Geometria analítica avaliando aprendizado

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O vetor v é definido pelo segmento orientado AB, onde A = (3,5) e B = (6,9). Se o vetor s é ortogonal a v e s = (a,-3), qual o valor de a?
		
	
	a = 0
	
	a = - 4
	 
	a = 4
	
	a = 2
	
	a = - 2
	
Explicação:
AB = B - A = (6,9) - (3,5) = (3,4)
(3,4) . (a,-3) = 0 ⇒ 3a - 12 = 0 ⇒ a = 4
	
	 
	
	 2a Questão
	
	
	
	
	Sejam os vetores v = (3,2), s = (0,5) e t = (-3,-3). O resultado correto da expressão 3v - 5s + t é dado por:
		
	
	(-6,-22)
	 
	(6,-22)
	
	(22,-6)
	
	(-22,-6)
	
	Nenhuma das alternativas
	
Explicação:
3 . (3,2) - 5 . (0,5) + (-3,-3)
(9,6) + (0,-25) + (-3,-3)
(6,-22)
	
	 
	
	 3a Questão
	
	
	
	
	Dados os vetores no plano R2, u = 2 i - 5 j e v = i + j,determine o vetor o vetor 3 u - 2 v
		
	
	12  i - 8 j  
	
	3 i - 18 j
	
	17 i + 6 j
	 
	4 i - 17 j
	
	9 i  + 4 j
	
Explicação:
3u ¿ 2v = 3.(2, -5) -2( 1, 1) = (6, -15) + (-2, -2) = (4, -17) = 4 i - 17 j
	
	 
	
	 4a Questão
	
	
	
	
	Os ângulos (em graus)  diretores do vetor v = (0,-3,5) em relação aos eixos x, y e z respectivamente são:
		
	
	31 ; 90 ; 121
	
	121 ; 31 ; 90
	 
	90 ; 121 ; 31
	
	90 ; 90 ; 0
	
	90 ; 31 ; 121
	
Explicação:
Os ângulos diretores são dados por:
cos x = x|v| ⇒ cos x = 034 ⇒ x = 90º
cos y = y|v| ⇒ cos y = −334 ⇒ y = 120,96°
cos z = z|v| ⇒ cos z = 534 ⇒ z = 30,96º
	
	 
	
	 5a Questão
	
	
	
	
	Calculando a área do paralelogramo definido pelos vetores 2u e -3v sendo u=(-2,0,3) e v=(1,-1,0) encontramos:
		
	
	7V19
	
	9V17
	
	2V23
	 
	6V14
	
	5V21
	
Explicação:
Chamando de A  a área do paralelogramo, temos que:  A= !!(2u)x(-3v)!!
2u=(-4,0,6)
-3v=(-3,3,0)
                        i          j         k
(2u)x(-3v) =    -4        0        6    =     -18i + 6j - 12k  =  (-18 , 6 , -12)
                       -3       3         0
 
Daí:  A  =  !!(-18 , 6 , -12)!! =  V324+36+144  =  V504  =  6V14
 
	
	 
	
	 6a Questão
	
	
	
	
	Dado o segmento AB tal que A = (-3,4) e B = (7,3), as coordenadas do ponto C tal que AC = AB3 serão:
		
	
	(11,13)
	
	(−13,11)
	
	(0,0)
	
	(1,11)
	 
	(13,113)
	
Explicação:
AB = B - A = (7,3) - (-3,4) = (10,-1)
AC = C - A = (x,y) - (-3,4) = (x + 3, y - 4)
AC = AB3
Assim, (x + 3, y - 4) = (103,−13)
x = 1/3
y = 11/3
	
	 
	
	 7a Questão
	
	
	
	
	Determine o valor de m para os vetores u = (5; m) v = ( -15; 25) sejam perpendiculares. 
		
	
	5
	
	9
	 
	3
	
	12
	
	6
	
Explicação:
A para dois vetores sejam perpendiculares é que seu produto escalar seja nulo, portanto:
U= (5, m) V= (-15, 25)
-75+25m=0
25m=75
m=75/25
m=3
	
	 
	
	 8a Questão
	
	
	
	
	Sejam os vetores v = (0,-3,-4) e s = (-2,5,8). O vetor u = (a,b,c) é definido pela expressão 3v - s. Logo, a, b e c valem, respectivamente:
		
	
	-2, 14 e 20
	 
	2, -14 e -20
	
	-20, 2 e -14
	
	20, 14 e 2
	
	-14, 2 e -20
	
Explicação:
3 . (0,-3,-4) - (-2,5,8)
(0,-9,-12) - (-2,5,8)
(2,-14,-20)
	Qual o ângulo aproximado formado entre os vetores v = (-3,4,0) e s = (-1,2,5) ?
		
