3 . Tenham forma de cilindros circulares 
retos e sejam feitos de estanho. Determine o raio e a altura do 
recipiente que requer a menor quantidade de material.
6. Um homem deseja ter uma horta cercada em seu quintal. Se a horta 
ocupar uma área retangular de 300m2 , encontre as dimensões da 
mesma que minimizem a quantidade necessária de material para a 
cerca.
7. Um silo de grãos tem a forma de um cilindro circular reto coberto por 
um hemisfério (semi-esfera). Se o silo deve ter a capacidade de 
504π m3 , encontre o raio e a altura do silo que requer a 
quantidade mínima de material para a sua construção.(Sugestão: O 
volume do silo é π r2h+ 23 π r
3 , e sua área superficial é π (3r 2+2rh ) .
LISTA DE EXERCÍCIOS
1. Encontre a equação da reta tangente à curva y=2 x2+3 no ponto cuja abscissa é 2.
2. Encontre a equação da reta normal à curva y=x 2 no ponto P ( 2,4 ) .
3. Encontre a equação da reta tangente à curva y=x3−1 , que seja perpendicular à reta 
y=− x .
4. Encontre a equação da reta tangente à curva y=1−x2 , que seja paralela à reta 
y=1−x
5. Usando a definição calcule a derivada das seguintes funções:
a) f ( x )=2 x3−3 x2+2
b) f ( x )=2x
c) f ( x )=cosx
d) f ( x )=3−2x
e) y=1− xx+3
6. Dadas as funções f ( x )=5−2x e g ( x )=3 x2−1 , determinar:
a) f ' (1 )+g ' (1 )
b) [ g ' (0 ) ]2+ 12 g
' (0 )+ g (0 )
c) f ( 52 )−
f ' ( 52 )
g ' ( 52 )
7. Dada a função f ( x )=2 x 2−3x−2 , determine os intervalos em que:
a) f ' ( x )>0 b) f ' ( x )<0
8. Dadas as funções f ( x )=x2+Ax e g ( x )=Bx , determinar A e B de tal 
forma que { f ' ( x )+g ' ( x )=1+2xf ( x )− g ( x )=x2 .
9. Se f ( x )=x3−6 x2−15x+20 , encontre, analiticamente, todos os valores de x 
para os quais f ' ( x )=0 . Mostre suas respostas em um gráfico de f (Você pode usar o 
geogebra para fazer isso!)
10. Se f ( x )=13−8x+√2 x2 e f ' ( r )=4 , encontre r.
11. Usando as regras de derivação, calcule a derivada primeira das seguintes 
funções:
a) f ( x )=x5 b) f ( x )=3 x−2 c) 
f ( x )=5√ (3 x−1 )4
d) f (t )=12 (t
2+5 ) (t 6+4t ) e) g (m )=14− 12 m
−3 f) 
f ( t )=2t+1−lnt
g) y=( x2+5x+2 )7 h) y=3√6 x2+7x+2 i) 
y=32 x
2+3x−1
j) y=e x. lnx k) f ( x )=ln( exx+1 ) l) y=sen ( x2 )
m) y= cosx1+cotgx n) 
f ( x )=(2x−5 )4+ 1
x+1
−√x
o) f (t )= e
− t2+1
t
p) f (t )=e2x .cosx q)
f ( x )=(x2−√x )3x
r) y=4 x7 s) f ( s )=π3
12. Dada f ( x )=1+cosx , mostre que f ( x ) é par e f ' ( x ) é ímpar.
13. A altura de uma duna de areia (em centímetros) é representada por f (t )=700−3 t2 , 
onde t é medido em anos a partir de 1995. Encontre f (5 ) e f ' (5 ) . Usando 
unidades, explique o que cada um desses valores significa em termos da duna.
