Revisão Matemática - 2014

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Revisão 
Matemática 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof.: José Fernando Santiago Prates 
Universidade de Franca – UNIFRAN 
Franca - 2014 
 
 
 
 
 
Cálculo Diferencial Revisão Matemática 
 
José Fernando Santiago Prates 2 
 
Conteúdo 
Revisão Matemática ........................................................................................................ 1 
Revisão Matemática .......................................................................................................................... 4 
1. Conjuntos ..................................................................................................................................................... 4 
1.1. Símbolos ....................................................................................................................................................... 4 
1.2. Operações em Conjunto ............................................................................................................................ 4 
 Intersecção (disjunção) ................................................................................................................................ 4 
 União (conjunção) ............................................................................................................................................ 4 
 Diferença .......................................................................................................................................................... 4 
 Conjunto Vazio ................................................................................................................................................. 4 
1.3. Propriedades: ............................................................................................................................................... 4 
2. Conjuntos Numéricos................................................................................................................................ 5 
3. Propriedades das operações de Adição e Multiplicação ................................................................ 5 
3.1. Lembrete: Sinais nas operações de adição e subtração algébrica temos: ..................................... 6 
3.2. Lembrete: Sinais nas operações de multiplicação e divisão algébrica temos: .............................. 6 
4. Decomposição de um número em um produto de fatores primos ................................................ 7 
5. Mínimo múltiplo comum (m.m.c.) ............................................................................................................ 7 
6. Máximo divisor comum (m.d.c.) .............................................................................................................. 7 
7. Propriedades da relação de igualdade (entre números) ................................................................ 7 
8. Intervalos .................................................................................................................................................... 8 
8.1. Intervalo Aberto ................................................................................................................................... 8 
8.2. Intervalo Fechado ................................................................................................................................. 8 
8.3. Intervalo aberto à direita e fechado à esquerda ....................................................................... 8 
8.4. Intervalo fechado à direita e aberto à esquerda ....................................................................... 8 
8.5. Intervalos padrões ............................................................................................................................... 8 
9. Valor Absoluto ............................................................................................................................................ 9 
9.1. Propriedades e Regras de valores absolutos ........................................................................................ 9 
10. Potenciação............................................................................................................................................ 10 
10.1. Estudos de Casos .................................................................................................................................. 10 
10.2. Propriedades ......................................................................................................................................... 10 
10.3. Potências decimais ............................................................................................................................... 12 
10.4. Números decimais ................................................................................................................................ 12 
10.5. Notação científica ............................................................................................................................... 12 
11. Operações entre Frações ................................................................................................................. 13 
11.1. Soma: ........................................................................................................................................................... 13 
11.2. Subtração .............................................................................................................................................. 13 
11.3. Produto ................................................................................................................................................... 13 
11.4. Divisão..................................................................................................................................................... 14 
12. Produtos Notáveis ............................................................................................................................... 15 
13. Fatorações Básicas ............................................................................................................................. 15 
13.1. Fatoração por fator comum ( o colocar em evidência ) ................................................................ 16 
13.2. Fatoração por Agrupamento .............................................................................................................. 16 
14. Equação do 1º Grau ............................................................................................................................. 17 
15. Sistema de equações do 1º grau com duas incógnitas .............................................................. 17 
16. Equação do 2º Grau ............................................................................................................................. 18 
16.1. Equação do 2º Grau incompleta Ax2 + Bx = 0 ............................................................................... 19 
16.2. Equação do 2º Grau incompleta Ax2 + C = 0 ................................................................................. 19 
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17. Solução da Equação do 2º Grau pela Soma Produto .................................................................. 20 
18. Inequação do 1º Grau ......................................................................................................................... 20 
19. Inequação do 2º Grau ......................................................................................................................... 21 
20. Radiciação .............................................................................................................................................. 22 
20.1. Propriedades .........................................................................................................................................22 
21. Equações Irracionais .......................................................................................................................... 23 
22. Relações entre Funções Trigonométricas .................................................................................... 24 
23. Relações Trigonométricas ................................................................................................................ 25 
24. Divisão de Polinômios. ......................................................................................................................... 27 
25. Relações entre Funções Logarítmicas ........................................................................................... 28 
26. Geometria Plana ................................................................................................................................... 29 
26.1. Apresentação das figuras planas e suas fórmulas ........................................................................ 29 
 Quadrado ........................................................................................................................................................ 29 
 Retângulo ........................................................................................................................................................ 29 
 Losango ............................................................................................................................................................ 29 
 Paralelogramo ................................................................................................................................................. 29 
 Trapézio .......................................................................................................................................................... 30 
 Triângulo Qualquer ....................................................................................................................................... 30 
 Triângulo Eqüilátero ..................................................................................................................................... 30 
 Círculo .............................................................................................................................................................. 30 
26.2. Apresentação das figuras Geometria Espacial .............................................................................. 31 
 Cubo ................................................................................................................................................................. 31 
 Pirâmide .......................................................................................................................................................... 31 
 Cilindro circular reto .................................................................................................................................... 31 
 Cone circular reto ......................................................................................................................................... 31 
 Esfera: ............................................................................................................................................................. 31 
28. Alfabeto Grego .................................................................................................................................... 32 
29. Símbolos Matemáticos ....................................................................................................................... 32 
 
 
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Revisão Matemática 
1. Conjuntos 
1.1. Símbolos 
 { } : Conjunto, 
  : Conjunto vazio, 
  : Não está contido, 
  : Contém, 
  : Pertence, 
  : Não Pertence 
  : Está contido, 
  : Não está contido, 
  : Interseção, 
  : União, 
 - : Subtração, 
 + : Adição. 
 
