Estatística e Probabilidade - 03. Probabilidade Condicionada e Independencia

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Probabilidade Condicional e 
Independência 
Wendeson Oliveira - wso@cin.ufpe.br 
Tsang Ing Ren – tir@cin.ufpe.br 
 
COM REPOSIÇÃO X SEM REPOSIÇÃO 
Não defeituosa 
Defeituosa 
Não defeituosa 
Defeituosa 
Quais	
  são	
  as	
  chances	
  de	
  re/rar	
  uma	
  peça	
  defeituosa?	
  
10
2
=
COM REPOSIÇÃO X SEM REPOSIÇÃO 
Não defeituosa 
Defeituosa 
Quais	
   as	
   chances	
  de	
   re/rar	
  uma	
  peça	
  defeituosa	
  depois	
  
que	
   uma	
   peça	
   defeituosa	
   foi	
   re/rada	
   e	
   outra	
   peça	
  
defeituosa	
  é	
  reposta?	
  
10
2
=
Re#rar	
  a	
  
primeira	
  
Re#rar	
  a	
  
segunda	
  
COM REPOSIÇÃO X SEM REPOSIÇÃO 
Não defeituosa 
Defeituosa 
Quais	
   as	
   chances	
   de	
   re/rar	
   uma	
   segunda	
   peça	
  
defeituosa	
   depois	
   que	
   a	
   primeira	
   defeituosa	
   foi	
  
re/rada?	
  
10
2
=
9
1
=
Re#rar	
  a	
  
primeira	
  
Re#rar	
  a	
  
segunda	
  
COM REPOSIÇÃO X SEM REPOSIÇÃO 
! Sejam A e B dois eventos associados ao 
experimento E, denotaremos por P(B/A) a 
probabilidade condicionada do evento B, 
quando A tiver ocorrido. 
–  No exemplo anterior, P(B/A) = 1/9; 
–  Sempre que calcularmos P(B/A), estaremos 
essencialmente calculando P(B) em relação 
ao espaço amostral reduzido A. 
PROBABILIDADE CONDICIONAL 
PROBABILIDADE CONDICIONAL 
•  Lançamento de dois dados: 
•  Sendo: 
–  A = {(x1, x2) | x1 + x2=10} 
–  B = {(x1, x2) | x1 > x2} 
•  Calcular P(A) = 3/36, P(B)=15/36 e P(B/A)=1/3 
 
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
)6,6()5,6()4,6()3,6()2,6()1,6(
)6,5()5,5()4,5()3,5()2,5()1,5(
)6,4()5,4()4,4()3,4()2,4()1,4(
)6,3()5,3()4,3()3,3()2,3()1,3(
)6,2()5,2()4,2()3,2()2,2()1,2(
)6,1()5,1()4,1()3,1()2,1()1,1(
S
PROBABILIDADE CONDICIONAL 
! P(A∩B) ocorre, se: 
•  Se a soma dos dois primeiro for 10; e 
•  Se o segundo dado tiver um valor maior que o 
primeiro; 
–  Nesse caso, há apenas um desses 
resultados: 
•  P(A∩B) = 1/36; 
–  Diante dos vários números calculados, 
conclui-se: 
P(B/A) = P(A∩B) 
	
   P(A) 
PROBABILIDADE CONDICIONAL 
!  Exemplo 1: 
–  Suponha-se que um escritório possua 100 máquinas de calcular. 
Algumas dessas máquinas são elétricas (E), enquanto outras são 
manuais (M); e algumas são novas (N), enquanto outras são muito 
usadas (U). A Tabela abaixo dá o número de máquinas de cada 
categoria. Uma pessoa entra no escritório, pega uma máquina ao 
acaso, e descobre que é nova. Qual será a probabilidade de que 
seja elétrica? Em termos da notação introduzida, desejamos 
calcular P(E/N) . 
PROBABILIDADE CONDICIONAL 
! Considerando somente o espaço amostral reduzido N 
(70 máquinas novas), temos P(E/N) = 40/70 = 4/7. 
 
! Empregando a definição de probabilidade condicionada: 
 
P(E/N) = P(E∩N)= 40/100 = 4 
	
  P(N) 70/100 7 
PROBABILIDADE CONDICIONAL 
! A mais importante consequência da 
p r o b a b i l i d a d e é o Te o r e m a d a 
Multiplicação de Probabilidades: 
! Podemos aplicar esse teorema para 
calcular a probabilidade da ocorrência 
conjunta dos eventos A e B. 
P(A	
  ∩	
  B)	
  =	
  P(B/A)	
  P(A)	
  
PROBABILIDADE CONDICIONAL 
! Exemplo 2: 
–  Consideremos o lote formado 20 peças 
defeituosas e 80 não defeituosas. Se 
escolhermos ao acaso duas peças, sem 
reposição, qual será a probabilidade de que 
ambas as peças sejam defeituosas? 
PROBABILIDADE CONDICIONAL 
!  Evento A ={ a primeira peça é defeituosa}; 
!  Evento B={ a segunda peça é defeituosa}. 
!  P(A∩B) = P(B|A)P(A) 
! P(B|A) = 19/99 
! P(A)=20/100 = 1/5 
! P(A∩B) = 19/495 
 
