APOSTILA CÁLCULO ZERO Parte3

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Apostila de Cálculo 
Zero 
Parte III - Trigonometria 
 
Este material visa auxiliar o aprendizado de 
Matemática do ingressante dos cursos de 
Engenharias e Ciência da Computação do 
Instituto de Engenharias e Tecnologias do 
Centro Universitário de Belo Horizonte 
UniBH, facilitando a transição do Ensino 
Médio ao Ensino Superior. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fevereiro de 2012 
Eloisa Márcia da Silva 
 
 
2 
 
 
Conteúdo 
22 TRIGONOMETRIA .................................................................................................................... 3 
22.1 Funções trigonométricas básicas .......................................................................................... 3 
22.2 Unidades de Medidas de arcos: ............................................................................................ 4 
22.3 Arcos de uma volta ................................................................................................................ 5 
22.4 Mudança de unidades ........................................................................................................... 5 
22.5 Círculo Trigonométrico .......................................................................................................... 5 
22.6 Arcos com mais de uma volta ............................................................................................... 6 
22.7 Arcos Côngruos ..................................................................................................................... 6 
22.8 Seno, Cosseno e Tangente ................................................................................................... 7 
 22.9 Funções Trigonométricas Inversas ..................................................................................... 11 
Bibliografia ........................................................................................................................................... 17 
 
Apostila de Cálculo Zero 
 
3 
22 TRIGONOMETRIA 
 
A trigonometria possui uma infinidade de aplicações 
práticas. Desde a antiguidade já se usava da 
trigonometria para obter distâncias impossíveis de 
serem calculadas por métodos comuns. 
 
Algumas aplicações da trigonometria são: 
 
Determinação da altura de um certo prédio. 
 
 
Um engenheiro precisa saber a largura de um rio para 
construir uma ponte, o trabalho dele é mais fácil 
quando ele usa dos recursos trigonométricos. Um 
cartógrafo (desenhista de mapas) precisa saber a 
altura de uma montanha, o comprimento de um rio, etc. 
Sem a trigonometria ele demoraria anos para desenhar 
um mapa. Tudo isto é possível calcular com o uso da 
trigonometria do triângulo retângulo. 
 
Ângulo é uma figura plana formada por duas 
semirretas de mesma origem. As semirretas chamam-
se lados do ângulo e o ponto de origem chama-se 
vértice. 
 
 
 
Ângulo raso: ângulo de medida 180º (seus lados 
formam uma reta). 
 Ângulo reto: ângulo de medida 90º. 
 
 
Ângulo agudo: ângulo cuja medida está entre 0º e 90º. 
 
Ângulo obtuso: ângulo cuja medida está entre 90º e 
180º. 
 
Ângulos congruentes: ângulos de mesma medida 
(símbolo ). 
 
 
Ângulos Complementares: par de ângulos cuja soma 
das medidas é 90º. 
 
 
Ângulos suplementares: par de ângulos cuja soma 
das medidas é 180º. 
 
 
Ângulos adjacentes: ângulos que possuem um lado 
comum e as regiões determinadas por eles não tem 
mais pontos comuns. 
 
 
22.1 Funções trigonométricas 
básicas 
 
As Funções trigonométricas básicas são relações entre 
as medidas dos lados do triângulo retângulo e seus 
ângulos. As três funções básicas mais importantes da 
trigonometria são: seno, cosseno e tangente. 
 
As definições dos valores de seno, cosseno e tangente 
tomam como referência a relação entre as medidas dos 
lados de um triângulo retângulo, ou seja, um triângulo 
em que um dos ângulos mede 90º. O lado que fica 
oposto ao ângulo de 90º é chamado de hipotenusa, 
Apostila de Cálculo Zero 
 
4 
enquanto os lados que formam o ângulo de 90º são os 
catetos. 
 
 
 
Tomando um ângulo “a” como referência neste 
triângulo, nota-se que um dos catetos ficará na frente 
desse ângulo, e é chamado de cateto oposto, enquanto 
o outro cateto, cujo lado está junto desse ângulo, é 
chamado de cateto adjacente. 
 
Para facilitar as demonstrações chamamos de: 
“a” a medida da hipotenusa 
“b” a medida do cateto oposto ao ângulo 
“c” a medida do cateto adjacente ao ângulo 
 
 
 
 
 
 
 
Agora, tomando β como referência, os valores de seno, 
cosseno e tangente mudam, pois o lado “c” passa a ser 
o cateto oposto e o lado “b” o cateto adjacente ao 
ângulo β. 
 