1.2. Operações em Conjunto 
Sejam os conjuntos A e B. 
 Intersecção (disjunção) 
Chamamos de intersecção o conjunto A  B formado pelos 
elementos comuns a ambos os conjuntos. 
 
A  B = {todo x tal que x  A e x  B} 
Exemplo: {1,2,3,4}{2,5}={2} 
 
 União (conjunção) 
Chamamos de união o conjunto A  B formado pelos elementos 
que pertencem a A ou a B ou a ambos. 
 
A  B = {todo x tal que x  A ou x  B} 
Exemplo: {1,2,3,4}{2,5}={1,2,3,4,5} 
 
 Diferença 
Chamamos de diferença o conjunto A - B formados pelos 
elementos que pertencem a A e não pertencem a B. 
 
A - B = {todo x tal que x  A e x  B} 
Exemplo: {1,2,3,4}- {2,5}={1,3,4,5} 
 
 Conjunto Vazio 
Um conjunto sem elementos. 
 ou 
 
 
1.3. Propriedades: 
 n (A  B) = n (A) + n (B) - n (A  B) 
 (A  B)  C = A  (B  C) = A  B  C 
 A  B = B  A 
 A  B = B  A 
 (A  B)  C = A  (B  C) = A  B  C 
   A = ; 
   A = A 
 
B A 
B A 
B A 
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2. Conjuntos Numéricos 
 Naturais : N ={0, 1, 2, 3,......, } 
 Inteiros : Z ={ - , ...., -2, -1, 0, 1, 2, 3,......, } 
 Racionais : Q ={
b
a
 tal que a, b  Z e b  0} 
 Irracionais : I ={Todos os números que não podem ser 
escrito como um Irracional} 
 Reais : R = Q  I 
 
3. Propriedades das operações de Adição e Multiplicação 
 Para  a, b, c  R 
 a + b = b + a (comutativa) 
Exemplo: 2 + 3 = 3 + 2 = 5 
 a  b = b  a (comutativa) 
Exemplos: 1) 2.3 = 3.2 = 6 
 2) 2.a = a.2 
 (a + b) + c = a + (b + c) = a + b + c (associativa) 
Ex: (2+3)+4 = 2+(3+4) = 2+3+4 = 9 
 (a . b) . c = a . (b . c) = a . b . c (associativa) 
Ex: (2.3).4 = 2.(3.4) = 2.3.4 = 24 
 a + 0 = a (elemento neutro na adição) 
Ex: 2 + 0 = 0 
 a . 0 = 0 
Ex: 3.0 = 0 
 a . 1 = a (elemento neutro no produto) 
Ex: 5.1 = 5 
 (a + b).c = a.c + b.c (distributiva) 
Ex: 1) (2+3).4 = 2.4 + 3.4 = 
 2) 2.(5+3) = 2.5 + 2.3 = 
3) 2(x-7) = 2x + 3(-7) = 
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3.1. Lembrete: Sinais nas operações de adição e subtração algébrica temos: 
 Efetua-se a operação prevalecendo o sinal do maior. 
Exemplos: 
1) -2 +3 = 1 
2) 5 -3 = 2 
3) 2 –7 = -5 
4) -2 –7 = -9 
5) 2 +7 = 9 
6) -2 +7 = 5 
 
 
3.2. Lembrete: Sinais nas operações de multiplicação e divisão algébrica 
temos: 
 Sinais iguais  resposta positiva 
 Sinais diferentes  resposta negativa 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplos: 
1) (-2).(3) = -6 
2) (5).(-3) = -15 
3) (2).(–7) = -14 
4) (-2).(–7) = 14 
5) (2).(7) = 14 
6) (-2).(7) = -14 
 
 
 
 
 
 
)()(*)(
)()(*)(
)()(*)(
)()(*)(




 
)()()(
)()()(
)()()(
)()()(




 
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4. Decomposição de um número em um produto de fatores primos 
A decomposição de um número em um produto de fatores primos, onde 
o número é divido por 2, 3, 5, 7... 
Exemplos: 
1. 20 =2*2*5, 
2. 30 =2*3*5, 
3. 36 =2*2*3*3, 
4. 45 =3*3*5, 
5. Mínimo múltiplo comum (m.m.c.) 
O mínimo múltiplo comum a vários números é o menor número 
divisível por todos eles. 
Exemplos: 
1)
5
3
3
2
2
1
1
3
9
18
36
1
5
5
5
10
20
 2)
5
3
2
2
1
5
5
10
20
1
1
36
12
 
(20, 36)=2*2*3*3*5=180 (12, 20)=2*2*3*5=60 
6. Máximo divisor comum (m.d.c.) 
O máximo divisor comum a vários números é o maior número primo 
divisível por todos eles. 
Exemplos: 
a) mdc (6,12) = 6 
6 = 1, 2, 3, 6 
12 = 1, 2, 3, 4, 6, 12. 
b) mdc (12,20,24) = 4 
12 =1, 2, 3, 4, 6, 12. 
20 =1, 2, 4, 5, 10, 20. 
24 =1, 2, 4, 6, 12, 24. 
c) mdc (6,12,15) = 3 
6 =1, 2, 3, 4, 6. 
12 =1, 2, 3, 4, 6, 12. 
15 =1, 2, 3, 15. 
 
