VE1 2012.2

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Nome: Turma: A1 (9h-11h)
VE1 de Equações Diferenciais e Métodos Matemáticos (21/12/2012)
Questão 1 2 3 4 Total
Pontuação
Máximo 28 17 23 (+4) 32 100 (+4)
1) Determine se as séries abaixo convergem ou divergem. Justi…que brevemente as suas respostas.
a)
1X
n=0
(�1)n n+ 7
20n+ 12
b)
1X
n=0
(n!)
3
(3n)!
c)
1X
n=1
p
n sin2
��
n
�
d)
1X
n=1
1
n ln3 (2n)
2) Considere a série de potências
f (x) = x+
x4
2
+
x9
3
+
x16
4
+ ::: =
1X
k=1
xk
2
k
[13 pts] a) Determine o seu intervalo de convergência.
[4 pts] b) Determine f (2012) (0) (a 2012a derivada de f no ponto 0). [Dado:
p
2012 = 44:855...]
3) Encontre uma solução (não-nula) da E.D.O. a seguir pelo método de Frobenius em volta de x0 = 0, usando a maior raiz
da equação indicial:
2xy00 + (x+ 1)y0 + y = 0
[Bônus: +4 pts] Escreva esta solução usando apenas funções elementares (sem somatórios; você pode supor que x > 0).
4) Considere a função h (t) cujo grá…co é
-1 1 2 3 4
1
2
t
h(t)
[9] a) Encontre a Transformada de Laplace de h (t).
[23] b) Encontre a solução y (t) do Problema de Valor Inicial
y00 + y = h (t)
y (0) = 0
y0 (0) = 0
Boa Sorte!
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