APOSTILA_CDI_1_FUNCOES_CAP1_DONIZETTI_06marco2012

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UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ
PR
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SUMÁRIO 
 
CAPÍTULO 0 – PARTICULARIDADES E APRESENTAÇÕES 
 
 
1. Notas Históricas: Um pouco de História – Cálculo Diferencial ............................................... 04 
2. Objetivos ....................................................................................................................................... 04 
3. Avaliações ..................................................................................................................................... 05 
4. Linguagem Matemática ............................................................................................................... 06 
5. Conjuntos Numéricos .................................................................................................................. 07 
6. .................................................................................................................. 05 
 
CAPÍTULO 1 – FUNÇÕES 
 
 
1. Conceitos ................................................................................................................................... 04 
2. ............................................................................................................................. 05 
3. ...................................................................................................................... 09 
 
 
CAPÍTULO 2 – LIMITES 
1. Conceitos .................................................................................................................................... 
2....................................................................................................................... 
3. ................................................................................................................... 
 
 
CAPÍTULO 3 – DERIVADAS .............................................................................................. 21 
 
 
CAPÍTULO 4 – INTEGRAIS .................................................... 27 
 
 
CAPÍTULO 5 – APLICAÇÕES GEOMÉTRICAS .......................................... 56 
 
 
CAPÍTULO 6 – APLICAÇÕES FÍSICAS .................................................................... 59 
 
 
LISTA GERAL DE QUESTÕES PROPOSTAS PARA A REVISÃO DOS CONCEITOS ..... 78 
 
 
 
 
REFERÊNCIAS .............................................................................................................................. 86 
 
 
 
SERÁ CONSTRUIDO AO FINAL DA ÚLTIMA VERSÃO 
DA APOSTILA, AGUARDEM!
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ORIENTAÇÕES DA APOSTILA DE CDI – 1, 2012 
 
Estas notas de aula seguem de muito perto a bibliografia referenciada abaixo e que correspondem aos 
livros textos desta disciplina, sugere-se a sua aquisição. As notas abordam Funções, Limites, 
Derivadas e Integrais de uma variável. Sempre que possível são evidenciadas potenciais aplicações, 
bem como formas de resolução de exercícios e/ou problemas nos softwares (Microsoft Excel e/ou 
Maple e/ou MatLab). Obs. Referências específicas são apresentadas antes dos textos. 
 
Este texto destina-se aos alunos matriculados na disciplina de CDI-1, ou a quem possa interessar, 
devendo servir como um guia para as aulas, que são realizadas durante o semestre letivo. 
 
Propositalmente, os resultados fornecidos pelo Maple são apresentados, para que o aluno motive-se a 
executar e estudar os programas aqui apresentados. 
 
• Recomenda-se que o aluno observe atentamente cada resultado, interpretando-o corretamente. 
• A maioria dos programas (resolução de exercícios ou problemas da engenharia) é discutido nas 
aulas, e desse modo espera-se que esse material facilite a assimilação do conteúdo das aulas. 
• A resolução dos exercícios propostos é fundamental para entendimento dos assuntos aqui 
abordados. 
 
Adverte-se o leitor de que nestas notas de aulas se fará um estudo muito elementar de alguns tópicos e 
aos interessados em maiores detalhes (demonstrações), sugere-se as referências que aparecem ao longo 
do texto ou no final da apostila. 
 
Meus interesses de pesquisa estão centrados nas áreas de otimização numérica, programação linear e 
não-linear, estatística multivariada, nas quais publiquei artigos e apresentei trabalhos em congressos. 
Interesso-me por questões de ensino básico e terciário e defendo a resolução de problemas como motor 
fundamental da aprendizagem. 
 
Críticas e sugestões, bem como correção de eventuais erros no material, serão bem recebidas. 
 
donizetti@utfpr.edu.br 
 
Notas do autor 
Pato Branco, março de 2012. 
Frases Relevantes 
 
• “O professor é aquele que transfere o que sabe e aprende o que ensina.” CORA CORALINA - POETISA 
BRASILEIRA 
 
• “Tudo deve tornar-se o mais simples possível, porém, não simplificado.” ALBERT EINSTEIN 
 
• “Não há investimento que forneça maior lucro do que o conhecimento.” AUTOR DESCONHECIDO 
 
• “Um investimento em conhecimento sempre paga o melhor juro” BENJAMIN FRANKLIN 
 
• “Excelência... não é um ato, mas um hábito.” ARISTÓTELES 
 
• “Aprender Cálculo pode ser sua experiência educacional mais empolgante e estimulante pois é a base para quase toda a 
Matemática e para muitas das grandes realizações no mundo moderno” (LEITHOLD, 1994). 
 
• “Nas questões matemáticas, não se compreende a incerteza nem a dúvida, assim como também não pode-se estabelecer 
distinções entre verdades médias e verdades de grau superior” DAVID HILBERT 
 
• “A Matemática é a honra do espírito humano” LEIBNIZ 
 
• “Tudo deveria se tornar o mais simples possível, mas não simplificado” ALBERT EINSTEIN 
 
• “Não adianta ter um mar de conhecimentos com uma profundidade de um milímetro” CHRISTIAN PINEDO 
 
• A educação é o transporte para o futuro. 
 
• Para refletir: O que distingue o homem não é a grandeza do gênio, mas a alteza do caráter. 
 
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PARA QUE SERVE A MATEMÁTICA? OSCAR GUELLI 
 
• “Para que este sonho se torne realidade”, diz o arquiteto olhando a planta na sua prancheta de 
trabalho. 
 
• “Para interpretar os dados do computador de bordo e determinar a posição do avião”, observa o 
piloto. 
 
• “Necessito dela para estabelecer uma relação entre o mundo físico e a sua representação gráfica 
quando faço um mapa”, responde o cartógrafo. 
 
• “Preciso investigar mediante procedimentos matemáticos a situação da empresa e do mercado 
antes de sugerir alguns investimentos”, exclama o administrador da empresas. 
 
• “Para interpretar estatisticamente os resultados de testes sobre o comportamento humano, como 
aprendizado, memória, motivação”, relata o psicólogo. 
 
• “Para planejar a comida do paciente cujo médico prescreveu uma dieta com proteínas e hidrato de 
carbono na razão 7:4”, conclui o nutricionista do hospital. 
 
• “Para observar e acompanhar o registro das atividades do coração do meu paciente”, pensa o 
médico olhando um eletrocardiograma. 
 
• “Com o auxilio de análises matemáticas posso sugerir modificações que levem harmonia às 
populações das grandes cidades, como o estudo dos fluxos de trânsito para prevenir acidentes”, 
afirma o urbanista. 
 
• “Para planejar as vastas e complexas redes de comunicações modernas”, se orgulha o engenheiro. 
 
• “Para organizar o orçamento doméstico, acompanhar, interpretar e participar ética e 
conscientemente da política do dia-a-dia”, responde o cidadão comum. 
 
• E você? Já parou para pensar nisto alguma vez? 
 
Bom estudo! 
 
Muito problemas que ocorrem cedo na física requerem, para suas resoluções, o conhecimento de 
equações diferenciais; por este motivo, é importante que o aluno entre em contato com elas o mais 
rápido possível (GUIDORIZZI, 2001). 
 
Devemos sempre observar o processo de construção do conhecimento,para isso, torna-se 
imprescindível considerar a participação do aluno ao longo do processo de aprendizagem 
(GUIDORIZZI, 2001). 
 
A aprendizagem é o fruto exclusivo do trabalho ativo do aluno, cabendo ao instrutor as tarefas de 
propor problemas desafiantes, orientar o estudante na sua resolução, e fornecer os elementos teóricos 
essenciais para possibilitar a atividade deste (GUIDORIZZI, 2001). 
 
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1. Notas Históricas: Um pouco de História – Cálculo Diferencial 
 
Um dos ramos da Matemática que mais auxiliaram na resolução de problemas das mais variadas 
ciências, como Física, Engenharia, Astronomia, Biologia, etc., foi o cálculo diferencial. Podemos dizer 
que ele nasceu na época de Galileu Galilei (1564-1642) e Johannes Kepler (1571-1630) e foi 
sistematizado mais tarde, de modo independente um do outro, por Isaac Newton (1642-1727) e 
Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716). Posteriormente, o cálculo diferencial recebeu contribuições 
valiosas de Augustin Louis Cauchy (1789-1857) e de G. F. B. Riemann (1826-1866). Hoje, o cálculo 
diferencial é a ferramenta, por excelência, de praticamente todas as ciências. 
 
O desenvolvimento do cálculo diferencial se deu a partir de dois problemas concretos: 
 
- Como encontrar a reta tangente a uma curva em um ponto dessa curva? 
- Como obter a velocidade e a aceleração de um móvel, em um dado instante, conhecendo a sua 
equação horária? 
 
PESQUISAR RICIERI PRANDIANO VIA COMUT (CAMPUS/CP) 
 
2. Objetivos e Perspectivas: 
 
• Trabalhar as ideias, os conceitos matemáticos intuitivamente, antes da simbologia, antes da 
linguagem matemática. 
• Oportunizar que o aluno aprenda por compreensão, ou seja, o aluno deve saber o porquê das 
coisas, e não simplesmente mecanizar procedimentos e regras. 
• Estimular o aluno para que pense, raciocine, crie, relacione ideias, descubra e tenha autonomia de 
pensamento. Por exemplo: Propor: Desafios, jogos, quebra-cabeças, problemas curiosos, etc. 
• Trabalhar a Matemática por meio de situações-problema próprias da vivência do aluno e que façam 
realmente pensar, analisar, julgar e decidir-se pela melhor solução. 
• Proporcionar que o conteúdo trabalhado com o aluno seja significativo, que ele sinta que é 
importante saber aquilo para a sua vida em sociedade ou que lhe será útil para entender o mundo 
em que vive, e principalmente no exercer de sua atividade profissional. 
• Valorizar a experiência acumulada pelo aluno na escola e fora da mesma. 
• Estimular o aluno a fazer cálculo mental, estimativas e arredondamentos, obtendo resultados 
aproximados. 
• Considerar mais o processo do que o produto da aprendizagem – “aprender a aprender” mais do 
que resultados prontos e acabados. 
• Compreender a aprendizagem da Matemática como um processo ativo. 
• Permitir a utilização adequada das calculadoras e computadores. 
• Utilizar softwares matemático para facilitar o processo de ensino-aprendizagem da matemática. 
• Professores, deixem seus alunos utilizarem calculadoras científicas e softwares, mas criem 
atividades que exijam raciocínio antes da utilização do mesmo. 
• Utilizar a história da Matemática como um excelente recurso didático. 
 
 7 
3. Avaliação: 
 
• A avaliação é um instrumento fundamental para fornecer informações sobre com está se 
realizando o processo de ensino-aprendizagem como um todo. 
• A avaliação deve ser essencialmente formativa, vista como um diagnóstico contínuo e dinâmico. 
• A avaliação será um processo de acompanhamento e compreensão dos avanços, dos limites e das 
dificuldades dos alunos em atingir os objetivos da atividade de que participam. 
• Em resumo, avalia-se para identificar os problemas e os avanços e redimensionar a ação 
educativa, visando ao sucesso escolar. 
• Usar várias formas de avaliação, incluindo as escritas (provas, testes, trabalhos, auto-avaliação, 
etc.), as orais (exposições, entrevistas, conversas informais, etc.). 
• Utilizar materiais manipuláveis, calculadoras e computadores na avaliação. 
• Avaliar se o aluno compreendeu os conceitos, os procedimentos e se desenvolveu atitudes 
positivas em relação à Matemática. (Dante, 2002) 
• Avaliação: coletar dados => Avaliar = localizar necessidades + Compromisso de superação. 
• “A matemática é profundamente humanizadora” (Celso Vasconcellos, 2005) 
 
Forma de Avaliação: Participação e interesse do aluno durante a aula expositiva-dialogada. 
Posteriormente, será realizando avaliações escrita e individual e usando um software matemático 
(Maple, por exemplo). Também será pedido um trabalho onde o aluno deverá trazer uma situação do 
seu cotidiano (futuro mercado de trabalho, por exemplo), onde possa ser resolvido através da utilização 
do tópico trabalhado. Na aula seguinte, avaliar a entrega da resolução da lista de exercícios que é um 
elemento fundamental na fixação de conceitos. 
 
