Apostila MF juros e descontos Composto FCB 2018

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FUNDAÇÃO EDUCACIONAL PRESIDENTE CASTELO BRANCO 
CURSO DE CIÊNCIAS CONTÁBEIS E ADMINISTRAÇÃO 
APOSTILA DE MATEMÁTICA FINANCEIRA - Prof. Eduardo 
JUROS E DESCONTO COMPOSTO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 FACULDADE CASTELO BRANCO 
 CURSO DE ADMINISTRAÇÃO E CIÊNCIAS CONTÁBEIS 
 MATEMÁTICA FINANCEIRA – PROF. EDUARDO 
 
1. JUROS COMPOSTOS 
 
 São Juros capitalizados, ou seja, juros sobre juros. Na verdade são juros sobre o montante 
capitalizado anteriormente. 
Os cálculos envolvendo juros compostos possuem uma estrutura muito semelhante à usada nos 
juros simples. Os juros compostos referem-se às situações em que os juros são integrados ao Capital, a 
cada cálculo. Para facilitar, vamos pegar um exemplo clássico: Caderneta de Poupança. A cada mês os 
juros são incorporados ao Capital e no próximo mês os juros incidirão sobre esse montante e assim 
sucessivamente. No caso dos juros compostos, o resultado é o próprio Montante Final. 
Os juros compostos são capitalizados porque fraciona o período em unidades de acordo com a taxa. Os 
juros simples não são capitalizados porque utiliza-se de apenas um período inteiro, sendo que são 
calculados uma única vez sobre o capital inicial. 
 
Ex: Vamos imaginar um empréstimo de R$ 100.000,00 com uma taxa de 5 % a.m. por 3 meses com um 
único pagamento no final. 
 
 
Juros Simples 
Juros 
Compostos 
1º mês 105.000,00 105.000,00 
2º mês 110.000,00 110.250,00 
3º mês 115.000,00 115.762,50 
 
1º mês => 100.000,00 x (1 + 0,05) = 105.000,00 
2º mês => 105.000,00 x (1 + 0,05) = 110.250,00 
3º mês => 110.250,00 x (1 + 0,05) = 115.762,50 
 Ou seja: 
M = 100.000,00 x 1,05 x 1,05 x 1,05 
M = 100.000,00 x (1,05)3 = 115.762,50 
 
 
Fórmula para o cálculo do Montante Composto: 
 
nICM )1( 
 Para o cálculo de somente os juros: ]1)1[(  nICJ 
Para o cálculo do período vamos fazer uso da propriedade de logaritmo: 
abab log.log 
. A HP 
12C arredonda para maior a resposta do número de períodos quando este não é exato. Para se obter a 
resposta exata, em dias, deverá ser introduzida a taxa diária equivalente. 
Para o cálculo da taxa de juros compostos vamos fazer uso de uma função da calculadora 
científica: 
x y
 ou y
x
. 
 
CONVENÇÕES UTILIZADAS 
A convenção é um método para determinar o Montante de um período n intermediário ou decimal. Pode 
ser linear e exponencial: 
 CONVENÇÃO LINEAR – o capital rende juros compostos na parte inteira e juros simples na 
fracionária. A HP 12C fornece o montante pela convenção linear. 
 CONVENÇÃO EXPONENCIAL – o capital rende juros compostos durante todo o período (inteiro + 
fracionário). Na HP 12C para que o montante seja fornecido pela convenção exponencial deve-se 
digitar a sequência STO EEX que faz aparecer no visor a letra C. 
 
 
Em juros compostos, quando não especificar, usar convenção exponencial. 
 