7. Propriedades da relação de igualdade (entre números) 
 Para  a, b, c  R 
 a = a 
 a = b  b = a 
 Se a = b e b = c  a = c 
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8. Intervalos 
8.1. Intervalo Aberto 
{ x tal que a < x < b}  Notação: (a,b) ou ]a,b[ 
Exemplos: 
a). { x tal que 1 < x < 5}  x  (1, 5) 
b). { x tal que -3 < x < 4}  x  (-3, 4) 
c). { x tal que - < x < 4}  x  (-, 4) 
d). { x tal que 7 < x < }  x  (7, ) 
 
8.2. Intervalo Fechado 
{ x tal que a  x  b}  Notação: [a,b] 
Exemplos: 
a). { x tal que 3  x  7}  x  [3, 7] 
b). { x tal que -2  x  5}  x  [-2, 5] 
 
8.3. Intervalo aberto à direita e fechado à esquerda 
{ x tal que a < x  b}  Notação: (a,b] ou ]a,b] 
Exemplos: 
a). { x tal que 3 < x  7}  x  (3, 7] 
b). { x tal que -2 < x  5}  x  (-2, 5] 
c). { x tal que - < x  4}  x  (-, 4] 
 
8.4. Intervalo fechado à direita e aberto à esquerda 
{ x tal que a  x < b}  Notação: [a,b) ou [a,b) 
Exemplos: 
a). { x tal que 3  x < 7}  x  [3, 7) 
b). { x tal que -2  x < 5}  x  [-2, 5) 
c). R+ = { x tq 5  x <  }  x  [5, ) 
 
8.5. Intervalos padrões 
a). R = { x tq - < x <  }  x  (-, ) 
b). R+ = { x tq 0  x <  }  x  [0, ) 
c). R- = { x tq - < x  0 }  x  (-, 0] 
d). R* = { x tq - < x < 0 ou 0 < x <  }  x  (-, ) – {0} 
e). R*+ = { x tq 0 < x <  }  x  (0, ) 
f). R*- = { x tq - < x < 0 }  x  (-, 0) 
 
 
 
 
 
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9. Valor Absoluto 
O valor absoluto de um número x  R, que escrevemos |x| 
(lêse, módulo de x), é definido por: 
 |x| = x, se x > 0 
 |x| = -x, se x < 0 
 |x| = 0, se x = 0 
 
9.1. Propriedades e Regras de valores absolutos 
 Para  x e a  R 
1. |x| < a, -a < x e x < a, ou seja, -a < x < a. 
2. |x|  a, -a  x e x  a, ou seja, -a  x  a. 
3. |x| > a, x < -a ou x > a. 
4. |x|  a, x  -a ou x  a. 
5. |a| = |a| 
6. |ab| = |a||b| 
7. |a + b|  |a| + |b| 
8. |a  b|  |a||b| 
 
Exemplos 
1. |x| < 3  3 < x < 3 ou seja, x  (-3, 3) 
2. |x|  5  5  x  5 ou seja, x  [-5, 5] 
3. |x| < 2  Impossível, pois o módulo é positivo. 
4. |x+1| < 3  4 < x < 2 ou seja, x  (-4, 2) 
5. |x -1|  3  2  x  4 ou seja, x  [-2, 4] 
6. |x| > 3  x < -3 ou x > 3 ou seja, x  (,-3) ou x  (3,). 
7. |x|  2  x -2 ou x  2 ou seja, x  (,-2] ou x  [2,) 
8. |x+1| > 3  x< 2 ou x >-4 ou seja, x  (,2) ou x  (4,) 
9. |x + 4|  3  x  -1 ou x  -7 ou seja, x  (,-7] ou x  [-1,) 
10. |2x - 1| < 3  1 < x < 2 ou seja, x  (-1, 2). 
11. 
1
5
32

x
  1  x  4 ou seja, x  [-1, 4] 
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10. Potenciação 
 
 a
n
 = aaaaaa...aa , onde: a : Base, 
 n : Expoente, 
 a
n
 : Potência. 
10.1. Estudos de Casos 
 
 Quando a base é positiva a potência será sempre positiva. 
 
Exemplos: 1) (2)4 =(2)(2)(2)(2) = 16 
 2) (2)3 = (2)(2)(2) = 8 
 3) (5)3 = (5)(5)(5) = 125 
 
 Quando a base é negativa e o expoente par a potência será 
sempre positiva. 
 
Exemplos: 1) (-2)4 = (-2)(-2)(-2)(-2) = 16 
 2) (-3)2 = (-3)(-3) = 9 
 3) (-7)2 = (-7)(-7) (-7) = 343 
 
 Quando a base é negativa e o expoente ímpar A potência será 
sempre negativa. 
 
Exemplos: 1) (-3)3 = (-3)(-3)(-3) = - 27 
 2) (-2)5 = (-2)(-2)(-2)(-2)(-2) = - 32 
 3) (-5)3 = (-5)(-5)(-5) = - 125 
10.2. Propriedades 
1. am  an = am+n 
Exemplos: 1) 2
423 = 24+3 = 27 
2) 2
32-5 = 22-5 = 2-3 
3) 3
33-3 = 0 
2. am  an = am-n 
Exemplos: 1) 2
42-2 = 24(-2) = 26 
2) 2
523 = 253 = 22 
3) 5
554 = 5 
3. (a  b)n = an  bn 
Exemplos: 1) (23)3 = 2333 
2) (2a)
3
 = 2
3
a
3
 
3) (3x)
2
 = 9x
2
 
n fatores 
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4. (a  b)n = an  bn 
Exemplos: 1) (52)3 = 5323 
2) (23)3 = 2333 
3) (42)3 = 8 
5. (am)n = amn 
Exemplos: 1) (2
2
)
3
 = 2
6
 