 
 
 
No triângulo, os ângulos de 30°, 45° e 60° são 
considerados notáveis, pois estão presentes em 
diversos cálculos. Por isso seus valores trigonométricos 
correspondentes são organizados em uma tabela, veja: 
 
 
 
Nas situações envolvendo outros ângulos, os valores 
trigonométricos podem ser obtidos através do uso de 
uma calculadora científica, que dispõe das teclas sen 
(seno), cos (cosseno) e tan (tangente). Outra opção 
seria dispor de uma tabela trigonométrica. 
 
Para o cálculo dos valores trigonométricos envolvendo 
ângulos obtusos podemos utilizar das seguintes 
definições: 
 
sen x = sen (180º – x) 
cos x = – cos (180º – x) 
 
Exemplo: 
Obtenha o valor de seno de 120º e cosseno de 120º. 
 
sen 120º = sen (180º – 120º) → sen 120º = sen 60º = 
0,8660 
 
cos 120º = – cos (180º – 120º) → cos 120º = – cos 60º 
= – 0,5000 
 
22.2 Unidades de Medidas de 
arcos: 
 
Grau: é a unidade usada quando dividimos uma 
circunferência em 360 partes congruentes. Cada parte 
é um arco de um grau (1º). 
 
Radiano: um arco de um radiano (1 rad) é aquele cujo 
comprimento é igual ao raio da circunferência. 
 
Um arco de 180º e raio unitário tem comprimento de 
radianos. Sendo assim podemos afirmar que um arco 
de 180º equivale a rad. 
 
Exemplo: 
Para determinar a medida em radianos de um arco de 
comprimento igual a 12 cm, em uma circunferência de 
raio medindo 8 cm, fazemos, 
m(AB)= 
comprimento do arco(AB) 
 
comprimento do raio 
= 
12 
 
8 
Portanto m(AB)=1,5 radianos 
Arco geométrico: é uma das partes da circunferência 
delimitada por dois pontos, incluindo-os 
Simplificando: 
 
 
 
 
 
Apostila de Cálculo Zero 
 
5 
 
 
Ângulo central: todo arco de circunferência tem um 
ângulo central relacionado. 
 
 
 
 
22.3 Arcos de uma volta 
Se AB é o arco correspondente à volta completa de 
uma circunferência, a medida do arco é igual a C=2 r, 
então: 
m(AB)= 
comprimento do arco(AB) 
 
comprimento do raio 
= 
2π r 
 
r 
= 2π 
 
Assim a medida em radianos de um arco de uma volta 
é 2 π rad, isto é, 2 π rad = 360 graus. 
 
Podemos estabelecer os resultados seguintes: 
 
Desenho 
 
Grau 90 180 270 360 
Radiano π /2 π 3π /2 2π 
 
• 0 graus = 0 radianos 
 
22.4 Mudança de unidades 
Consideremos um arco AB de medida R em radianos, 
esta medida corresponde a G graus. A relação entre 
estas medidas é obtida pela seguinte proporção, 
 
2 π rad …………… 360 graus 
R rad …………… G graus 
 
Assim, temos a igualdade R/2 = G/360, ou ainda, 
 
R 
 
 π 
 = 
G 
 
180 
 
 
 
 
Exemplos 
Para determinar a medida em radianos de um arco de 
medida 60 graus, fazemos 
R 
 
 
= 
60 
 
180 
Assim: R= /3 ou 60 graus= /3 rad 
Para determinar a medida em graus de um arco de 
medida 1 radiano, fazemos: 
1 
 
 
= 
G 
 
180 
Assim: 1 rad = 180/ graus. 
 
Como 60º é 1/3 de 180º, logo é 1/3 derad. 
 
Como 30º é 1/6 de 180º, logo é 1/6 de rad. 
 
Como 45º é 1/4 de 180º, logo é 1/4 de rad. 
 
Como 120º é o dobro de 60º, logo é o dobro de /3 rad. 
 
 
22.5 Círculo Trigonométrico 
Considere uma circunferência de raio unitário com 
centro na origem de um sistema cartesiano ortogonal e 
o ponto A=(1,0). O ponto A será tomado como a origem 
dos arcos orientados nesta circunferência e o sentido 
positivo considerado será o anti-horário. A região 
contendo esta circunferência e todos os seus pontos 
interiores, é denominada círculo trigonométrico 
. 
 
 
Inserindo os eixos x e y nesse círculo: 
 
Apostila de Cálculo Zero 
 
6 
 
 
Os eixos OX e OY decompõem o círculo trigonométrico 
em quatro quadrantes que são enumerados como 
segue: 
 
 
 
2o. quadrante: 
Abscissa: negativa 
Ordenada: positiva 
90º<ângulo<180º 
 
1o. quadrante: 
Abscissa:positiva 
Ordenada: positiva 
0º<ângulo<90º 
3o. quadrante: 
Abscissa: negativa 
Ordenada: 
negativa 
180º<ângulo<270º 
4o. quadrante: 
Abscissa: positiva 
Ordenada: 
negativa 
270º<ângulo<360º 
 
Os quadrantes são usados para localizar pontos e a 
caracterização de ângulos trigonométricos. 
 