DESAFIO: Duas pessoas viajando, sendo que a primeira pessoa leva consigo 3 pães enquanto a 
segunda pessoa leva 5 pães. Essas pessoas encontraram um andante, e decidem comer juntas os pães 
que levam. Todos comeram a mesma quantidade, ao final o andante como recompensa distribuiu 8 
moedas de ouro. Quanto cada um deve ganhar de forma que a divisão seja proporcional a contribuição 
de cada um para acabar com a fome do andante? 
 
LEMBRE-SE: 
 
1o mandamento da matemática: Não dividirás por zero. 
2o mandamento da matemática: Não aprenderás se não praticar. 
 
Questionário: 
1. O que significa a palavra matemática? Resposta: Saber Pensar (origem grega) 
2. O que significa a palavra cálculo? Resposta: Pedrinhas (calculus em latim) 
3. O que significa a palavra teorema? Resposta: (teo = Deus e rema = Verdade, portanto, verdade 
divina) 
4. Como provar geometricamente o teorema de Pitágoras? Vejas as seguintes ilustrações. 
 
 
Apresentamos abaixo links para download de material didático, a saber: 
 
• kit de sobrevivência em cálculo (UEM) http://www.uem.edu.br/kit 
 
• E-calculo (USP) http://www.cepa.if.usp.br/e-calculo/menu 
 
 8 
Prof. José Paulo Q. Carneiro 
 
(COLEÇÃO EXPLORANDO O ENSINO MATEMÁTICA, VOL 3, p. 33) 
 
Vamos agora fazer alguns comentários: 
 
Algumas pessoas no processo de aprendizagem da Matemática (alunos, professores, pais, etc.) 
expressam às vezes a crença de que, com o advento da calculadora, nunca mais haverá ocasião de usar 
o algoritmo tradicional da divisão. Alguns até usam isso como um argumento para proibir a utilização 
da calculadora em certas fases iniciais da aprendizagem: “é necessário primeiro que o aluno aprenda o 
algoritmo tradicional, e só depois lhe será permitido usar a calculadora; senão, ele não terá motivação 
para aprender tal algoritmo”. 
 
Na realidade, o exemplo aqui tratado mostra que nós, professores, temos que exercer nossa 
criatividade para criar problemas desafiadores, que coloquem em xeque até mesmo a calculadora, 
deixando claras as suas limitações, em vez de proibir a sua utilização. O que é uma atitude antipática, 
repressora, e totalmente contrária ao que um aluno espera de um professor de Matemática. De fato, 
para um leigo, ou um iniciante em Matemática, nada mais “matemático” do que uma calculadora, e ele 
espera que um professor vá iniciá-lo ou ajudá-lo com essa ferramenta, e não proibi-lo de utilizá-la. 
 
 
 
 
 
543 22 =+ 
3 
4 
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 9 
Prefácio à 5a Edição 
 
Além de uma revisão de todo o texto, reescrito em várias partes, a presente edição inclui, no início de cada 
capítulo, uma nota de orientação sobre o conteúdo deles; e, ao final das seções, as respostas, sugestões ou 
soluções dos exercícios propostos. 
 
Livros são escritos para serem lidos. Infelizmente, os livros textos de Matemática, frequentemente vazados em 
linguagem muito formal e técnica, são pouco lidos pelos alunos.Para facilitar sua leitura, este livro foi escrito em uma linguagem coloquial e solta, como se eu estivesse 
conversando com o leitor. Procurei expor as ideias sem os entraves das apresentações formais, que muitas vezes 
mais atrapalham do que ajudam no aprendizado. Objetivando maior clareza, entremeei a apresentação com 
muitos exemplos ilustrativos da teoria. As notas históricas ao final de cada capítulo, além de informativas, são 
um estímulo a mais na leitura do livro. Outro detalhe, que ajuda muito na leitura, é a referência às páginas. 
Assim, em vez de escrever “de acordo com o Teorema 3.7”, escrevo “de acordo com o teorema da página 78”; 
isso facilita bastante e torna rápida a procura do assunto referido. 
 
Espero que o texto seja efetivamente utilizado – e com bastante proveito – por professores e alunos. A utilização 
do livro pelos alunos não depende somente do autor, mas também, e muito, da maneira como o professor 
conduz suas aulas. Portanto, colega professor, se você decidiu adotar este livro em seu curso, motive seus alunos 
a usá-lo efetivamente, não apenas para dele tirar listas de exercícios. 
 
Todos nós, que já passamos pela experiência do aprendizado, sabemos muito bem que quase tudo o que se 
aprende é devido ao estudo individual em livros. Muito pouco se aprende em sala de aula. Para que, então, 
servem as aulas? A resposta é simples: para orientar o aluno e disciplinar seu estudo. É por isso que o professor 
não deve limitar suas aulas à mera repetição do livro, pois isso desencoraja a participação dos alunos e reduz as 
chances de comunicação. A aula é tanto mais proveitosa e interessante quanto mais ela é usada para esclarecer 
dúvidas e discutir questões, principalmente aquelas levantadas pelos alunos, resolver os problemas mais difíceis 
e dar aquela orientação de que o aluno, na sua inexperiência, tanto carece. 
 
É isso que devemos fazer em sala de aula: apresentar as ideias da disciplina, o porquê dos conceitos 
introduzidos, os resultados dos teoremas, as linhas gerais das demonstrações mais interessantes, sempre 
procurando mostrar essas diversas partes de maneira organicamente integradas em um todo maior, que o aluno 
possa apreciar criticamente. Isso vale muito mais no aprendizado do que as apresentações formais ou os detalhes 
da demonstração de um teorema de importância secundária. Além do que, o aluno deve ser estimulado a estudar 
pelo livro em casa, onde, aí sim, cabe a ele acompanhar as demonstrações nos seus detalhes, resolver e coletar 
dúvidas para a aula seguinte. 
 
O ensino de Cálculo é muito facilitado pelo significado geométrico de seus resultados. Aliás, seus conceitos e 
métodos têm muito de conteúdo geométrico, e a boa didática recomenda que a intuição geométrica seja utilizada 
sempre, não somente para motivar os resultados, mas também para justificá-los. Muitas vezes vale mais, no 
aprendizado, uma boa justificativa geométrica do que uma demonstração formal. 
 
O aspecto geométrico foi levado muito em conta na preparação deste livro. Insistimos muito para que os alunos 
façam sempre os gráficos referentes a todos os problemas e questões que estejam estudando, pois eles são um 
auxiliar muito valioso no aprendizado. 
 
Muitos alunos, ao longo dos anos, têm reclamado respostas a todos os exercícios do livro, não apenas à metade 
deles. Pois bem, a presente edição contém respostas a praticamente todos os exercícios, sugestões a alguns mais 
difíceis e soluções completas aos mais difíceis ainda. Só uma parcela insignificante de exercícios escapou a essa 
regra, ou por serem muito parecidos com exemplos ou exercícios já resolvidos, ou por terem soluções muito 
simples. 
 
Espero que isso facilite o seu trabalho, caro estudante. Mas, não se iluda, você tem de fazer a sua parte, com seu 
esforço próprio, pois ninguém poderá substituir ou aliviar por completo a sua tarefa. Você deve estudar o texto, 
acompanhar atentamente os exemplos ilustrativos e depois – esta é a parte mais importante – resolver os 
exercícios propostos. Só consulte as “respostas, sugestões e soluções” depois de trabalhar bastante e não 
conseguir, por conta própria, superar as dificuldades encontradas. 
 
Resta-me desejar boa sorte ao professor e ao aluno. A ambos deixo aqui o meu pedido, para que me enviem suas 
críticas e sugestões, que certamente serão úteis na melhoria do livro em edições futuras. 
 
Geraldo Ávila 
Campinas, junho de 1992. 
 10 
PARA O ESTUDANTE 
 
• O que é Cálculo? Adaptado de THOMAS, Cálculo, vol. 1, 10 ed., p. xv, 2006. 
 
O cálculo é a matemática dos movimentos e das variações. Onde há movimento ou crescimento e onde 
forças variáveis agem produzindo aceleração, o cálculo é a matemática a ser empregada. Isso era 
verdade quando essa disciplina surgiu e continua a valer hoje. 
 
O cálculo foi inventado inicialmente para atender às necessidades matemáticas – basicamente 
mecânicas – dos cientistas dos séculos XVI e XVII. O cálculo diferencial lidou com o problema de 
calcular taxas de variação. Ele permitiu que as pessoas definissem os coeficientes angulares de curvas, 
calculassem a velocidade e a aceleração de corpos em movimento e determinassem os ângulos a que 
seus canhões deveriam ser disparados para obter o maior alcance, além de prever quando os planetas 
estariam mais próximos ou mais distantes entre si. O cálculo integral lidou com o problema de 
determinar uma função a partir de informações a respeito de sua taxa de variação. Permitiu que as 
pessoas calculassem a posição futura de um corpo a partir de sua posição atual e do conhecimento das 
forças que atuam sobre ele, determinassem as áreas de regiões irregulares no plano, medissem o 
comprimento de curvas e de terminassem o volume e a massa de sólidos arbitrários. 
 
Hoje, o cálculo e suas extensões na análise matemática estão muito mais abrangentes e os físicos, 
matemáticos e astrônomos que inventaram essa disciplina ficariam surpresos e maravilhados, como 
acreditamos que você ficará, ao observar a quantidade de problemas que ela resolve e a variedade de 
campos que utilizam o cálculo – em modelos matemáticos que facilitam a compreensão do universo e 
do mundo ao nosso redor. O objetivo desta apostila é apresentar uma visão moderna do cálculo, 
aprimorada pela utilização da tecnologia. 
 
• Como Aprender Cálculo? 
 
Aprender cálculo não é como aprender aritmética, álgebra ou geometria. Nessas disciplinas, aprende-
se primeiro como calcular com números, como simplificar expressões algébricas e calcular com 
variáveis, além de como lidar com pontos, retas e figuras no plano. O cálculo envolve essas técnicas e 
habilidades, mas cria outras também, de alta precisão e em um nível mais profundo. Introduz tantos 
conceitos e operações computacionais novos que, na verdade, você não conseguirá aprender tudo o que 
precisa na aula. Você terá de aprender uma boa parte sozinho ou com os colegas. Então, o que fazer? 
 
(1) Leia o texto. Não será possível aprender todos os significados e relações simplesmente fazendo os 
exercícios. Você terá de ler trechos relevantes do livro, além de acompanhar os exemplos passo a 
passo. A leitura dinâmica não funcionará aqui. Você deve ler e procurar detalhes de maneira lógica 
e contínua. Esse tipo de leitura, necessário em qualquer texto técnico e profundo, exige atenção, 
paciência e prática. 
 