 
2) (2
3
)
4
 = 2
12
 
3) (3
2
)
3
 = 3
6
 
6. a1 = a 
Exemplos: 1) 2
1 
= 2
 
2) -7
1 
= -7 
3) 5
1 
= 5 
7. a0 = 1 
Exemplos: 1) 2
0 
= 1
 
2) 5
0 
= 1 
3) x
0 
= 1 
8. a–n =
na
1 
Exemplos: 1) 4
-2
 = 
0625,0
16
1
4
1
2

 
2) 5
-3
 = 
008,0
125
1
5
1
3

 
3) 2
-1
 = 0,5 
9. n pnp aa  
Exemplos: 1) 3 232 22 
 
2) 7 575 22  
3) 2421  
 
 
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10.3. Potências decimais 
Efetuam-se as potências de 10 escrevendo à direita da unidade tantos zeros quantas 
forem as unidades do expoente. 
Exemplos: 
a) 10² = 100 
b) 107 = 10000000 
c) 200 = 2 * 100 = 2 * 10² 
d) 4000 = 4 * 10³ 
e) 300 000 = 3 * 105 
f) 3 * 108 = 300000000 
10.4. Números decimais 
Todo número decimal equivalente a um produto do qual um fator é o número escrito 
como inteiro, e outro é uma potência de dez com expoente negativo, com tantas 
unidades no expoente quantas são as ordens decimais. 
Exemplos: 
a) 0,001 = 10-3 
b) 0,002 = 2 . 10-3 
c) 0,00008 = 8 . 10-5 
d) 1,255 = 1255 . 10-3 
e) 2 . 10-3 = 0,002 
f) 12345 = 1,2345 . 104 
 
10.5. Notação científica 
Exemplos: 
a. 0,00112 ≈ 1,1 . 10-3 
b. 0,002234 ≈ 2,2 . 10-3 
c. 0,00008357 ≈ 8,3 . 10-5 
d. 12345 ≈ 1,2 . 104 
e. 123,567 ≈ 1,2 . 102 
 
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11. Operações entre Frações 
11.1. Soma: 
 
oCompensaçã da Lei
y
b
x
a
xy
bx
xy
ay

 = 
xy
bxay 
 
Ex 1: 
3
zyx
3
z
3
y
3
x 

, mesmo denominador somam-se os numeradores. 
Ex 2: 
6
y3+x2
2.3
y3
2.3
x2
2
y
3
x

 
Ex 3: 
6
23
6
158
2.3
5.3
2.3
2.4
2
5
3
4



 
Ex 4: 
60
227
60
727580
4.3.5
4.3.6
5.3.4
5.3.5
5.4.3
5.4.4
5
6
4
5
3
4



 
11.2. Subtração 
 
oCompensaçã da Lei
y
b
x
a
xy
bx
xy
ay

 = 
xy
bx-ay 
Ex 1: 
5
zyx
5
z
5
y
5
x 

, mesmo denominador subtraem-se os numeradores. 
Ex 2: 
6
y3x2
2.3
y3
2.3
x2
2
y
3
x 

 
Ex 3: 
6
7
6
158
2.3
5.3
2.3
2.4
2
5
3
4



 
Ex 4: 
60
67
60
727580
4.3.5
4.3.6
5.3.4
5.3.5
5.4.3
5.4.4
5
6
4
5
3
4



 
11.3. Produto 
 
 
Linha em Multiplica
y
b
x
a
xy
ab 
Ex 1: 
6
xy
2
y
3
x

 
Ex 2: 
310
6
20
2.3
5.4
2
5
3
4

 
Ex 3: 
2
5.4.3
6.5.4
5
6
4
5
3
4

 
 
Cálculo Diferencial Revisão Matemática 
 
José Fernando Santiago Prates 14 
 
11.4. Divisão 
 
Cruz em Multiplica
y
b
x
a
xb
ay 
Ex 1: 
y3
x2
2
y
3
x

 
Ex 2: 
15
8
5.3
2.4
2
5
3
4

 
Ex 3: 
3
4
5.6
4.10
4
5
6
10

 
 
 
 
Exemplo 1: Simplificar a expressão 
1x
1
x
1x
x



 
 
Solução: 
1x
1
x
1x
x


 = 
1x
1
1x
)1x(x
1x
x




 
= 
1x
1xx
1x
x
2


 
= 
)1xx)(1x(
)1x(x
2 

 
= 
1x2x
xx
3
2

 
 
Exemplo 2: Simplificar a expressão 
x
x1
x
1x
x
1




 
 
y
b
x
a

 ou 














y
b
x
a
 
Cálculo Diferencial Revisão Matemática 
 
José Fernando Santiago Prates 15 
 
12. Produtos Notáveis 
 (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 
 (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 
 (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a + b)(a + b)2 
 (a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 = (a – b)(a – b)2 
 (a + b)4 = a4 +4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4 = (a + b)2(a + b)2 
 (a - b)4 = a4 -4a3b + 6a2b2  4ab3 + b4 = (a  b)2(a  b)2 
 (a + b)5 = a5 +5a4b +10a3b2 +10a2b3 + 5ab4 +b5 = (a + b)3(a + b)2 
 (a - b)5 = a5 -5a4b +10a3b2 10a2b3 + 5ab4 b5 = (a - b)3(a - b)2 
Exemplos: 
1) (x + 3)
2 
= x
2
 + 6x + 9
 
2) (2x - 3)
2
 = 4x
2
 – 12x + 9 
3) (x + 2)
3
 = x
3
 + 6x
2
 + 12x + 8 
4) (x – 5)3 = x3 – 15x2 + 75x – 125 
5) (2x – 3)3 = 8x3 – 36x2 + 54x – 27 
13. Fatorações Básicas 
 a2 – b2 = (a + b)(a – b) 
 a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2) 
 a4 - b4 = (a2 - b2)(a2 + b2) = (a + b)(a – b)(a2 + b2) 
 a5 - b5 = (a - b)(a4 + a3b + a2b2 + ab3 + b4) = 
 a6 - b6 = (a3)2 - (b3)2 = [(a3)-(b3)][(a3)+(b3)] 
 = (a2)3 - (b2)3 
= [(a2)-(b2)][(a2)2 + a2b2 +(b2)] 
 a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2) 
 a5 + b5 = (a + b)(a4 - a3b + a2b2 - ab3 + b4) 
Exemplos: 
1) x
2 
- 1
 