 
 
Por convenção, os pontos situados sobre os eixos não 
pertencem a qualquer um dos quadrantes. 
 
 
Para todo ponto(x,y) pertencente à circunferência 
unitária, temos: 
−1 x  1 e −1 y  1. 
 
22.6 Arcos com mais de uma volta 
Nos estudos trigonométricos existem arcos que 
possuem medidas maiores que 360º, isto é, eles 
possuem mais de uma volta. Sabemos que uma volta 
completa equivale a 360º ou 2 rad, com base nessa 
informação podemos reduzi-lo à primeira volta, 
realizando o seguinte cálculo: dividir a medida do 
arco em graus por 360 (volta completa), o resto da 
divisão será a menor determinação positiva do arco. 
Dessa forma, a determinação principal do arco em um 
dos quadrantes fica mais fácil. 
 
Exemplos: 
1) Determinar a localização principal do arco de 
4380º utilizando a regra prática. 
 
4380º:360º é correspondente a 4320º + 60º, portanto, o 
resto da divisão é igual a 60º que é a determinação 
principal do arco, dessa forma, sua extremidade 
pertence ao 1º quadrante. 
 
2) Qual a determinação principal do arco com 
medida igual a 1190º? 
 
1190º: 360º, a divisão possui resultado igual a 3 e resto 
110, concluímos que o arco possui três voltas 
completas e extremidade no ângulo de 110º, 
pertencendo ao 2º quadrante. 
 
22.7 Arcos Côngruos 
Dois arcos são côngruos quando possuem a mesma 
origem e a mesma extremidade. Uma regra prática 
eficiente para determinar se dois arcos são côngruos 
consiste em verificar se a diferença entre eles é um 
número divisível ou múltiplo de 360º, isto é, a diferença 
entre as medidas dos arcos dividida por 360º precisa 
ter resto igual a zero. 
 
 
 
 
Exemplos: 
1) Verifique se os arcos de medidas 6230º e 
8390º são côngruos. 
 
8390º – 6230º = 2160 
160º / 360º = 6 e resto igual a zero. Portanto, os arcos 
medindo 6230º e 8390º são côngruos. 
 
2) Confira se os arcos de medidas 2010º e 900º 
são côngruos. 
Apostila de Cálculo Zero 
 
7 
 
2010º – 900º = 1110º 
1110º / 360º = 3 e resto igual a 30. Portanto, os arcos 
não são côngruos. 
22.8 Seno, Cosseno e Tangente 
Dada uma circunferência trigonométrica contendo o 
ponto A=(1,0) e um número real x, existe sempre um 
arco orientado AM sobre esta circunferência, cuja 
medida algébrica corresponde a x radianos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Seno: No plano cartesiano, consideremos uma 
circunferência trigonométrica, de centro em (0,0) e raio 
unitário. Seja M=(x',y') um ponto desta circunferência, 
localizado no primeiro quadrante, este ponto determina 
um arco AM que corresponde ao ângulo central a. A 
projeção ortogonal do ponto M sobre o eixo OX 
determina um ponto C=(x',0) e a projeção ortogonal do 
ponto M sobre o eixo OY determina outro ponto 
B=(0,y'). 
A medida do segmento OB coincide com a ordenada y' 
do ponto M e é definida como o seno do arco AM que 
corresponde ao ângulo a, denotado por sen(AM) ou 
sen(a). 
 
 
Para simplificar os enunciados e definições seguintes, 
escreveremos sen(x) para denotar o seno do arco de 
medida x radianos. 
 
Cosseno: O cosseno do arco AM correspondente ao 
ângulo a, denotado por cos(AM) ou cos(a), é a medida 
do segmento 0C, que coincide com a abscissa x' do 
ponto M. 
 
 
Tangente 
Seja a reta t tangente à circunferência trigonométrica 
no ponto A=(1,0). Tal reta é perpendicular ao eixo OX. 
A reta que passa pelo ponto M e pelo centro da 
circunferência intersecta a reta tangente t no ponto 
T=(1,t'). A ordenada deste ponto T, é definida como a 
tangente do arco AM correspondente ao ângulo a. 
 
