APOSTILA MATEMÁTICA APLICADA 4 semestre

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�Matemática Aplicada Daniela Brassolatti
�
RELEMBRANDO: 
 
FUNÇÕES USUAIS
	Função Constante : y = K onde K é um número real qualquer.
	A representação gráfica da função constante é uma reta paralela ao eixo x pelo ponto y = K
	Exemplo: y
	y = 5
 5
 x
	Função Linear: y = Ax, x ( R e A é um número qualquer.A representação gráfica é uma reta que contém a origem (0,0). Uma reta é a menor distância entre dois pontos.
	Exemplo:
	y = 3x y
	x
	y
	 0
	0
	 2
	6
 2 x 
	Função Linear Afim: y = Ax + B, x ( R e A e B são números reais.A representação gráfica é uma reta que passa pelo ponto x = 0 e y = B..
	Exemplo:
	y = 2x + 3 y 
	X
	y
	0
	3
	2
	7
 2	 x	
Significado de A e B
A é a variação em y para cada aumento unitário em x chamado coeficiente angular ou inclinação da reta e B é o ponto de intersecção com o eixo y.
Exemplo:
Y = 5x + 2
Coeficiente Angular A = 5 Um aumento unitário em x acarreta um aumento de 5 unidades em y.
Coeficiente linear B = 2 A reta intercepta o eixo y na altura y = 2
 17
 A = 5 
 12
 2
3
 (x = 1
Exemplos:
Achar a equação da reta que passa por dois pontos P1 = (1,3) e P2 = (3,7).
A equação da reta que contém p =(3,8) e inclinação A = -2 
Determinar o ponto de intersecção das retas : y = -2x +5 e y = x -1
Funções Quadráticas:
 Uma função quadrática é do tipo ax2 + bx + c, com a ( 0. O gráfico da função quadrática é uma parábola que tem concavidade voltada para cima caso a seja positivo e concavidade voltada para baixo, caso A seja negativo.
 
 A > 0 A < 0
Representação Gráfica
A representação gráfica da função quadrática é uma parábola, que dependendo do valor de A e de ( .
Etapas:
	Achar as raízes
	cruzamento com o eixo y. Faça x =0
	Achar o vértice.Vértice é onde a parábola muda de sinal e pode ser calculado pela fórmula: 
Exemplos: 1) Representar graficamente as funções abaixo
	
f(x) = x2 – 2x
2	 f(x) = - x2 - 4
2) Represente graficamente as funções do 1o grau e analise os gráficos:
y = 2x + 6					
D = R ; F.crescente ( )	 F.decrescente ( )
O gráfico cruza o eixo horizontal no valor = ???? (raiz da função)
O gráfico cruza o eixo vertical no valor =??? 
p = –q – 5	
D = R ; F.crescente ( )	 F.decrescente ( )
O gráfico cruza o eixo horizontal no valor = ???? (raiz da função)
O gráfico cruza o eixo vertical no valor =??? 
y = 2x 	
D = R ; F.crescente ( )	 F.decrescente ( )
O gráfico cruza o eixo horizontal no valor = ???? (raiz da função) 
O gráfico cruza o eixo vertical no valor =??? 
b = –a 	
D = R ; F.crescente ( )	 F.decrescente ( )
O gráfico cruza o eixo horizontal no valor = ???? (raiz da função) 
O gráfico cruza o eixo vertical no valor =??? 
y = –8 	
D = R ; F.crescente ( )	 F.decrescente ( )
O gráfico cruza o eixo horizontal no valor = ???? (raiz da função)
O gráfico cruza o eixo vertical no valor =??? 
3) Represente graficamente as funções do 1o grau e responda:
y = 2x + 6	D = {x Є R | 1 ≤ x ≤ 3} ; 
 
p = –q – 5	D = {q Є R |q ≤ 0} ; 
y = 2x 		D = {x Є R |x ≥ 5} ; 
b = –3a 		D = {a Є R |a ≤ 0} ; 
y = –10 		D = {x Є R | – 4 ≤ x ≤ 4} ; 
4) Construir a representação gráfica da função quadrática y = x2 – 6x + 8	(D=R)
5) Construir a representação gráfica da função quadrática y = –x2 + 16	D={x є R | 0 ≤ x ≤ 4} 
6) Represente (graficamente) o par de funções do 1o grau no mesmo plano cartesiano. Em seguida, encontre o ponto de intersecção das retas, ou seja, o ponto em comum entre as duas retas.
y1 = x + 4 ;	D = {x Є R | – 6 ≤ x ≤ 2}	
y2 = 2 – x ;	D = {x Є R | – 3 ≤ x ≤ 4}
MÓDULO I
APLICAÇOES COM AS FUNÇOES LINEARES E QUADRÁTICAS NA ADMINISTRAÇÃO
Demanda e Oferta de Mercado
Preço e Quantidade de Equilíbrio
Demanda
	