14. Mostre que y=x3+3x+1 satisfaz a equação y ' ' '+ x y ' '−2 y '=0 .
15. Mostre que se x ≠0 , então y=1x satisfaz a equação 
x3 y' '+ x2 y '−xy=0
16. Use a diferenciação implícita para achar dydx para o Fólio de Descartes 
x3+ y3=3xy
17. Ache uma equação para a reta tangente ao Fólio de Descartes no ponto 
( 32 , 32 )
18. Em quais pontos do Fólio de Descartes a reta tangente é horizontal?
19. A lei da gravidade afirma que a intensidade F da força exercida por um ponto 
com massa M sobre um ponto com massa m é F=
GmM
r2
 onde G é uma constante, e r 
é a distância entre os pontos. Supondo os pontos em movimento, ache uma fórmula para a 
taxa de variação instantânea de F em relação a r.
20. Suponha que o sol nascente passe diretamente sobre um prédio que tem uma 
altura de 30 metros e seja θ (em radianos) o ângulo de elevação do sol. Ache a taxa 
segundo a qual o comprimento x da sombra do prédio está variando em relação a θ 
quando θ = 45º. 
21. Uma escada de 3 m está apoiada em uma parede. A parte mais alta da escada 
está a x metros do solo. Se a base da escada for empurrada em direção à parede, ache a taxa 
segundo a qual x varia em relação a θ quando θ=¿ 60º .
22. Ache o valor da constante A de tal forma que y=3Asen3t satisfaça a 
equação d
2 y
d t 2
+2y=4sen3t .
23. A força F (quilogramas) agindo a um ângulo θ com ahorizontal necessária 
para arrastar, ao longo de uma superfície horizontal e a uma velocidade constante, um 
caixote que pesa W quilos ‘e dada por F= μWcosθ+ μsenθ onde μ é uma constante 
chamada de coeficiente de atrito de escorregamento entre o caixote e a superfície. Suponha 
o caixote com 70 kg e μ = 0,3.
A) Ache dFdθ quando θ = 30º . Expresse sua resposta em kg/grau.
B) Ache dFdt quando θ = 30º , se θ está diminuindo a uma taxa de 0,5º /s nesse 
instante.
24. A quantidade de água em um tanque t minutos após ele começar a ser esvaziado 
é dado por w=100 (t −15 )2 gal.
a) Com que taxa a água está fluindo no final de 5 minutos?
b) Qual é a taxa média segundo a qual a água flui durante os cincoprimeiros minutos? 
25. Um copo de limonada a uma temperatura de 40º F está 3em uma sala cuja 
temperatura constante é de 70º F. Usando um princípio da Física, chamada Lei do 
Resfriamento de Newton, pode-se mostrar que se a temperatura da limonada atingir 52º F 
em 1 hora, então a temperatura T da limonada como uma função no tempo decorrido é 
modelada aproximadamente pela equação T=70−30e−0,5 t onde T está em º F e t em 
horas. A experiência diária mostra que a temperatura da limonada aproxima-se 
gradualmente da temperatura da sala.
a) Descreva, em palavras, o que acontece com a taxa de elevação da temperatura em 
relação ao tempo?
b) Use uma derivada para confirmar sua conclusão.
26. Suponha que um líquido deva ser purificado por decantação, através de um 
filtro cônico que mede 16 cm de altura e tem um raio de 4 cm no topo. Suponha também 
que o líquido flui do cone a uma taxa constante de 2 cm3/min .
a) Ache uma fórmula que expresse a taxa de variação da profundidade do liquido em 
termos da profundidade;
b) Com que taxa está variando a profundidade do líquido no instante em que o nível está a 
8 cm de profundidade?
27. Pela ruptura de um tanque, uma mancha de óleo espalha-se em forma de um 
círculo cuja área cresce a uma taxa constante de 6mi2/h . Com que rapidez estará 
variando o raio da mancha crescente quando a área for de 9mi2 ?
28. Um tanque cônico com água com o vértice para baixo tem um raio de 10m no 
topo e uma altura de 24m. Se a água fluir dentro do tanque a uma taxa de 20m3/min , 
com que velocidade a profundidade da água estará crescendo quando ela tiver 16 m de 
profundidade?