 
Ampliaremos estas noções para ângulos nos outros 
quadrantes 
 
Ângulos no segundo quadrante 
Se na circunferência trigonométrica, tomamos o ponto 
M no segundo quadrante, então o ângulo a entre o eixo 
OX e o segmento OM pertence ao intervalo /2< a < . 
Do mesmo modo que no primeiro quadrante, o cosseno 
está relacionado com a abscissa do ponto M e o seno 
com a ordenada deste ponto. Como o ponto M=(x,y) 
possui abscissa negativa e ordenada positiva, o sinal 
do seno do ângulo a no segundo quadrante é positivo, 
o cosseno do ângulo a é negativo e a tangente do 
ângulo a é negativa. 
 
Outro caso particular importante é quando o ponto M 
está sobre o eixo vertical OY e neste caso: cos( /2)=0 
 e sen( /2)=1 
 
A tangente não está definida, pois a reta OM não 
intercepta a reta t, pois elas são paralelas. 
 
Ângulos no terceiro quadrante 
O ponto M=(x,y) está localizado no terceiro quadrante, 
o que significa que o ângulo pertence ao intervalo: < 
a <3 /2. Este ponto M=(x,y) é simétrico ao ponto M'=(-
x,-y) do primeiro quadrante, em relação à origem do 
sistema, indicando que tanto a sua abscissa como a 
sua ordenada são negativos. O seno e o cosseno de 
um ângulo no terceiro quadrante são negativos e a 
tangente é positiva. 
 
Em particular, se a= radianos, temos que cos( )=-1, 
sen( )=0 e tan( )=0 
 
 
 
 
Apostila de Cálculo Zero 
 
8 
Ângulos no quarto quadrante 
O ponto M está no quarto quadrante, 3 /2 < a < 2 . O 
seno de ângulos no quarto quadrante é negativo, o 
cosseno é positivo e a tangente é negativa. 
 
Quando o ângulo mede 3 /2, a tangente não está 
definida pois a reta OP não intercepta a reta t, estas 
são paralelas. Quando a = 3 /2, temos: 
cos(3 /2)=0, sen(3 /2)=-1 
 
Simetria em relação ao eixo OX 
Em uma circunferência trigonométrica, se M é um 
ponto no primeiro quadrante e M' o simétrico de M em 
relação ao eixo OX, estes pontos M e M' possuem a 
mesma abscissa e as ordenadas possuem sinais 
opostos. 
 
Sejam A=(1,0) um ponto da circunferência, a o ângulo 
correspondente ao arco AM e b o ângulo 
correspondente ao arco AM', obtemos: 
sen(a) = -sen(b) 
cos(a) = cos(b) 
tan(a) = -tan(b) 
 
Simetria em relação ao eixo OY 
Seja M um ponto da circunferência trigonométrica 
localizado no primeiro quadrante, e seja M' simétrico a 
M em relação ao eixo OY, estes pontos M e M' 
possuem a mesma ordenada e as abscissa são 
simétricas. 
 
Sejam A=(1,0) um ponto da circunferência, a o ângulo 
correspondente ao arco AM e b o ângulo 
correspondente ao arco AM'. Desse modo: 
sen(a) = sen(b) 
cos(a) = -cos(b) 
tan(a) = -tan(b) 
 
 
Simetria em relação à origem 
Seja M um ponto da circunferência trigonométrica 
localizado no primeiro quadrante, e seja M' simétrico de 
M em relação a origem, estes pontos M e M' possuem 
ordenadas e abscissas simétricas. 
 
Sejam A=(1,0) um ponto da circunferência, a o ângulo 
correspondente ao arco AM e b o ângulo 
correspondente ao arco AM'. Desse modo:sen(a) = -sen(b) 
cos(a) = -cos(b) 
tan(a) = tan(b) 
 
Relações Trigonométricas Fundamentais 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Apostila de Cálculo Zero 
 
9 
Estudos das funções seno, cosseno 
 
Função Seno 
 
Gráfico de f(x) = sen(x) 
 
1ª) O domínio de f(x) = sen x é R, pois para qualquer 
valor real de x existe um e apenas um valor para sen x. 
 
2ª) O conjunto imagem de f(x) = sen x é o intervalo [-
1,1]. 
 
3ª) A função seno não é sobrejetora, pois [-1,1] R, 
isto é, sua imagem não é igual ao contradomínio. 
 
4ª) A função seno não é injetiva, pois para valores 
diferentes de x temos o mesmo f(x). 
 
5ª) A função seno é função ímpar, isto é, qualquer que 
seja x D(f) = R, temos sen x = -sen (-x). 
 
 
Estudo do sinal na Função Seno 
 
 
A função é positiva para valores do 1º e 2º quadrantes 
e negativa para valores do 3º e 4º quadrantes. 
 