(2) Faça a lição de casa, tendo em mente os seguintes princípios: 
(a) Esboce diagramas sempre que possível. 
(b) Escreva suas respostas de maneira lógica e passo a passo, como se es tivesse explicando a alguém. 
(c) Pense no porquê de cada exercício. Por que ele foi passado? Como ele se relaciona com os outros 
exercícios? 
 
(3) Utilize a calculadora gráfica e o computador sempre que possível. Faça o maior número de 
exercícios gráficos que puder, mesmo que eles não tenham sido passados. Os gráficos ajudam porapresentar uma representação visual de conceitos e relações. Os números podem revelar padrões 
interessantes. Uma calculadora gráfica ou um computador são opções na resolução de problemas 
reais ou em exemplos que requerem cálculos difíceis ou demorados de realizar manualmente. 
 
(4) Tente escrever pequenas descrições de pontos-chave ao final de cada seção do texto. Se você 
conseguir, isso significa que provavelmente entendeu a matéria. Caso contrário, saberá onde 
‘falhou’. 
 
Aprender cálculo é um processo que não ocorre na primeira tentativa. Seja paciente e perseverante, 
faça perguntas, discuta ideias e trabalhe com seus colegas. Procure ajuda o mais rápido possível 
quando precisar. A recompensa de aprender cálculo é muito gratificante, tanto intelectual como 
profissionalmente. 
 11 
TÚNEL DO TEMPO DO CÁLCULO 
 
 
Fonte: http://www.cepa.if.usp.br/e-calculo/menu 
 
Obs.: Neste site encontramos um resumo da obra dos mais importantes autores do cálculo. 
 
NOTAS HISTÓRICAS 
 
• Um dos ramos da Matemática que mais auxiliaram na resolução de problemas das mais variadas 
ciências, como Física, Engenharia, Astronomia, Biologia, etc., foi o cálculo diferencial. Podemos 
dizer que ele nasceu na época de Galileu Galilei (1564-1642) e Johannes Kepler (1571-1630) e foi 
sistematizado mais tarde, de modo independente um do outro, por Isaac Newton (1642-1727) e 
Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716). Posteriormente, o cálculo diferencial recebeu 
contribuições valiosas de Augustin Louis Cauchy (1789-1857) e de G. F. B. Riemann (1826-1866). 
Hoje, o cálculo diferencial é a ferramenta, por excelência, de praticamente todas as ciências. 
 
• O desenvolvimento do cálculo diferencial se deu a partir de dois problemas concretos: 
 
- Como encontrar a reta tangente a uma curva em um ponto dessa curva? 
 
- Como obter a velocidade e a aceleração de um móvel, em um dado instante, conhecendo a sua 
equação horária? 
 
Pré-requisitos: Conhecimentos de álgebra e Geometria do ensino fundamental e médio. 
 
 
 12 
• NEWTON (1642-1727) 
 
 
 
Físico, astrônomo e matemático inglês, Sir lsaac Newton nasceu em Woolsthorpe, Lincolnshire, a 25 
de dezembro de 1642 e morreu em Kensington, Middlesex, a 20 de março de 1727. Formou-se pelo 
Trinity College de Cambridge (1665). 
 
Seus conhecimentos matemáticos e o poder do seu raciocínio impressionam fundamente o matemático 
lsaac Barrow; mas o próprio Newton colocava a matemática em uma posição secundária, instrumental, 
a merecer-lhe a atenção na medida em que se revelasse fecundada para a solução de problemas 
levantados pelas mecânica celeste: donde já ter sido chamado pragmatista anterior ao pragmatismo. 
Nesse sentido, somente pesquisa novos métodos na medida em que os já conhecidos se revelam 
insuficientes. Mas, mesmo assim, é profunda a revolução que introduz no campo da matemática. Basta 
lembrar que antes dele não se tinha conhecimento do cálculo integral. É, ainda, com Newton que 
assume feição precisa o cálculo diferencial, embora não se possa deixar de referir a valiosa 
contribuição de FERMAT e DESCARTES. 
 
Newton retira o caráter de mero pressentimento às relações entre o cálculo diferencial e o cálculo 
integral, fazendo surgir o cálculo infinitesimal. Em sua obra, o cálculo infinitesimal surge sob duas 
formas, uma das quais, o método dos fluxos, decorrente da outra – o método das primeiras e últimas 
razões. Em torno da prioridade da descoberta do cálculo infinitesimal levantar-se-ia, mais tarde, 
acirrada polêmica entre Newton e Leibniz, ou, mais precisamente, entre os adeptos de um e outro. 
 
Está historicamente provado ter havido coincidência de conclusões, alcançadas simultaneamente e 
independentemente, pelos dois cientistas. Se, cronologicamente, Newton pode ter chegado àquele 
resultado em primeiro lugar, também é certo que Leibniz se mostra mais feliz no capítulo das notações, 
criando símbolos que, por comodidade de emprego, ainda hoje são utilizados. 
 
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• LEIBNIZ (1646-1716) 
 
 
 
Filósofo e matemático alemão, Gottfriend Wilhelm Leibniz nasceu em Leipzig a 1o de julho de 1646 e 
morreu em Hannover a 14 de novembro de 1716. 
 
Descobridor dos princípios de cálculo diferencial, ao mesmo tempo que Newton, Leibniz julgava 
possível a criação de uma linguagem científica universal (characteristica universalis), que, 
complementada por um sistema dedutivo e simbólico (ars combinatoria), pudesse substituir a 
argumentação discursiva pelo cálculo, em todos os campos do saber. Seu método seria o da análise do 
infinito, a partir do princípio de continuidade, pelo qual só pode algo passar de um estado a outro 
mediante um número infinito de intermediários, e toda a realidade é plenamente relacionada em suas 
partes. 
 
As ideias de continuidade e de plenitude (impossibilidade do vazio) estão relacionadas no mecanismo 
dinâmico de Leibniz, em que se destacam a noção de força e a noção de conatus, criada por Hobbes e 
entendida como movimento infinitamente pequeno. No entanto, a concepção do universo como um 
plenum contínuo baseia-se nos dois princípios fundamentais do racionalismo leibniziano: o princípio 
da razão suficiente e o princípio de perfeição. 
 
Referência: Fotos e textos reproduzidos da Encyclopaedia Britannica, respectivamente, páginas 8069 
e 6719, edição 1976. Encyclopaedia Britannica do Brasil Ltda. 
 
 GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
Muitos matemáticos devem ter ficado surpresos quando viram pela primeira vez a ideia de um jovem 
filósofo e matemático francês, René descartes (1596-1650), de representar um par de números por um 
ponto no plano. 
 
Que ideia tão simples e brilhante! 
 
Mas não foi apenas pensando na Matemática que Descartes teve essa ideia. Descartes viveu em uma 
época agitada com a colonização do Novo Mundo e, alguns dos novos mapas que deve ter visto, 
provavelmente lhe sugeriam o método de construir gráficos. 
 
Antes disso, no terceiro século a.C., os matemáticos gregos Apolônio de Perga (250-175 a.C.) e 
Arquimedes (287-212 a.C.) tinham usado latitude, longitude e altura para determinar a posição de um 
ponto. 
 
Descartes, em latim Cartesius, estabeleceu uma ponte entre a Geometria e a Álgebra, embora seu 
objetivo principal fosse criar novos métodos para construções geométricas, mais do que encontrar 
métodos algébricos para a geometria. 
 
 14 
O NÚMERO DE OURO (ϕ ): ...61803,1~
2
51
=
+
 
 
 
 
 
Um Pouco de História do cálculo 
 
Algumas ideias do Cálculo podem ser encontradas nos trabalhos dos matemáticos gregos da 
Antiguidade, da época de Arquimedes (287-212 A.C.) e em trabalhos do início do século dezessete por 
René Descartes (1596-1650), Pierre de Fermat (1601-1665), John Wallis (1616-1703) e Isaac Barrow 
(1630-1677). Entretanto, a invenção do Cálculo é frequentemente atribuída a Sir Isaac Newton (1642-
1727) e Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) pois eles começaram a efetuar a generalização e 
unificação do assunto. Havia outros matemáticos do século dezessete e dezoito que contribuíram para 
o desenvolvimento do Cálculo; alguns deles foram Jakob Bernoulli (1654-1705), Johann Bernoulli 
(1667-1748), Leonhard Euler (1707-1783) e Joseph L. Lagrange (1736-1813). No entanto, não foi 
antes do século dezenove que os processos do Cálculo receberam fundamentação sólida por parte de 
matemáticos como Bernhard Bolzano (1781-1848), Augustin L. Cauchy (1789-1857), Karl 
Weierstrass (1815-1897) e Richard Dedekind (183 1-1916). 
 
Axioma: a palavra axioma é usada para indicar uma afirmação formal considerada verdadeira, 
dispensando provas (demonstrações). 
 
Teorema: as propriedades que podem ser obtidas como consequências lógicas dos axiomas são os 
teoremas. No enunciado da maioria dos teoremas existem duas partes: a parte do “se”, chamada de 
hipótesee a parte do “então”, chamada de conclusão. A argumentação que verifica a veracidade de 
um teorema é uma demonstração (ou prova), a qual consiste em mostrar que a conclusão é 
consequência de se admitir a hipótese como verdadeira. 
 
Conjunto: é uma coleção de objetos e os objetos de um conjunto são chamados elementos. 
 
Variável: Uma variável é um símbolo usado para representar qualquer elemento de um conjunto dado. 
 15 
Teorema de Pitágoras – uma demonstração 
 
Adaptado de: MUNOZ RIVERA, J.E. Cálculo Diferencial e Integral I. Textos de Graduação. 
Universidade Federal do Rio de Janeiro. Departamento de Matemática Aplicada e Computacional. 
Laboratório Nacional de Computação Científica. Petrópolis, Rio de Janeiro – Brasil, 2007. 
 
Teorema: A soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa. 
 
 
 
 
 
Demonstração: Temos então que encontrar uma 
identidade. Para isto é necessário expressar de duas formas 
diferentes uma mesma expressão. Por exemplo uma simples 
inspeção na figura ao lado vemos que a área do quadrado 
maior, pode ser expressado como a soma das áreas do 
quadrado inscrito mais a soma das áreas dos quatro 
triângulos retângulos dentro dele. Denotemos por d o lado 
do quadrado interno. Note que este lado representa a 
hipotenusa dos triângulos inscritos. Assim temos: 
 
Área do quadrado = 
 
áreas dos triângulos + área do quadrado interno 
 
Assim, podemos escrever: 
 
22222222 22
2
4)( dbadabbabadbaba =+⇒+=++⇒+




 ⋅
⋅=+ 
 
Portanto, 
222 dba =+ 
 
que mostra o teorema de Pitágoras. 
 
Uma simples análise ao processo anterior, nos mostra que a ideia principal foi expressar a área do 
quadrado de duas formas diferentes para obter a identidade. 
 
