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Capítulo 5 Sucessões de Pagamentos e Recebimentos 
Matemática Financeira Paulo Apolinário 
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CAPÍTULO 5 
 
Rendas ou Sucessões de Pagamentos e Recebimentos 
 
 
5.1 Introdução 
 
São sucessões de pagamentos, ou recebimentos, exigíveis em épocas predeterminadas, 
destinadas a extinguir uma dívida ou constituir um capital. 
 
5.2 Simbologia 
 
 𝑅 ⟶ 𝑃𝑀𝑇 – cada pagamento – termo ou prestação da série; 
 𝑃 ⟶ 𝑃𝑉 – valor atual da anuidade – principal, valor presente ou capital inicial; 
 𝑆 ⟶ 𝐹𝑉 – valor futuro da anuidade – montante, capital a constituir; 
 𝑛– número de prestações; 
 𝑖– taxa unitária de juros; 
 
Obs. 1: o montante ou valor futuro da série não é o somatório dos pagamentos. 
Obs. 2: na HP 12C a taxa de juros não será utilizada na forma unitária. 
 
5.3 Fluxo de Caixa 
É a denominação dada ao conjunto de entradas e saídas de caixa (dinheiro) ao longo de 
determinado período de tempo. Todas as Empresas, Fundos de Investimento, Projetos, Títulos 
Financeiros, etc, possuem seus fluxos de caixa. O fluxo de caixa é uma ferramenta fundamental nas 
análises de custo e benefício de investimentos e nos estudos de viabilidade econômico-financeira de 
projetos. 
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5.4 Diagrama de um fluxo de caixa DFC 
Os fluxos de caixa podem ser representados através de tabelas ou de linhas do tempo 
chamados Diagramas de Fluxo de Caixa: 
Trata-se de um esquema formado por uma linha do tempo com setas para cima ou para baixo 
conforme a orientação dos termos e seus valores. 
 
 
 
 
 
 
5.5 Valor atual de um fluxo de caixa 
É a soma dos valores atuais de cada um de seus termos. O valor atual (ou presente) de uma 
renda equivale ao valor de uma dívida (empréstimo, valor à vista de um bem) que será pago em 
prestações. 
 
𝑃 = 𝑅0 +
𝑅1
(1 + 𝑖)1
+
𝑅2
(1 + 𝑖)2
+⋯+
𝑅𝑛
(1 + 𝑖)𝑛
 
 
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 Cálculo do principal na anuidade postecipada (P) 
 
Essas prestações são ditas postecipadas, pois a primeira prestação só é paga um período 
depois da compra. O valor de uma série uniforme de 𝑛 pagamentos igual a 𝑅, um período antes do 
primeiro pagamento (ou seja, na época zero), com uma taxa 𝑖 de juros. É igual a 
 
𝑃 =
𝑅1
(1 + 𝑖)1
+
𝑅2
(1 + 𝑖)2
+⋯+
𝑅𝑛
(1 + 𝑖)𝑛
 
 
que é a soma dos 𝑛 termos de uma progressão geométrica. Logo temos 
 
𝑃 =
𝑅(1 − (1 + 𝑖)−𝑛)
𝑖
 
 
 Cálculo da prestação postecipada (R) 
 
Deduz-se a fórmula da prestação, em anuidades postecipadas, a partir da fórmula do 
Principal. 
𝑅 =
𝑃𝑖
(1 − (1 + 𝑖)−𝑛)
 
 
 Cálculo do principal na anuidade antecipada (P) 
 
Essas prestações são ditas antecipadas, pois a primeira prestação é paga no ato da compra. 
Para se deduzir a fórmula seguinte basta multiplicar a fórmula do principal na anuidade postecipada 
pelo fator (1 + 𝑖), dessa forma temos: 
𝑃 =
𝑅(1 + 𝑖)(1 − (1 + 𝑖)−𝑛)
𝑖
 
 
 Cálculo da prestação antecipada (R) 
 
Deduz-se a fórmula da prestação em anuidades antecipadas, a partir da fórmula do Principal, 
conforme fizemos anteriormente, ou dividindo-se a fórmula das prestações postecipadas pelo fator 
(1 + 𝑖): 
𝑅 =
𝑃𝑖
(1 + 𝑖)(1 − (1 + 𝑖)−𝑛)
 
 
 
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5.6 Valor futuro de um fluxo de caixa 
 
É a soma dos montantes de cada um de seus termos. O montante de uma renda imediata 
corresponde à soma dos depósitos (termos) individuais, durante 𝑛 períodos, a uma taxa 𝑖 de juros. 
 
𝑆 = 𝑅0(1 + 𝑖)
𝑛 + 𝑅1(1 + 𝑖)
𝑛−1 + 𝑅2(1 + 𝑖)
𝑛−2 +⋯+ 𝑅𝑛−1(1 + 𝑖)
1 + 𝑅𝑛 
 
 Cálculo do valor futuro, valor de resgate ou montante na anuidade postecipadas (S) 
Sabendo-se que o valor futuro é dado por 𝑀 = 𝐶(1 + 𝑖)𝑛, e o valor atual de uma série de 
pagamentos já conhecemos. 
Substituindo o valor atual 𝑃 na igualdade anterior, chegamos ao valor futuro de uma série de 
pagamentos iguais. 
 