Função Cosseno 
 
Gráfico de f(x) = cos(x) 
 
 
 
 
1ª) A cossenoide não é uma nova curva, e sim uma 
senoide transladada /2 unidades para a direita. A 
maioria dos aspectos relevantes da função cosseno 
são os mesmos da função seno. 
 
2ª) O domínio é o mesmo: D = R 
 
3ª) A imagem é a mesma: Im= [-1,1]. 
 
4ª) O período é o mesmo: p = 2 
 
5ª) A função cosseno não é nem injetiva nem subjetiva. 
 
6ª) A função cosseno é par, pois temos cosx = cos(-x). 
 
 
Estudo do sinal na Função Cosseno 
 
 
A função é positiva para valores do 1º e 4º quadrantes 
e negativa para valores do 2º e 3º quadrantes. 
 
 
 
 
Apostila de Cálculo Zero 
 
10 
Função Tangente 
 
Gráfico de y = tgx 
 
 
 
1ª) Domínio: D=R – {x R / x = + k , k Z}. 
 
2ª) Imagem: Im = R. 
 
3ª) A função tangente não é injetiva, mas é sobrejetiva. 
 
4ª) A função tangente é função ímpar, isto é, tg x = - tg 
(-x). 
 
5ª) Período: p = . 
 
Estudo do sinal na Função Tangente 
 
 
A função é positiva para valores do 1º e 3º quadrantes 
e negativa para valores do 2º e 4º quadrantes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Funções Secante, Cossecante e Cotangente 
 
Relações trigonométricas para: 
 
Cossecante: cossec 
Secante : sec 
Cotangente: cotg 
 
 
 
Função Secante: 
 
 
 
 
1º Domínio: D=R – { n. , n Z}. 
 
2º Imagem: Im= {y R / y 1, ou y -1}. 
 
3º A função y = secx é par, pois sec(-x) = sec(x) 
 
 
Estudo do sinal na Função Secante 
 
 
 
 
A função secante tem os sinais iguais aos da função 
cosseno, em cada um dos quadrantes. 
 
 
 
 
Apostila de Cálculo Zero 
 
11 
Função Cossecante 
 
 
 
1º Domínio: D=R – {n. , n Z}. 
 
2º Imagem: Im= {y R / y -1, ou y 1}. 
 
3º A função y = cossecx é ímpar, pois cossec(-x) = -
cossec(x) 
 
 
Estudo do sinal na Função Cossecante 
 
 
 
 
A função cossecante tem os sinais da função seno 
iguais, em cada um dos quadrantes. 
 
 
 
Função Cotangente 
 
 
 
1º Domínio: D=R – {n. , n Z}. 
 
2º Imagem: Im= R 
 
3º A função y = cotgx é ímpar, pois cotg(-x) = - cotgx 
 
 
 
Estudo do sinal na Função Cotangente 
 
 
A função cotangente tem os mesmos sinais da 
tangente, em cada um dos quadrantes. 
 
 
22.9 Funções Trigonométricas 
Inversas 
 
Uma função f, de domínio D possui inversa somente se 
f for bijetora, por este motivo nem todas as funções 
trigonométricas possuem inversas em seus domínios 
de definição, mas podemos tomar subconjuntos desses 
domínios para gerar novas funções que possuam 
inversas. 
 
Exemplo: 
A função f(x)=cos(x) não é bijetora em seu domínio de 
definição que é o conjunto dos números reais, pois 
para um valor de y correspondem infinitos valores de x. 
Por exemplo, se cos(x)=1, podemos tomar x=0, x=2 , 
x=4 , x=-2 , etc, isto é x=2k , onde k é um número 
inteiro, isto quer dizer que não podemos definir a 
inversa de f(x)=cos(x) em seu domínio. Devemos então 
restringir o domínio para um subconjunto dos números 
reais onde a função é bijetora. 
Como as funções trigonométricas são periódicas, 
existem muitos intervalos onde elas são bijetoras. É 
usual escolher como domínio, intervalos onde o zero é 
o ponto médio ou o extremo esquerdo e no qual a 
função percorra todo seu conjunto imagem. 
 