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TAXAS EQUIVALENTES 
Ao se tratar de Juros Simples a taxa equivalente é a própria taxa proporcional da operação. Por 
exemplo, a taxa de 3%am e 9%at são ditas proporcionais pois mantém a mesma relação e são também 
equivalentes, pois promovem a igualdade dos montantes de um mesmo capital ao final de certo período. 
Para o regime de Juros Compostos, por se tratar de capitalização exponencial, a expressão da taxa 
equivalente é a média geométrica da taxa de juros do período inteiro, isto é: 
 
11 
q
q ii
 Onde: q = números de períodos de capitalização 
 
Por exemplo: a taxa equivalente de 12%as é de aproximadamente 1,91%am em juros compostos, já que 
112,0166 i
 = 0,019067 x 100 

1,91%am. 
 
Naturalmente, se aplicarmos um capital a 12% em um semestre ou a 1,91% em 6 meses teremos o 
mesmo montante. 
 
TAXA NOMINAL E TAXA EFETIVA 
A taxa efetiva de juros é a taxa dos juros apurada durante todo o prazo n, sendo formada 
exponencialmente através dos períodos de capitalização, ou seja, é o processo de formação dos juros 
pelo regime de juros compostos ao longo dos períodos de capitalização. É obtida pela seguinte expressão: 
 
1)1(  qf ii
, onde q representa o número de períodos de capitalização dos juros. 
 
Exemplo: Seja a taxa de juros de 36%aa capitalizada mensalmente. Assim, 36%aa representa uma taxa 
nominal de juros. A capitalização, nesse caso mensal, ocorre por juros proporcionais simples, assim a taxa 
por período de capitalização é de 36% / 12 = 3%am (taxa proporcional). Ao se capitalizar esta taxa 
proporcional apura-se uma taxa efetiva de juros superior àquela declarada para a operação, vejamos: 
 
1)03,01( 12 fi
 = 0,42576 x 100 

42,6%aa. 
 
Para que 36%aa fosse considerada a taxa efetiva, a taxa mensal de juros deveria ser feita a partir da sua 
taxa equivalente. 
136,011212 i
 

 2,6%am 
 
Da mesma forma, ao se capitalizar exponencialmente esta taxa equivalente mensal chega-se, 
evidentemente, aos 36%aa. 
1)026,01( 12 fi
 

36%aa 
 
 
Na HP 12C: Siga os procedimentos abaixo para introduzir um programa que calcula a taxa equivalente 
através da calculadora HP 12C. Uma vez inserida, o programa só será apagado se efetuarmos a limpeza 
com as teclas ‘f’ ‘PRGM’. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exemplo1: Achar a taxa equivalente mensal de 12%as. 
12 ENTER 6 ENTER 
1 R/S  

 1,91%am 
 
Exemplo 2: Achar a taxa efetiva de 3%am 
3 ENTER 1 ENTER 
12 R/S  

 42,6%aa 
 
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EXERCÍCIOS DE JUROS COMPOSTOS 
1) Determine as seguintes taxas: 
a) Taxa efetiva anual de 9% aa capitalizados mensalmente. Resp: 9,38% 
b) Taxa efetiva anual de 15% aa capitalizados semestralmente. Resp: 15,56% 
c) Mensal equivalente a 52%aa. Resp: 3,55% am 
d) Trimestral equivalente a 82,25% as. Resp: 35% at 
 
2) Determinar o montante de uma aplicação de R$ 22.000,00 admitindo um prazo de 1 ano e meio e uma 
taxa de 12% at. Resp:43.424,10 
 
3) Qual o capital de um montante de R$ 98.562,25, efetuado pelo prazo de 6 meses a uma taxa de 
1,85%am? Resp:88.296,69 
 
4) Uma pessoa irá necessitar de R$ 12.000,00 daqui a 7 meses. Quanto ela deverá depositar hoje numa 
aplicação para resgatar o valor desejado no prazo, admitindo uma taxa de juros de 3,5%am? Resp: R$ 
9.431,89 
 
5) Calcular os juros de R$ 1.200,00 colocados por 4 anos a 20 %aa capitalizados semestralmente. 
Resp:1.372,31 
 
