Diagonalização de Operadores Lineares em Álgebra Linear

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ÁLGEBRA LINEAR
AULA 10- DIAGONALIZAÇÃO DOS OPERADORES LINEARES – APLICAÇÕES DE AUTOVALORES E AUTOVETORES
Tema da Apresentação
DIAGONALIZAÇÃO DE OPERADORES LINEARES – APLICAÇÕES DE AUTOVETORES E ANTEVETORES– AULA 10
ÁLGEBRA LINEAR
Conteúdo Programático desta aula
. Diagonalização dos Operadores Lineares
. Polinômio de Matriz
. Polinômio Minimal
. Exercícios
Tema da Apresentação
DIAGONALIZAÇÃO DE OPERADORES LINEARES – APLICAÇÕES DE AUTOVETORES E ANTEVETORES– AULA 10
ÁLGEBRA LINEAR
 
DIAGONALIZAÇÃO 
DEFINIÇÃO
 Dizemos que uma matriz A, de ordem n x n é DIAGONALIZÁVEL se A tem n autovetores linearmente independentes.
 Em outras palavras, uma matriz quadrada A é dita diagonalizável se existir uma matriz invertível P tal que PA-1P é uma matriz diagonal; dizemos, então, que a matriz P diagonaliza A.
TEOREMA
 Se A é uma matriz n x n, então são equivalentes as seguintes afirmações:
A é diagonalizável
A tem n autovetores linearmente independentes. 
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ROTEIRO PARA DIAGONALIZAÇÃO DE UMA MATRIZ A
Determine os autovalores de A.
Determine três autovetores para A linearmente independentes (LI).
Monte P a partir dos vetores determinados em (ii)
Monte D a partir dos autovalores associados.
 
 
 
 
 
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EXEMPLO: 1 3 3 
Se possível, diagonalize a matriz A = -3 -5 -3 .
 3 3 1 
 Observe que o que pretendemos é determinar uma matriz inversível P e uma matriz diagonal D tal que A=PDP-1 .
SOLUÇÃO
 i) A equação característica é:
0 = det(A-I)=-³-3²+4=-(-1)(+2)²
Os autovalores são: =1 e =-2
 ii) Temos uma base para cada auto-espaço. 
Assim: 1
 Para =1 ; v1 = -1
 1 
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 -1 -1
Para =-2 ; v2 = 1 e v3 = 0 
 0 1
Observe que o conjunto {v1,v2,v3} é linearmente independente (LI).
 1 -1 -1
P = [v1 v2 v3] = -1 1 0
 1 0 1
 1 0 0
iv) D = 0 -2 0
 0 0 -2
 
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POLINÔMIO DE MATRIZ
 Seja A uma matriz quadrada de ordem n, isto é, n x n e seja p(x) = a0 + a1x + ... + anxn um polinômio qualquer.
 Definimos então p(A) = a0I + a1A + ... + anAn , onde I é a matriz identidade m x m. (POLINÔMIO DE MATRIZ)
Exemplo: 
 Se p(x)=2x²+4x-3 e A = 1 2 , determine p(A).
 0 -1
SOLUÇÃO
 
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POLINÔMIO MINIMAL
DEFINIÇÃO
 Seja A uma matriz quadrada. O polinômio minimal de A é o polinômio definido por 
 m(x) = xp + ap-1xp-1+ap-2xp-2 + ... + a1x + a0
tal que m(x) anula A , isto é, m(A)=0 e m(x) é o polinômio de menor grau dentre todos aqueles que anulam a matriz A. O coeficiente do termo de maior grau deve ser igual a 1.
Obs: 
 i) As raízes do polinômio minimal são as mesmas raízes do polinômio característico. 
 ii) p() = det(A - I) , I é a matriz identidade
 p(A) = det(A – AI)
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Como determinar?
 Suponha, por exemplo, que o polinômio característico de uma matriz A seja do tipo: p(x) = (x-2)2 . (x-5)4 -> dimensão de V é: 2 + 4 = 6
 p1(x) = (x-2)2 . (x-5)4
 p2(x) = (x-2) . (x-5)4
 p3(x) = (x-2) . (x-5)3
 p4(x) = (x-2) . (x-5)2
 p5(x) = (x-2) . (x-5) <--- este é o polinômio minimal desde que anule a matriz A
 
 
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EXEMPLO
 Seja T:R²->R² um operador linear dado por T(3y,x). Determine o polinômio minimal e verifique se é diagonalizavel.
SOLUÇÃO
. Matriz associada a T: [T]α2 = 0 3 -> p() = det([T]α2- I) .
 1 0
. p() = det 0- 3 = 0- 3 = ² - 3 = ( - ) ( + ) . 
 1 0- 1 0-
. O polinômio característico é: p() = ² - 3.
. Os autovalores são: 1 = e 2 = - (distintos)
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.p([T]α2) = 0 3 . 0 3 -3 1 0 = 3 0 - 3 0 = 0 0
 1 0 1 0 0 1 0 3 0 3 0 0
. P() é o polinômio de menor grau que anula p([T]α2) ->
 -> p(x) = (x - ) . ( x + ) = p() é o polinômio minimal de T.
. p(x) é do tipo m(x) = (x-1) . (x-2) -> T é diagonalizavel. 
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Na aula de hoje estudamos:
. Diagonalização dos Operadores Lineares
. Polinômio de Matriz
. Polinômio Minimal
. Exercícios
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