 
 
 16 
1. LINGUAGEM MATEMÁTICA 
 
SÍMBOLO LÊ-SE 
= Igual 
≠ Diferente (exemplo: 33,03/1 ≠ ) 
≅ Aproximadamente (exemplo: 33,03/1 ≅ ) 
≡≡≡≡ Coincidentes (exemplo: retas coincidentes) 
 
Não coincidentes 
% Por cento (indica uma divisão por 100, por exemplo: 5% = 5/100) 
± Mais ou menos (exemplo: 2442 ±=⇒±=⇒= xxx ) 
>>>> Maior que 
≥≥≥≥ Maior ou igual a 
<<<< Menor que 
≤≤≤≤ Menor ou igual a 
⁄⁄⁄⁄ Tal que 
∀ Qualquer que seja ou todo elemento 
⇒⇒⇒⇒ Implica 
⇔⇔⇔⇔ Se, e somente se 
∃∃∃∃ Existe 
 
Não existe 
!!!! Único 
∈∈∈∈ Pertence 
∉∉∉∉ Não pertence 
∪∪∪∪ União 
∩∩∩∩ Intersecção 
⊂⊂⊂⊂ Está contido 
⊃⊃⊃⊃ Contém 
BA ⊄ A não está contido em B 
N Conjunto dos números naturais 
Z Conjunto dos números inteiros 
Q Conjunto dos números racionais 
cQ ou 'Q ou I Conjunto dos números irracionais 
ℜ Conjunto dos números reais 
} { ou ∅ Usado para indicar conjunto vazio 
* Indica a exclusão do elemento zero 
/ / Paralelas ou paralelos (exemplo: retas paralelas) 
⊥ Perpendicular ou ortogonal (exemplo: retas perpendiculares) 
... dqc Conforme queríamos demonstrar 
∑∑∑∑ Somatório 
Π Produtório 
∞ Infinito 
BAf →: f é uma função do conjunto A no conjunto B 
Lxf
px
=
→
)(lim Limite da função f quando x tende a p é igual a L. 
)(),(,,,'),(' xDfD
dx
dy
dx
dfyxf xx 
Notações usadas para representar a derivada de uma 
função: )(xfy = . 
∫ dxxf )( Integral indefinida da função f em relação a variável x. 
dxxfb
a∫ )( 
Integral definida da função f em relação a variável x, de a até b. 
 
 17 
2. CONJUNTOS NUMÉRICOS: 
 
2.1. Números Naturais (Símbolo → N ) ⇒ ...} 3, 2, 1, {0,=N 
 Nota: ...} 3, 2, ,1{}0{* =−= NN , conhecido como conjunto dos números inteiros positivos. 
2.2. Números Inteiros (Símbolo → Z ) ⇒ ...} 3, 2, 1, {0, ...} 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, ...,{ ±±±=−−−=Z 
Curiosidade: A escolha da letra Z para representar o conjunto dos números inteiros, deve-se ao 
fato da palavra Zahl em alemão, significar número. 
 Nota: N Ζ⊂ (todo número natural é um número inteiro) 
2.3. Números Racionais (fração) (Símbolo →Q) ⇒ Definição: 
 0b ,,/ 





 ≠Ζ∈= ba
b
aQ 
Curiosidade: A utilização da letra Q deriva da palavra inglesa quotient, que significa quociente, 
já que a forma geral de um número racional é um quociente de dois números 
inteiros. 
 Notas: (i) Z ⊂ Q (todo número inteiro é um número racional). 
 (ii) Toda dízima periódica é um número racional. 
(iii) Ao fazer medições notaram que nem sempre as medidas são exatas. 
 Exemplos: 
3
130,0,33333... ;
2
55,2 === 
 1o mandamento da matemática: Não dividirás por zero. 
2o mandamento da matemática: Não aprenderás se não praticar. 
2.4. Números Irracionais (Símbolo → CQ ) 
Definição: São os números que não podem ser escritos na forma: *Zb e Za , ∈∈
b
a
 
Exemplos: 
1) Determinação da hipotenusa de um triângulo retângulo de catetos iguais a 1. 
 
 
Aplicando o teorema de Pitágoras, 
temos: 
 
2=Hip , onde: ...4142136,12 = 
2) O número pi ...)1415927,3( =pi : Geometricamente: 
nciacircunferê da da diâmetro
nciacircunferê da ocompriment
π =
D
C
= 
 onde: rD 2= , com r : raio da circunferência. 
 
 
 
⇒=⇒= pipi
r
C
D
C
2
 
rC pi2=
 
 
3) Diagonal de um cubo de aresta a 
 
Aplicando duas vezes o teorema de 
Pitágoras, temos: 
 
3aD = , onde: ...7320508,13 = 
 
4) O número de Euler ...)7182818,2( =e , usado, por exemplo, no sistema de capitalização composta 
contínua (usado em juros compostos, por exemplo). 
 18 
� Para lembrar: Os números irracionais possuem infinitos algarismos decimais não-periódicos. 
 
� Números irracionais célebres: 
 
• Radicias ( 3,2 ): a raiz quadrada de um número natural, se não é inteira, é irracional. 
 
• O número pi : 3,141592653... 
 
• O número e: 2,718... (muito importante em matemática avançada). 
 
• O número de ouro (ϕ ): ≅+
2
51 1,61803... 
 
 
 
 
 19 
2.5. Números Reais (Símbolo →ℜ ) 
Chamamos de número real todo número racional ou irracional, ou seja, o conjunto dos números reais e 
a união (ou reunião) dos conjuntos dos números racionais (Q) com o conjunto dos números irracionais 
(QC), isto é: 
CQQ ∪=ℜ
 e } {=∩ CQQ ou ∅=∩ CQQ 
 
Conclusão: ℜ⊂⊂⊂ QZN e ℜ⊂CQ 
 
2.6. A representação dos conjuntos numéricos através do diagrama de Venn, consiste em colocar os 
elementos no interior de uma curva fechada simples (sem intersecções). 
 
Um conjunto que tenha todos os elementos com os quais se deseja trabalhar chama-se conjunto 
universo. O nosso objeto de estudo será o conjunto dos números reais, assim o nosso universo será os 
números reais. 
 
Em ℜ estão definidas as operações de adição e multiplicação. Dados ℜ∈ b ,a associamos a esse par 
de números: ℜ∈+ )( ba , ℜ∈⋅ )( ba , respectivamente a soma e o produto de a por b . 
 
2.7. Propriedades algébricas dos números reais 
 
1) Associativa: )c b, a, ( ℜ∈∀ 
• )()( cbacba ++=++ 
• )()( cbacba ⋅⋅=⋅⋅ 
 
2) Comutativa: )b a, ( ℜ∈∀ 
• abba +=+ 
• abba ⋅=⋅ 
 
3) Distributiva: )c b, a, ( ℜ∈∀ 
• cabacba ⋅+⋅=+⋅ )( 
• ))( cbcacba ⋅+⋅=⋅+ 
 
4) Elemento neutro: ,a ℜ∈∀ a1a e 0/ 1 0, =⋅=+ℜ∈∃ aa 
 
5) Existência do oposto: 0(-a)a / (-a) ,a =+ℜ∈∃ℜ∈∀ 
 
6) Existência do inverso: 1
a
1
a / a
a
1
 ,0 ,a 1- =⋅ℜ∈=∃≠ℜ∈∀ a 
 
7) 00 =⋅a , ℜ∈∀ a 
 
8) Lei do anulamento: ℜ∈∀ b a, tem-se 0bou 00 ==⇔=⋅ aba 
 
9) Lei do cancelamento: ℜ∈∀ c b, a, , tem-se: bacbca =⇒+=+ 
 
10) ,10 =a desde que .0≠a Demonstração: 1/0 ==⋅== −− kkkkkk aaaaaa (c.q.d) 
 20 
2.8. Relação de ordem em ℜ 
Um número real a é maior )(> que um número real b , quando a diferença )( ba − for positiva, isto é: 
 
0b-a se >> ba 
Notações: 
• b) a igualou maior é (a ba ≥ 
• b) quemaior é (a ba > 
• b) a igualou menor é (a ba ≤ 
• b) quemenor é (a ba < 
 
Propriedades de ordem: 
• Tricotomia: Dados)b a, ( ℜ∈∀ , temos: bababa >=< ou ou 
• Transitiva: Dados )b a, ( ℜ∈∀ , temos: cacbbase ≤⇒≤≤ e 
• )b a, ( ℜ∈∀ , 0 0 e 0 ≥⋅⇒≥≥ babase 
• )cb, a, ( ℜ∈∀ , cbcabase +≤+⇒≤ 
• )dc,b, a, ( ℜ∈∀ , e dcbadbcase +≤+⇒≤≤ 
• )cb, a, ( ℜ∈∀ , 0c e cbcabase ⋅≤⋅⇒≥≤ 
• )cb, a, ( ℜ∈∀ , 0c e cbcabase ⋅≥⋅⇒≤≤ Exemplo: 32 < 
1−=
⇒
c
 32 −>− 
 
2.9. Representação gráfica dos números reais 
 
Os números reais podem ser representados geometricamente por pontos de uma reta. Para isso 
escolhem-se dois pontos distintos da mesma, um representando o 0 e o outro o 1. Tomando o segmento 
de extremidades 0 e 1 como unidade de medida, marcamos os demais números reais. 
 
 
 
Mas, como representar um ponto na reta que não é racional? 
Exemplo: Representar o número irracional 2 
 
 
2.10. Módulo ou valor absoluto de um número real 
O valor absoluto (ou módulo) de um número real x , que representamos por || x é definido por: 
 



<
≥
=
0 xse x,-
0 xse x,
 || x 
Exemplo: 3 |3| e 3 |3| =−= 
 
Geometricamente, o módulo || x é a distância do ponto x à origem (ponto 0), na reta real. 
 
Para o nosso exemplo, temos: 3 |3| |3| =−= 
 
ℜ 
 ... 0 2/1 1 2/3 2 2/5 3 ... 
A reta real 
 21 
Analogamente, se desejarmos a distância de dois pontos a e b na reta real, indicamos por: 
 
|| ab − � distância de a até b e || ba − � distância de b até a 
Geometricamente, 
 
É obvio que |ab| || −=− ba 
 
2.11. Propriedades de módulo: 
Dados ℜ∈ cb, ,a , tem-se: 
• 0 || ≥a e 0a 0 || =⇔=a 
• 
22
 || aa = 
• 
2
 || aa = , ou melhor: || 2 aa = 
• |b||a| || ⋅=⋅ ba 
• |b|
|a|
 =
b
a )0( ≠b 
• Se |a|c ||0 ⋅=⋅⇒≥ acc 
 
2.12. 4 = 5? 
 
Tomemos os números: 16, 25, 36 e 45. Podemos afirmar, com certeza que 
 
 
16 – 36 = 25 – 45 
 
Somando em ambos os membros da equação 
4
81
, temos: 
 
4
814525
4
813616 +−=+− 
 
Transformando em um trinômio quadrado perfeito, 
 
22
2
95
2
94 





−=





− 
 
Extraindo a raiz quadrada de ambos os membros, temos: 
 
2
95
2
94 −=− 
 
Somando 
2
9
 em ambos os membros, vamos a: 
 
4 = 5 
 
 que é um absurdo. Então onde está o erro? 
 22 
2 = 1? 
 
