Álgebra I Lista 1

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UERJ 2018.2 1ª LISTA DE EXERCÍCIOS DE ÁLGEBRA I – EST/CAT 
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Prof. Ricardo Camelier 
 
 
1 
INTRODUÇÃO À LÓGICA 
Resumo da Teoria 
1. Valores lógicos: Verdadeiro (V ou 1) e Falso (F ou 0). 
 
2. Proposição: Sentença afirmativa que assume um e ape-
nas um dos valores lógicos. 
Ex: a. Brasília é a capital do Brasil. (V) 
b. O Brasil ganhou a Copa do Mundo de 1998. (F) 
c. 
211 
 (V) 
d. Existe um número real x tal que 
12 x
. (F) 
e. 
21 x
 Não é proposição, pois depende da va-
riável x. É o que chamaremos de uma sentença 
aberta. 
f. Cássia tem olhos castanhos. Também não é pro-
posição, é outra sentença aberta, pois depende da va-
riável Cássia. 
g. O Brasil já ganhou alguma Copa do Mundo? 
Não é proposição, é uma sentença interrogativa. 
 
3. Variável proposicional: Variável que assume valores 
lógicos. 
Ex: A: Janeiro é o primeiro mês do ano. (V) 
B: 
2
 é número racional. (F) 
 
4. Conectivos: Operadores lógicos. Veremos cinco deles: 
negação, disjunção, conjunção, condicional e bi-condi-
cional. 
 
5. Negação: 
A
 (leia “não A”). A definição é dada através 
de sua tabela verdade: 
AA
0
0
1
1
 
Ex: A: A Terra gira em torno do Sol. (V) 
A
: A Terra não gira em torno do Sol. (F) 
B: A Lua é feita de queijo. (F) 
B
: A Lua não é feita de queijo. (V) 
 
6. Disjunção: 
BA
 (leia “A ou B”). A definição é dada 
através de sua tabela verdade: 
BAA
0 0
1
1
B
0
0
1 1
1
1
1
0
 
 
Ex: A: O Sol é feito de mel. (F) 
B: A Lua gira em torno da Terra. (V) 
BA
: O Sol é feito de mel ou a Lua gira em torno da 
Terra. (V) 
P: 
311 
 (F) 
Q: 
211 
 (F) 
QP 
: 
311 
 ou 
211 
. (F) 
 
 
7. Conjunção: 
BA
 (leia “A e B”). A definição é dada 
através de sua tabela verdade: 
BAA
0 0
1
1
B
0
0
1 1
0
0
1
0
 
Ex: A: O Sol é feito de mel. (F) 
B: A Lua gira em torno da Terra. (V) 
BA
: O Sol é feito de mel e a Lua gira em torno da 
Terra. (F) 
P: 
211 
 (V) 
Q: 
111 
 (V) 
QP 
: 
211 
 e 
111 
. (V) 
 
8. Condicional: 
BA
 (leia “se A então B”). A definição 
é dada através de sua tabela verdade: 
BAA
0 0
1
1
B
0
0
1 1
1
0
1
1
 
Ex: A: O Sol é feito de mel. (F) 
B: A Lua é feita de queijo. (F) 
BA
: Se o Sol é feito de mel então a Lua é feita de 
queijo. (V) 
P: 
2
 não é número racional. (V) 
Q: Existe um número real x tal que 
12 x
. (F) 
QP 
: Se 
2
 não é número racional então existe um 
número real x tal que 
12 x
. (F) 
C: O Brasil ganhou a Copa do Mundo de 1998. (F) 
D: O Fluminense é o campeão brasileiro de 1997. (F) 
DC 
: Se o Brasil ganhou a Copa do Mundo de 1998 
então O Fluminense é o campeão brasileiro de 1997. (V) 
 
9. Bi-condicional: 
BA
 (leia “A se e somente se B”). A 
definição é dada através de sua tabela verdade: 
BAA
0 0
1
1
B
0
0
1 1
0
0
1
1
 