Demandar: Ir em busca de; procurar; ter necessidade de;
precisar de, necessitar de; dirigir-se para; ir em direção a.
(dicionário Aurélio – 2º Edição).
A simples análise da realidade nos diz que a quantidade que um indivíduo demandará de um bem, num momento determinado de tempo, dependerá de se preço.
 Quanto maior o preço de um bem, menor será a quantidade que cada indivíduo esta disposto a comprar.
 Por outro lado, quanto menor o preço, maior será o numero de unidades demandadas.
Por exemplo, o número de laranjas na semana – não dependerá apenas do preço das laranjas, e sim de uma série de fatores, dentre os quais se destacam os gostos ou preferências. 
A curva da demanda de mercado mostra a relação entre a quantidade demandada de um bem por todos os indivíduos e seu preço, mantendo constantes outros fatores (gostos, renda do consumidor, preço de bens relacionados, qualidade), 
EXEMPLO:
	Preço por quilo (R$)
	Quantidades demandadas
(milhares de Kg por semana)
	A 100
B 70
C 40
D 20
E 10
	20
50
80
110
130
A tabela e a curva decrescente de demanda mostram que quanto maior o preço de um bem, menor a quantidade desse bem que os consumidores estariam dispostos a comprar. Paralelamente, quanto mais baixo o preço do bem, mais unidades serão demandadas.
Estudo de Mercado
Porque fazer Uma pesquisa de Mercado?
Porque quando nós projetamos a inserção de um novo produto no mercado devemos pensar que esta tarefa não é tão simples assim, às vezes é muito fácil saber o que vamos produzir e como vamos produzir, mas precisamos também saber para que vamos produzir.
Desta forma temos nas pesquisas de mercado um apoio muito grande, estas pesquisas são tão importantes quanto a definição do material que utilizaremos na fabricação do produto, ao formato da embalagem, à logística de distribuição e a forma de divulgação. 
Desta forma precisamos nos preocupar em ouvir sempre o consumidor, que é uma das partes mais importantes do nosso produto. 
Então a pesquisa de mercado é muito importante para que no lançamento do produto, possamos acertar e atender as necessidades do consumidor e para tal é necessário que saibamos exatamente o que ele espera do nosso produto.
As pesquisas não dizem exatamente o que devemos fazer, mas nos mostram o melhor caminho, ou seja, aquele que devemos seguir para correr menos risco e não ter um fracasso imediato em nosso caminho.
Neste momento a opinião do consumidor passa a ser o alvo perfeito para poder levar adiante o projeto, está aprovado pelos institutos de pesquisa do Brasil que esta é a forma mais eficaz
Porque determinadas empresas não fazem a Pesquisa de Mercado?
Como já sabemos as pesquisas de mercado ajudam muito em diminuir o risco de qualquer negócio dar errado, o fato é que em qualquer lançamento de produto ou serviçoprincipalmente por empresas de pequeno e médio porte, deveria ser feita uma boa pesquisa de mercado, mas infelizmente não é esta a prática mais usada. 
Uma boa pesquisa feita por uma boa instituição acaba se tornando cara e não são necessárias no lançamento de cada produto, principalmente se for um produto que já exista no mercado, neste caso a empresa pode usar um recurso que é o conhecimento do proprietário do negócio, já que pela vivência ele sabe exatamente como atuar.
Normalmente, os proprietários de uma empresa pequena ou média já sabem exatamente como se comporta o mercado em que atuam: pela vivência eles sabem exatamente como o mercado se comporta nas variadas situações, pois muitas das vezes já viveram aquelas situações na pele.
Isto não quer dizer que as pesquisas de mercado são indispensáveis. Mas se tivermos em mãos uma boa pesquisa, mas não conhecermos o mercado de nada vai adiantar, pois poderemos cair em erros tão iguais ou piores que aqueles que jamais contrataram uma boa pesquisa.
É desta experiência que geralmente se valem as empresas pequenas e médias para lançar um determinado produto ou serviço no mercado. As pesquisas de mercado não são nada baratas e hoje em dia é preciso fazer mágica para se manter vivo no mercado, ainda mais com a alta competição e com custo cada vez menores.
No nosso caso como não tínhamos conhecimento do comportamento do mercado onde iríamos inserir o nosso produto, buscamos a informação exatamente onde ela se encontra, que é nos grandes Centros de distribuição e Lojas especializadas.
Pesquisa Quantitativa do Mercado
A resposta ao "quanto?", ou seja, o programa de comercialização, dará indicações ao tamanho da unidade produtora. A partir do conhecimento do produto, passamos a procurar determinar os níveis de oferta e procura.
A diversidade de assuntos a serem considerados na análise da demanda atual e previsão da demanda futura, propiciou o surgimento de diversas metodologias. Elas têm características e abordagens diferentes. Podem estar baseadas em modelos de regressão, de econometria, de métodos estatísticos, empíricos ou calcados na elaboração de cenários de caráter mais qualitativos.
De posse dos dados desta pesquisa chegamos a conclusão que há espaço no mercado para um novo produto, desde que agregue um novo valor, como por exemplo, uma comodidade a mais ou um item melhor de segurança, algo que realmente fosse novo e chamasse a atenção. Através da pesquisa concluímos também que o novo produto aqui apresentado terá boa aceitação e deverá disputar o mercado de igual para igual com os concorrentes
Segue algumas perguntas que possam facilitar questionamentos para encontrar qual caminho a pesquisar.
 	Quantas pessoas na casa?
- 		Renda familiar?
 	Tipo de moradia?
 	De onde conhece ou ouviu falar do produto?
 	Onde você compraria?
 	O que você leva em consideração ao adquirir?
-	 	Onde você acha importante ter?
 	Você compraria?
 	Como você prefere?
Estes níveis puderam ser obtidos, através da coleta de dados estatísticos como vendas, consumo, exportação e importação. Este material foi encontrado em associações de construtores, publicações técnicas, institutos de pesquisa, anuários estatísticos, pesquisas, distribuidores e outras fontes. Procuramos ainda, consultar especialistas no ramo, e empresários, com relação às possibilidades de expansão do mercado e da demanda, bem como da existência de incentivos governamentais e quanto à capacidade do parque industrial instalado.
Conforme Silva (1999), a função que a todo preço P associa a demanda ou procura de mercado ao preço P é denominada função demanda ou função procura de mercado da utilidade no período considerado. A representação gráfica desta função constitui a curva de demanda ou de procura da utilidade.
Suponha a seguinte situação: Quando o preço de um produto era $2,00, a demanda desse produto era de 6 unidades. Quando o preço subiu para $3,00, a demanda passou a ser de 4 unidades.
Qual a equação da demanda para este produto?
P = 2 D = 6
P = 3 D = 4
D = A.P + B
A = (D1-D2)/(P1-P2) = (6 – 4)/ (2-3) = -2
Escolhendo o ponto P =2 e D = 6, substituímos na equação
D = A.P + B
6 = -2.2 + B 
B = 10
Assim, considere a função D = 10 – 2P, onde P é o preço por unidade do bem ou serviço e D a demanda de mercado correspondente.
Para que ocorra “mercado”, as condições básicas devem ser: 
Preço maior que “zero” (P > 0) 
Demanda ou Procura pelo produto maior que “zero” (D > 0)
Observe
Ao admitirmos D > 0, ocorre:
10 – 2P > 0
10 > 2P
10 > P
2
5 > P  ou P < 5 reais
Portanto, temos que o preço do produto, nesta situação, varia entre 0 e 5 reais.
0 < P < 5
Ao admitirmos P > 0, ocorre:
D = 10 – 2P
D + 2P = 10
2P = 10 – D
P = 10 – D
2
10 – D  > 0
2
10 – D > 0 . 2
10 – D > 0
10 > D   ou D < 10
Portanto, temos que a demanda (procura) pelo produto, nesta situação, varia entre 0 e 10 unidades.
0 < D < 10
Graficamente, podemos representar:
 