 23 
2.13. Operações com conjuntos 
 
• União (ou reunião) de conjuntos 
 
Dados dois conjuntos A e B, chama-se união (ou reunião) de A com B o conjunto formado pelos 
elementos que pertencem a A ou a B. A união de A com B é indicado por: BA∪ 
 
Em símbolos, temos: 
 
 B}ou xA / x{ ∈∈=∪ xBA
 
 
• Intersecção de conjuntos 
 
Dados dois conjuntos A e B, chama-se intersecção de A com B o conjunto formado pelos elementos 
comuns ao conjunto A e ao conjunto B. A intersecção de A com B é indicado por: BA∩ 
 
Em símbolos, temos: 
 
 B} xeA / x{ ∈∈=∩ xBA
 
 
• Número de elementos da união entre conjuntos 
Indicando por )(An o número de elementos do conjunto A; )(Bn o número de elementos de B; 
)( BAn ∪ o número de elementos de BA∪ e )( BAn ∩ o número de elementos de BA∩ , é válida a 
seguinte relação: 
 
)()()()( BAnBnAnBAn ∩−+=∪
 
 
• Diferença entre conjuntos 
 
Dados dois conjuntos A e B, chama-se diferença entre A e B o conjunto formado pelos elementos de 
A que não pertencem a B. A diferença entre A e B é indicado por: BA − 
 
Em símbolos, temos: 
 
 B} xeA / x{ ∉∈=− xBA
 
 
 
Exemplo: Dados os conjuntos 7} 5,6, 4, {3,B 4}, 3, 2, ,1{ ==A , determine: 
a) BA − 
b) BA ∪ 
c) BA ∩ 
d) As quantidades: )( e )( ),( ),( BAnBnAnBAn ∩∪ . 
e) A relação matemática entre as quantidades determinadas anteriormente. 
 24 
LISTA DE EXERCÍCIOS PROPOSTOS PARA A REVISÃO DOS CONCEITOS 
 
1) Escreva os seguintes conjuntos indicando seus elementos: 
a) 6} quemenor é /{ xNxG ∈= 
b) 6} quemaior ímpar número um é /{ xNxA ∈= 
c) 15} quemenor e 10 quemaior é /{ xNxB ∈= 
d) 2} a igual resto e inteiro quociente um em resulta 6por dividido /{ xNxI ∈= 
 
2) Os elementos dos conjuntos abaixo são números naturais. Escreva estes conjuntos através de uma 
propriedade que os caracterize 
a) ...} 11, 7, 5, 3, ,1{=S 
b) 60} 57, ..., 9, 6, 3, 0,{=I 
c) 9} 6,7,8, 5, 4,{=M 
 
3) Represente os conjuntos a seguir indicando seus elementos. Caso o conjunto não tenha elementos, 
represente-o por: ∅ ou } { . Nota: Nunca utilize a notação }{∅ para indicar conjunto vazio, é um 
erro. 
a) 12}0x /{ =∈= NxD 
b) }053/{ 2 =−∈= xxNxO 
 
4) O conjunto A está representado pelo diagrama de Venn (ou Euler-Venn). Represente esse mesmo 
conjunto: 
a) Indicando seus elementos entre chaves; 
 
 
b) Por uma propriedade característica de seus elementos. 
 
5) Considerando 4} 3, 2, 1, 0, 1,- 2,- {=U como conjunto universo, determine o conjunto solução de: 
a) }22/{ <<−∈ xUx 
b) }24/{ =+∈ xUx 
c) }4/{ 2 =∈ xUx 
d) }12/{ =∈ xUx 
 
Respostas: 
1) a) 5} 4, 3, 2, 1, {0,=G b) 13,...} 11, 9, {7,=A c) 14} 13, 12, {11,=B d) ...} 20, 14, 8, {2,=I 
Nota: item d) 
q 2
6 x
 ⇒ 26 += qx , assim: 





=⇒=
=⇒=
on so 
8x1q Se
2x0q Se
and
 
 
2) a) ímpar} éN/ x {x ∈=S b) 3} de múltiplo é e 60N/ x{x ≤∈=I 
 c) 10}x3N/ {x <<∈=M ou 9}x4N/ {x ≤≤∈=M 
 
3) a) ∅=D b) } 0 {=O 
 
4) a) 3} 2, , 1 {0, b) 3}x0 / {ou 4}x0 / { ≤≤∈<≤∈ NxNx 
 
5) a) 1} 0, ,1{−=S b) }2{−=S c) 2} {-2,=S d) ∅=S 
 25 
6) (PUC-MG) O valor exato de 
...333,0...555,0
...222,0...2929,0
+
−
 é: 
a) 
25
3
 b) 
28
3
 c) 
67
8
 d) 
79
9
 e) 
88
7
 
Resposta: e 
 
7) Escreva na forma de fração irredutível. 
a) 0,2 b) –2,4 c) 0,777... d) 0,232323... 
e) 2,454545... f) 0,5212121... g) 0,0222... h) 3,2444... 
Resposta: a) 
5
1
 b) 
5
12
− c) 
9
7
 d) 
99
23
 e) 
11
27
 f) 
165
86
 g) 
45
1
 h) 
45
146
 
 
8) Escreva na forma fracionária os seguintes números decimais: 
a) 0,666 b) 0,666... c) 0,060606... 
d) 0,0666... e) 0,6151515... f) 0,615615... 
Resposta: a) 
500
333
 b) 
3
2
 c) 
33
2
 d) 
15
1
 e) 
330
203
 f) 
333
205
 
 
9) Usando os símbolos ⊃⊂∉∈ ou , , , estabeleça uma relação entre: 
a) Ze 5,0 b) Z e 5− c) Q e 
4
3
− d) Q e 3− e) Ze N f) Ze Q 
Resposta: a) ∉ b) ∈ c) ∈ d) ∈ e) ⊂ f) ⊃ 
 
10) Escreva os seguintes conjuntos indicando seus elementos: 
a) }4/{ −>∈ xZx b) }33/{ * <<−∈ xZx c) }5/{ <∈ + xZx 
d) }2/{ −≥∈ xZx e) }5/{ −>∈
−
xZx f) }23/{ −≤≤−∈ xZx 
Resposta: a) ...} 1, 0, 1,- 2,- {-3, b) 2} 1, 1,- {-2, c) 4} 3, 2, 1, {0, 
 d) ...} 2, 1, 0, 1,- 2,- { e) 0} 1,- 2,- 3,- {-4, f) 2}- {-3, 
 
11) Classifique como racional ou irracional cada um dos seguintes números reais: 
a) 2,3 b) 2,333... c) 2,34455667... d) 15
 
e) 36 f) 4
8
1
 g) 
81
4
 h) 3 9 
Resposta: a) Racionais: a, b, e, g; Irracionais: c, d, f, h 
 
12) (FCM-MG) Sendo ...} 7, 5, 3, 1,{=A e 






−>∈=
2
1/ xQxB , todas as afirmativas abaixo são 
corretas, exceto: 
a) ABA =− b) A∈379 c) BA ⊂ d) B∈
7
3
 e) BBA =∪ 
Resposta: a 
 
13) Dados os conjuntos A = {x/ x∈N e x é par} e B = {x/ x∈Z e – 5≤ x< 5}, determine A∪B e A∩B. 
Resposta: A∩B = {0, 2, 4} e A∪B ={-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 4, 6, 8, ...}26 
14) Classifique cada uma das afirmações a seguir como V (verdadeira) ou F (falsa). 
a) 6 é número racional. 
b) 
3
4
 é número natural. 
c) 
5
2
− é número racional. 
d) 0 é número real. 
e) Se x é um número irracional, então 5+x é um número irracional. 
f) A dízima periódica 4,7777... é número irracional. 
g) – 4 é número par. 
 Resposta: a) V b) F c) V d) V e) V f) F g) V 
 
15) Transforme em fração irredutível os números decimais: 
a) 2,5 
b) 3,81 
c) 0,03 
d) 4,222... (dízima periódica) 
e) 3,4555... (Para obter a geratriz dessa dízima, faça g = 3,4555...; a seguir, multiplique por 10 e por 
100 ambos os membros dessa igualdade; finalmente, efetue 100g – 10g.) 
 Resposta: a) 5/2 b) 381/100 c)3/100 d) 38/9 e) 311/90 
 
16) Resolver as inequações no universo ℜ: 
a) 
8
3
10
1
5
2 xxx
+≥− Resposta: 






−≤ℜ∈=
3
40/ xxS 
b) )31(2
2
1
4
)2(34 kkk −+<+− Resposta: 






<ℜ∈=
37
16/ kkS 
c) 
5
4
210
31 yyyy +−≤−− Resposta: 






−≤ℜ∈=
10
7/ yyS 
d) 1
2
42 ≠−− aa Resposta: 






−≠ℜ∈=
3
2/ aaS 
 
17) O menor número inteiro que satisfaz a inequação 
3
2
5
71
−>
+
x
x
 é: Resposta: -2 
( ) – 3 ( ) –2 ( ) –1 ( ) 0 ( ) 1 
 
18) Resolver no universo ℜ as inequações: 
a) xx 61)52(3 −>−⋅− Resposta: ℜ=S 
b) xx 61)52(3 −<−⋅− Resposta: S = φ 
 
19) Resolva as inequações simultânea em ℜ: 
a) 4323 +≤+−<+ xxx Resposta: 






<≤−ℜ∈=
4
1
2
1/ xxS 
b) 14232 +<+<− xxx Resposta: }1/{ >ℜ∈= xxS 
c) 410633 −<−≤− xxx Resposta: 





 ≥ℜ∈=
4
9/ xxS 
d) xx 26543 −<<+ Resposta:






<ℜ∈=
3
1/ xxS 
e) 5
22
1
34
3
+<−≤− xxxx Resposta:






<≤ℜ∈= 11
7
6/ xxS 
 
 
 27 
20) Resolva as inequações: 
a) 2
12
15
>
+
−
x
x
 Resposta: 






>−<ℜ∈= 3 
2
1/ xouxxS 
b) 0
1
3 ≤
+
−
x
x
 Resposta: { }3 1/ ≥−<ℜ∈= xouxxS 
c) 0)2( 8 >+−x Resposta: }{ 2/ ≠ℜ∈= xxS 
d) 0)12( 5 <+x Resposta: 






−<ℜ∈=
2
1/ xxS 
 
21) Resolva as inequações: 
a) x2 – 3x – 10 > 0 Resposta: S = {x∈ℜ/ x< - 2 ou x > 5} 
b) x2 – 1 ≥ 0 Resposta: S = {x∈ℜ/x ≤ - 1 ou x ≥ 1} 
c) 9x2 – 12x + 4 < 0 Resposta: S = φ 
d) –x2 + 4x – 4 ≤ 0 Resposta: S = ℜ 
e) (3x – 5)2 > (5x – 3)2 Resposta: S = {x∈ℜ/ - 1 < x < 1} 
 
22) Determine graficamente a solução da inequação .422 <−<− x 
 
23) Determine graficamente os pontos da reta ,2−= xy para os quais .0>y 
 
24) Dada a inequação ,0)2()5()23( 23 >⋅−⋅−⋅− xxxx tem-se que a solução é: Resposta: b 
a) 






<<< 5x2 
3
2/ ouxx b)






<<< 0 x 2x
3
2/ oux c) 





 ≤≤ 2x
3
2/x d) 






<< 5x
3
2/x 
25) Considerando as funções 3)( −= xxf e 
2
6)(
−
=
x
xg , para que valores reais de x tem-se 
)()( xgxf > ? Resposta: S = {x∈ℜ/ 0 < x < 2 ou x > 5} 
 
26) Resolva as inequações modulares: 
a) |x – 2| = 1 Resposta: x = 1 ou x = 3 
b) |x + 1| = 3x – 1 Resposta: condição de existência (3x – 1) ≥ 0 x = 1 
c) |x|2 – |x| – 2 = 0 Resposta: x = ± 2 
d) |x – 2| ≥ 3 Resposta: ) [5;1] ; ( ∞+∪∞− 
e) (4x – 1) < 3 Resposta: 