Ex: A: O Sol é feito de mel. (F) 
B: A Lua é feita de queijo. (F) 
BA
: O Sol é feito de mel se e somente se a Lua é 
feita de queijo. (V) 
P: 
2
 não é número racional. (V) 
Q: Existe um número real x tal que 
12 x
. (F) 
QP 
: 
2
 não é número racional se e somente se 
existe um número real x tal que 
12 x
. (F) 
 
UERJ 2018.2 1ª LISTA DE EXERCÍCIOS DE ÁLGEBRA I – EST/CAT 
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2 
10. Fórmula proposicional ou expressão lógica: fórmulas 
ou expressões construídas com os conectivos e variáveis 
proposicionais. Seus valores lógicos podem ser calcula-
dos através da tabela verdade. 
Ex: 
)( BA
. Veja a tabela verdade ao lado. 
BAA
0 0
1
1
B
0
0
1 1
1
1
1
0
)( BA
0
0
0
1
 
As fórmulas proposicionais podem ser classificadas em 
tautologia, contradição ou contingência. 
 
11. Tautologia: Fórmula proposicional que só assume valor Verdadeiro (só tem 1’s na última coluna da tabela verdade). 
Ex: a. 
)( AA 
 
AA
0 1
01 1
1
)( AA 
 
 
b. 
)()( BABA 
 
BAA
0 0
1
1
B
0
0
1 1
1
1
1
0
)( BA
0
0
0
1
A B BA  )()( BABA 
1
1
0
0
1
1
0
0
0
0
0
1 1
1
1
1
só tem
1's







 
 
Exercício: Use a tabela verdade para mostrar que as expressões abaixo são tautologias. 
a) 
)()( BABA 
 b) 
)()( BABA 
 c)
)()( ABBA 
 
 
12. Contradição: Fórmula proposicional que só assume va-
lor Falso (só tem 0’s na última coluna da tabela ver-
dade). 
Ex: 
)( AA 
 
A
0
0
AA 
0
1
A
1
0
 
 
13. Contingência: Fórmula proposicional que assume os 
valores Verdadeiro e Falso (tem 0’s e 1’s na última co-
luna da tabela verdade). 
Ex: 
)( BA
 
 
BAA
0 0
1
1
B
0
0
1 1
0
0
1
0
)( BA
1
1
0
1
 
 
14. Equivalência lógica: 
BA
 (leia “A é logicamente 
equivalente B”). A e B são logicamente equivalentes (
BA
) quando o bi-condicional 
BA
 for tautolo-
gia, i.e., for sempre Verdadeiro. 
 
Ex: 
)()( BABA 
 
Observe que na tabela verdade do Exemplo b. do item 
11, a última coluna, a do bi-condicional, só apresenta 
1’s. 
15. Propriedades 
a. 
AA  )(
 
b. 
)()( BABA 
 
c. 
)()( BABA 
 
d. 
)()( BABA 
 
e. 
)()( ABBA 
 
f. 
)()()( CABACBA 
 
g. 
)()()( CABACBA 
 
h. 
CBACBA  )()(
 
16. Implicação lógica: 
BA
 (leia “A implica logica-
mente em B”). A implica logicamente em B quando o 
condicional 
BA
 for tautologia, i.e., for sempre Ver-
dadeiro. 
Ex: 
BAA 
 
