Aula 08 Método dos elementos finitos aplicado a Treliças Bidimensionais

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Métodos Numéricos - 8a aula - Prof Cristiane Mota
Método dos elementos finitos aplicado a Treliças Bidimensionais
Os sistemas de molas e barras em que o MEF foi aplicado até agora, 
os elementos estavam alinhados horizontalmente. Vamos ver o caso em que a barra está inclinada. 
As forças continuam sendo aplicadas somente nos nós de cada elemento e essas forças são axiais.As forças e os deslocamentos são grandezas vetoriais. 
Será feita a decomposição desses vetores no plano: um componente no eixo X e outro componente no eixo Y. Por isso teremos 2 incógnitas por nó. 
Usaremos as incógnitas abaixo:
Fjx - força aplicada no nó j na direção do eixo X
Fjy - força aplicada no nó j na direção do eixo Y
djx - deslocamento do nó j na direção do eixo X
djy - deslocamento do nó j na direção do eixo Y
Ai - área da seção transversal da barra (i)
Ei - modulo de elasticidade do material da barra (i)
Li - comprimento da barra (i)
ϴi - ângulo entre a barra (i) e o eixo X (sentido anti-horário).
Matriz de rigidez do elemento (i):
em que é a constante de elasticidade da barra (i).
Exercício da 6ª aula
Na estrutura de treliça representada abaixo, os nós 1 e 2 estão fixos e distam 1m. A barra (1) é perpendicular ao eixo X. Só há força aplicada no nó 3. Essa força vale 100N e é paralela ao eixo X. O comprimento da barra (2) é 2m. A área da seção transversal das duas barras é 10-2 m2. O módulo de elasticidade das duas barras é 106 N/m2.
 
Use valores com pelo menos 4 casas decimais e arredondamento para responder os itens a seguir:
a) Encontre a matriz de rigidez de cada elemento finito 
b) Encontre a matriz de rigidez da estrutura.
c) Monte e particione o sistema F = K.d que relaciona as forças com os deslocamentos da estrutura.
d) Escreva as equações obtidas após a partição do sistema.
e) Calcule os deslocamentos nodais.
f) Escreva o vetor de deslocamentos. 
g) Calcule as forças de reação.
h) Escreva o vetor de forças.
Respostas com a colaboração do aluno Felipe Oliveira Barreto.
Encontre a matriz de rigidez de cada elemento finito 
Pelas informações do enunciado podemos montar um triângulo retângulo em que a hipotenusa mede 2 e um dos catetos mede 1, logo o outro cateto mede .
Daí, L2 = 2m e L1 = 1,7321m 
Θ1 = 90°, então sen90° = 1 e cos90° = 0
Θ2 = 60°, então sen60° = 0,866 e cos60° = 0,5
Encontre a matriz de rigidez da estrutura.
Monte e particione o sistema F = K.d que relaciona as forças com os deslocamentos da estrutura.
Escreva as equações obtidas após a partição do sistema.
No enunciado e na figura é informado que F3x = 100 e F3y = 0. Vamos usar essa informação para descobrir os deslocamentos do nó 3.
Fazendo a distributiva temos
 (*)
Substituindo d3y na equação (*) temos que 
Escreva o vetor de deslocamentos. 
Calcule as forças de reação.
Escreva o vetor de forças.
Exercício
A estrutura representada na figura abaixo é composta por 3 carrinhos conectados por molas cuja as constantes de elasticidades são
Use valores com pelo menos 4 casas decimais e arredondamento para responder os itens a seguir:
a) Encontre a matriz de rigidez de cada elemento finito 
b) Encontre a matriz de rigidez da estrutura.
c) Monte e particione o sistema F = K.d que relaciona as forças com os deslocamentos da estrutura.
d) Escreva as equações obtidas após a partição do sistema.
e) Calcule os deslocamentos nodais.
f) Escreva o vetor de deslocamentos. 
g) Calcule as forças de reação.
h) Escreva o vetor de forças.
Algumas respostas:
Matriz de rigidez da estrutura
d4 = d5 = 0
F1 = 5 KN , F2 = 0 e F3 = 2KN