− 1 ;
2
1
 
27) Simplifique: a) 
1
12
−
−
x
x
 b) 
4
8
2
3
−
−
x
x
 c) 
1
112
−
−
x
x
 
28) Divida 33 ax − por ax − e conclua que: ).()( 2233 aaxxaxax ++⋅−=− 
 
29) Verifique as identidades: 
a) x2 – a2 = (x – a) (x + a) 
b) x3 – a3 = (x – a) (x2 + ax + a2) 
c) x4 – a4 = (x – a) (x3 + ax2 + a2 x + a3) 
d) xn – an = (x – a) (xn-1 + axn-2 + a2 xn-3 + ... + an-2 x + an-1) 
 
30) Verifique as identidades: 
a) )()( axaxax +⋅−=− 
b) )()( 3 233 233 aaxxaxax +⋅+⋅−=− 
c) )()( 4 34 24 24 344 aaxaxxaxax +⋅+⋅+⋅−=− 
d) )...()( 1221 n nn nn nn nnn aaxaxxaxax −−−− +⋅++⋅+⋅−=− 
 
 28 
LISTA DE EXERCÍCIOS PROPOSTOS OPERAÇÕES COM CONJUNTOS 
 
1) Dona Vera, professora de uma turma de 40 alunos, quis saber quantos se interessariam pelos cursos 
extras que a escola estava oferecendo. Existiam as seguintes opções: curso de computação e curso 
de ecologia. Sabendo que 25 ergueram o braço quando ela perguntou quem gostaria de fazer o 
curso de computação, 10 interessados levantaram a mão, escolhendo o curso de ecologia e 5 alunos 
demonstraram participar dos dois cursos, determine quantos alunos não se interessaram por 
nenhum dos cursos. Resposta: 10 
 
2) Em uma classe de 48 alunos, cada aluno apresentou um trabalho sobre ecologia, tendo sido 
indicados dois livros sobre o assunto. O livro A foi consultado por 26 alunos e o livro B, por 28 
alunos. Sabendo-se que cada aluno consultou pelo menos um dos dois livros, pergunta-se: 
a) Quantos alunos consultaram os dois livros? 
b) Quantos alunos consultaram apenas o livro A? 
Solução: 
a) )()()()( BAnBnAnBAn ∩−+=∪ ⇒ )(282648 BAn ∩−+= ⇒ 6)( =∩ BAn . Assim, os livros 
A e B foram consultados por 6 alunos. 
b) Entre os 26 alunos que consultaram o livro A, existem 6 alunos que consultaram também o livro B. 
Logo, o número de alunos que consultaram apenas o livros A é 26 - 6 = 20. 
 
3) Desejando verificar qual o jornal preferido pelos estudantes, uma pesquisa apresentou os resultados 
constantes da tabela a seguir. 
Jornais A B C A e B A e C B e C A, B e C Nenhum 
Número de leitores 300 250 200 70 65 105 40 150 
Pergunta-se: 
a) Quantas pessoas lêem apenas o jornal A? 
b) Quantas pessoas lêem o jornal A ou B? 
c) Quantas pessoas não lêem o jornal C? 
d) Quantas pessoas foram consultadas? 
Resposta: a) 205 b) 480 c) 500 d) 700 
 
4) (Unicsul-SP) Os conjuntos A, B e A ∩ B têm, respectivamente, 10, 15 e 7 elementos. O número de 
elementos de A ∪ B é: Resposta: e 
a) 22 b) 25 c) 17 d) 32 e) 18 
 
5) Em uma creche com 120 crianças, verificou-se que 108 haviam sido vacinadas contra a 
poliomielite, 94 contra o sarampo e 8 não tinham recebido nenhuma das duas vacinas. Quantas 
crianças foram vacinadas contra poliomielite e sarampo? Resposta: 90 
 
6) O quadro a seguir mostra o resultado de uma pesquisa entre alunos de uma escola de ensino médio 
sobre suas preferências em relação às revistas A ou B. 
 
Revistas A B BA ∩ Nenhuma 
Número de Leitores 180 160 60 40 
 Pergunta-se: 
a) Quantos estudantes foram consultados? 
b) Quantos lêem apenas a revista A? 
 29 
c) Quantos não lêem a revista A? 
d) Quantos alunos lêem a revista A ou a revista B? 
Resposta: a) 320 b) 120 c) 140 d) 280 
 
7) Uma escola ofereceu aos alunos da 1a série do ensino médio cursos paralelos de informática (I), 
xadrez (X) e fotografia (F). As inscrições constam na tabela a seguir. 
 
Cursos 
I X F I ∩ X I ∩ F X ∩ F I ∩ X ∩ F Nenhum 
Número de inscrições 24 10 22 3 5 4 2 4 
 
Pergunta-se: 
a) Quantos alunos cursavam a 1a série do ensino médio? 
b) Quantos optaram apenas pelo curso de fotografia? 
c) Quantos não se inscreveram no curso de xadrez? 
d) Quantos fizeram inscrições para os cursos de informática ou fotografia? 
Resposta: a) 50 b) 15 c) 40 d) 41 
 
8) (Fuvest) No vestibular Fuvest 90 exigia-se dos candidatos à carreira de administração a nota 
mínima 3,0em matemática e em redação. Apurados os resultados, verificou-se que 175 candidatos 
foram eliminados em matemática e 76 candidatos foram eliminados em redação. O número total de 
candidatos eliminados por essas duas disciplinas foi 219. Qual o número de candidatos eliminados 
apenas pela redação? Resposta: 44 
 
9) (PUC-PR) Em um levantamento com 100 vestibulando da PUC, verificou-se que o número de 
alunos que estudou para as provas de matemática, física e português foi o seguinte: matemática, 
47; física, 32; português, 21; matemática e física, 7; matemática e português, 5; física e português, 
6; as três matérias, 2. Quantos dos 100 alunos incluídos no levantamento não estudaram nenhuma 
das três matérias? Resposta: 16 
 
10) (Esal-MG) Foi consultado um certo número de pessoas sobre as emissoras de TV a que 
habitualmente assistem. Obteve-se o resultado seguinte: 300 pessoas assistem ao canal A, 270 
assistem ao canal B, dos quais 150 assistem a ambos os canais A e B e 80 assistem a outros canais 
distintos de A e B. O número de pessoas consultadas é: Resposta: d 
a) 800 b) 720 c) 570 d) 500 e) 600 
 
11) (PUC-RS) Em uma empresa de 90 funcionários, 40 são os que falam inglês, 49 os que falam 
espanhol e 32 os que falam espanhol e não falam o inglês. O número de funcionários dessa 
empresa que não falam inglês nem espanhol é: Resposta: c 
a) 9 b) 17 c) 18 d) 27 e) 89 
 
12) (PUC-MG) O número de elementos da união de dois conjuntos A e B é )( BAn ∪ = 15. Se )(An = 7 
e )( BAn ∩ =3, )( ABn − é igual a: Resposta: c 
a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10 
 
13) (Vunesp) Em uma classe de 30 alunos, 16 gostam de matemática e 20 de história. O número de 
alunos dessa classe que gostam de matemática e de história é: Resposta: a 
a) exatamente 6 b) exatamente 10 c) no máximo 6 d) no mínimo 6 e) exatamente 18 
 
14) (PUC-MG) Dados os conjuntos 4} 3, 2, {1,A = e 4} 3, {2,B = , o conjunto X tal que {3}XA =∩ 
e 5} 4, 3, {2,XB =∪ é: Resposta: c 
a) }1{ b) }3{ c) 5} {3, d) 5} 2, {1, e) 5} 4, {3, 
 30 
3. INTERVALOS 
 
3.1. Introdução: 
 
Sempre que existirem problemas em que as variáveis assumam valores que oscilam entre determinados 
números reais, utilizamos o conceito de intervalo. 
 
Exemplo: 
 
1) Na olimpíada de matemática realizada pela Sociedade Brasileira de Matemática (SBM) com 
médias variando de 0 a 10, foram premiados os candidatos que obtiveram médias iguais ou 
superior a 5,0, segundo o quadro a seguir. 
 
Médias Prêmios 
5,6média5,0 ≤≤ R$ 150,00 
5,8média6,5 ≤< R$ 300,00 
10média8,5 ≤< R$ 500,00 
 
Assim, a premiação foi efetuada de acordo com os intervalos aos quais pertencem cada nota. 
 
Definições: 
 
Se ℜ∈ b a, e ba < , um intervalo de ℜ é um subconjunto de ℜ que tem uma das seguintes formas: 
 
• b}xa / {x b] a;[ ≤≤ℜ∈= 
 
• b}xa / {x b[ a;[ <≤ℜ∈= 
 
• b}xa / {x b] a;] ≤<ℜ∈= 
 
• b}xa / {x b[ a;] <<ℜ∈= 
 
• a} /x{x [ a;[ ≥ℜ∈=∞+ 
 
• a} /x{x [ a;] >ℜ∈=∞+ 
 
• b} /x{x b] ;-] ≤ℜ∈=∞ 
 
• b} /x{x b[ ;-] <ℜ∈=∞ 
 
Notas: 
 
1) Os caracteres e ∞+∞− não são números, são apenas símbolos. Os mesmos são lidos, 
respectivamente, menos infinito e mais infinito. 
 
2) b] a,[ é denominado intervalo fechado (os extremos fazem parte do conjunto), os demais são 
intervalos semi-abertos (apenas um dos extremos pertence ao conjunto) ou abertos (os extremos 
não pertencem ao conjunto). 
 
3) Faça a representação geométrica (na reta real) de cada um dos conjuntos apresentados 
anteriormente. 
 
 31 
Exemplos: 
 
1) Represente na reta real os intervalos: 
a) [-3; 4] b) [1; 3[ c) [ 2 ;] ∞− d) [ ;3[ ∞ 
 
 
e) }32/{ ≤≤−ℜ∈ xx f) }14/{ ≤<−ℜ∈ xx g) }3/{ −>ℜ∈ xx h) }2/{ <ℜ∈ xx 
 
 
 
2) Resolva a inequação: 823 +<+ xx Resposta: 3} / x{ <ℜ∈= xS ou 3[ ,] ∞−=S 
 
 
3) Resolva a inequação: 238 +<+ xx Resposta: 3} / x{ >ℜ∈= xS ou [3,] +∞=S 
 
 
4) Determine a união dos seguintes intervalos 
a) 4[ ;2[ 3] ;2] ∪− Resposta: 4[ ;2] − ou 4}x2- / { <<ℜ∈x 
 
 
b) ]6 ;4[ 4] ;1] ∪− Resposta: 6] ;1] − ou 6}x1- / { ≤<ℜ∈x 
 
 
c) 7] ;5[ 4] ;1[ ∪ Resposta: 7] ;5[ 4] ;1[ ∪ ou }75ou 4x1 / { ≤≤≤≤ℜ∈ xx 
 
 
5) Determine a intersecção dos seguintes intervalos 
a) 6] ;2[ 4] ;2] ∩− Resposta: 4] ;2[ ou 4}x2 / { ≤≤ℜ∈x 
 
 
b) [ ;4[ 4] ;2] ∞+∩− Resposta: }4{ 
 
 
c) 6[ ;5] 4] ;2] ∩− Resposta: ∅ 
 
 
Nota: A intersecção de dois intervalos pode ser um intervalo, um conjunto unitário (apenas um 
elemento) ou o conjunto vazio. 
 