29. Use a fórmula V=l3 para o volume de um cubo de lado l para 
encontrar:
a) A taxa média segundo a qual o volume do cubo varia com l quando l cresce de 
2 para 4.
b) A taxa de variação instantânea segundo a qual o volume de um cubo varia com l 
quando l =5.
30. Suponha que a eficácia E de um remédio para dor t horas 
depois de entrar na corrente sanguínea é dada por: E= 127 (9t + 3t² - 
t³), 0 ≤ t ≤ 4,5. Encontre a taxa de variação de E em relação a t 
quando:
a) t=1 b)t=2 c) t=3 d) t=4
31. Em uma determinada reação química, a quantidade Q em 
gramas, de uma substância produzida em t horas é dada pela equação: 
Q= 16t – 4t², 0 < t ≤ 2. Encontre a taxa, em g/h, de produção da 
substância para os seguintes valores de t:
a) t= 12 b) t=1 c) t=2
32. Um astronauta na Lua joga uma pedra no ar. A altura da pedra 
é dada por: S= −8,210 t² + 8,2t +1,8 onde S é medido 
em metros e t em segundos. Encontre a aceleração da pedra e compare-
a com a aceleração da gravidade na Terra.
33. Uma pedra é jogada em um lago de águas calmas, gerando 
ondas em forma de círculos concêntricos. O raio r da onda exterior 
aumenta a uma taxa constante de 0,3 m/s. A que taxa a área da água 
perturbada está aumentando quando o raio externo é de 1m.?
34. Bombeia-se ar em um balão esférico a uma taxa de 75 
cm³/min. Encontre a taxa de variação do raio quando seu valor é de 5 
cm.
35. Cascalho está sendo empilhado em uma pilha cônica a uma 
taxa de 3m³/min. Encontre a taxa de variação da altura da pilha quando 
a altura é de 3m. (Suponha que o tamanho do cascalho é tal que o raio 
do cone é igual a sua altura).
36. A resistência R correspondente a 2 resistências R1 e R2 
conectadas em paralelo é dada por 1R=
1
R1
+ 1
R2
 onde R, R1 e R2
são medidas em ohms. R1 e R2 estão crescendo a uma taxa de 1 e 
1,5 ohms por segundo, respectivamente. Qual a taxa de variação de R 
quando R1 =50 ohms e R2 =75 ohms?
37. Quando um gás poliatômico sofre expansão adiabática, sua 
pressão p e seu volume v satisfazem p. v1,3=k onde k é 
constante. Encontre a relação entre as taxas dpdt e 
dv
dt .
38. Quando uma gota esférica de chuva cai, ela atinge uma 
camada de ar seco e começa a evaporar a uma taxa proporcional à sua 
área de superfície ( S=4π r 2 ). Mostre que o raio diminui a uma taxa 
constante.
39. A trajetória de um projétil lançado a um ângulo de 45º com o 
chão é descrita por y=x − 9,8
v o2
(x2 ) onde a velocidade inicial V está em 
m/s. Mostre que dobrando-se a velocidade inicial do projétil multiplica-se 
tanto a altura máxima quanto a distância horizontal total por 4. 
40. Usando diferenciais, estime o valor de
a) √80,9 b) sen0 ,1 c) (1,97 )3
41. O lado de um cubo mede 25 cm, com erro possível de ±1 
cm. Use diferenciais para estimar erro no volume calculado.
42. Usando a regra de L’Hospital, calcule os seguintes limites:
a) lim
x→ 2 ( x
2−4
x−2 ) b) limx→ 0 sen2xx c) limx→ π2
1−senx
cosx
43. Para cada uma das funções seguintes, determine, quando 
possível:
i) os intervalos onde a função é crescente e onde é decrescente;
ii) os pontos de máximo e mínimo relativos;
iii) as coordenadas do (s) ponto(s) de inflexão
iv) o esboço do gráfico.
a) y=3 x2+2 x+1 b) y=x3−3 x2+3 x −7 c) 
y=x3−3x
d) y=18 x+3 x2− x3 e) y=x 4− x2 f) 
y= x
4
4
− 5x
3
3
+4 x2−4x+8
44. Quando você tosse, sua traqueia se contrai. A velocidade v com 
que o ar sai depende do raio r de sua traqueia. Se R é o raio 
normal (em repouso) de sua traqueia, então, para r ≤ R , a velocidade é 
dada por v=a (R−r ) r2 onde a é uma constante positiva. Qual o valor 
de r que maximiza a velocidade?