= x
2
 - 1
2
 = (x – 1)(x + 1) 
2) x
2 
- 4
 
= x
2
 - 2
2
 = (x – 2)(x + 2) 
3) x
2 
- 9
 
= x
2
 - 3
2
 = (x – 3)(x + 3) 
4) x
3
 – 1 = x3 – 13 = (x – 1)(x2 + x + 1) 
5) x
3
 – 8 = x3 – 23 = (x – 2)(x2 + 2x + 4) 
6) x
3
 – 27 = x3 – 33 = (x – 3)(x2 + 3x + 9) 
7) 8x
3
 – 27y3 = (2x)3 – (3y)3 = (2x – 3y)(4x2 + 6xy + 9y2) 
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José Fernando Santiago Prates 16 
 
13.1. Fatoração por fator comum ( o colocar em evidência ) 
 Colocar em evidência o fator que é comum a todos os fatores 
 Exemplos: 
1) 3a  6b  9c  15d = (3)(a + 2b + 3c + 5d) 
2) 3x3 + 2x2y  4x4 + 5x2y3 = x2(3x + 2y  4x2 + 5y3) 
3) 4a2  3a2yb + 5a + 5a3b3 = a(5 + a(4  b(3y + 5ab2 ))) 
4) 4ax2  3ax + 5a = a(5 + x(4x  3)) 
13.2. Fatoração por Agrupamento 
Colocar em evidência os fatores que são comuns a alguns dos 
fatores 
 Exemplos: 
1) ax - bx + ay - by = ax + ay - bx - by 
= a(x + y) - b(x + y) 
= (a - b)(x + y) 
 
2) a2x - b2x + a2y - b2y = a2x + a2y - b2x - b2y 
= a
2
(x + y) - b
2
(x + y) 
= (a
2 
- b
2
)(x + y) 
= (a - b)(a + b)(x + y) 
 
3) 2ay2 + bx + 2by2 + ax = 2ay2 + 2by2 + bx + ax 
= 2y
2
(a + b) + x(a + b) 
= (2y
2 
+ x)(a + b) 
 
4) ay2 + by + by2 + ay - 3b - 3a = ay2 + by2 - 3ª +by +ay - 3b 
= y
2
(a+b)+y(a + b)-3(a + b) 
= (y
2 
+ y - 3)(a + b) 
 
 
 
 
 
Cálculo Diferencial Revisão Matemática 
 
José Fernando Santiago Prates 17 
 
14. Equação do 1º Grau 
 
São equações do tipo Ax+B=0, com A,B  R e A  0. 
 A solução pode ser obtida isolando a variável em questão. 
 Exemplos 
1) 3x2=0  x= 2/3 
2) 4x+2=0  x= 1/2 
3) 5x1=2x+5  x= 3 
 
15. Sistema de equações do 1º grau com duas incógnitas 
 
A forma de um sistema de duas equações e duas variáveis é dada 
por: 





qdycx
pbyax Onde a, b, c, d, p, q  R(Reais). 
Para resolver o sistema acima, podemos usar o método da 
substituição, que consiste em tomar uma das equações e isolar uma 
das variáveis. Com essa expressão, substituir na outra equação. 
 
Exemplo: 
 





13
122
yx
yx de x -3y=1 temos x=3y+1, substituindo em 2x-y=12 
tem-se 2(3y+1)-y=12, ou seja 5y=10 
Portanto x=5 e y=2 
 
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José Fernando Santiago Prates 18 
 
16. Equação do 2º Grau 
 São equações do tipo Ax2 + Bx + C = 0, com A, B, C  R e A  0. 
 A solução pode ser obtida nos casos: 
 
 Se  = B2 - 4AC > 0,a equação tem duas raízes reais distintas. 
x1 = 
A
ACBB
2
42  e x2 = 
A
ACBB
2
42  
Ilustração: 
 
 
 ou 
 
 
 
 
 Se  = B24AC = 0, a equação tem duas raízes reais iguais. 
x1 = x2 = 
A
B
2

 
Ilustração: 
 
 
 
 
 
 
 
 Se  = B24AC < 0, a equação não tem raízes reais. 
Ilustração: 
 
 
 
 
 
 
 
Obs: Os Vértices de uma parábola podem ser obtidos através dos 
pontos (xv , yv) onde : 
 
A
B
xv
2


 e 
A
yv
4


 
Cálculo Diferencial Revisão Matemática 
 
José Fernando Santiago Prates 19 
 
Exemplos: 
 1) 3x2x+2=0  não tem raízes reais 
 
2) 4x24x+1=0  x1 = x2 = ½ 
 
3) x2+2x3=0  x1 = 1 e x2 = 3 
 
4) x2-6x+5=0  x1 = 1 e x2 = 5 
 
5) x21=0  x1 = 1 e x2 = 1 
 
6) x24=0  x1 = 2 e x2 = 2 
 
16.1. Equação do 2º Grau incompleta Ax2 + Bx = 0 
 
A solução é dada pela colocação do termo comum. 
 
