Aula 10 - Grafico CUSUM

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Gráfico de Controle da Soma Cumulativa (CUSUM)
Prof. Dr. Rafael H. P. Lima
Introdução
 Os gráficos de controle tradicionais têm dificuldades em 
detectar pequenas mudanças nos processos
 Vimos na aula passada que no gráfico X-MR que, se o 
processo tiver sua média deslocada em 1𝜎, a 
probabilidade de detecção na primeira amostra é de 
apenas 2%
 O gráfico da soma cumulativa (CUSUM) busca detectar 
pequenas variações nos processos por meio da soma 
cumulativa das variações em torno da média
Introdução
 Os dados a seguir foram gerados da seguinte maneira:
 20 amostras individuais com 𝜇 = 200 e 𝜎 = 6
Introdução
 Fase de uso teve um deslocamento na média
 10 amostras seguintes com 𝜇 = 203 e 𝜎 = 6
Gráfico CUSUM
 O gráfico X-MR não foi capaz de detectar o deslocamento 
de 0,5𝜎 em 10 amostras
 O conceito de soma cumulativa é capaz de detectar mais 
rapidamente pequenas variações em torno da média
 Seja 𝜇0 a média do processo, então 𝐶𝑖 será a soma dos 
desvios dos valores das amostras em torno da média até 
a 𝑖-ésima amostra:
𝐶𝑖 = 
𝑗=1
𝑖
 𝑥𝑗 − 𝜇0
Gráfico CUSUM
 Cálculo dos desvios cumulativos
Amostra 𝒙 𝒙 − 𝝁𝟎 𝑪𝒊
1 196,48 -3,62 -3,62
2 209,23 9,14 5,52
3 202,28 2,18 7,69
4 190,38 -9,72 -2,03
5 192,22 -7,88 -9,90
6 198,19 -1,91 -11,81
7 207,03 6,93 -4,89
8 194,36 -5,74 -10,63
9 192,50 -7,60 -18,23
10 204,44 4,34 -13,89
11 207,72 7,62 -6,27
12 198,27 -1,83 -8,10
13 195,43 -4,67 -12,77
14 216,04 15,94 3,17
15 203,10 3,00 6,17
Amostra 𝒙 𝒙 − 𝝁𝟎 𝑪𝒊
16 200,36 0,26 6,44
17 198,76 -1,34 5,10
18 195,58 -4,52 0,58
19 196,99 -3,11 -2,53
20 202,63 2,53 0,00
21 191,43 -8,67 -8,67
22 201,26 1,16 -7,52
23 199,86 -0,24 -7,75
24 211,69 11,59 3,83
25 197,35 -2,75 1,08
26 200,64 0,54 1,62
27 215,03 14,93 16,55
28 203,88 3,78 20,32
29 215,30 15,20 35,52
30 204,79 4,69 40,21
Gráfico CUSUM
 Somas cumulativas plotadas em um gráfico de linha:
Gráfico CUSUM
 Observações sobre a soma cumulativa
 O gráfico visto anteriormente NÃO é um gráfico de 
controle, pois não possui limites de controle
 Se o processo permanece estável, a soma cumulativa será 
um caminho aleatório em torno de zero
 Se a média do processo mudar (fora de controle), então a 
soma cumulativa tenderá a crescer para o lado positivo ou 
negativo
Gráfico CUSUM
 Exemplo de soma cumulativa caso a média se desloque 
para µ1 = 197
Gráfico CUSUM
 Método “CUSUM Tabular”
 Este método estabalece um gráfico de controle para as 
somas cumulativas dos desvios
 Os desvios acima e abaixo da média são tratados de forma 
separada:
𝐶𝑖
+ = 𝑚𝑎𝑥 0, 𝑥𝑖 − 𝜇0 + 𝐾 + 𝐶𝑖−1
+
𝐶𝑖
− = 𝑚𝑎𝑥 0, 𝜇0 − 𝐾 − 𝑥𝑖 + 𝐶𝑖−1
−
Gráfico CUSUM
 A constante 𝐾 é chamada de valor de referência ou valor 
de folga/tolerância
 O valor de 𝐾 é escolhido a meio caminho entre 𝜇0 e a 
média fora de controle 𝜇1 que desejamos detectar 
rapidamente
 Seja 𝛿 o desvio que se deseja detectar em termos de 
unidades de desvio padrão, então:
𝐾 =
𝛿𝜎
2
=
𝜇1 − 𝜇0
2
Gráfico CUSUM
 Em nosso exemplo, suponha que desejamos detectar 
desvios de ordem 𝛿 = 1,5𝜎:
𝑀𝑅 = 7,29
 𝜎 =
𝑀𝑅
𝑑2
=
7,29
1,128
= 6,423
𝐾 =
1,5𝜎
2
=
1,5 × 6,423
2
= 4,847
Lembre-se de usar os valores do processo sob controle para 
estimar a média e o desvio padrão do processo!