Demanda (D)
�Preço (P)
Observe pelo gráfico: Conforme o preço aumenta,a demanda ou procura pelo produto diminui, tornando tal função decrescente.
Neste caso, onde D = 10 – 2P, pode-se dizer que quando o preço do produto aumenta 1 real, a procura pelo produto diminui 2 unidades.
Exemplo:
Para P = R$ 1,00, temos: D = 10 – 2.(1) = 10 – 2 = 8 unidades.
Para P = R$ 2,00, temos: D = 10 – 2.(2) = 10 – 4 = 6 unidades.
Para P = R$ 3,00, temos: D = 10 – 2.(3) = 10 – 6 = 4 unidades
Procuramos na teoria das funções o relacionamento entre duas variáveis que são indicadas por x e y.
Exemplo:
Custo de um produção de um dado produto e a matéria-prima utilizada
Quantidade do produto vendida e o preço de venda
Custo total de produção e quantidade produzida.
A função que a todo preço P associa demanda ou procura de mercado ao preço P é denominada função Demanda ou função Procura de mercado de certa utilidade.
	Neste sentido estão envolvidos os conjuntos A e B:
 Oferta = quantidade que o produtor
 deseja vender
 Demanda = quantidade de bens ou 
 Serviço que se está 
 Disposto a comprar
 Exemplos:
Quando o preço de uma calculadora eletrônica é de 150,00 , 100 calculadoras são vendidas. Quando o preço passou para 200,00 , 80 calculadoras estão disponíveis no mercado. Qual a lei da demanda para esse produto, sabendo-se que a representação é uma reta.
A função dada por D = 45 – P, onde P é o preço por unidade do bem ou serviço e D a demanda de mercado correspondente.
Intervalo de variação de P
Intervalo de variação de D
Representação Gráfica
Suponha que a demanda de mercado de um produto, que é vendido em pacotes de 10 Kg, seja dada por D = 4.000 – 50P
 Determinar o intervalo de variação de P
Intervalo de variação de D
Representar graficamente a função Demanda de mercado
Determinar o valor da demanda para P = 60,00
A que nível de preço a demanda será de 3.500 pacotes?
A partir de que preço a demanda será menor que 1.000 pacotes?
A partir de que preço a demanda será maior que 2.000 pacotes?
A que preços a demanda ficará entre 1.500 e 3.000 pacotes?
Uma empresa de bebidas tem analisado o desempenho de um de seus produtos no mercado: O refrigerante X teve uma demanda de 35.000 litros por dia na região A, quando seu preço estava fixado em $1,25 o litro. Com uma redução no preço para $1,00, a empresa prevê um aumento da demanda para 36.000 litros.
Determine a equação de demanda para esse refrigerante
Faça o gráfico
Qual o preço máximo que o mercado suportaria?Qual intervalo de variação da demanda?
Qual o valor da demanda se o preço do refrigerante for $2,00?
Observações:
Só tem sentido falar em preço positivo e quantidade demandada positiva
Se o valor de P é 5,00 na função D = 100 – 20P, a quantidade demandada é mínima (zero)
Se o valor de P é 3,00, a procura é igual a 40 calculadoras
O preço negativo pode significar que são pagos preços aos consumidores para a remoção de artigos do mercado
A demanda negativa pode significar que o preço é tão alto que impede a atividade do mercado. 
Há situações em que o preço unitário aumenta e a procura pelo produto não cai. Exemplos: produto cuja demanda tem comportamento sazonal, que dependem da época do ano como sorvetes, bebidas, guarda-chuvas, etc; produtos que entrem na moda; produtos de extrema necessidade como alimentos, combustível ou remédios de uso contínuo, entre outras possibilidades
Oferta
 		