 
17. Propriedades 
a. 
ABA 
 
b. 
BAA 
 
c. 
BABA  )(
 
d. 
ABBA  )(
 
e. 
)()()( CACBBA 
 
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3 
18. Sentença aberta: Sentença afirmativa que depende de 
uma ou mais variáveis. 
Ex: 
a. A(x):
21 x
 Depende da variável x. 
b. Cássia tem olhos castanhos. Depende da variá-
vel Cássia. 
19. Quantificadores: Conectivos que transformam senten-
ças abertas em proposições. 
20. Quantificador existencial: 
)(xxA
 (leia “existe algum 
valor de x tal que A(x)”). 
)(xxA
 é Verdadeiro se existe 
algum valor c do conjunto universo U da variável x que 
torna a expressão A(c) Verdadeira. Caso contrário, 
)(xxA
 é Falso. 
Ex: 
a. A(x):
21x
, 
RU
. 
)(xxA
 é Verdadeiro, pois A(1) é Verdadeiro já que 
211 
. 
a. A(x):
012 x
, 
RU
. 
)(xxA
 é Falso, pois não existe nenhum número real 
x tal que 
12 x
, ou seja, 
012 x
. 
c. A(x):
012 x
, 
CU
. 
)(xxA
 é Verdadeiro, pois A(i) é Verdadeiro já que 
12 i
, ou seja, 
012 i
. 
d. “Existe uma mulher chamada Cássia que tem olhos 
castanhos”. É uma proposição Verdadeira, pois 
existe pelo menos uma Cássia que tem olhos casta-
nhos. 
21. Quantificador universal: 
)(xxA
 (leia “para todo va-
lor de x, A(x)”). 
)(xxA
 é Verdadeiro quando para todo 
valor c do conjunto universo U da variável x, a expres-
são A(c) é Verdadeira. Caso contrário, 
)(xxAé Falso. 
Ex: 
a. A(x):
21x
, 
RU
. 
)(xxA
 é Falso, pois A(0) é Falso já que 
210 
. 
b. A(x):
012 x
, 
RU
. 
)(xxA
 é Verdadeiro, pois 
012 x
 para todo nú-
mero real x. 
c. “Toda mulher chamada Cássia têm olhos casta-
nhos”. É uma proposição Falsa, pois nem todas as 
Cássias têm olhos castanhos. 
22. Negação dos quantificadores: 
a. 
))(())(( xAxxxA 
 
