Calculo II/III - Integrais Duplas

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Lista 5 - INTEGRAIS DUPLAS
Integrais duplas e aplicações ao cálculo de áreas e volumes, centro de massa e momento de inércia. Mudança de variáveis na integral dupla. Integral dupla em coordenadas polares.
Referências: PINTO, D. e MORGADO, M. C. F.; Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis, GUIDORIZZI, H.L.; Um Curso de Cálculo. Vol. 3. STEWART, J.; Cálculo. Vol. 2, São Paulo, Pioneira Thomson Learning
THOMAS, G. B.; Cálculo. Vol. 2. 
Esboce a região de integração e calcule a integral iterada.
	
a) Resp.: 10	
	
b) Resp.: 
	
 c) Resp.: 1	
	
d) 	 Resp.: 2
	
e) 	Resp.: 2
	
f) Resp.: 
	
g) = 
	
h) 	Resp.: 
	
i) Resp.: 6
	
j) 
				
Seja A o retângulo . Calcule , sendo igual a
	
a) 
	
Resp.: 
	
b) 
	
Resp.: 
	
c) 
	
Resp.: 
	
d) 
	
Resp.: 
	e) 1 
	Resp.: 1
	
f) 
	
Resp.: 
	
g) 
	Resp.: 
	
h) 
	
Resp.: 
	
Sejam e duas funções contínuas, respectivamente, nos intervalos e . Prove que 
onde A é o retângulo , .
Utilizando o Exercício 3, calcule
 onde A é o retângulo 		 Resp.: 
 onde A é o retângulo 		 Resp.: 
 onde A é o retângulo 		 Resp.: 0
Esboce a região de integração e calcule as integrais iteradas.
	
a) 
	
Resp.: 
	
b) 
	
Resp.: 
	
c) 
	
Resp.: 
	
d) 
	Resp.: 
	
e) 
	
Resp.: 
	
f) 
	
Resp.: 
	
g) 
	
Resp.: 
	
h) 
	
Resp.: 
		
Inverter a ordem de integração
	
a) 
	
Resp.: 
	
b) 
	
Resp.: 
	
c) 
	
Resp.: 
	
d) 
	
Resp.: 
	
e) 
	
Resp.: .: 
	
f) 
	
Resp.: 
	
g) 
	
Resp.: 
	
h)
	
Resp.: 
		
As integrais abaixo não podem ser calculadas exatamente, em termos de funções elementares, na ordem apresentada. Inverta a ordem de integração e faça os cálculos:
a) 	Resp.: 	 	b) Resp.: 
Esboce a região de integração, inverta a ordem de integração e calcule a integral
	
a) 
	Resp.: 
	
b) 
	
Resp.: 
	
c) 
	Resp.: 
	
d) 
	Resp.: 2
	
e) 
	Resp.: 
	
f) 
	Resp.: 
Calcule as integrais para as regiões D indicadas
, 			Resp.: 
, 		 	Resp.: 
 			Resp.: 
, D é limitada por e 			Resp.: 
 D é limitada por e . 		Resp.: 
 D é limitada por e 		Resp.: 
, D é a região triangular de vértices e 	Resp.: 
Esboce a região limitada pelas retas e curvas dadas. Depois expresse a área da região como uma integral dupla iterada e calcule a integral.
Os eixos coordenados e a reta .			Resp.: 2.
A parábola e a reta .			Resp.: .
A curva e as retas e .	Resp.: 1
 e 			Resp.: 
As parábolas e .			Resp.: 
 , e 			Resp.: 
Calcule o volume do sólido dado em cada caso:
	 Resp.: 
. 				Resp.: 
Limitado pelas superfícies: e 		Resp.: 
Abaixo do plano e acima da região limitada por e . 	Resp.: 
Abaixo da superfície e acima do triângulo de vértices . 	Resp.: 
Limitado pelos cilindros e .			Resp.: 
Usando uma mudança de variáveis conveniente, calcule:
 onde D é a região do plano xy limitada por e Resp.: 
 onde D é o trapézio e 		Resp.: 1
Usando mudança polar, calcule as seguintes integrais:
 			Resp.: 0
 		 		Resp.:
, onde D é o anel delimitado por e . 
Resp.: 
 onde R é a região que está à esquerda do eixo y e entre as circunferências e . 		Resp.: .
 onde R é a região que está acima do eixo x e dentro da circunferência . 			Resp.: .
Calcular a área da região descrita em cada caso.
Um laço da rosácea . 				Resp.: .
A região interior a ambos os círculos e . 	 Resp.: 
 Suponha que uma lâmina com densidade f ocupe a região D do plano xy. Calcule a massa total m e as coordenadas do centro de massa de D.
; . 		Resp.: .
; .		 Resp.: .
D é a região triangular com vértices ; . 
Resp.: .
; Resp.: 
 e a densidade f num ponto é igual ao produto das coordenadas do ponto P. 				Resp.: 
D ocupa a parte do disco do primeiro quadrante. Determine o centro de massa se a densidade em qualquer ponto for proporcional à distância do ponto ao eixo x.
Encontre o centróide da região semicircular limitada pelo eixo x e pela curva . Resp.: .
Encontre o centróide da região triangular cortada do primeiro quadrante pela reta .
Calcule os momentos de inércia Ix, Iy e de uma lâmina D no plano xy limitada por uma ou mais curvas descritas pelas equações dadas. Em cada caso, denota a densidade num ponto de D.
a) D é limitada por e .
Resp.: .
b) 	 	Resp.: , 
c) 			Resp.: , 
3