Exemplos: 
 
1) x24x=0  x(x4)=0  x=0 ou (x4)=0, com x= 4 
 
2) 3x22x=0  x(3x2)=0  x=0 ou (3x2)=0, com x= 2/3 
 
3) x2x=0  x(x1)=0  x=0 ou (x1)=0, com x= 1 
 
4) x2+2x=0  x(x+2)=0  x=0 ou (x+2)=0, com x= -2 
16.2. Equação do 2º Grau incompleta Ax2 + C = 0 
 
A solução é dada isolandose e extraindo a raiz de x2: 
 
Exemplos: 
 
1) x24=0  x2=4  x= 
 4
, com x= 2 
 
2) 2x24=0  2x2=4  x= 
2
 
 
3) x29=0  x2=9  x= 3 
 
4) x225=0  x2=25  x= 5 
 
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17. Solução da Equação do 2º Grau pela Soma Produto 
 
Podemos representar a equação do tipo x2 + Sx+ P = (x + a)(x + b), 
onde o valor de S = a + b e o valor de P = ab. 
Exemplos: 
1) x2 + 5x + 6 = 0 
 S = 2 + 3 = 2 e P = 2.3 = 6 
 x2 + 5x +6 = 0 = (x + 2)(x + 3)  x1=2 e x2=3 
2) x2 + 2x  3 = 0 
 S=(1) + 3 = 2 e P = (1).3 = 3 
 x2+ 2x 3 = 0 = (x  1)(x + 3)  x1 = 1 e x2 = 3 
3) x2 + 7x + 21 = 0 
 S = 4 + 3 = 7 e P = 4.3 = 21 
 x2 + 2x 3 = 0 = (x + 4)(x + 7)  x1= 4 e x2 = 7 
4) x2  5x + 4 = 0 
 S =  4  1 = 5 e P = (4).(1) =4 
  x2 + 2x  3 = 0 = (x  4)(x  1)  x1 = 4 e x2 = 1 
18. Inequação do 1º Grau 
São desigualdades relacionadas pelas relações de ordem < e  e 
suas respectivas inversas > e . Podem ser resolvidas como uma 
equação do 1º grau. Mas, se for necessário multiplicas ou dividir 
os membros da inequação por um número negativo, devemos inverte a 
desigualdade. 
 Exemplos 
1) 3x - 2 < 0 
  3x < 2  x < 2/3  x(- , 2/3) 
2) 4x + 1  0 
 4x  - 1  x  -   x(-, -] 
3) - 8x - 3 > 0 8x > 3  x < - 3/8  x(-, -3/8) 
4) x - 3  0 
  x  3  x  3  x[3 ,) 
5) 2x + 6 < 0 
  2x < - 6  x < - 3  x(- , - 3) 
6) - 3x + 15  0 
 -3x  - 15  x    x[3 ,) 
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José Fernando Santiago Prates 21 
 
19. Inequação do 2º Grau 
São desigualdades de ordem <, , >, e  aplicadas a uma 
equação do 2º grau Ax2 + Bx + C = 0, A, B, C  R ou seja, 
Ax2 + Bx + C < 0, Ax2 + Bx + C  0, Ax2 + Bx + C > 0, Ax2 + Bx + C  0 
A solução é feita através de intervalo de validação para a 
variável, e segue o seguinte quadro. 
 
 
 a > 0 a < 0 
∆ > 0 ax2 + bx + c  0 x  (-,x1] ou x  [x2, ) x  [x1, x2] 
ax2 + bx + c  0 x  [x1, x2] x  (-,x1] ou x  [x2, ) 
 
∆ = 0 
 
ax2 + bx + c  0 x  R Impossível 
ax2 + bx + c  0 Impossível x  R 
 
∆ < 0 ax2 + bx + c  0 x  R Impossível 
ax2 + bx + c  0 Impossível x  R 
 
Exemplos: Resolver as seguintes equações: 
1) x2 + 5x + 6 > 0 
Solução: 
a) Para x
2 
+ 5x + 6 = 0, temos: x1= - 2 e x2= - 3 
b) Intervalo de validação, 
x < - 2 ou x > -3, ou x  (, -2) ou x  (-3, ) 
2) x2 + 2x - 3 < 0 
Solução: 
a) Para x
2 
+ 2x - 3 = 0, temos: x1= -3 e x2= 1 
b) Intervalo de validação: 
- 3 < x < 1, ou x  (-3, 1) 
Cálculo Diferencial Revisão Matemática 
 
José Fernando Santiago Prates 22 
 
3) - x2 + 5x - 4 > 0 
Solução: 
a) Para - x
2 
+ 5x - 4 = 0, temos: x1= 1 e x2= 4 
b) Intervalo de validação: 
1 < x < 4, isto é, x  (1, 4) 
 
20. Radiciação 
 a raiz n-ésima de um número b é um número a tal que a
n
=b, 
ou seja, 
bn
=a  a
n
=b , n  R* 
 
20.1. Propriedades 
 n bm = pn b pm  
Exemplos: 1) 15 310 = 515 b 510  =332
 
2) 18 38 = 2 2 18 310 =935 
 n ba  = nbn a  
Exemplos: 1) 
 6
=
 3 2 
 
2) 
 4x
=
 x 4 
=
 x2
 
 
n
b
a
 = 
n b
n a 
Exemplos: 1) 
2
4 5
416
4 54
16
5

 
2) 
2
3
38
3273
8
27

 
  mn b = n bm 
Exemplos: 1)   3x3x 55 
 
2)   5 95353 22  
 
 n bm = nmb 
Exemplos: 1) 10 35 3 
 
2) 6333  
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José Fernando Santiago Prates 23 
 
21. Equações Irracionais 
Uma equação é denominada irracional quando apresenta incógnita 
sob radical ou incógnita com expoente fracionário. 
Exemplos: 
1) Determinar as raízes da equação: 
031 x
 
31 x
 
   22 31 x
 
x – 1 = 9, portanto x = 10 
 
2) Determinar as raízes da equação: 
xx  24
 
24  xx
 
   
03
444
24
2
2
22



xx
xxx
xx
 
 
Portanto, As raízes são: x1 = 0 e x2 = -3 
 
 
 