Conforme Silva (1999), a função que a todo preço P associa a oferta de mercado ao preço P é denominada função oferta de mercado da utilidade, no período considerado. A representação gráfica desta função constitui a curva de oferta da utilidade, no período.
A decisão a respeito de qual quantidade ofertar de determinado produto é definida por diversos fatores tais como custos, quantidade demandada, preço unitário, preço unitário do concorrente tecnologia, etc.
Quando tantas variáveis estão em jogo, é bem mais difícil , embora possível, identificar o efeito por elas provocado em uma variável que lhes seja dependente. Dessa forma, eliminamos algumas variáveis para evitar o estudo de tantas simultaneamente pois seria mais complexo do ponto de vista da matemática a ser utilizada.
Quando o preço aumenta, a quantidade ofertada também aumentará pois com certeza a demanda do produto diminui, sobrando produtos no mercado.
Há situações em que isso não ocorre, ou seja, o preço unitário aumenta e a oferta pelo produto não aumenta como por exemplo a cachaça havana produzida desde 1943 por Anísio Santiago, na fazenda Havana em Salinas(MG) é o típico produto que se encaixa neste conceito econômico de oferta e procura.
Diversos produtos com características artesanais apresentam essa relação entre o preço unitário e a quantidade ofertada.
 
Exemplo:
Quando o preço de um produto é R$6,00 , 4 unidades estão disponíveis para venda. O preço aumentando para R$ 8,00, 8 unidades do produto são ofertadas.
Dessa forma a equação da oferta ficará:
O = A.P + B
A = (O1 – O2)/(P1 – P2) = ( 4 – 8)/(6 – 8) = -4/-2 = 2
Escolhendo um pronto P = 6 e O = 4 e substituindo na equação da oferta, temos:
4 = 2. 6 + B
B = -8
Assim, considere a função O = – 8 + 2P, onde P é o preço por unidade do bem ou serviço e O é a correspondente oferta de mercado e sabe-se que P ≤ R$ 10,00.
Para que ocorra “mercado”, o produto deve ser oferecido para venda, portanto:
(O > 0)
Observe
Ao admitirmos O > 0, ocorre:
– 8 + 2P > 0
2P > 8
P > 8
2
P > R$ 4,00
Portanto, temos que o preço do produto, nesta situação, deverá ser maior que R$ 4,00. Ou seja, o produto será oferecido ao cliente, somente, com preços maiores do que R$ 4,00.
Exemplo
Para P = R$ 4,00	S = – 8 + 2.(4) = – 8 + 8 = 0 unidades oferecidas para venda
Para P = R$ 5,00	S = – 8 + 2.(5) = – 8 + 10 =2 unidades oferecidas para venda
Para P = R$ 6,00	S = – 8 + 2.(6) = – 8 + 12 = 4 unidades oferecidas para venda
Para representar, graficamente, podemos construir a seguinte “tabela”:
	P
	O
	4
	0
	0
	-8
Atenção: Adota-se P = 10, pois o “problema”, neste caso, diz que P ≤ R$ 10,00.
Para O = 0
– 8 + 2P = 0
2P = 8
P = 8 = 4
2
P = R$ 4,00
	P
	O
	4
	0
	10
	
Para P = 10
O = – 8 + 2P = – 8 + 2.(10) = – 8 + 20 = 12 unidades
	P
	O
	4
	0
	10
	12
 
