vetorews de geometria analitica

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Lista II - Unidade I
Vetores e Geometria Anal´ıtica
IMD - 2018.2
1. Dados os vetores u = (2,−3,−1) e v = (1,−1, 4). Calcule:
(a) 〈2u, v〉
(b) 〈(u+ v), (v − u)〉
2. Determinar o vetor v, paralelo ao vetor u = (2,−1, 3), tal que 〈u, v〉 = −42.
3. Dados os vetores u = (2, 1, α), v = (α + 2,−5, 2) e w = (2α, 8, α), determinar o valor de α para que o vetor
u+ v seja ortogonal ao vetor w − u.
4. Calcular o valor de m ∈ R de modo que o aˆngulo entre os vetores u = (1,−2, 1) e v = (−2, 1,m+ 1) seja 120o.
5. Sejam u, v ∈ R3. Decomponha v = v1 + v2, de modo que v1||u e v2 ⊥ u. Chamamos o vetor de v1 de projec¸a˜o
ortogonal de v sobre u. Prove que v1 =
( 〈v, u〉
〈u, u〉
)
u.
Ideia: Construc¸a˜o que fizemos em aula.
6. Determine o vetor v ∈ R3 tal que 〈v, (1, 4,−3)〉 = −7 e v × (4,−2, 1) = (3, 5,−2).
7. Determinar um vetor simultaneamente ortogonal aos vetores 3u + v e 2v − 5u, sendo u = (−3, 2, 0) e v =
(0,−1,−2).
8. Dados os vetores u = (3, 1, 1), v = (−4, 1, 3) e w = (1, 2, 0), determinar x de modo que x ⊥ w e x× u = v.
9. Calcular o valor de m ∈ R para que a a´rea do paralelogramo determinada por u = (m,−3, 1) e v = (1,−2, 2)
seja igual a
√
26.
10. Determinar 〈u, v〉, sabendo que u× v = 12, |u| = 13 e v e´ unita´rio.
11. Sabendo que |u| = 6, |v| = 4 e 30o e´ o aˆngulo entre u e v, calcule:
(a) a a´rea do triaˆngulo determinado por u e v;
(b) a a´rea do paralelogramo determinado por u e (−v);
(c) a a´rea do paralelogramo determinado por u+ v e u− v.
12. Escrever equac¸o˜es parame´tricas da reta que passa por A(1, 2, 3) e e´ paralela a` reta
r : (x, y, z) = (1, 4, 3) + t(0, 0, 1).
13. A reta r passa pelo ponto A(4,−3,−2) e e´ paralela a` reta
r :

x = 1 + 3t
y = 2− 4t
z = 3− t
.
Se P (m,n− 5) ∈ r, determine m e n.
14. O ponto P (m, 1, n) pertence a` reta que passa por A(3,−1, 4) e B(4,−3,−1). Determinar o ponto P .
15. Escrever equac¸o˜es reduzidas na varia´vel z da reta que passa por A(−1, 6, 3) e B(2, 2, 1).
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