PROBABILIDADE CONDICIONAL 
! O Teorema da Mu l t i p l i cação de 
Probabilidades pode ser generalizado 
para mais de dois eventos, da seguinte 
maneira : 
P[A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An ]= P(A1) P(A2/A1) P(A3/A1, A2)... P(An/A1, .... An-1) 
TEOREMA DA PROBABILIDADE TOTAL 
! Considere os eventos B1,...,Bk formando uma 
partição de S, isto é, 
! Intuitivamente, qualquer que seja o resultado 
de um experimento, um e somente um 
desses eventos Bi acontecerá. 
TEOREMA DA PROBABILIDADE TOTAL 
! Graficamente, temos: 
! Considerando A um evento qualquer referente a S, e B1, 
B2,..., Bk uma partição de S. 
! Podemos escrever: 
–  A = A ∩ B1U A ∩ B2 U ... U A ∩ Bk 
TEOREMA DA PROBABILIDADE TOTAL 
! Assim podemos calcular: 
–  P(A) = (A ∩ B1)+ P(A ∩ B2) +... + P(A ∩ Bk) 
! Contudo, como P(A ∩ Bj) = P(A/Bj)P(Bj), 
obtemos o teorema da probabilidade total: 
 
	
  P(A)	
  =	
  P(A/B1)P(B1)	
  +	
  P(A/B2)P(B2)	
  +...+	
  P(A/Bk)P(Bk).	
  
TEOREMA DA PROBABILIDADE TOTAL 
! Exemplo 3: 
–  Uma determinada peça é manufaturada por três 
fábricas, digamos 1, 2 e 3. Sabe-se que 1 produz 
o dobro de peças que 2, e 2 e 3 produziram o 
mesmo número de peças (durante um período de 
produção especificado). Sabe-se também que 
2% das peças produzidas por 1 e por 2 são 
defeituosas, enquanto 4% daquelas produzidas 
por 3 são defeituosas. Todas as peças 
produzidas são colocadas em um depósito, e 
depois uma peça é extraída ao acaso. Qual é a 
probabilidade dessa peça seja defeituosa? 
! Eventos 
–  A = {a peça é defeituosa} 
–  B1= {a peça provém de 1} 
–  B2= {a peça provém de 2} 
–  B3= {a peça provém de 3} 
! Pede-se P(A) 
–  P(A) = P(A/B1)P(B1) + P(A/B2)P(B2) + P(A/B3)P(B3) 
–  P(B1) = 1/2 P(B2) = P(B3) = 1/4 
–  P(A/B1)=P(A/B2) = 0,02 P(A/B3)=0,04 
–  P(A) = 0,025 
TEOREMA DA PROBABILIDADE TOTAL 
TEOREMA DE BAYES 
! No exemplo anterior, suponha que uma 
peça seja retirada do depósito e se 
verifique ser ela defeituosa. Qual é a 
probabilidade de que tenha sido produzida 
na fábrica 1? P(B1/A) 
–  Teorema de Bayes; 
•  Fórmula da probabilidade das “causas”. 
 
! Teorema de Bayes 
! Ou 
TEOREMA DE BAYES 
P(Bi / A) =
P(A / Bi )P(Bi )
P(A) i =1, 2,...,k.
P(Bi / A) =
P(A / Bi )P(Bi )
P(A / Bj )P(Bj )
j=1
k
∑
i =1, 2,...,k.
–  P(B1) = 1/2 P(B2) = P(B3) = 1/4 
–  P(A/B1)=P(A/B2) = 0,02 P(A/B3)=0,04 
–  P(A) = 0,025 
P(B1 / A) =
(0, 02)(1 / 2)
(0, 02)(1 / 2)+ (0, 02)(1 / 4)+ (0, 04)(1 / 4) = 0, 40
TEOREMA DE BAYES 
P(B1 / A) =
P(A / B1)P(B1)
P(A / Bj )P(Bj )
j=1
3
∑
EVENTOS INDEPENDENTES 
! Considere dois eventos do mesmo espaço 
de probabilidade; 
–  Eventos excludentes: 
–  Eventos decorrentes: 
! Em muitos casos, saber que A já ocorreu 
nos dá alguma informação sobre 
probabilidade de ocorrência de B. 
! Porém, há situações nas quais saber que 
algum evento B ocorreu não tem qualquer 
interesse quanto à ocorrência de A. 
0)/()/( ==⇒=∩ BAPABPBA φ
1)/( =⇒⊂ ABPBA
EVENTOS INDEPENDENTES 
! Exemplo: 
–  Suponhamos que um dado equilibrado seja 
jogado duas vezes. Definamos os eventos A 
e B, da seguinte forma: 
•  A = {o primeiro dado mostra um número par}, 
•  B = {o segundo dado mostra um 5 ou um 6}. 
EVENTOS INDEPENDENTES 
! P(A) = 18/36 = 1/2; 
! P(B) = 12/36 = 1/3; 
! P(A ∩ B) = 6/36= 1/6; 
! P(A/B) = (1/6) / (1/3) = 1/2. 
! P(B/A) = (1/6) /( 1/2) = 1/3. 
 
A e B serão eventos independentes se, e somente se: 
Probabilidade	
  absoluta	
  (ou	
  
não	
  condicionada)	
  é	
  igual	
  à	
  
probabilidade	
  condicionada	
  
P(A/B)	
  
P(A	
  ∩	
  B)	
  =	
  P(A)P(B)