6) Qual o valor futuro de um investimento de R$ 10.000,00 aplicados a uma taxa de 18,5% aa pelo período 
de 95 dias? Resp: 10.458,12 
 
7) Qual a taxa mensal de juros necessária para um capital de R$ 2.500,00 produzir um montante de R$ 
4.489,64 durante um ano? Resp: 5% am 
 
8) Durante quanto tempo uma aplicação de R$ 26.564,85 produziu um montante de R$ 45.562,45 com 
uma taxa de 0,98% am? Resp: 55 m 10 d 
 
9) Uma loja está oferecendo uma mercadoria no valor de R$ 900,00 com desconto de 12% para 
pagamento a vista. Outra opção é pagar os R$ 900,00 após 30 dias sem desconto. Calcular o custo efetivo 
mensal da venda a prazo. Resp: 13,64 
 
10) Uma máquina é vendida à vista por R$ 600,00, ou então a prazo, sendo 20 % do preço a vista como 
entrada, mais uma parcela de R$ 550,00 dois meses após a compra. Qual a taxa mensal de juros 
compostos na operação? Resp: 7,04% am 
 
11) Um investidor resgatou a importância de R$ 255.000,00 nos bancos Alfa e Beta. Sabe-se que o 
investidor resgatou 38,55% no banco Alfa e o restante no banco Beta, com as taxas de 8% e 6% 
respectivamente. O prazo de ambas as aplicações foi de 1 mês. Quais foram os valores aplicados nos 
bancos Alfa e Beta? Resp: 91.020,83147.827,83 
 
12) Apliquei uma quantia à taxa de 4% am em regime de juros compostos. Depois de cinco meses, a taxa 
foi elevada para 12% am e o meu capital ficou ainda aplicado por três meses a essa nova taxa, quando, 
então, retirei o montante de R$ 170.930,97. A que taxa média mensal esteve aplicado? Resp: 6,93% 
 
13) Uma pessoa deve R$ 2.500,00 vencíveis no fim de 4 meses e R$ 8.500,00 de hoje a 8 meses. Que 
valor deve esta pessoa depositar numa aplicação que remunera à taxa de 2,77% am, de forma que possa 
efetuar os saques necessários para pagar seus compromissos? Admita em sua resposta que após a 
última retirada para liquidação da dívida: 
a) Não permanece saldo final; Resp: 9.072,23 
b) Permanece um saldo igual a R$ 4.000,00 na aplicação. Resp: 12.286,84 
 
14) Calcular o montante do capital de R$ 150.000,00, aplicado a 8,4% am, durante 6 meses e 17 dias. 
a) Pela convenção linear (capitalização mista) Resp: 254.954,36 
b) Pela convenção exponencial (capitalização composta). Resp: 254.751,57 
 
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2. DESCONTOS COMPOSTOS 
 Desconto é a quantia deduzida do valor nominal de um título ou dívida em razão de liquidação 
antecipada. Do ponto de vista do credor, é o abatimento que concede para antecipar o recebimento de um 
título; do ponto de vista do devedor, é a remuneração que o instiga a resgatar de imediato um débito em 
curso. 
 Quando as necessidades de caixa o impede de esperar o título de crédito pago por um cliente, 
entra em cena o investidor que adquire esse direito mediante certo desconto de seu valor nominal. Ou 
seja, os comerciantes quando necessitam receber de pronto o título de crédito, cedem a um banco ou 
empresa de factoring seu direito de recebimento futuro em troca de um percentual de seu valor nominal, 
um valor descontado. 
 O desconto calculado sucessivamente (desconto sobre desconto) é o desconto composto. 
 
Os principais elementos do desconto composto são: 
 
Valor Nominal (N)  é o valor total do título, ou seja, é o valor do título na data de seu vencimento (Valor 
futuro). 
 
Desconto (D)  é o valor abatido no título de crédito pela antecipação de seu resgate ou de sua 
liquidação. 
 
