LUGAR GEOMÉTRICO DAS RAÍZES

Prévia do material em texto

LUGAR GEOMÉTRICO DAS RAÍZES
LUGAR GEOMÉTRICO DAS RAÍZES (LGR)
¢ Fornece soluções para sistemas de qualquer
ordem;
¢ Analisando as raízes da EC da FTMF, verifica-se o
desempenho do sistema;
¢ Pólos da FTMF 𝑇(𝑠) são funções de 𝐾, ou seja, as
alterações no valor de 𝐾 afetarão a localização dos
pólos dessa função;
¢ Portanto, se o parâmetro 𝐾 variar de “0” a “+∞”, as
raízes da EC se estendem no plano complexo
sobre uma região denominada lugar das raízes .
K G(s)+
H(s)
-
R(s) C(s)
PASSOS PARA ESBOÇAR O LGR
¢ Passo 1: Obter os pólos da FTMA;
¢ Passo 2: Marcar no eixo real os pólos e os zeros,
indicando os segmentos do LGR, que são definidos
pelas seguintes regras:
— O LGR começa nos pólos da FTMA e termina em seus
zeros, ou no infinito;
— O LGR se situa à esquerda de um número ímpar de
pólos e zeros.
¢ Passo 3: Números de ramos do LGR = número de
pólos (LS = np), para np ≥ nz;
PASSOS PARA ESBOÇAR O LGR
¢ Passo 4: Obter retas assíntotas:
— Ponto de intersecção das assíntotas:
— Ângulo das assíntotas:
,
¢ Passo 5: Critério de Routh-Hurwitz para determinar
o ponto onde o LGR cruza o eixo imaginário, se
existir.
PASSOS PARA ESBOÇAR O LGR
¢ Passo 6: Determinar o ponto de saída (ou ruptura)
do eixo real:
¢ Passo 7: Determinar o ângulo de partida do LGR a
partir dos pólos complexos, caso existam,
utilizando o critério do ângulo de fase:
— q = número que pertence ao conjunto dos números
inteiros (q ϵ Z).
EXEMPLO 1
DEFINIR O LGR, CONSIDERANDO A EC:
— Pólos: p1 = 0; p2 = -2
— LS = 2
— Ponto de cruzamento e os ângulos das retas
assíntotas:
EXEMPLO 1
— Critério de Routh-Hurwitz:
— Região de estabilidade se 𝐾>0.
EXEMPLO 1
¢ 𝐾 = 𝑎
¢ 𝑎	 = 	−𝑠(𝑠 + 2)
¢
,-,. = 0 −2𝑠 − 2 = 0𝑠0 = −1
¢ Raíz de da/ds: -1
¢ Ponto de saída do eixo real: -1
EXEMPLO 1
EXEMPLO 1
EXEMPLO 2
DEFINIR O LGR, CONSIDERANDO A EC:
— Pólos: p1 = 0; p2 = -1; p3 = -2; p4 = -4
— Zeros: z1 = -3
— LS = 4
— Ponto de cruzamento e os ângulos das retas
assíntotas:
EXEMPLO 2
— Critério de Routh-Hurwitz:
— Região de estabilidade se 𝐾>90.
EXEMPLO 2
¢ 𝐾 = 𝑎
¢
,-,. = 0
𝑠0 = −0,5
¢ Raíz de da/ds:
— 2.7096 -3.5668 -1.6373 -0.5056
¢ Ponto de saída do eixo real: -0.5056
EXEMPLO 2
EXEMPLO 2
EXERCÍCIOS
DEFINIR O LGR, CONSIDERANDO A EC:
¢ 1 + 𝐾𝐺 𝑠 𝐻 𝑠 = 1 + 6.(.78)(.79)
¢ num=[1]
¢ den=poly([0 -1 -2])
¢ funcao = tf(num, den)
¢ rlocus(funcao)
EXEMPLO 3
DEFINIR O LGR, CONSIDERANDO A EC:
— Pólos: , ,
— Zero:
— LS = 3
— Ponto de cruzamento e os ângulos das retas
assíntotas:
EXEMPLO
— Critério de Routh-Hurwitz:
— Região de estabilidade se 𝐾>0.
EXEMPLO
— Raízes de da/ds:
¢ 6.0546
¢ -0.0273 + 0.5741j
¢ -0.0273 - 0.5741j
— Ponto de saída do eixo real: -0.0273
EXEMPLO
¢ Admitindo-se um ponto sobre o LGR próximo ao pólo ou zero complexo;
¢ Como obter o ângulo → tg-1 = (CA/CO)
= 135°= 45°
js += 1
js ++1
2+s
s
= 90°
LGR
ANÁLISE DO EFEITO DA ADIÇÃO ZERO/PÓLO
NO LGR
¢ A adição de um pólo na FTMA tem como
característica deslocar o LR para a direita,
diminuindo a região de estabilidade e aumentando
o tempo de assentamento do sistema;
¢ A adição de um zero na FTMA apresenta como
efeito o deslocamento do LR para a esquerda,
aumentando a região de estabilidade do sistema e
diminuindo o tempo de assentamento do sistema.
ADIÇÃO DE UM ZERO
¢ Deslocamento do LR para a esquerda;
¢ Aumento da região de estabilidade;
¢ Matlab: função sisotool
Pólos
Legenda
LR
Pólos
Legenda
LR
REFERÊNCIAS
¢ (NISE, 2011) NISE, NORMAN S. Engenharia de
Sistemas de Controle. Rio de Janeiro, 5ª edição,
LTC - Livros Técnicos e Científicos Editora S.A.,
2011.
¢ (DORF, 2009) DORF, R. C. e R. H. BISHOP.
Sistemas de Controle Modernos. LTC, 2009.
¢ (OGATA, 2011) OGATA, K. Engenharia de Controle
Moderno. Rio de Janeiro, 5a edição, Ed. Prentice
Hall, 2011.
¢ (SANTOS, 2008) SANTOS, L. R. P. DOS. Técnicas
de projeto de sistemas de controle.