Função arco-seno 
Consideremos a função f(x)=sen(x), com domínio no 
intervalo [- /2, /2] e imagem no intervalo [-1,1]. A 
função inversa de f, denominada arco cujo seno, 
definida por f-1:[-1,1] [- /2, /2] é denotada por 
f-1(x) = arcsen(x) 
 
Apostila de Cálculo Zero 
 
12 
 
Função arco cosseno 
Seja a função g(x)=cos(x), com domínio [0, ] e 
imagem [-1,1]. A função inversa de f, denominada arco 
cujo cosseno é definida por g-1:[-1,1] [0, ] e 
denotada por 
g-1(x) = arccos(x) 
 
 
 
 
 
Função arco tangente 
 
Dada a função f(x)=tan(x), com domínio (- /2, /2) e 
imagem em R, a função inversa de f, denominada arco-
tangente é definida por f-1:R (- /2, /2) e denotada 
por 
f-1(x) = arctan(x) 
 
 
 
 
 
 
Algumas Fórmulas: 
 
Fórmulas de adição e subtração 
 
 
 
 
 
Fórmulas do arco duplo 
 
 
 
 
Apostila de Cálculo Zero 
 
13 
 
Fórmulas do arco metade 
 
 
 
 
 
 
Fórmulas de transformação em produto 
 
 
 
 
 
Exercícios resolvidos de Trigonometria 
 
1) (UNESP) Se x e y são dois arcos 
complementares, então podemos afirmar que 
A = (cosx - cosy)2 + (senx + seny)2 é igual a: 
a) 0 
b) ½ 
c) 3/2 
d) 1 
e) 2 
 
Solução: 
Desenvolvendo os quadrados, vem: 
A = cos2 x - 2 . cosx . cosy + cos2 y + sen2 x + 2 . senx 
. seny + sen2 y 
Organizando convenientemente a expressão, vem: 
A = (cos2 x + sen2 x) + (sen2 y + cos2 y) - 2 . cosx . 
cosy + 2 . senx . seny 
A = 1 + 1 - 2 . cosx . cosy + 2 . senx . seny 
A = 2 - 2 . cosx . cosy + 2 . senx . seny 
 
Como os arcos são complementares, isto significa que 
x + y = 90º  y = 90º - x. 
Substituindo, vem: 
A = 2 - 2 . cosx . cos(90º - x) + 2 . senx . sen(90º - x) 
 
Mas, cos(90º - x) = senx e sen(90º - x) = cosx, pois 
sabemos que o seno de um arco é igual ao cosseno do 
seu complemento e o cosseno de um arco é igual ao 
seno do seu complemento. 
 
Logo, substituindo, fica: 
A = 2 - 2 . cosx . senx + 2 . senx . cosx 
A = 2 + (2senxcosx - 2senxcosx) = 2 + 0 = 2 , e 
portanto a alternativa correta é a letra E. 
 
2) Calcule sen2x sabendo-se que tg x + cotg x = 3. 
 
Solução: 
Escrevendo a tgx e cotgx em função de senx e cosx , 
vem: 
 
 
Daí, vem: 1 = 3 . senx . cosx senx . cosx = 1 / 3. Ora, 
sabemos que sen 2x = 2 . senx . cosx e portanto senx . 
cosx = (sen 2x) / 2 , que substituindo vem: 
(sen 2x) / 2 = 1 / 3 e, portanto, sen 2x = 2 / 3. 
 
Resposta: 2 / 3 
 
3) Simplifique a expressão: cos(x + y).cos y + sen(x 
+ y).sen y 
 
Solução. Desenvolvendo as operações de acordo com 
as relações fundamentais e simplificando, temos: 
 
( ) ( )
xsenyyxsenyyx
xysenyxxysenysenysenxysenxsenyyx
senyxsenyysenxysenxsenyyxsenyyxsenyyx
cos)(cos)cos(
)1.(cos)(coscoscoscoscoscoscos
.coscoscos.coscos)(cos)cos(
2222
=+++⇒
⇒=+=++−=
=++−=+++ 
4) Calcule o valor: 
Apostila de Cálculo Zero 
 
14 
a) cos 105º b) tg 75º 
 
Solução. Aplicando as fórmulas da soma e diferenças 
de arcos, temos: 
 
a) 
4
62
2
2
.
2
3
2
2
.
2
1
º45º60º45cosº60cos)º45º60cos()º105cos( −=−=−=+= sensen 
b) 
23
39
3369
33
33
.
3
33
3
33
)1.(
3
31
1
3
3
º45º.301
º45º30)º45º30()º75( +=
−
++
=







+
+
−
+
=








−
+
=
−
+
=+=
tgtg
tgtg
tgtg
 
 
5) Sendo senx = 4/5 e cosy = 12/13, em 0 ≤ x ≤ pi/2e 0 ≤ y ≤ pi/2, determine: 
a) sen (x + y) b) tg (x – y) 
 
Solução. Sabendo que sen2x + cos2x = 1, calculamos 
as raízes positivas de cosx e seny. 
 