6) Resolva no universo ℜ as inequações: 
a) 6x-15)-(2x3 >⋅− Resposta: ℜ=S 
 
 
b) 6x-1 5)-(2x3 <⋅− Resposta: } {S = ou ∅=S 
 
 
7) Reescreva as desigualdades, de modo que apenas x fique entre os sinais de desigualdades. 
a) 9123 <+< x Resposta: }4 x1 << 
 
 
b) 6431 <−<− x Resposta: }3/01 x1 << 
 32 
3.2. LISTA DE EXERCÍCIOS PROPOSTOS PARA A REVISÃO DOS CONCEITOS 
 
1) Represente na reta real os intervalos: 
a) [-3; 4] b) [1; 3[ c) [ 2 ;] ∞− d) [ ;3[ ∞ 
e) }32/{ ≤≤−ℜ∈ xx f) }14/{ ≤<−ℜ∈ xx g) }3/{ −>ℜ∈ xx h) }2/{ <ℜ∈ xx 
 
2) Dados os conjuntos }51/{ <<ℜ∈= xxA e }72/{ <<ℜ∈= xxB , determine: 
a) BA ∪ b) BA ∩ 
Resposta: a) }71 << x b) 52 << x 
 
3) Determine os seguintes intervalos representados na reta real, usando a notação de colchetes. 
 
Resposta: ]10;3[ 
 
 
 
Resposta: [3 ;2] − 
 
 
 
Resposta: [2;5[− 
 
 
 
Resposta: ];3[ +∞ 
 
 
 
 
Resposta: [1;[ −−∞ 
 
 
 
Resposta: ]3;2] − 
 
4) Usando desigualdades, indique em cada caso os intervalos em destaque. 
a) 
 
Resposta: }5/3ou x 4 / x{ >−≤ℜ∈x 
 
 
Resposta: }1ou x 0x1- / { ≥<<ℜ∈x 
 
 
Resposta: }6ou x 5 4ou 2 / x{ >≤<≤ℜ∈ xx 
b) 
c) 
 
5) Determine a intersecção dos seguintes intervalos 
a) 5] ;1[ 4] ;2] ∩− Resposta: 4] ;1[ ou 4}x1 / { ≤≤ℜ∈x 
b) 10] ;9[ 8] ;1] ∩− Resposta: ∅ 
c) ]20 [4; 4] ;5[ ∩− Resposta: }4{ 
d) [ [-5; 5] ;] ∞∩∞− Resposta: 5] ;5[− ou 5}x5 / { ≤≤ℜ∈x 
 
6) Determine a união dos seguintes intervalos 
a) 5] ;1[ 4] ;2[ ∪− Resposta: 5] ;2[− ou 5x2- / { ≤≤ℜ∈x 
b) 3[ 1;-] ]3 ;2[ ∪− Resposta: 3) ;2[− ou 3}x2- / { <≤ℜ∈x 
c) 5[ ;0[ 2] ;] ∪∞− Resposta: 5[ ;] ∞− ou 5} / x{ <ℜ∈x 
d) [ ;5[ 5] ;] ∞+−∪∞− Resposta: ℜ=∞+∞− [ ;] 
 33 
EQUAÇÃO DE PRIMEIRO GRAU 
 
• O que são equações e como resolvê-las? 
 
O Papiro de Rhind, um dos documentos mais antigos e importantes sobre Matemática egípcia, nos 
mostra que em 1.700 a.C. o homem já trabalhava com problemas que envolviam quantidades 
desconhecidas. No século III, o matemático grego Diofante dá a esses problemas um tratamento 
especial. É quando se inicia a teoria das equações. Só a partir do século XVI, no entanto, com o 
desenvolvimento da notação algébrica, é que a teoria das equações passa a ser um ramo independente 
da Matemática. A linguagem algébrica tem sido extremamente importante para a ampliação do 
conhecimento. Quanto mais a dominamos, mais facilmente podemos expressar e resolver problemas, 
científicos ou cotidianos. Estudaremos em seguida as equações algébricas. 
 
O que as caracteriza, de modo geral, é a presença de uma variável e o sinal de igualdade. O sinal de 
igual (=) tem um significado amplo em Matemática. Nas equações, é utilizado para expressões que 
somente são iguais para certos valores (ou para nenhum valor) de suas variáveis. Aqui, as variáveis são 
chamadas de termos desconhecidos ou incógnitas. Escrever essas igualdades equivale a dar às 
variáveis a condição de igualarem duas expressões. 
 
• Igualdade 
 
Vamos pensar na seguinte situação:fomos ao supermercado para comprar uma lata de óleo que custa 
2,50 reais e quatro latas de extrato de tomate por 0,60 centavos de reais cada. Quanto pagamos ao 
todo? Para resolver esta questão podemos expressar esta situação a partir de uma sentença matemática: 
2,50 + 0,60 x 4 = 4,90. Nesta expressão aparece o sinal =. Aqui diremos que se trata de uma igualdade. 
 
• Identidade 
 
Uma identidade é uma igualdade que se verifica para qualquer valor numérico das variáveis. 
 
• Propriedade fundamental 
 
Podemos pensar em uma equação como uma balança de dois pratos, em que o fiel da balança 
corresponderia ao sinal de igual (=). Observando a foto abaixo percebemos que o equilíbrio entre os 
pratos da balança não se modifica se adicionarmos ou retirarmos uma mesma quantidade dos dois 
pratos: 
 
 
O mesmo acontece com os membros de uma equação. Se somarmos, subtrairmos, multiplicarmos ou 
dividirmos os dois membros de uma equação por um mesmo número, a igualdade se mantém. 
 34 
INEQUAÇÕES DO 10 GRAU 
 
Assim como as equações, as inequações também são necessárias em várias situações do nosso dia-a-
dia. Observe o exemplo a seguir: 
 
Dividindo a massa m, em kg, de uma pessoa pela segunda potência de sua altura h, em metros, obtém-
se um valor IMC, chamado de Índice de Massa Corporal, isto é: 
 
2222hhhh
mmmmIMC
IMC
IMC
IMC = 
 
A tabela a seguir classifica uma pessoa como magra, normal, levemente obesa ou obesa, em função de 
seu índice IMC de massa corporal: 
 
Homem Mulher Classificação 
20<IMC 19<IMC Magra 
2520 ≤≤ IMC 2419 ≤≤ IMC Normal 
3025 ≤< IMC 2924 ≤< IMC Levemente obesa 
30>IMC 29>IMC Obesa 
 
De acordo com essa tabela, quantos quilogramas precisa emagrecer uma mulher de 1,70 m de altura e 
65 kg para ser classificada como magra? 
Solução: 
A massa x , em kg, que a mulher precisa perder deve satisfazer a desigualdade: 19)70,1(
65
2 <
− x
 
09,10,,09,1091,546591,5465)70,1(196519)70,1(
65 2
2 ><⇒<−⇒<−⇒⋅<−⇒<
−
xsejaouxxxxx 
 
Assim, se conclui que a mulher deve perder 10,09 kg. 
 
As desigualdades 19)70,1(
65
2 <
− x
 e 09,10>x são chamadas de inequações do 10 grau. 
 
Inequação do 10 grau na variável x é toda desigualdade que pode ser representada sob as formas: 
 
0<+ bax
 
0≤+ bax
 
0>+ bax
 
0≥+ bax
 
0≠+ bax
 
 
que a e b são constantes reais, com 0≠a . 
 
A resolução desse tipo de inequação é fundamentada nas propriedades das desigualdades descritas a 
seguir: 
• Adicionando um mesmo número a ambos os membros de uma desigualdade, ou subtraindo um 
mesmo número de ambos os membros, a desigualdade se mantém. Exemplos: 151252
)10(
<⇒<
+
 e 
5852
)10(
−<−⇒<
−
. 
• Dividindo ou multiplicando ambos os membros de uma desigualdade por um número positivo, a 
desigualdade se mantém. Exemplo: 502052
)10(
<⇒<
×
. 
• Dividindo ou multiplicando por um mesmo número negativo ambos os membros de uma 
desigualdade do tipo ≤<≥> ou,, , a desigualdade inverte o sentido. Exemplos: 
502052
)10(
−>−⇒<
−×
e 502052
)10(
−≠−⇒≠
−×
. 
 35 
LISTA DE QUESTÕES PROPOSTAS PARA A REVISÃO DOS CONCEITOS 
 
1) De acordo com essa tabela, quantos quilogramas precisa emagrecer um homem de 1,70 m de altura 
e 65 kg para ser classificada como magro? Resposta: 7,2 kg 
 
2) Considere as seguintes informações: 
• Salário mínimo => R$ 260,00 
• Mês => 30 dias 
• Gasto =>10 R$/dia 
• x => número de dias decorridos, ou seja, Nx ∈ , ou ainda, }30 ..., ,3 ,2 ,1{=x 
• )(xS => Saldo em função do número de dias decorridos 
Pergunta-se: 
a) Qual a função que estabelece a relação entre x e )(xS ? 
 Resposta: xxS 10260)( −= 
 
b) Em dia o saldo será nulo? 
 Resposta: No dia 26, ou ainda, }26/{ =∈ xNx 
 
c) Quais os dias em que o saldo será positivo? 
Resposta: Do dia 10 até o 250 dia, ou ainda, }251/{ ≤≤∈ xNx 
 
d) Quais os dias em que o saldo será negativo? 
Resposta: Do dia 270 até o 300 dia, ou ainda, }3027/{ ≤≤∈ xNx 
 
3) Um banco paga as contas de um cliente. As contas vencem, no mês de setembro, segundo a função 
18
3
2
+−= xy , em que x ∈ {1, 2, 3, ..., 30} e y é o saldo do cliente em milhares de reais, no dia 
x de setembro. 
a) Em que dia do mês de setembro o saldo do cliente chega a R$ 0,00. 
 Resposta: 27 de setembro 
 
b) Em que intervalo de tempo, no mês de setembro, o saldo é positivo? 
 Resposta: de 1 a 26 de setembro 
 
c) Em que intervalo de tempo, no mês de setembro, o saldo é negativo? 
 Resposta: de 28 a 30 de setembro 
 
4) Para enviar uma mensagem por fax, um comerciante cobra uma taxa fixa de R$ 1,20 mais 
R$ 0,54 por página enviada, completa ou não. Qual é o número mínimo de páginas que devem ser 
enviadas para que o preço ultrapasse R$ 10,00? Resposta: 17 páginas 
 
5) Duas cidades possuem juntas mais de 200.000 habitantes. Uma delas possui 20.000 habitantes a 
mais que a metade da população da outra. Pode-se afirmar que: Resposta: c 
a) A cidade mais populosa possui menos de 150.000 habitantes. 
b) A cidade menos populosa possui mais de 90.000 habitantes. 
c) A cidade mais populosa possui mais de 120.000 habitantes. 
d) A cidade menos populosa possui 80.000 habitantes. 
e) A cidade menos populosa possui 70.000 habitantes. 
Solução: 
000.120000.180
2
3000.200000.20
2000.20
2
000.200
>⇒>⇒>++⇒




+=
>+
yyyyy
x
yx
 
Portanto, a alternativa c é a correta. 
 
 36 
FORMALIZAÇÃO DO CONCEITO DE FUNÇÃO 
 
� Par ordenado: É um conjunto formado por dois elementos ) ,( yx , onde x é o 10 elemento do par 
(chamado abscissa) e y é o 20 elemento do par (chamado ordenada). Todo par ordenado pode ser 
representado no plano cartesiano. 
 