Cálculo Diferencial Revisão Matemática 
 
José Fernando Santiago Prates 24 
 
22. Relações entre Funções Trigonométricas 
 
R1) sen2(A) + cos2(A) = 1 R2) sen(A  B) = sen(A)cos(B)  sen(B)cos(A) 
R3) sec2(A) - tag2(A) = 1 R4) cos(A  B) = cos(A)cos(B)  sen(B)sen(A) 
R5) cosec2(A) - cotag2(A) = 1 R6) sen(A) + sen(B) = 2sen[½(A + B)]cos[½(A - B)] 
R7) cos(A) = cos(A) R8) sen(A) - sen(B) = 2cos[½(A + B)]sen[½(A - B)] 
R9) sen(A) = - sen(A) R10) cos(A) + cos(B) = 2cos[½(A + B)]cos[½(A - B)] 
R11) cos(2A) = 2cos2(A) - 1 R12) cos(A)cos(B) = 2sen[½(A + B)]sen[½(B - A)] 
R13) sen(2A) = 2sen(A)cos(A) R14) sen(A)sen(B) = ½ [sen(A - B) - cos(B - A)] 
R15) 
)A(sen
)A(eccos
1

 R16) cos(A)cos(B) = ½ [cos(A - B) + cos(A + B)] 
R17) 
)Acos(
)Asec(
1

 R18) sen(A)cos(B) = ½ [sen(A - B) + sen(A + B)] 
R19) 
)A(sen
)Acos(
)A(agcot 
 R20) 
)Acos(
)A(sen
)A(tag 
 
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José Fernando Santiago Prates 25 
 
α 
C A 
B 
b 
a 
c 
23. Relações Trigonométricas 
 
1) Triângulo retângulo 
É aquele que tem um ângulo reto (90º). 
Em um triângulo retângulo temos: 
a). Hipotenusa: Lado oposto ao ângulo reto. 
BC
= a. 
b). Catetos: Lados adjacentes ao ângulo reto. 
AC
= b e 
AB
= c. 
c). Teorema de Pitágoras: Hipotenusa2 = Cateto2 + Cateto2, ou seja, 
a2=b2+c2 
Exemplo: Determinar o valor de x. 
a = 7√2 , b = 7 , c = y 
Aplicando o teorema de Pitágoras, temos: 
(7√2)2 = 72 + y2 
49. 2 = 49 + y
2
, portanto y = 7 
 
2) Relações trigonométricas no triângulo retângulo 
 
No triângulo retângulo ABC considere a 
hipotenusa a, o lado b denomina-se cateto 
adjacente ao ângulo C, o lado c denomina-se 
cateto oposto ao ângulo C. 
Os lados do triângulo e um dos ângulos 
(não o reto) podem ser relacionados por: 
 
 
a
c
hipotenusa
oposto cateto
 sen 
  
c sen . a 
 
 
a
b
hipotenusa
adjacente cateto
 cos 
  
b cos . a 
 
 
b
c
adjacente cateto
oposto cateto
 cos
 sen
 tg 



  
c tg . b 
 
 
A
B
C
a
b
c
 
 
 
Cálculo Diferencial Revisão Matemática 
 
José Fernando Santiago Prates 26 
 
Tabela com os valores das funções trigonométricas Seno, Co-
seno e Tangente para os ângulos de 30º, 45º e 60º. 
 0 graus 30 graus 45 graus 60 graus 90 graus 
Seno 
0 
2
1
 
2
2 
2
3 
1 
Co-seno 
1 
2
3 
2
2 
2
1
 
0 
Tangente 
0 
3
3 1 
3
 
 
Exemplos: 
1) Em um triângulo retângulo a hipotenusa vale 4 
m e dos ângulos agudos vale 60º. Determine os 
dois catetos do triângulo. 
60º sen ac 
a
c
60º sen 
 
m 
2
3
*4 32
 
60º cos ab 
a
b
60º cos 
 
m 
2
1
*4 2
 
2) Um ângulo de um triângulo mede 30º e o cateto que se opõe a 
este ângulo vale 5 cm. Calcular a hipotenusa 
e o outro cateto. 
b
c
cateto
cateto
tg 
adjacente 
oposto 
C 
, 
3
15
30
5
C 

)(tgtg
c
b
 
A
B
C
a
b
c
60º
 
A
B
C
a
b
c
 
Cálculo Diferencial Revisão Matemática 
 
José Fernando Santiago Prates 27 
 
24. Divisão de Polinômios. 
 Tem a finalidade de obter um polinômio quociente Q e outro 
polinômio resto R da divisão dos polinômios, P1 e P2. Com P1=P2.Q+R. 
 
P1  P1 P2 
P2 R Q 
Exemplos: 
1) 2x2 + x  2x2 + x x + 1  2x2 + x x + 1  2x2 + x x + 1 
 x + 1 2x -(2x
2 
+ 2x) 2x -(2x
2 
+ 2x) 2x - 1 
 -x -x 
 -(-x - 1) 
 1 
Portanto, o quociente é Q = 2x - 1 e o resto R = 1, e ainda (2x2+x) = (x+1).(2x1) + 1 
 
 
2) x5- 2x2  x5 - 2x2 x3 + 1  x5 - 2x2 x3 + 1 
 x3 + 1 x
2 
 -(x
5 
+ x
2
) x
2
 
 -3x
2 
 
 
Portanto, o quociente é Q = x2 e o resto R = -3x2, e ainda (x5 - 2x2) = (x3 + 1).x2 -3x2 
 
 
3) x2 - 4  x2 - 4 x + 2  x2 - 4 x + 2  x2 - 4 x + 2 
 x + 2 x
 
 -(x
2 
+ 2x) x -(x
2 
+ 2x) x - 2 
 -2x - 4 -2x - 4 
 -(-2x - 4) 
 0 
portanto, o quociente é Q = x - 2 e o resto R = 0, e ainda (x2 - 4) = (x + 2).(x - 2) + 0 
 