Valor Atual (A)  é o valor do título hoje, após o desconto. É também chamado de valor de resgate ou 
valor de liquidação (valor presente). 
 
OBS: As informações sobre o cálculo do período e da taxa, em juros compostos, também valem para 
descontos compostos. Vale ressaltar ainda que os conceitos de taxas equivalentes, taxas nominais e taxas 
efetivas permanecem também os mesmos. 
 
 
FÓRMULA: 
 
nICM )1( 
 Juros Compostos 
 
 
 
nIAN )1( 
 
 
Então: 
nI
N
A
)1( 

 
 
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EXERCÍCIOS DE DESCONTOS COMPOSTOS 
01) Calcule o valor atual de um título de valor nominal R$ 11.200,00 com vencimento para 2 anos e 6 
meses à taxa de 36 %aa capitalizado semestralmente. 
 
02) Em uma operação de desconto composto, o portador do título recebeu R$ 3.695,40 como valor de 
resgate. Sabendo que antecipou o pagamento em 4 meses com um desconto de R$ 304,60. Qual a taxa 
cobrada? 
 
03) A fim de substituir um título de R$ 400,00 para 30 dias, uma pessoa entrega, hoje, a importância de R$ 
100,00 e um título para 90 dias. Calcule o valor nominal do novo título a 5 %am. 
 
04) O banco A emprestou ao Sr. X a quantia de R$ 25.000,00 para ser paga com juros compostos de 5 % 
am, após 4 meses. Passados três meses, o Sr. X pagou R$ 20.000,00 da dívida, prometendo liquidar o 
restante dois meses após. Qual o valor dessa última parcela se o desconto oferecido for de 4 %am? 
 
05) A empresa Albornoz tomou R$ 53.890,00 emprestados para pagamento em 53 dias à taxa de 3,5%am. 
Qual o valor da dívida no vencimento, dado que, no 30º dia, abateu R$ 25.350,00 do saldo devedor? 
 
06) Uma pessoa compra uma televisão e paga 3 prestações mensais de R$ 500,00 cada, sem entrada, 
vencendo a primeira um mês após a compra. Supondo a taxa de juros (ou de desconto) de 5 %am. Achar 
o preço à vista do aparelho. 
 
07) Um investidor que dispõe de R$ 35.000,00 defronta-se com as seguintes alternativas de investimento: 
I – Investir no mercado financeiro e receber a remuneração líquida de 15 %aa 
II – Adquirir um título de crédito com vencimento em 3 anos no valor de R$ 53.000,00. 
III – Investir em um empreendimento que possibilitará um retorno de R$ 7.000,00 no final de 1 ano, R$ 
9.000,00 no segundo ano, R$ 11.000,00 no 3º, R$ 13.000,00 no 4º e R$ 15.000,00 no 5º ano. 
Admitindo que o risco seja o mesmo em todas as alternativas, pergunta-se: Qual é a melhor alternativa de 
investimento segundo o critério da Taxa Interna de Retorno (TIR)? Segundo o critério de VPL (Valor 
Presente Líquido) o empreendimento é viável? 
 
 
OBS: Taxa Interna de Retorno (TIR) é a taxa que zera o valor presente líquido de um fluxo de caixa. Valor 
presente líquido (VPL) de um fluxo de caixa é a diferença entre o valor atual das entradas e o valor atual 
das saídas. 
O que recomenda ao investidor ficar a favor ou contra determinado projeto é a relação de ordem entre a 
TIR e a taxa de mercado. Se ele tem seus recursos no mercado, qualquer outra possibilidade só é factível 
a taxa maior que aquela. 
Com o VPL como referência, o que prevalece é o resultado monetário final do negócio, em termos de lucro 
ou prejuízo. 
Não se devem aceitar os negócios que ofereçam taxas menores que as de mercado e muito menos 
aqueles que prometem prejuízo.