45. Uma reação química converte uma substância A em uma 
substância Y; a presença de Y catalisa a reação. No início da reação, a 
quantidade de A presente é de a gramas. Em um instante t 
segundos depois, a quantidade de Y presente é de y gramas. A taxa 
da reação, em gramas por segundo, é dada por Taxa=ky (a− y ) , k 
constante positiva.
a) Para que valores de y a taxa é não negativa?
b) Para que valores de y a taxa é máxima?
46. O momento de torção de uma viga, apoiada em uma 
extremidade, a uma distância x do suporte é dado por 
M=1
2
ωLx− 1
2
ωx2 , onde L é o comprimento da viga e ω é a 
carga uniforme por unidade de comprimento. Encontre o ponto da viga 
onde o momento é o maior possível.
47. Quais são as dimensões de uma lata de alumínio que pode 
conter 40❑3 ( =polegadas; 1 ❑3≅16,4 cm3→40❑3≅ 656 cm3 ) de 
suco e que usa a quantidade mínima de material (isto é, de alumínio)? 
Suponha que a lata é cilíndrica e fechada nas duas extremidades.
48.Uma caixa fechada tem uma área de superfície fixa A e uma base 
quadrada de lado x.
a) Encontre uma fórmula para o volume V da caixa em função de x
b) Esboce um gráfico de V em função de x
c) Encontre o valor máximo de V.
49. Uma viga retangular é retirada de um tronco cilíndrico de raio 
30 cm. A resistência de uma viga de largura w e altura h é proporcional 
a w h2 . Encontre a largura e a altura da viga de resistência máxima.
50.Uma população P em um ambiente restrito pode crescer, em função do 
tempo t, de acordo com a função logística P= L
1+C.e−kt
 onde L é 
chamada de capacidade de sustentação e L ,C e k são constantes 
positivas.
a) Encontre lim
t→∞
P . Explique por que L é chamada de capacidade de 
sustentação.
b) Mostre que o gráfico de P tem um ponto de inflexão em P= L2 .
51. Um trabalhador rural em Uganda está plantando cravo para 
aumentar o número de abelhas que fazem suas colmeias na região. 
Existem 100 abelhas que moram naturalmente na região e, para cada 
acre plantado com cravo, 20 abelhas novas são encontradas na região.
a) Desenhe um gráfico para o número total de abelhas N(x) em função 
do número de acres x plantados de cravo.
b) Explique, tanto geometricamente quanto analiticamente a forma do 
gráfico:
i. Da taxa de aumento marginal do número de abelhas em 
relação ao número de acres de cravo, N’(x);ii. Do número médio de abelhas por acre de cravo, N ( x )
x
52. Usando as regras de derivação, calcule a derivada primeira das 
seguintes funções:
1) f ( x )=2 2) f ( x )=3 x3 3) 
f ( x )=−1
2
+5 x− 4 
4) f ( x )=√ (3x−2 )5 5) g ( x )=sen3x 6) 
h ( x )=x
2
3− 5
4 √4x−7+cos5x
7) j ( x )= x
3
a
+ a
b
x2−cx 8) f (t )= t
2+t 3−1
t 4
 9) y= x
2+1
x
10) f (θ )=θ −1
√θ
 11) g ( z )= z
7+5 z6−z 3
z2
 12) 
h (w )=−2w−3+3√w
13) g (t )= t
3+k
t
 14) g ( x )=12 (x
5+2x−9 ) 15) y= 1
3 x2+4
16) y= 1
3 z2
+ 1
4 17) g ( x )= x
π+ x−π 18) 
y=( x+3 )1 /2
19) y=3x 20) f (t )=et+ 2 21) 
y=5. 5t+6.6t
22) y=3x−2.4x 23) g ( x )=2x−
1
3√ x
+3x−e
24) a (t )=ln( 1−cost1+cost )
4
 25) f ( x )= x1+ lnx 26) 
y=ln (t 2+1 )
27) h ( z )=zln2
53. Se f ( x )=13−8x+√2 x2 e f ' ( r )=4 , encontre r .
54. Encontre a oitava derivada de f ( x )=x7+5 x5−4 x3+6x−7 . O que será 
f (n ) ( x ) ?
55. Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de f em (1,1), onde 
f é dada por f ( x )=2 x3−2 x2+1 .
56. a) Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de f ( x )=x3 no 
ponto onde x=2.
b) Faça o gráfico da reta tangente e da função no mesmo conjunto de eixos. 
Se a reta tangente for usada para se estimar valores da função, essa 
estimativa será maior ou menor do que o valor real?
57. Mostre que, para qualquer função potência f ( x )=xn , temos 
f ' (1 )=n .
58. Existe um valor de n que torne y=x n uma solução da equação 
13x dy
dx
= y ? Em caso afirmativo, qual é esse valor?
59. Com uma taxa anual de inflação de 5%, os preços são descritos por 
P=P0 (1,05 )
t , onde P0 é o preço em reais quando t=0 e t é o 
tempo em anos. Suponha que P0=1 . Quão depressa estão crescendo os 
preços (em centavos/ano) quando t=10 ?
60. A população do mundo, em bilhões de pessoas, pode se modelada pela 
função f ( t )=5,3 (1,018 )t , onde t é a quantidade de anos após 
1990. Encontre f ( 0 ) e f ' ( 0 ) . Encontre f (30 ) e f ' (30 ) . Usando 
unidades, explique o que cada uma dessas respostas lhe diz sobre a 
população mundial?
61. a) Encontre a inclinação do gráfico de f ( x )=1−e x no ponto onde ele 
cruza o eixo x.
b) Encontre a equação da reta tangente ao gráfico nesse ponto.
c) Encontre a equação da reta perpendicular à reta tangente nesse ponto 
(Essa reta é conhecida como a reta normal).
62. Encontre a equação da reta tangente ao gráfico da função 
f ( x )=( x −1 )3 no ponto em que x=2 .
63. x= 3√2t+5 é uma solução da equação 3 x2
dx
dt
=2 ? Por quê?
64. A profundidade y da água, em pés, em Boston, é dada, em função do 
número de horas t após a meia-noite, por y=5+4,9cos(π6 t) .
a) Encontre dydt . Qual o significado de 
dy
dt em termos de nível de água?
b) Para 0≤ t ≤ 24 , quando dydt é zero? Explique o que significa 
dy
dt 
ser nulo (em termos do nível de água).
RESPOSTAS DA LISTA DE EXERCÍCIOS:
1. y = 8x - 5
2. y=−x+184
3. y=x+ 2√3
9
−1 e y=x − 2√3
9
−1
4. y=− x+ 54
5. A) f ' ( x )=6 x2−6x
b) f ' ( x )=2x ln2
c) f ´ ( x )=−senx
d) f ' ( x )=−2
e) f ' ( x )=
4
( x+3 )2
6. A) 4
b) -1
c) 2/15
7. A) x > ¾ b) x < ¾ 
8. A=B=12
9. -1 e 5
10. r=3√2
11.A) f '=5 x4 b) f '=−6 x−3 c) f
'= 12
5 5√3x−1
d) f '=4 t7+15 t5+6 t 2+10 e) g ' (m )=32
m
−4
f) f ' (t )=2t+1 ln 2− 1t g) 
y '=7 (x 2+5 x+2 )6 (2 x+5 )
h) y
'= 12x+7
3
3√(6 x2+7x+2 )2 i) 
y '=32 x
2+3x− 1. ln3. (4x+3 ) j) y '=e xlnx (lnx+1 ) k) f
' ( x )= x
x+1
l) y '=2x.cos x2 m) y '=−sen
3 x −cosx . sen2 x+1− sen2 x
1+2cosxsenx
n) f
' ( x )=8 (2 x−5 )3− 1
( x+1 )2
− 1
2√ x o) f
' (t )=−e
− t2 (2 t 2+1 )−1
t 2
p) y=e2 x ( 2cosx+senx ) q) 
f ' ( x )=3x(2 x − 12√ x )+3x ln 3 (x2−√x )
r) y '=28x6 s) f ' ( s )=0
13. f(5) = 625 – altura da duna depois de 5 anos
 F’(5)= -30 (decréscimo da altura da duna no 5º ano)
16. dy
dx
= y −x
2
y2− x
17. x + y = 3
18. (0,0) , (2
1
3 . 2
2
3 )
19. −2GmM
r 3
20. −60 metros/radianos = -1,05m/grau
21. 0,026 metro/grau
22. −4/21
23. a 0,085 kg/grau b) -0,0425kg/s
24. a 2000 gal/min b) 2500 gal/min
25. A) a taxa de variação da temperatura em relação ao tempo é a inclinação da reta 
tangente ao gráfico de T versus t. Quando t cresce, essas inclinações decrescem; logo, a 
temperatura eleva-se a uma taxa sempre descrescente.