b. 
))(())(( xAxxxA 
 
Ex: 
a. A(x):
21x
, 
RU
. 
))(( xxA
: 
)21(  xx
. 
b. A(x):
012 x
, 
CU
. 
))(( xxA
: 
)01( 2  xx
. 
c. A negação de 
“Existe uma mulher chamada Cássia que tem olhos 
castanhos” é 
“Toda mulher chamada Cássia não têm olhos casta-
nhos”. 
E a negação de 
“Toda mulher chamada Joana têm olhos castanhos” é 
“Existe alguma mulher chamada Joana que não tem 
olhos castanhos”. 
Exercícios 
1. (UFF 2002) O seguinte enunciado é verdadeiro: 
“Se uma mulher está grávida, então a substância gona-
dotrofina coriônica está presente na sua urina.” 
Duas amigas, Fátima e Mariana, fizeram exames e cons-
tatou-se que a substância gonadotrofina coriônica está 
presente na urina de Fátima e não está presente na urina 
de Mariana. Utilizando a proposição enunciada, os re-
sultados dos exames e o raciocínio lógico dedutivo: 
(a) garante-se que Fátima está grávida e não se pode ga-
rantir que Mariana está grávida; 
(b) garante-se que Mariana não está grávida e não se 
pode garantir que Fátima está grávida; 
(c) garante-se que Mariana está grávida e que Fátima 
também está grávida; 
(d) garante-se que Fátima não está grávida e não se pode 
garantir que Mariana está grávida; 
(e) garante-se que Mariana não está grávida e que Fá-
tima está grávida. 
2. (UFF 98) Na cidade litorânea de Ioretin, é rigorosa-
mente obedecida a seguinte ordem do prefeito: 
“Se não chover, então todos os bares à beira-mar deverão 
ser abertos.” 
Pode-se afirmar que: 
(a) Se todos os bares à beira-mar estão abertos, então 
choveu. 
(b) Se todos os bares à beira-mar estão abertos, então 
não choveu. 
(c) Se choveu, então todos os bares à beira-mar não es-
tão abertos. 
(d) Se choveu, então todos os bares à beira-mar estão 
abertos. 
(e) Se um bar à beira-mar não está aberto, então choveu. 
3. (UFF 97) Considere os seguintes enunciados: 
16 é múltiplo de 2 
15 é múltiplo de 7 
8 é número primo 
A proposição que apresenta valor lógico verdadeiro é: 
(a) se 15 é múltiplo de 7 ou 16 é múltiplo de 2 então 8 é 
número primo. 
(b) se 16 é múltiplo de 2 ou 8 é número primo então 15 
é múltiplo de 7. 
(c) se 16 é múltiplo de 2 então 15 é múltiplo de 7 e 8 é 
número primo. 
(d) se 15 é múltiplo de 7 e 8 é número primo então 16 é 
múltiplo de 2. 
(e) se 16 é múltiplo de 2 então 15 é múltiplo de 7 ou 8 é 
número primo. 
4. (UFF 96) Considere um quadrilátero Q e a seguinte 
proposição p: 
“Se Q é um retângulo ou Q é um trapézio isósceles então 
os comprimentos das diagonais de Q são iguais.” 
A proposição equivalente a p é: 
(a) “Se Q é um retângulo ou Q não é um trapézio isós-
celes então os comprimentos das diagonais de Q não 
são iguais.” 
(b) “Se Q não tem as diagonais com o mesmo compri-
mento então Q não é um retângulo e Q não é um tra-
pézio isósceles.” 
UERJ 2018.2 1ª LISTA DE EXERCÍCIOS DE ÁLGEBRA I – EST/CAT 
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4 
(c) “Se Q não tem as diagonais com o mesmo compri-
mento então Q não é um retângulo ou Q não é um 
trapézio isósceles. 
(d) “Se Q não é um retângulo e Q não é um trapézio 
isósceles então os comprimentos das diagonais de Q 
não são iguais. 
(e) “Se os comprimentos das diagonais de Q são iguais 
então Q é um retângulo ou Q é um trapézio isósceles. 
5. (UFF 95) Em uma roda de amigos, Jorge, Edson e Ge-
raldo contaram fatos sobre suas namoradas. Sabe-se 
que Jorge e Edson mentiram e que Geraldo falou a ver-
dade. Assinale qual das proposições abaixo é verda-
deira: 
(a) “Se Geraldo mentiu, então Jorge falou a verdade.” 
(b) “Edson falou a verdade e Geraldo mentiu.” 
(c) “Se Edson mentiu, então Jorge falou a verdade.” 
(d) “Jorge falou a verdade ou Geraldo mentiu.” 
(e) “Edson mentiu e Jorge falou a verdade.” 
6. (UFBA) a negação de Hoje é segunda-feira e amanhã 
não choverá é: 
(a) Hoje não é segunda-feira e amanhã choverá. 
(b) Hoje não é segunda-feira ou amanhã choverá. 
(c) Hoje não é segunda-feira, então amanhã chovera. 
(d) Hoje não é segunda-feira nem amanhã choverá. 
(e) Hoje é segunda-feira ou amanhã ou não choverá. 
7. (PUC SP) A negação da proposição 
)( BAx 
 é: 
(a) 
BAx 
 (d) 
Ax
 ou 
Bx
 
(b) 
Ax
 ou 
Bx
 (e) 
Ax
 e 
Bx
 
(c) 
Ax
 e 
Bx
 
8. (FEI SP) Dadas as proposições: 
(1) Toda mulher é boa motorista. 
(2) Nenhum homem é bom motorista. 
(3) Todos os homens são maus motoristas. 
(4) Pelos menos um homem é mau motorista. 
(5) Todos os homens são bons motoristas. 
A negação de (5) é: 
(a) (1) (b) (2) (c) (3) (d) (4) (e) n.d.a. 
9. (Fuvest) Cada um dos cartões abaixo tem de um lado 
um número e do outro uma letra. 
BA 32
 