i) 5
3
25
9
25
1611cos 2 ==−=−= xsenx
 
 
 ii) 
13
5
169
25
169
1441cos1 2 ==−=−= yseny
 
 
a) 
65
63
65
1548
5
3
.
13
5
13
12
.
5
4
coscos)( =+=+=+=+ xsenyysenxyxsen 
 
b) 
56
33
56
65
.
65
33
65
56
65
33
)cos(
)()( ===
−
−
=−
yx
yxsenyxtg 
 
6) Se x e y são dois arcos complementares, calcule 
A = (cosx - cosy)2 + (senx + seny)2 
 
Solução. 
.2)0(22º90cos22)cos(.211
)cos(cos2)cos()(cos
2coscoscos2cos
2222
2222
=⇒−=−=+−+=
−−+++=
++++−=
AyxA
senxsenyyxyysenxsenxA
ysensenxsenyxsenyyxxA
 
7) Calcule sen2x sabendo-se que tg x + cotg x = 3. 
 
Solução. A cotangente é o inverso da tangente. E 
podemos escrever sen2x = 2senxcosx. 
Temos: 
.
3
22
3
1
.2cos2
3
1
cos
cos31
cos3cos3cos
cos
3 22
=⇒=⇒=
=
=+⇒=+⇒=+
xsenxsenxxsenx
xsenx
xsenxxxsen
senx
x
x
senx
ctgxtgx
 
 
 
Trigonometria: Exercícios sobre elementos gerais 
1) Um arco AB de uma circunferência tem 
comprimento L. Se o raio da circunferência mede 
4 cm, qual a medida em radianos do arco AB, se: 
(a) L=6cm (b) L=16cm (c) L=22cm (d) L=30cm 
2) Em uma circunferência de raio R, calcule a medida 
de um arco em radianos, que tem o triplo do 
comprimento do raio. 
 
3) Um atleta percorre 1/3 de uma pista circular, 
correndo sobre uma única raia. Qual é a medida 
do arco percorrido em graus? E em radianos? 
 
4) Em uma pista de atletismo circular com quatro 
raias, a medida do raio da circunferência até o 
meio da primeira raia (onde o atleta corre) é 100 
metros e a distância entre cada raia é de 2 metros. 
Se todos os atletas corressem até completar uma 
volta inteira, quantos metros cada um dos atletas 
correria? 
 
 
 
5) Qual é a medida (em graus) de três 
ângulos, sendo que a soma das medidas 
do primeiro com o segundo é 14 graus, a 
do segundo com o terceiro é 12 graus e a 
soma das medidas do primeiro com o 
terceiro é 8 graus. 
Apostila de Cálculo Zero 
 
15 
 
6) Qual é a medida do ângulo que o ponteiro 
das horas de um relógio descreve em um 
minuto? Calcule o ângulo em graus e em 
radianos. 
 
 
 
7 Os dois ponteiros de um relógio se sobrepõem 
à 0 horas. Em que momento os dois ponteiros 
coincidem pela primeira vez novamente? 
8) Calcular o menor ângulo formado pelos ponteiros de 
um relógio que marca 12h e 20minutos. 
 
9) Em um polígono regular um ângulo externo mede 
pi/14 rad. Quantos lados tem esse polígono? 
 
10) Escreva o ângulo a=12°28' em radianos. 
 
11) Escreva o ângulo a=36°12'58" em radianos. 
 
12) Dados os ângulos x=0,47623rad e y=0.25412rad, 
escreva-os em graus, minutos e segundos. 
 
13) Em uma circunferência de raio r, calcular a medida 
do arco subtendido pelo ângulo A em cada caso: 
 
A=0°17'48" r=6,2935cm 
A=121°6'18" r=0,2163cm 
 
14) Em uma circunferência de centro O e raio r, calcule 
a medida do ângulo AÔB subtendido pelo arco AB nos 
seguintes casos. 
a) AB=0,16296 cm r=12,587cm. 
b) AB=1,3672cm r=1,2978cm. 
 
 
 
Trigonometria: Exercícios sobre o círculo 
trigonométrico 
1) Calcule a primeira determinação positiva do 
conjunto de arcos de mesma extremidade que o 
arco A de medida: A= 810 graus. 
 
2) Calcule a primeira determinação positiva do 
conjunto de arcos de mesma extremidade que o 
arco A de medida A=-2000 graus. 
 
3) Calcule a primeira determinação positiva do 
conjunto de arcos de mesma extremidade que o 
arco de medida 38 /3. 
 