 
4) x3- 2x + 4  x3- 2x + 4 x - 1 
 x - 1 -(x
3 
- x
2
) x
2 
+ x - 1 
 x
2 – 2x + 4 
 -(x
2 
- x) 
 -x + 4 
 -(-x + 1) 
 3 
portanto, o quociente é Q= x2 + x - 1 e o resto R = 3, e ainda (x2-4) = (x+2).(x-2) + 0 
 
Cálculo Diferencial Revisão Matemática 
 
José Fernando Santiago Prates 28 
 
25. Relações entre Funções Logarítmicas 
Notação: Logba=c onde: b é a base, a é o logaritmando, c é o logaritmo. 
Propriedades 
p 1 . ) l og10a= log a 
p 2 . ) l og ea = ln a 
p 3 . ) l og aa=1 
Exemplos: 1) log 33=1, 
2) log ee=1,3) log 77=1 . 
 
p 4 . ) l og ba=c  a=b
c , para 0<b1 e a>0 
Exemplos: 1) log28=3  8=2
3
 
 2) log24=2  4=2
2 
3) log327=3  27=3
3 
 
p 5 . ) l og b (x.y)=log b (x)+ log b (y) para 0<b1 e x,y>0 
Exemplo: log 22x= log 22+log 2x = 1 + log 2x 
 
 
p 6 . ) l og b (xy)= log b (x ) log b (y) para 0<b1 e x,y>0 
Exemplo: log 2(2x)= log 22log 2x = 1  log 2x 
 
 
p 7 . ) l og ba
n=c  n log ba=c 
Exemplos: 1) log32
x
=1  xlog 32=1  x = 1log 32 
2) log53
x
=2  xlog 53=2  x = 2log 53 
3) log5x
2
=2  2log 5x=2  log 5x=1  x=5
1 
4) log7x
2
=4  2log 7x=4  log 7x=2  x=7
2 
 
 
p 8 . ) l og ba= log xa log xb 
Exemplos: 1) log32 = log 1 02  log 1 03 
 2) log32 = log 22  log 23= 1  log 23 
 3) loge2 = ln 2 = log e2  log e3 = ln2  ln3 
Cálculo Diferencial Revisão Matemática 
 
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26. Geometria Plana 
Na Geometria Plana podemos encontrar a área (A) e o perímetro 
P) das figuras, onde: 
 
Área = Área é o região do plano limitado pelo perímetro 
 
Perímetro = Perímetros pode-se definir como sendo o comprimento do “contorno” 
de uma figura. 
 
26.1. Apresentação das figuras planas e suas fórmulas 
 Quadrado 
Área = l2 
Perímetro = 4l 
 
 
 Retângulo 
Área = a.b 
Perímetro = 2a + 2b 
 
 
 Losango 
 
Área = 
2
d*D
 
Perímetro = 4l 
 
 
 Paralelogramo 
Área = a.h 
Perímetro = 2a + 2b 
 
 
 
 
 
Cálculo Diferencial Revisão Matemática 
 
José Fernando Santiago Prates 30 
 
 Trapézio 
 
 
 
 Triângulo Qualquer 
Área = 
2
h*b
 
Perímetro = a + b + c 
 
 
 
 Triângulo Eqüilátero 
Área = 
4
32l
 
Perímetro = 3l 
 
 
 
 Círculo 
Área =  r2 
Perímetro = 2r 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo Diferencial Revisão Matemática 
 
José Fernando Santiago Prates 31 
 
26.2. Apresentação das figuras Geometria Espacial 
 Na Geometria Espacial podemos encontrar o volume (V) e a área lateral (S), onde: 
 
 Cubo 
V = a.b.c 
S = 2ab + 2ac + 2bc 
 
 Pirâmide 
V = 
Sh
3
1
 
S = 
)( 132 l
 
 
 
 Cilindro circular reto 
V =  r² h 
S = 22 hrr  
 
 
 Cone circular reto 
V = 
h*r** 2
3
1

 
S = 2 r 
 
 Esfera: 
V =
3
3
4
r
 
S = 24 r 
 
 
 
 
 
 
 
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28. Alfabeto Grego 
 = alfa 
 = beta 
 = gama 
 = delta 
 = epsilon 
 = zeta 
 = eta 
 = teta 
 = iota 
 = kapa 
 = lambda 
 = mi 
 = ni 
 = csi 
 = ômicron 
 = pi 
 = ro 
 = sigma 
 = tau 
 = ipsilon 
 = fi 
 = qui 
 = psi 
 = omega 
 
29. Símbolos Matemáticos 
Símbolo Nome Símbolo Nome 
+ Adição lim Limite 
 Ângulo logbA Logaritmo de A na base b 
 Aproximado log Logaritmo decimal 
colog Cologaritmo Ln Logaritmo natural 
cologbA Cologaritmo de A na base b > Maior 
 Congruente ou identidade ≥ Maior ou igual 
{ } Conjunto  Mais ou menos 
 Conjunto dos números complexos < Menor 
 Conjunto dos números inteiros  Menor ou igual 
 Conjunto dos números naturais Menos ou mais 
 Conjunto dos números racionais » Muito maior 
 Conjunto dos números reais « Muito menor 
 Conjunto vazio / Diâmetro  Multiplicação 
 Contém  Não está contido 
 Diferença ou incremento finito Não existe 
 Diferencial parcial  Não pertence 
d Diferencial total  Paralelo 
 Diferente  Perpendicular 
 Divisão  Pertence 
/ Divisão  Por cento 
 Equivalente ‰ Por mil 
 Está contido Por que 
 Existe Portanto 
! Fatorial  Proporcional 
f(x) Função de x  Qualquer 
º Grau  Raiz quadrada 
= Igual  Semelhante 
 Implica  Somatório 
 Infinito - Subtração 
 Integral  União 
 Interseção |x| Valor absoluto de x