	
	45º
	
	87,88º
	
	55,68º
	
	76,77º
	 
	66,32º
	
Explicação:
Módulo do vetor v ⇒ 5
Módulo do vetor s ⇒ 30
v . s = (-3,4,0) . (-1,2,5) = 11
cos x = 11530
x ≈ 66,32º
	
	 
	
	 2a Questão
	
	
	
	
	Sejam os vetores v = (3,2), s = (0,5) e t = (-3,-3). O resultado correto da expressão 3v - 5s + t é dado por:
		
	
	Nenhuma das alternativas
	 
	(6,-22)
	
	(22,-6)
	
	(-22,-6)
	
	(-6,-22)
	
Explicação:
3 . (3,2) - 5 . (0,5) + (-3,-3)
(9,6) + (0,-25) + (-3,-3)
(6,-22)
	
	 
	
	 3a Questão
	
	
	
	
	Calculando a área do paralelogramo definido pelos vetores 2u e -3v sendo u=(-2,0,3) e v=(1,-1,0) encontramos:
		
	
	5V21
	 
	6V14
	
	7V19
	
	9V17
	
	2V23
	
Explicação:
Chamando de A  a área do paralelogramo, temos que:  A= !!(2u)x(-3v)!!
2u=(-4,0,6)
-3v=(-3,3,0)
                        i          j         k
(2u)x(-3v) =    -4        0        6    =     -18i + 6j - 12k  =  (-18 , 6 , -12)
                       -3       3         0
 
Daí:  A  =  !!(-18 , 6 , -12)!! =  V324+36+144  =  V504  =  6V14
 
	
	 
	
	 4a Questão
	
	
	
	
	O vetor v é definido pelo segmento orientado AB, onde A = (3,5) e B = (6,9). Se o vetor s é ortogonal a v e s = (a,-3), qual o valor de a?
		
	
	a = 0
	 
	a = 4
	
	a = 2
	
	a = - 2
	
	a = - 4
	
Explicação:
AB = B - A = (6,9) - (3,5) = (3,4)
(3,4) . (a,-3) = 0 ⇒ 3a - 12 = 0 ⇒ a = 4
	
	 
	
	 5a Questão
	
	
	
	
	Dado o segmento AB tal que A = (-3,4) e B = (7,3), as coordenadas do ponto C tal que AC = AB3 serão:
		
	
	(−13,11)
	
	(1,11)
	
	(11,13)
	
	(0,0)
	 
	(13,113)
	
Explicação:
AB = B - A = (7,3) - (-3,4) = (10,-1)
AC = C - A = (x,y) - (-3,4) = (x + 3, y - 4)
AC = AB3
Assim, (x + 3, y - 4) = (103,−13)
x = 1/3
y = 11/3
	
	 
	
	 6a Questão
	
	
	
	
	Determine o valor de m para os vetores u = (5; m) v = ( -15; 25) sejam perpendiculares. 
		
	
	12
	 
	3
	
	6
	
	9
	
	5
	
Explicação:
A para dois vetores sejam perpendiculares é que seu produto escalar seja nulo, portanto:
U= (5, m) V= (-15, 25)
-75+25m=0
25m=75
m=75/25
m=3
	
	 
	
	 7a Questão
	
	
	
	
	Sejam os vetores v = (0,-3,-4) e s = (-2,5,8). O vetor u = (a,b,c) é definido pela expressão 3v - s. Logo, a, b e c valem, respectivamente:
		
	
	-2, 14 e 20
	
	20, 14 e 2
	 
	2, -14 e -20
	
	-20, 2 e -14
	
	-14, 2 e -20
	
Explicação:
3 . (0,-3,-4) - (-2,5,8)
(0,-9,-12) - (-2,5,8)
(2,-14,-20)
	
	 
	
	 8a Questão
	
	
	
	
	Dados os vetores no plano R2, u = 2 i - 5 j e v = i + j,determine o vetor o vetor 3 u - 2 v
		
	
	9 i  + 4 j
	
	17 i + 6 j
	
	12  i - 8 j  
	
	3 i - 18 j
	 
	4 i - 17 j
	
Explicação:
3u ¿ 2v = 3.(2, -5) -2( 1, 1) = (6, -15) + (-2, -2) = (4, -17) = 4 i - 17 j