Oferta (O): quantidade
� Preço (P): R$
Observe o gráfico acima: 
O oferecimento do produto existirá para preços acima de R$ 4,00.
Conforme o preço aumenta, o oferecimento (O) do produto aumenta também, tornando a função crescente. Nota-se que, para o vendedor, quanto maior o preço do produto, mais produtos serão oferecidos para venda. Mas será que a procura (demanda) pelo produto será satisfatória???
(Veremos isso em seguida)
Em economia, a Lei da Oferta e Procura , também chamada de Lei da Oferta e da Demanda é a lei que estabelece a relação entre a demanda de um produto - isto é, a procura - e a quantidade que é oferecida, a oferta. A partir dela, é possível descrever o comportamento preponderante dos consumidores na aquisição de bens e serviços em determinados períodos, em função de quantidades e preços. Nos períodos em que a oferta de um determinado produto excede muito à procura, seu preço tende a cair. Já em períodos nos quais a demanda passa a superar a oferta, a tendência é o aumento do preço.
A estabilização da relação entre a oferta e a procura leva, em primeira análise, a uma estabilização do preço. Uma possível concorrência, por exemplo, pode desequilibrar essas relações, provocando alterações de preço.
Ao contrário do que pode parecer a princípio, o comportamento da sociedade não é influenciado apenas pelos preços. O valor de um produto pode ser um estímulo positivo ou negativo para que os consumidores adquiram os serviços que necessitam, mas não é o único.
Existem outros elementos a serem considerados nesta equação, entre eles:
Os desejos e necessidades das pessoas; 
O poder de compra; 
A disponibilidade dos serviços - concorrência; 
A capacidade das empresas de produzirem determinadas mercadorias com o nível tecnológico desejado. 
Da mesma forma que a oferta exerce uma influência sobre a procura dos consumidores, a freqüência com que as pessoas buscam determinados produtos também pode aumentar e diminuir os preços dos bens e serviços.
Em suma, a lei da oferta e demanda sugere que quem determina o preço são os consumidores. Eles decidem quanto querem comprar e a que preço, e os fornecedores só podem é concordar com as exigencias e decidem quanto vale a pena produzir para vender ao preço dado pelo consumidor. Para um entendimento mais profundo, considere as linhas do graficos como uma pessoa(demanda) e um cachorro(oferta), a oferta sempre vai se aproximar da demanda a fim de vender seu produto. A decisão dos donos das indústrias é baseada nestes graficos, nos planos da concorrencia, épocas do ano(ventiladores, ar condicionado, aquecedor), fatores culturais, geográficos, e ambientais.
Exemplos:
Uma pesquisa sobre a oferta de mercado de um produto levou à seguinte escala de oferta:
	P = preço
	O = oferta
	47
	34
	65
	75
	80
	120
	100
	130
	200
	170
Encontrar a reta que melhor se ajusta a esses dados, usando dois pontos.
Quando o preço de uma calculadora eletrônica é de 150,00 , 50 calculadoras estão à venda. Quando o preço é de 200,00 , 100 calculadoras estão disponíveis no mercado. Qual a lei da oferta para esse produto, sabendo-se que a representação é uma reta.
Suponha que a oferta de mercado de determinado produto seja dada por O = -30 + 2P com P ( 1.300
A partir de que preço haverá oferta?
Representar graficamente
A que preço a oferta será de 1.000 unidades?
A partir de que preço a oferta será maior que 1.500 unidades?
A partir de que preço a oferta será menor que 2.500 unidades?
Para quais preços a oferta ficará entre 250 e 750 unidades?
Um produto agropecuário disponibilizava 800kg de seu produto que tinha o preço fixado em R$2,00 o quilograma. Considerando esse preço muito baixo, ele se retirou do mercado no que diz respeito a esse produto. Após novas negociações com o governo, teve o preço reajustado para R$2,80 o quilograma, oferecendo então 1600 kg ao mercado.
Encontre a equação da oferta para esse produto
Qual é o preço mínimo do produto?
Determine o preço para a limitação de produção,que é de 3 toneladas
Esboce o gráfico da função
Preço e Quantidade de Equilíbrio
Conforme Silva (1999), o preço de mercado (PE) para dada utilidade é o preço para o qual a demanda e a oferta de mercado dessa utilidade coincidem. A quantidade correspondente ao preço de equilíbrio é denominada quantidade de equilíbrio de mercado da utilidade (QE).
O equilíbrio de mercado é atingido quando o preço cobrado é o mesmo que o demandado e quando a quantidade demandada coincide com a ofertada. 
Ao cobrar um valor maior do que o preço de equilíbrio, o fornecedor ou ofertante observará uma sobra de produto no mercado, ou seja, um excesso de oferta ou uma escassez de demanda; ao cobrar menos do que o preço de equilíbrio , haverá excesso de demanda ou escassez de produto ou de oferta.
Exemplo:Considere os casos: D = 40 – 2P e O = –15 + 3P, com P ≤ R$ 20,00. A representação gráfica para tais casos:
Demanda (A tabela se constrói como no exemplo anterior)
	P
	D
	0
	
	
	0
	P
	D
	0
	40
	20
	0
Oferta ( A tabela se constrói como no exemplo anterior)
	P
	O
	
	0
	20
	
	P
	O
	5
	0
	20
	45
 Demanda (D), Oferta (O): quantidade
 45
 40 O = –15 + 3P 
 
 (QE) 18
 D = 40 – 2P
 0 5 11 20 Preço (P): R$
 (PE)
Observando o gráfico:
Na função demanda: quanto maior o preço, menor a procura pelo produto (gráfico decrescente).
Na função oferta: quando maior o preço, maior é o oferecimento do produto (gráfico crescente).
Sabemos que preços elevados de um produto possibilitam a obtenção de maior lucro e, por isso, para o vendedor, quanto mais alto o preço do produto oferecido, maior será o seu lucro. No entanto, não podemos esquecer que a procura pelo produto está vinculada, também, ao seu preço de venda e ocorre de maneira inversa ao seu oferecimento. Pois, quanto maior o preço, maior será o oferecimento do produto, porém, menor será a sua procura. Daí vem a importância de um preço (PE) onde a oferta e a demanda sejam comuns (QE) – PREÇO E QUANTIDADE DE EQUILÍBRIO.
Encontrando PE e QE da situação acima (Por meio de cálculos)
Dadas as funções D = 40 – 2P e O = –15 + 3P, com P ≤ R$ 20,00, encontrar PE (preço de equilíbrio) e QE (quantidade de equilíbrio) 
D = O
40 – 2P = –15 + 3P
40 + 15 = 3P + 2P
55 = 5P
55 : 5 = P
11 = P
P = R$ 11,00 (PE)
Escolher uma das funções para encontrar QE, por exemplo, D = 40 – 2P
D = 40 – 2.(11) = 40 – 22 = 18 unidades (QE)
Como D = O, podemos escolher qualquer uma das funções para encontrar QE (dará o mesmo resultado)
 
EXEMPLOS: 
Dadas a demanda de mercado D = 20 – P e a oferta O = 
 com P ( 20, determine o preço e a quantidade de equilíbrio, realizando também a análise econômica.
Determine o ponto e a quantidade de equilíbrio para as leis de oferta e demanda dadas abaixo, realizando também a análise econômica
D = - P + 30
O = P + 10
Durante as férias escolares, uma loja de salgadinhos dispunha de um estoque de 30 quilogramas de determinado produto e cobrava R$10,00 o quilograma desse produto. Ao final das férias, o estoque correspondia a 50% do que era e o comerciante reduziu seu preço para R47,00. Com o início das aulas, a demanda aumentou, chegando a 10 quilogramas em um só dia. Realizando uma pesquisa informal entre os escolares, o comerciante calcula que, aumentando seu preço para R$8,00 o quilograma, haverá uma redução de 50% na demanda.
Determine a equação da oferta para esse produto
Determine a equação de demanda do produto
Qual é o preço mínimo na oferta? Qual é o preço máximo na demanda?
Determine o ponto de equilíbrio de mercado
Ao cobrar 7,00 o quilograma, houve excesso de demanda ou excesso de oferta? Quantifique.
Construa o gráfico ilustrativo da situação
Aplicações com a Função Quadrática:
 Uma função quadrática é do tipo ax2 + bx + c, com a ( 0. O gráfico da função quadrática é uma parábola que tem concavidade voltada para cima caso a seja positivo e concavidade voltada para baixo, caso A seja negativo.
 