𝑆 =
𝑅[(1 + 𝑖)𝑛 − 1]
𝑖
 
 
 
5.7 Atividades 
Exercício 1. O valor da prestação do financiamento de uma geladeira, em 6 vezes, sem entrada, é 
R$ 230,00. Sabendo-se que a taxa de juros utilizada foi de 3,5% ao mês, calcule o preço, à vista, da 
geladeira. (Resposta: R$ 1.225,57) 
 
 
Exercício 2. Qual o valor atual de uma série de 20 prestações iguais a R$ 12.500,00, postecipadas, 
a uma taxa de 1,9% ao mês? (Resposta: R$ 206.379,17) 
 
 
Exercício 3. Sabendo-se que uma loja financia suas vendas com uma taxa de juros de 4% ao mês 
e que um cliente deseja comprar um eletrodoméstico no valor à vista de R$ 430,00 em 5 prestações 
mensais sem entrada, calcule o valor da prestação. (Resposta: R$ 96,59) 
 
 
 
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Exercício 4. O gerente de uma loja especializada em decoração deseja financiar um ambiente home 
cinema no valor de R$ 12.300,00 para um cliente, em 4 prestações mensais iguais, sem entrada. 
Sabendo-se que a loja utiliza uma taxa de juros de 4,2% ao mês, calcule o valor da prestação. 
(Resposta: R$ 3.404,51) 
 
 
Exercício 5. Um estudante deseja adquirir um automóvel no valor de R$ 12.500,00. Como não possui 
toda quantia, decide fazer uma poupança programada com 12 depósitos mensais iguais. Sabendo 
que a taxa de remuneração da aplicação financeira em que fará a poupança programada é de 0,8% 
ao mês, calcule o valor da aplicação mensal. (Resposta: R$ 996,62) 
 
 
Exercício 6. Uma pessoa deposita, mensalmente, a quantia de R$ 1.500,00, em uma conta de 
poupança que rende juros de 0,6% ao mês. Qual será o saldo da conta imediatamente após o oitavo 
depósito? (Resposta: R$ 12.255,05) 
 
 
Exercício 7. Um bem, cujo preço à vista é R$ 120,00, é vendido em 6 prestações mensais, 
antecipadas (isto é, a primeira é paga no ato da compra). Se os juros são de 10% ao mês. Determine 
o valor das prestações. (Resposta: R$ 25,05) 
 
 
 
Exercício 8. Uma loja calculou o financiamento de um conjunto de estofados em 10 prestações 
mensais iguais a R$ 600,00, a primeira delas na entrada. Sabe-se que o crediário da loja utiliza uma 
financeira cuja taxa de juros é de 2,5% ao mês. Calcule qual foi o valor dos sofás à vista. (Resposta:R$ 5.382,52) 
 
 
 
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Exercício 9. O departamento de crédito de uma loja financia seu cliente em 5 prestações mensais 
iguais, sendo a primeira na entrada. Sabendo-se que a taxa de juros utilizada é de 3,5% ao mês, 
calcule qual será o valor da prestação do financiamento de um refrigerador, no valor de R$ 1.200,00. 
(Resposta: R$ 256,79) 
 
 
Exercício 10. Um cobertor de lã importado custa, à vista, R$ 850,00. Sabendo que a loja cobra juros 
à taxa de 4,5% ao mês, calcule o valor da prestação para um financiamento em 6 pagamentos 
mensais iguais ao primeiro na entrada. (Resposta: R$ 157,70) 
 
 
Exercício 11. Calcule o valor da prestação de um enxoval de noivas de R$ 1.700,00, financiado em 
6 prestações mensais iguais, a primeira vencendo 4 meses após a compra, a taxa de juros de 3,9% 
ao mês. (Resposta: R$ 362,55) 
 
 
Exercício 12. Encontre o valor da prestação do financiamento da compra de um automóvel, no valor 
à vista de R$ 19.000,00, em 24 pagamentos mensais iguais, o primeiro vencendo 5 meses após a 
compra, sabendo-se que a taxa de juros utilizada é de 1,99% ao mês. (Resposta: R$ 1.085,70) 
 
 
Exercício 13. Sabendo-se que a taxa de juros adotada pelo crediário de uma loja é de 2,7% ao mês, 
calcule o valor, à vista, de um refrigerador que foi vendido em 12 prestações iguais a R$ 120,00, 
sendo a primeira com vencimento 5 meses após a compra. (Resposta: R$1093,22) 
 
 
Exercício 14. Sabendo-se que uma financeira utiliza, como taxa de juros, 3,4% ao mês e que a 
mesma financiou a compra de um automóvel em 36 prestações mensais iguais a R$ 850,00, sendo a 
primeira com vencimento 6 meses após a compra, calcule o valor à vista do automóvel. (Resposta: 
R$ 14.803,88)