 
 
Exemplo: Localizar os seguintes pares no plano cartesiano: 
A(3; -2) B(4; 2) C(3; 1) D(-2; -2) E(0; 0) F(2; 0) G(-2; 0) H(0; -3) 
 
LISTA DE EXERCÍCIOS PROPOSTOS PARA A REVISÃO DOS CONCEITOS 
 
1) Determine as coordenadas dos pontos: M, N, P, Q, R, S, T e V 
 
 
2) Estão escritos, logo abaixo, os pares que correspondem aos pontos que permitem desenhar o 
chapéu do zorro, no quadriculado (plano cartesiano): 
(-3, 0); (6, 4); (2, 3); (1, 5); (-1, 4); (0, 2) 
 Localize esses pontos no plano cartesiano abaixo, una-os na ordem em que estão escritos. Ligue, 
por fim, o último ao primeiro. 
 
 37 
3) O diretor do jardim zoológico recebe uma mensagem secreta anunciando a chegada de um novo 
animal. Encontre os pontos correspondentes aos pares escritos na mensagem. Ligue-os na ordem 
em que estão escritos e obterá a resposta. 
 
Mensagem Secreta: 
 
(4,7); (5, 5); (6, 7); (6, 8); (4, 9); (3, 8); (3, 6); (2, 4); (0, 4); (1, 3); (3, 4); (4, 6); (3, 2); (4, 5); 
(5, 4); (5, 1); (6, 1); (7, 4); (8, 4); (9, 1); (10, 1); (10, 4); (12, 2); (10, 5); (9, 7); (6, 7). 
 
 
 
� Aplicações de Funções – Noções Intuitivas - Cotidiano 
 
Exemplos: 
 
1) Função saldo 
Dados: 
• Considere o salário mínimo => R$ 350,00 
• Considere o mês com 30 dias. 
• Gasto => 17,50 R$/dia. 
• x => número de dias decorridos, ou seja, Nx ∈ , ou ainda, }30 ..., ,3 ,2 ,1{=x 
• )(xS => Saldo em função do número de dias decorridos 
Pergunta-se: 
e) Qual a função que estabelece a relação entre x e )(xS ? 
 Resposta: xxS 5,17350)( −= 
f) Em dia o saldo será nulo? 
 Resposta: No dia 20, ou ainda, }20/{ =∈ xNx 
g) Quais os dias em que o saldo será positivo? 
Resposta: Do dia 10 até o 190 dia, ou ainda, }191/{ ≤≤∈ xNx 
h) Quais os dias em que o saldo será negativo? 
Resposta: Do dia 210 até o 300 dia, ou ainda, }3021/{ ≤≤∈ xNx 
e) Estude o sinal da função construída. 
 
 
 
f) Usando a planilha eletrônica Microsoft Excel e a opçãográfico de dispersão (após, use o botão 
direito do mouse e escolha o tipo de gráfico e linha de tendência). 
 + + + + + + + + + + 0 - - - - - - - 
17,5 
 38 
 
 
Nota: Essa função é uma função do 10 grau e mais, a mesma é uma função decrescente. 
 
2) Salário proporcional ao número de horas trabalhadas (trabalhador horista) 
Dados: 
• S ou )(xS => Salário mensal a ser recebido. 
• x => número de horas mensais. 
• R$ 5,00 => Valor da hora trabalhada. 
Escrevendo na linguagem matemática, temos: 
 
xS ⋅= 5 ou xxS ⋅= 5)( 
 
3) Salário fixo mais uma comissão pelas vendas 
Dados: 
• Salário fixo => R$ 350,00. 
• S ou )(xS => Salário mensal a ser recebido. 
• x => Total de vendas efetuadas no mês (valores em reais). 
• Comissão de 3% sobre o valor total de vendas. 
Escrevendo na linguagem matemática, temos: 
 
xS ⋅+= 03,000,350 ou xxS ⋅+= 03,000,350)(
Dia Saldo Situação 
 39 
PRODUTO CARTESIANO 
 
Definição: Sejam A e B conjuntos diferentes do vazio, chama-se produto cartesiano de A por B , e 
indica-se BA × , o conjunto cujos elementos são todos os pares ordenados ) ,( yx , tais que Ax ∈ e 
By ∈ . 
 
Em símbolos, sendo φφ ≠≠ B e A , temos: 
 
{ }ByAxyxBA ∈∈=× e /),(
 
 
Sejam, por exemplo, os conjuntos 5}{4,B e 5} 3, ,1{ ==A . Vamos formar todos os pares ordenados 
em que o primeiro elemento pertença a A e o segundo, a B. Assim: (1, 4), (1, 5), (3, 4), (3, 5), (5, 4) e 
(5, 5). 
 
O conjunto formado por todos esses pares ordenado é chamado produto cartesiano de A por B, e é 
indicado por: BA× . 
 
Então: 
 5)} (5, 4), (5, 5), (3, 4), (3, 5), (1, 4), (1,{=× BA 
 
Esse conjunto pode ser representado no plano cartesiano assim: 
 
 
Outra forma de representar BA× é por meio de um diagrama de flechas. 
 
 
 
 
 
 
 40 
Exercício proposto: Determine o produto cartesiano BA× nos casos: 
a) 5} {4,B e 9} 7, 5,{ ==A 
b) 5} 3, {1,B e 1} ,1-{ ==A 
c) ]5,1[=A e ]5,4[=B 
Solução: 
 
 
• Relação entre dois conjuntos: Dados dois conjuntos A e B , chama-se relação R de A em B a 
todo subconjunto do produto cartesiano BA × . 
 
Exemplo: 
 
1) Dados os conjuntos A = {1, 2, 3} e B = {4, 5}, temos, como relações, por exemplo: 
 R1 = { (1, 4); (2, 5)}; R2 = {(2, 4); (1, 5)] (3, 4); (3, 5)}; R3 = {(2, 4), (2, 5), (3, 5)}, entre outras. 
 
• Função: Sejam A e B conjuntos diferentes do vazio. Uma relação f de A em B é função 
se, e somente se, todo elemento de A estiver associado, através de f , a um único elemento de 
B . 
 
Notação: BAf →: (indica que f é uma função de A em B ) 
 
Em símbolos, sendo φφ ≠≠ B e A , temos: 
BAf →: é uma função ⇔ )(/ ! , xfyByAx =∈∃∈∀ 
 
Em diagramas: 
 
 
 41 
LISTA DE EXERCÍCIOS PROPOSTOS PARA A REVISÃO DOS CONCEITOS 
 
1) Uma empresa de locação de carros está fazendo uma promoção: quando o carro é retirado, ele já 
vem com R$ 25,00 de gasolina no tanque. Para cada dia de uso, deverão ser pagos R$ 60,00. O 
custo total em reais (y) é função do número de dias (x), dada por: 2560 −= xy . 
Pergunta-se o preço da locação por 7 dias. Resposta: R$ 395,00 
 
2) Suponha que o custo total em unidades monetárias (u.m.) de produzir q unidades de um certo bem 
é dado pela função: C(q) = q3 – 30q2 + 400q + 500. 
a) Calcule o custo de produzir 20 unidades. Resposta: C(20) = 4500 
b) Calcule o custo de produzir a vigésima unidade. Resposta: C(20) – C(19) = 371 
 
3) Suponha que t horas após a meia-noite, a temperatura em Pato-City era 10t4t
6
1)t(C 2 ++−= 
graus Celsius. 
a) Qual era a temperatura às 14 horas? Resposta: C(14) ≅ 33,33 0 C 
b) De quanto a temperatura aumentou ou diminuiu entre 18 e 21 horas? 
 Resposta: C(21) – C(18) = - 7,50C 
 
4) Para estudar a velocidade na qual os animais aprendem, um estudante de psicologia executou um 
experimento no qual um rato era enviado repetidamente através de um labirinto de laboratório. 
Suponha que o tempo requerido pelo rato para atravessar o labirinto na enésima tentativa era de 
aproximadamente 
n
123)n(f += minutos. 
a) Qual é o domínio da função f , ou seja, quais valores são possíveis para n ? 
Resposta: Todo número real n , exceto n = 0 (ℜ*) 
b) Para que valores de n a função f ( n ) tem significado no contexto do experimento psicológico? 
Resposta: Todo inteiro positivo )Z( *+ 
c) Quanto tempo leva para que o rato atravesse o labirinto na terceira tentativa? Resposta: 7 minutos 
d) Em qual tentativa o rato atravessou pela primeira vez o labirinto em 4 minutos ou menos? 
Resposta: 12a tentativa 
e) De acordo com a função f , o que acontecerá com o tempo requerido pelo rato para atravessar o 
labirinto à medida que o número de tentativas aumenta? Será o rato um dia capaz de atravessar o 
labirinto em menos de 3 minutos? 
 Resposta: O tempo necessário aproximar-se-á de, mas nunca será menor do que 3 minutos. 
 
5) Uma bola foi jogada do alto de um prédio. Sua altura (metros) após t segundos é dado pela função 
H(t) = - 16t2 + 256. 
a) Que altitude estava a bola após 2 segundos? Resposta: H(2) = 192m 
b) Que distância viajará a bola durante o terceiro segundo? Resposta: H(3) – H(2) = 80m 
c) Que altura tem o prédio? Resposta: H(0) = 256m 
d) Quando a bola atingirá o solo? Resposta: H(t) = 0 ⇒ t = 4 seg. (após 4 segundos) 
 
6) Em um vôo, cada passageiro está autorizado a transportar uma bagagem de até 20 kg, inclusive. A 
partir desse valor, o passageiro paga dois reais por quilograma excedente. Dê a lei que expressa a 
quantia paga por uma pessoa que pretende embarcar carregando 30 kg em função da massa de sua 
bagagem. Esboce o gráfico dessa função. 
Resposta: 402)(2)20()( −=⇒⋅−= mmqmmq 
 
 42 
7) O consumo C de água, em 3m , pela população de uma cidade em função do tempo t , em segundos, 
é dado pela equação: tC 000.2= 
a) Qual é o consumo de água dessa população em 10 segundos? 
b) Qual é o consumo de água dessa população em 10 horas? 
c) Em quantos segundos essa população consome 48.000 3m de água? 
Resposta: a) 20.000 3m b) 72.000.000 3m c) 24 segundos 
 
8) Um biólogo, ao estudar uma cultura bacteriológica, contou o número de bactérias em 
umdeterminado instante ao qual chamou de instante zero; e ao final de cada uma das seis horas 
seguintes fez nova contagem das bactérias. Os resultados dessa experiência são descritos pelo 
gráfico a seguir. Observando o gráfico, responda: 
a) Qual o número de bactérias no início da contagem, isto é, no instante zero? 
b) De quanto aumentou o número de bactérias da quinta para a sexta hora? 
c) De quanto aumentou o número de bactérias da terceira para a quinta hora? 
 
Resposta: a) 32 bactérias b) 85 bactérias c) 98 bactérias 
 
9) O gráfico a seguir representa o crescimento de uma planta em função do tempo. Analisando o 
gráfico responda: 
 
a) Qual a altura da planta ao final da terceira semana? 
 
 
 
b) Qual foi o crescimento da planta durante a terceira 
semana? 
 
 
 
 
 
c) Durante qual das três semanas registradas houve o 
maior desenvolvimento da planta? 
Resposta: a) 30 cm b) 5 cm c) 1a semana 
 
 43 
10) (ENEM) No quadro a seguir estão as contas de luz e água de uma mesma residência. Além do 
valor a pagar, cada conta mostra como calculá-lo, em função do consumo de água (em m3) e de 
eletricidade (em KWH). Observe que, na conta de luz, o valor a pagar é igual ao consumo 
multiplicado por um certo fator. Já na conta de água, existe uma tarifa mínima e diferentes faixas 
de tarifação. 
Companhia de Eletricidade 
Fornecimento Valor (R$) 
401 KWH x 0,13276000 53,23 
Companhia de Saneamento