Prova 2 Equações 2014/1

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UFRGS – Instituto de Matemática 
Departamento de Matemática Pura e Aplicada 
MAT 01167 – Equações Diferenciais II 
Data: 24/05/2014 
 
Cartão: _____________________________ 
Nome: Turma: __________________ 
SEGUNDA PROVA 
 
Questão 1. (2 pontos) 
As equações abaixo descrevem o comportamento da temperatura u(x,t) de uma barra feita de 
um material condutor de calor. 
{
𝑢𝑡 = 𝑢𝑥𝑥 + 4
𝑢(0, 𝑡) = 3
𝑢(𝑥, 0) = 𝑓(𝑥)
𝑢𝑥(1, 𝑡) = 0 
𝑝𝑎𝑟𝑎 0 < 𝑥 < 1, 𝑡 > 0
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡 > 0
𝑝𝑎𝑟𝑎 0 < 𝑥 < 1
 
 
Encontre a função w(x) que representa a temperatura de estado estacionário na barra. 
Observação: não se pede para calcular u(x,t). 
 
 
 
 
 
 
 
Q1 Q2 Q3 Q4 Q5 Total 
 
 
 
Nome:________________________________________________________________________________ Turma:__________________ 
Questão 2. (2 pontos) 
 
Resolva pelo método matricial o sistema de equações diferenciais abaixo, obtendo a solução 
geral �⃗� (𝑡) = (𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡)) 
Descreva o tipo (sela, nó, etc) de equilíbrio (0,0), destacando se é estável ou instável. 
 
{
𝑥′ = −4𝑥 + 𝑦
𝑦′ = 4𝑥 − 4𝑦
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nome:________________________________________________________________________________ Turma:__________________ 
Questão 3. (2 pontos) 
 
Todas as funções a seguir têm período 2π e as suas expressões são consideradas no intervalo [-π,π]. 
A notação que usaremos para a série de Fourier é a usual: 
𝑎0
2
+ ∑(𝑎𝑛 cos(𝑛𝑥) + 𝑏𝑛𝑠𝑒𝑛(𝑛𝑥))
∞
𝑛=1
 
 
Assinale V para as afirmações verdadeiras e F para as afirmações falsas. Justifique sua resposta 
somente quando a afirmação for falsa. 
 
a. ( ) A série de Fourier da função 𝑓(𝑥) = 𝑥² tem todos os coeficientes 𝑏𝑛 (𝑛 = 1, 2, 3, … ) nulos; 
 
b. ( ) A série de Fourier da função 𝑔(𝑥) = 𝑒−𝑥 possui todos os termos 𝑎𝑛 (𝑛 = 1, 2, 3, … ) nulos; 
 
c. ( ) O conjunto de funções {1, cos 𝑥, cos 2𝑥, … , cos 𝑛𝑥, … } é um conjunto ortogonal em (-π,π), e 
a única função ortogonal a todos os elementos desse conjunto de funções é a função 𝑧(𝑥) = 0 
(função identicamente nula); 
 
d. ( ) A série de Fourier da função 
ℎ(𝑥) = {
π, se − π < x < 0
0, se 0 < x < π
 
converge para π em 𝑥 = 0; 
e. ( ) A série de Fourier da função 𝑝(𝑥) = cos(5𝑥) + 𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 1 é igual a própria função. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nome:________________________________________________________________________________ Turma:__________________ 
Questão 4. (2 pontos) 
 
Inicialmente, o tanque A contém 500 gramas de sal dissolvidos em 300 litros de água. Enquanto o 
tanque B contém 300 litros de água pura. 
No instante 𝑡0 = 0, água pura entra no tanque A a uma razão de 9 l/h e a mistura sai do tanque A para 
o tanque B a uma razão de 12 l/h. 
Simultaneamente o tanque A recebe a mistura que vem do tanque B a uma razão de 3 l/h. 
Do tanque B a mistura sai para fora do sistema a uma razão de 9 l/h. 
Denote por 𝑄𝐴(𝑡) a quantidade de sal no tanque A no instante t e por 𝑄𝐵(𝑡) a quantidade de sal no 
tanque B no instante t. 
Determine o sistema de EDO’s que as funções 𝑄𝐴(𝑡) e 𝑄𝐵(𝑡) satisfazem, incluindo as condições 
iniciais. Justifique sua resposta. 
 
Observação: Não precisa resolver o sistema. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A 
B 
 
 
Nome:________________________________________________________________________________ Turma:__________________ 
Questão 5. (2 pontos) 
 
Encontre uma solução particular da forma 𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝑓(𝑥). 𝑠𝑒𝑛(3𝑡) do problema: 
 
{
𝑢𝑡𝑡 = 𝑢𝑥𝑥
𝑢𝑥(0, 𝑡) = 0, ∀t > 0
𝑢𝑡(0,0) = 9
 
 
Observação: Esta solução particular é uma parcela da série solução de um problema de onda com 
extremidades livres, partindo da posição de equilíbrio (𝑢(𝑥, 0) ≡ 0) com uma determinada 
velocidade inicial.