Gráfico CUSUM
 Cálculo dos valores na tabela:
Desvios Acima Desvios Abaixo
Am. 𝒙𝒊 𝒙𝒊 − 𝝁𝟎 + 𝑲 𝑪𝒊
+ 𝑵+ 𝝁𝟎 − 𝑲 − 𝒙𝒊 𝑪𝒊
− 𝑵−
1 196,48 -8,46 0,00 0 -1,23 0,00 0
2 209,23 4,29 4,29 1 -13,98 0,00 0
3 202,28 -2,67 1,62 2 -7,02 0,00 0
4 190,38 -14,57 0,00 0 4,88 4,88 1
5 192,22 -12,72 0,00 0 3,03 7,90 2
6 198,19 -6,76 0,00 0 -2,94 4,97 3
7 207,03 2,08 2,08 1 -11,77 0,00 0
8 194,36 -10,59 0,00 0 0,90 0,90 1
9 192,50 -12,45 0,00 0 2,75 3,65 2
10 204,44 -0,51 0,00 0 -9,19 0,00 0
Gráfico CUSUM
 Observações
 As colunas 𝑵+ e 𝑵− contabilizam a quantidade de pontos 
consecutivos acima ou abaixo dos valores de tolerância
 Qual será o limite de controle do gráfico?
 Por padrão, utiliza-se como limite superior do gráfico 𝐻 = 4
ou 𝐻 = 5 vezes o desvio padrão do processo
 Em nosso exemplo usaremos 𝐻 = 5:
 Alguns softwares como o Minitab usam 𝐻 = 4 como 
padrão
𝐿𝐶 = 5𝜎 = 5 × 6,46 = 32,31
Gráfico CUSUM
 Cálculo das amostras fora de controle:
Desvios Acima Desvios Abaixo
Am. X 𝒙𝒊 − 𝝁𝟎 + 𝑲 𝑪𝒊
+ 𝑵+ 𝝁𝟎 − 𝑲 − 𝒙𝒊 𝑪𝒊
− 𝑵−
26 200,64 -4,31 0,00 0 -5,39 0,00 0
27 215,03 10,08 10,08 1 -19,77 0,00 0
28 203,88 -1,07 9,01 2 -8,62 0,00 0
29 215,30 10,35 19,36 3 -20,04 0,00 0
30 204,79 -0,15 19,20 4 -9,54 0,00 0
31 211,5045 6,56 25,76 5 -16,25 0,00 0
32 209,5079 4,56 30,33 6 -14,26 0,00 0
33 214,129 9,18 39,51 7 -18,88 0,00 0
34 205,7576 0,81 40,32 8 -10,51 0,00 0
35 207,3074 2,36 42,68 9 -12,06 0,00 0
Gráfico CUSUM
 Gráfico de controle:
Gráfico CUSUM
Amostra Valor 𝑪𝒊
+ 𝑪𝒊
−
0 NA 0 0
1 100,52 0 0
2 95,34 0 3,66
3 104,58 3,58 0
4 97,53 0,11 1,47
5 101,37 0,48 0
6 98,38 0 0,62
7 98,72 0 0,91
8 98,22 0 1,68
9 99,29 0 1,39
10 100,93 0 0
11 99,66 0 0
12 102,12 1,12 0
13 101,23 1,35 0
14 103,29 3,64 0
15 101,30 3,94 0
16 100,09 3,03 0
17 101,32 3,35 0
18 98,45 0,80 0,55
19 101,32 1,11 0
20 103,91 4,03 0
Exemplo
Neste exemplo deseja-se detectar 
variações próximas de 102
𝜇0 = 100
𝜎 = 1
𝜇1 = 102
𝐻 = 4
𝐿𝐶 = 4𝜎 = 4
𝐾 =
102 − 100
2
= 1
Gráfico CUSUM
Soma cumulativa acima de 101 Soma cumulativa abaixo de 99
𝑪𝒊
+ 𝑪𝒊
−
Gráfico CUSUM
 Exercício: Suponha um processo com média histórica 
𝜇0 = 25,03 com desvio padrão 𝜎 = 0,3. O gerente da 
qualidade deseja detectar causas especiais caso a média 
se desloque para 𝜇1 = 25,5. Avalie as amostras a seguir e 
verifique se o processo está sob controle usando 𝐻 = 4: 
Gráfico CUSUM
 Tabela para cálculo dos valores:
Desvios Acima Desvios Abaixo
Am. X 𝒙𝒊 − 𝝁𝟎 + 𝑲 𝑪𝒊
+ 𝑵+ 𝝁𝟎 − 𝑲 − 𝒙𝒊 𝑪𝒊
− 𝑵−
1 24,99384
2 25,79277
3 24,67538
4 24,68091
5 25,65027
6 25,19318
7 25,0682
8 25,51192
9 25,60177
10 25,23084
Gráfico CUSUM
 Solução do exercício:
Desvios Acima Desvios Abaixo
Am. X 𝒙𝒊 − 𝝁𝟎 + 𝑲 𝑪𝒊
+ 𝑵+ 𝝁𝟎 − 𝑲 − 𝒙𝒊 𝑪𝒊
− 𝑵−
1 24,99384 -0,27116 0 0 -0,19884 0 0
2 25,79277 0,52777 0,52777 1 -0,99777 0 0
3 24,67538 -0,58962 0 0 0,11962 0,11962 1
4 24,68091 -0,58409 0 0 0,11409 0,23371 2
5 25,65027 0,38527 0,38527 1 -0,85527 0 0
6 25,19318 -0,07182 0,31345 2 -0,39818 0 0
7 25,0682 -0,1968 0,11665 3 -0,2732 0 0
8 25,51192 0,24692 0,36357 4 -0,71692 0 0
9 25,60177 0,33677 0,70034 5 -0,80677 0 0
10 25,23084 -0,03416 0,66618 6 -0,43584 0 0