Alguém afirmou que todos os cartões que têm uma vo-
gal numa face têm um número par na outra. Para verifi-
car se tal afirmação é verdadeira: 
(a) é necessário virar todos os cartões. 
(b) é suficiente virar os dois primeiros cartões. 
(c) é suficiente virar os dois últimos cartões. 
(d) é suficiente virar os dois cartões do meio. 
(e) é suficiente virar o primeiro e o último cartão. 
10. Quatro amigos vão visitar um museu e um deles resolve 
entrar sem pagar. Aparece um fiscal que quer saber qual 
deles entrou sem pagar. 
 Eu não fui, diz o Benjamim. 
 Foi o Pedro, diz o Carlos. 
 Foi o Carlos, diz o Mário. 
 O Mário não tem razão, diz o Pedro. 
Só um deles mentiu. Quem não pagou a entrada do mu-
seu? 
(a) Mário (b) Pedro (c) Benjamin (d) Carlos 
(e) Não é possível saber, pois faltam dados. 
11. Três amigos, Arlos, Barlos e Carlos, fazem comentários 
a respeito deles mesmos. Arlos diz, “Barlos é menti-
roso”; Barlos diz, “Carlos é mentiroso”; e Carlos diz, 
“Arlos e Barlos são mentirosos”. Podemos afirmar que: 
(a) Arlos e Barlos não mentem. 
(b) Arlos e Carlos não mentem. 
(c) Barlos e Carlos não mentem. 
(d) Se Carlos mente então Barlos não mente. 
(e) Se Carlos mente então Arlos não mente. 
12. Um homem foi capturado por uma tribo de canibais que 
prometeram libertá-lo caso ele conseguisse determinar, 
com apenas uma pergunta de resposta tipo “sim” ou 
“não”, a cor do manto sagrado da tribo. Ele sabia que a 
cor tinha que ser branca ou preta. Infelizmente, a tribo 
era composta por dois tipos de indivíduos: mentirosos, 
que sempre respondem com uma resposta errada, e os 
verdadeiros, que sempre respondem com uma resposta 
correta. Como o homem já havia estudado lógica, ele 
soube formular a pergunta que resultou na determina-
ção correta da cor. Como os canibais acharam que foi 
um golpe de sorte, eles resolveram não libertá-lo. Tal-
vez seja por isso que você não conhecesse essa história. 
Qual das perguntas abaixo permite determinar a cor do 
manto sagrado.? 
(a) É verdade que ou você não mente e o manto é branco 
ou você mente e o manto é preto? 
(b) É verdade que se você não mente então o manto é 
branco? 
(c) É verdade que se você mente então o manto é preto? 
(d) É verdade que se você não mente e o manto é branco 
então você mente e o manto é preto? 
(e) É verdade que você não mente e o manto é branco se 
e somente se você mente e o manto é preto? 
13. (PUC RS) A sentença 
)( baxx 
 é a negação de: 
(a) 
baxx  ,(d) 
baxx  ,
 
(b) 
baxx  ,
 (e) 
baxx  ,
 
(c) 
baxx  ,
 
14. (UNESP) Uma pessoa que gosta somente das pessoas 
que não gostam de si mesmas: 
(a) gosta de si mesma. (b)não gosta de si mesma. 
(c) não existe. (d) gosta de alguém. 
(e) não gosta de ninguém. 
15. (FATEC SP) Considere verdadeiras as três seguintes 
afirmações: 
I. Todos os amigos de João são amigos de Mário. 
II. Mário não é amigo de qualquer amigo de Paulo. 
III. Antônio só é amigo de todos os amigos de Roberto. 
Se Roberto é amigo de Paulo, então: 
(a) Antônio é amigo de Mário. 
(b) João é amigo de Roberto. 
(c) Mário é amigo de Roberto. 
(d) Antônio não é amigo de João. 
(e) n.d.a. 
16. (FEI SP) Dadas as premissas: “Todos os corintianos são 
fanáticos” e “Existem fanáticos inteligentes”, pode-se 
tirar a conclusão seguinte: 
(a) “Existem corintianos inteligentes.” 
(b) “Todo corintiano é inteligente.” 
(c) “Nenhum corintiano é inteligente.” 
(d) “Todo inteligente é corintiano.” 
(e) Não se pode tirar conclusão. 
UERJ 2018.2 1ª LISTA DE EXERCÍCIOS DE ÁLGEBRA I – EST/CAT 
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5 
17. (MACK SP) Duas grandezas x e y são tais que: 
“se 
3x
, então 
7y
”. 
Pode-se concluir que: 
(a) se x 