 A > 0 A < 0
 Representação Gráfica
A representação gráfica da função quadrática é uma parábola, que dependendo do valor de A e de ( .
Etapas:
	Achar as raízes
	cruzamento com o eixo y. Faça x =0
	Achar o vértice.Vértice é onde a parábola muda de sinal e pode ser calculado pela fórmula: 
Ex1: D = -2P2 –4P +160. Representar graficamente.
Ex2: D = 16 – P2 
Calcular o valor da demanda para P = 3,00
A que preços a demanda ficará entre 7 e 15 unidades?
Ex3: O = P2 – 4P + 4 com P 
 5, representar graficamente.
Ex4: O= P2 – 64 com P 
20
A partir de que preço haverá oferta?
Qual o valor da oferta para P = 20?
A que preço a oferta será de 300 unidades?
A partir de que preço a oferta será maior que 57 unidades?
Ex5: D = 81 – P2 , O = P2- 36. Achar o preço de equilíbrio, quantidade de equilíbrio e fazer análise econômica
LISTA DE EXERCÍCIOS 1
DEMANDA
Quando o preço de uma calculadora eletrônica é de 120,00, nenhuma calculadora é vendida, porém quando o preço é liberado gratuitamente, 100 calculadoras são procuradas. Sabendo-se que a representação é uma reta, determinar:
a função demanda
Esboçar o gráfico
Dar a demanda se o preço for de 60,00
Qual o preço da calculadora se a demanda é 75 unidades?
A empresa WP analisou a venda do produto lanterna de pilha e verificou que se fizesse investimentos em propagandas desse produto, suas vendas seriam 20% maiores a cada aumento de 2,00 reais no preço unitário desse produto. Quando o preço é 12,00 a empresa vende 500 unidades. Qual é a lei de oferta para esse produto?
A curva de oferta de um artigo é dada graficamente. Determinar o que se pede:
a equação que rege a oferta OFERTA
encontre a quantidade oferecida se o preço for 50,00 100
Qual o preço se a quantidade ofertada é de 250?
 								 -50 P
Uma fábrica de relógios analisou suas vendas e verificou que as vendas aumentam 10% para cada redução de 2,00. Se quando o preço do relógio for de 12,00 vendem-se 400 unidades, determinar:
a lei da demanda
a quantidade demandada se o preço for 8,00
Esboce o gráfico
De um trimestre para o outro a demanda de mercado de certo produto passou de D = 100 – 10P para D = 150 – 10P:
Determine os intervalos de variação de P e D nos dois casos
Representar num mesmo gráfico as duas estruturas
Em que intervalos de preço passou haver demanda onde não havia?
Uma revendedora estima que um carro popular será comprado por 1850 pessoas se vendido a R$10.400,00. Mas, se vendido a R$ 9.660,00, haverá um aumento de 20% nas vendas em relação ao previsto anteriormente.
Determine a equação da função demanda
Construa o gráfico da função
Qual é o preço máximo pelo qual esse artigo pode ser vendido?
Para uma unidade do produto demandada, qual é o preço correspondente?
Para um preço de R$14.000,00, a quantidade é de 50 carros populares. Se a quantidade demandada cair para 49 carros, como o preço será afetado?
OFERTA
Suponha que a oferta de mercado de determinado produto seja dada por O = -20 + 2P com P ( 270
A partir de que preço haverá oferta?
Representar graficamente
A que preço a oferta será de 80 unidades?
A partir de que preço aoferta será maior que 150 unidades?
Para quais preços a oferta ficará entre 200 e 500 unidades?
A relação entre o preço de venda e a quantidade vendida de um produto é dada pela equação q = 8000 – 100p. Determinar os valores de p para os quais a quantidade vendida seja entre 5000 e 6500 unidades.
A relação entre o preço de venda e a quantidade vendida de um produto é dada pela equação q = 150 – 4p. Determinar os valores de p para os quais a quantidade vendida seja de no mínimo 50 unidades.
Uma empresa opera com uma variação do preço de seu produto no mercado em relação a quantidade do produto oferecida, conforme a tabela a seguir:
	Quantidade 
	500
	750
	400
	300
	620
	Preço unitário R$
	1700
	2450
	1400
	1100
	2060
Com base nos dados, responda:
Um acréscimo de 100 unidades na quantidade ofertada representa que aumento no preço correspondente?
A partir dos dados anteriormente tabelados, encontre a equação da função oferta do produto
Trace o gráfico da função oferta
Quando o preço de mercado estiver em R$800,00, qual será a quantidade oferecida pela empresa?
Qual é o preço mais baixo pelo qual esse artigo poderia ser oferecido?
PREÇO E QUANTIDADE DE EQUILÍBRIO
Determinar o preço e a quantidade de equilíbrio, representar graficamente e fazer a análise econômica para os seguintes casos:
D = 34 – 5P e O = -8 +2P
D = 10 –0,2 P e O = -11 + 0.5 P
Uma doceria produz um tipo de bolo, de tal forma que sua função de oferta diária é O = –100 + 2P, com P ≤ R$ 150,00.
a) Qual o preço para que a oferta seja de 20 bolos diários?
b) Se o preço unitário for R$ 70,00, qual a quantidade ofertada?
c) Se a curva de demanda diária por esses bolos for D = 300 – 2P, qual o preço e quantidade de equilíbrio? Represente graficamente.
A demanda D de um determinado produto varia com o preço de venda p do produto, sendo a função de demanda D = -6P + 54. Por outro lado, a oferta S deste mesmo produto também depende do preço de venda p e sua função é dada por S = 3P, com P ≤ R$ 9,00.
a) Qual é o preço e a quantidade de equilíbrio?
b) Esboce o gráfico.
Representar graficamente as demandas de Mercado:
D = 25 – P2
D = -P2 –7P + 30
D = -P2 –3P + 18
Sendo D = -P2 –P +56:
Qual o valor da demanda para P = 6,00/
Qual o intervalo de variação de P?
Qual o intervalo de variação de D?
Representar graficamente as ofertas de mercado:
S = P2 –49, com P 
 10
S = P2 –2P –15, P 
 10
Seja a oferta de Mercado de um produto dada por S = P2 –11P +28 com P 
 60 reais
A partir de que preço haverá oferta?
Qual o valor da oferta para P = 50 reais
A que preço a oferta será de 40 unidades?
Determine o preço e a quantidade de equilíbrio , realizando a análise econômica nos seguintes casos:
D = 16-P2 , S = P2 –9
D = -2P2 –40P +160, S = -1+0,5P
D =81 – P2 , S = P2 – P -6
EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES
Dados os respectivos preços e quantidades de duas retas distintas, pede-se:
Determine qual é a função de oferta e a de demanda.
Desenhe o gráfico representando o ponto de equilíbrio entre a oferta e a demanda.
Reta A: preço qtde.			Reta B: preço qtde
	 R$6,00 5100 R$ 4,00 7600
	 R$9,00 7200			 R$ 8,00 5200 
Dada as funções:
Oferta: y = 12,12x + 16840
Demanda: y = – 11,54x + 48644, pede-se
	a) Determine o preço e quantidade do equilíbrio entre e oferta e demanda e desenhe o gráfico 
	b) Calcule a quantidade ofertada e a demandada quando o preço for de R$ 1.800,00
	