4) Calcule a primeira determinação positiva do 
conjunto de arcos de mesma extremidade que o 
arco de medida: 
 
 
(a) A=1620° (b)A=-37 /3 
(b) (c)A=-600° (d) A=125 /11 
 
5) Unindo as extremidades dos arcos da forma 
(3n+2) /6, para n=0,1,2,..., obtém-se qual dos 
polígonos regulares? 
(a) Quadrado (b) Hexágono (c) Octógono 
 
6) Verifique se os arcos de medidas 7 /3 e 19 /3 
são arcos côngruos? 
 
7) Marcar no círculo trigonométrico as extremidades 
dos arcos de medidas x = 2k /3, onde k é um 
número inteiro. 
 
8) Marcar no círculo trigonométrico as extremidades 
dos arcos de medidas x = /4+2k /3, onde k é 
um número inteiro. 
 
Trigonometria: Exercícios sobre seno, cosseno e 
tangente 
1) Determine o valor de sen(4290°). 
2) Determine os valores de cos(3555°) e de 
sen(3555°). 
3) Determine o valor de sen(-17 /6). 
4) Determine o valor de cos(9 /4). 
5) Determine o valor de tan(510°). 
6) Determine o valor de tan(-35 /4). 
7) Se x está no segundo quadrante e cos(x)=-12/13, 
qual é o valor de sen(x)? 
8) Quais são os valores de y que satisfazem a 
ambas as igualdades: 
Apostila de Cálculo Zero 
 
16 
sen(x) = (y+2)/y e cos(x) = (y+1)/y 
9) Quais são os valores de m que satisfazem à 
igualdade cos(x) = 2m-1? 
10) Quais são os valores de m que satisfazem à 
igualdade sen(x) = 2m-5? 
11) Mostre que a função definida por f(x) = cos(x) é 
par, isto é, cos(-a) = cos(a), para qualquer a real. 
12) Mostre que a função definida por f(x) = sen(x) é 
ímpar, isto é, sen(-a) = -sen(a), para qualquer a 
real. 
13) Mostre que a função definida por f(x)=tan(x) é 
ímpar, isto é, tan(-a) = -tan(a), para qualquer a 
real, tal que cos(a) ≠ 0. 
14) Se x está no terceiro quadrante e tan(x) = 3/4, 
calcular o valor de cos(x). 
15) Se x pertence ao segundo quadrante e 
sen(x) = 1/ , calcular o valor de tan(x). 
Trigonometria: Exercícios sobre secante, 
cossecante e cotangente 
1) Calcular: 
(a) sec(405°) (b) csc(-150°) (c) cot(19 /3) 
2) Calcule: 
(a) sec(-15 /6) (b) csc(300°) (c) cot(15 /4) 
3) Verifique a igualdade: 
 
4) Mostre que: 
 
 
5) Mostre que: 
 
 
 
 
6. Verifique que 
sen4(x) - cos4(x) = sen²(x) - cos²(x) 
7. Fazendo a substituição x=5 cos(t), com t no primeiro 
quadrante, demonstre que 
(25-x²)1/2 = 5 sen(t) 
 
8. Fazendo a substituição x=2 tan(t), com t no quarto 
quadrante, demonstre que 
1/(4+x²)1/2 = cos(t)/2
Apostila de Cálculo Zero 
 
17 
 
Bibliografia 
 
 
ARANHA, Álvaro Zimmermann. Apostila de Matemática - Fascículo 04. Disponível em < 
http://pt.scribd.com/doc/3196577/Matematica-Fasciculo-04-Trigonometria>. Acesso em 18 fev. 2012. 
 
ESCOLA, Brasil. Exercícios. Disponível em <http://www.brasilescola.com/matematica>. Acesso em 18 
fev. 2012. 
 
HERACLITO. Exercícios Tio Heráclito. Disponível em <http://www.tioheraclito.com/>. Acesso em 18 
fev. 2012. 
 
IEZZI, Gelson, DOLCE, Osvaldo, MURAKAMI, Carlos. Matemática – Volume Único. Atual Editora: São 
Paulo, 2005. 
 
MACCARINI, Justina Motter. Projeto ECO Matemática - Ensino Médio. Volumes 1,2 e 3 – Editora 
Positivo. 2011. 
 
MATEMÁTICA. Exercícios. Disponível em <http://www.exatas.mat.br/>. Acesso em 18 fev. 2012. 
 
MATEMÁTICA. Só matemática. Exercícios. Disponível em <www.somatematica.com.br/> Acesso em 18 
fev. 2012. 
 
SANTOS, Cristiano A. Matemática Essencial. Disponível em 
http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/trigonom/trigon1/mod114.htm>. Acesso em 18 fev. 2012. 
 
SILVA, Joselias S. da. Apostila de Matemática. Disponível em 
<http://www.seuconcurso.com.br/Matematica/matematica08.pdf>. Acesso em 18 fev. 2012.