b)
dT
dt
=15e−0,5 t
26. a) ∣dhdt ∣= 32π h2 b) -0,16cm/min
27. 1
√π
mi/h
28. 920π m/min
29. a 28 b) 75
43. a) 4 b) 2 c) 0
45. r=23 R
46. x= L2
47. r ≅ 1,85pole h ≅ 3,7 pol
48. aV= Ax
4
− x
3
2
c) ( A6 )
3
2
49. w=34,64 cm h = 48,99cm
50. a) lim
t→∞
P=L
51. b) N’(x)=20 c) N ( x )
x
=100
x
+20
 52. 1f ❑' ( x )=0 2) f
' ( x )=9 x2 3) f ' ( x )=
−20
x5
 4) f ' ( x )=152 √(3x−2 )
3 5) g ' ( x )=3cos3x
6) h' ( x )= 2
3 3√ x
− 5
2√4x−7
−5sen5x 7) j ' ( x )=3x
2
a
+ 2ax
b
−c
8) f ' (t )=−2
t 3
− 1
t 2
+ 4
t 5
9) y '= x
2−1
x2
10) 
f ' (θ )= 1
2√θ
− 1
2√θ3
11) g ' ( z )=5 z 4+20 z3−1 12) h
' (w )= 6
w4
+ 3
2√w 13) 
g ' (t )=2t− k
t 2
14) g ' ( x )=12 (5 x
4+2 ) 15) y
'= −6x
(3 x2+4 )2
16) y '=−2
3 z3
17) g ' ( x )=π xπ −1−π x−π− 1 18) y '=
1
2√ x+3
19) 
y '=3x ln3
20) f ' ( t )=e t+2 21) y '=5t+1 ln5+6t+1ln6 22) 
y '=3−2. 4x ln4
23) g ' ( x )=2+
1
3 3√ x4
+3x ln3 24) a ' (t )=8cossect 25) 
f ' ( x )= lnx
(1+ lnx )2
26) y '= 2t
t 2+1
27) h' ( z )=ln2. z
ln ( 2e )
53. r=3√2
54. f (8 )=0 e f (n )=0
55. y=2x−1
56. a) y=12x−16 b) menor
57. n= 113
58. p ' (10 )=P0 (1,05 )
10 ln (1,05 )
59. f ( 0 )=5,3 bilhões de pessoas e f ' ( 0 )=5,3. ln ⁡ (1,018 ) bilhões de 
pessoas/ano
f (30 )=5,3 (1,018 )30 bilhões de pessoas f ' (30 )=5,3 (1,018 )30 .ln (1,018 ) bilhões 
de pessoas/ano
60. a) m=−1 b) y=− x c) y=x
61. y=3x−5
62. Não.(façam o cálculo pra descobrir)
63. a) dydt =
−4,9π
6
sen( πt6 ) representa a velocidade em que a 
profundidade da água está aumentando ou diminuindo.
b) t=0 ou t=6 .