A demanda de mercado de um produto é dada por: D = 2500 – 12P. O valor da demanda correspondente ao preço P = R$ 23,00 é:
 A demanda de mercado de um produto é dada por: D = 4000 – 20P. A que preço a demanda será de 1500 unidades?
 A demanda de mercado de um produto é dada por: D = 2600 – 10P. A que preços a demanda ficará entre 600 e 1000 unidades?
Considere a função oferta S = – 15 + 2P, com P ≤ R$ 30,00. Para que preços haverá oferecimento do produto? Represente graficamente.
Considere a função oferta S = – 12 + 1,5P, com P ≤ R$ 40,00. Para quais valores de P (preço) não haverá oferecimento do produto?
Considere a função oferta S = – 15 + 3P, com P ≤ R$ 25,00. Quando P = R$ 12,00, pode-se afirmar que serão oferecidas para venda:
Considere a função oferta S = – 10 + 2P, com P ≤ R$ 40,00. A que preço a oferta será de 30 unidades do produto?
Considere a função oferta S = – 14 + 2P, com P ≤ R$ 20,00. Para que preços a oferta do produto existirá e será menor que 16 unidades?
 Determinar o preço de equilíbrio (PE) e a quantidade de equilíbrio (QE) no seguinte caso: D = 60 – 2P e S = –12 + P, com P ≤ R$ 30,00. Represente graficamente.
Considere os casos: D = 40 – 2P e S = –15 + 3P, com P ≤ R$ 20,00. Construa a representação gráfica para tais casos e assinale a alternativa que está totalmente correta:
a) A demanda varia entre 0 e 20 unidades; O preço varia entre 0 e R$ 40,00; A oferta existirá para preços maiores que R$ 5,00; O preço e a quantidade de equilíbrio são, respectivamente, R$ 18,00 e 11 unidades.
b) A demanda varia entre 0 e 20 unidades; O preço varia entre 0 e R$ 40,00; A oferta existirá para preços maiores que R$ 5,00; O preço e a quantidade de equilíbrio são, respectivamente, R$ 11,00 e 18 unidades.
c) A demanda varia entre 0 e 40 unidades; O preço varia entre 0 e R$ 20,00; A oferta existirá para preços maiores que R$ 15,00; O preço e a quantidade de equilíbrio são, respectivamente, R$ 11,00 e 18 unidades.
d) A demanda varia entre 0 e 40 unidades; O preço varia entre 0 e R$ 20,00; A oferta existirá para preços maiores que R$ 5,00; O preço e a quantidade de equilíbrio são, respectivamente, R$ 11,00 e 18 unidades.
 Considere a função demanda D = 10 – 2P. Como o preço do produto poderá variar ? Represente graficamente.
A demanda de mercado de um produto é dada por: D = 4300 – 20P. O valor da demanda correspondente ao preço P = R$ 45,00 é:
 A demanda de mercado de um produto é dada por: D = 4200 – 15P. A que preço a demanda será de 900 unidades?
 A demanda de mercado de um produto é dada por: D = 4000 – 12P. A que preços a demanda ficará entre 250 e 1600 unidades?
Considere a função oferta S = – 20 + 4P, com P ≤ R$ 25,00. Para que preços haverá oferecimento do produto? Represente graficamente.
 Considere a função oferta S = – 25 + 2,5P, com P ≤ R$ 50,00. Para quais valores de P (preço) não haverá oferecimento do produto?
Considere a função oferta S = – 24 + 3P, com P ≤ R$ 35,00. Quando P = R$ 18,00, pode-se afirmar que serão oferecidas para venda:
 Considere a função oferta S = – 16 + 4P, com P ≤ R$ 20,00. A que preço a oferta será de 24 unidades do produto?
Considere a função oferta S = – 12 + 3P, com P ≤ R$ 20,00. Quais os preços onde a oferta do produto existirá e será menor que 15 unidades?
Determinar o preço de equilíbrio (PE) e a quantidade de equilíbrio no seguinte caso: D = 20 – 2P e S = –10 + 2P, com P ≤ R$ 10,00. Represente graficamente.
Considere os casos: D = 20 – 2P e S = –10 + 3P, com P ≤ R$ 10,00. Construa a representação gráfica para tais casos e assinale a alternativa que está totalmente correta:
a) A demanda varia entre 0 e 20 unidades; O preço varia entre 0 e R$ 10,00; A oferta existirá para preços maiores que R$ 3,33; O preço e a quantidade de equilíbrio são, respectivamente, R$ 6,00 e 8 unidades.
b) A demanda varia entre 0 e 10 unidades; O preço varia entre 0 e R$ 20,00; A oferta existirá para preços maiores que R$ 3,33; O preço e a quantidade de equilíbrio são, respectivamente, R$ 6,00 e 8 unidades.
c) A demanda varia entre 0 e 20 unidades; O preço varia entre 0 e R$ 10,00; A oferta existirá para preços maiores que R$ 7,00; O preço e a quantidade de equilíbrio são, respectivamente, R$ 6,00 e 8 unidades.
d) A demandavaria entre 0 e 20 unidades; O preço varia entre 0 e R$ 10,00; A oferta existirá para preços maiores que R$ 3,33; O preço e a quantidade de equilíbrio são, respectivamente, R$ 8,00 e 6 unidades.
Elaborar e/ou pesquisar um exemplo, cotidiano, sobre: Demanda , OferTa , PE , QE.
RESUMO
As funções constante, linear e afim podem ser empregadas para calcular a demnada, oferta, receita, custo, lucro e prejuízo de mercado.
	Função Demanda: Nos dá a relação entre quantidade de mercadoria demandada (D) e o preço (P) por unidade
	Função Oferta: Uma função envolvendo o número de unidades de uma certa mercadoria a ser ofertada (O) e o preço por unidade de mercadoria (P).
	Preço de Equilíbrio: Demanda é igual a Oferta
OBSERVAÇÕES
	Na prática , algumas equações de oferta e demanda são aproximadamente lineares na faixa de valores que interessa; outras são não-lineares (toda equação que não é uma reta é não-linear).
	A oferta , demanda, preço e a quantidade são em geral iguais a zero ou a um número 
 positivo
	Oferta negativa significa que os artigos não estão disponíveis no mercado, seja porque não são produzidos ou retidos
	O preço negativo significa que são pagos preços aos compradores para remoção de artigos 
 do mercado
	A demanda negativa significa que o preço é tão alto que impede a atividade do mercado.
Esses casos podem ocorrer mas sua incidência não é freqüente, sendo examinados em análise econômica mais avançada.
		Curvas de Demanda Linear
	
À medida que o preço aumenta, a quantidade procurada diminui e a medida que o preço diminui, a quantidade procurada aumenta
Em certos casos, a curva de demanda pode ser nula, isto é, o preço é constante independente da demanda
	
		 Curvas de Oferta Linear
	
A medida que o preço aumenta , aumenta a oferta e a medida que o preço diminui, cai a oferta
Em certos casos, a curva de oferta pode ser nula, isto é , o preço é constante independente da oferta
		 Equilíbrio de Mercado
	
O equilíbrio de mercado é encontrado quando a quantidade demandada de um artigo iguala-se a quantidade ofertada em um ponto (preço)
O preço de equilibrio é a intersecção das curvas de oferta e demanda
Os custos fixos permanecem constantes em todos os níveis de produção e normalmente incluem fatores como aluguel, juros , equipamentos.
Os custos variáveis são aqueles que variam com a produção e incluem fatores tais como mão-de-obra, matéria-prima e gasto promocional.
O custo total é a soma do custo fixo com o custo variável
Quando a receita total e o custo total são iguais, ocorre o ponto de equilíbrio, isto é, existe uma receita suficiente para cobrir os custos.
UNIVERSIDADE PAULISTA - UNIP
2017
MATEMÁTICA APLICADA
Profa Ms. Daniela Brassolatti
10
 0
 5 10
Mercado
Indústria
Serviço
Comércio
Lazer
4
0
10
12
_1108642743.unknown
_1144421357.xls
Gráf2
		-4
		0
		-4
x
y
Plan1
		2		-4
		0		0
		-2		-4
Plan1
		
x
y
Plan2
		
Plan3
		
_1153138111.unknown
_1153138145.unknown
_1144421288.xls
Gráf1
		4
		0
		4
x
y
Plan1
		2		4
		0		0
		-2		4
Plan1
		0
		0
		0
x
y
Plan2
		
Plan3
		
_1108638614.unknown