3, então y 

7. (c) se y

7, então x

3. 
(b) se y = 7, então x = 3. (d) se x = 5, então y =5. 
(e) nenhuma das conclusões anteriores é válida. 
18. Num campeonato de 1996, sabe-se que o Flamengo foi 
o campeão e o Vasco foi o vice-campeão. Assinale a 
afirmativa verdadeira. 
(a) O Vasco foi campeão ou o Fluminense foi vice-cam-
peão. 
(b) Se o Vasco não foi campeão, então o Botafogo foi 
campeão. 
(c) O Botafogo foi vice-campeão e o Fluminense foi 
campeão se e somente se o América não foi cam-
peão. 
(d) Se o Fluminense foi vice-campeão e o América tam-
bém, então o Flamengo foi vice-campeão e o Vasco 
foi campeão. 
(e) O Flamengo foi campeão e o Vasco foi vice-cam-
peão e o Fluminense não perdeu o campeonato. 
19. (UFRJ 98) João não estudou para a prova de Matemá-
tica; por conta disso, não entendeu o enunciado da pri-
meira questão. A questão era de múltipla escolha e tinha 
as seguintes opções: 
(a) O problema tem duas soluções, ambas positivas. 
(b) O problema tem duas soluções, uma positiva e outra 
negativa. 
(c) O problema tem mais de uma solução. 
(d) O problema tem pelo menos uma solução. 
(e) O problema tem exatamente uma solução positiva. 
João sabia que só havia uma opção correta. Ele pensou um 
pouco e cravou a resposta certa. Determine a escolha 
feita por João. Justifique sua resposta. 
20. (UFRJ 93) As figuras, a seguir, representam quatro car-
tões A, B, C e D, que foram colocados sobre uma mesa: 
5
0,3666...
DCA B 
Quem as colocou assim, afirmou: 
“Todo cartão que tiver um número racional em uma face 
terá um polígono na outra.” 
Uma pessoa deseja verificar se essa afirmação é verda-
deira. Para cada cartão, indique se a pessoa será obrigada 
a olhar a outra face desse mesmo cartão. Justifique. 
21. (UFRJ 2005) A altura média de um grupo de quinhen-
tos e três recrutas é de 1,81m. Sabe-se também que nem 
todos os recrutas do grupo têm a mesma altura. Diga se 
cada uma das afirmações a seguir é verdadeira, falsa ou 
se os dados são insuficientes para uma conclusão. Em 
cada caso, justifique sua resposta. 
a) “Há, no grupo em questão, pelo menos um recruta que 
mede mais de 1,81m e pelo menos um que mede menos 
de 1,81m.” 
b) “Há, no grupo em questão, mais de um recruta que 
mede mais de 1,81m e mais de um que mede menos de 
1,81m.” 
 
 
 
Respostas de Introdução à Lógica: 
1. b 2. e 3. d 4. b 5. a 6. b 7. e 
8. d 9. e 10. b 11. d 12. a 13. e 14. c 
15. d 16. e 17. c 18. d 19. d 
20. A, C e D 
21. a) Verdadeira b) Dados insuficientes 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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6 
TEORIA DOS CONJUNTOS 
Resumo da Teoria 
1. Conjunto: qualquer coleção de objetos sem levar em 
conta a ordem ou cópias de um mesmo objeto. Cada ob-
jeto é chamado de um elemento do conjunto. Dizemos 
que os elementos pertencem ao conjunto e que o con-
junto contém os elementos. 
Notação: A = {0, 1}, 
0  A e 1  A, mas 2  A 
 B = {, , , } e , , ,   B 
2. Conjunto vazio: o conjunto que não contém nenhum 
elemento. Notação: {} ou  
3. Conjunto unitário: todo conjunto formado por apenas 
um elemento. 
Exemplo: A = {0}, B = {} 
4. Conjunto binário: todo conjunto formado por apenas 
dois elementos. 
Exemplo: A = {0, 1}, B = {, } 
5. Subconjunto: um conjunto A formado por elementos de 
outro conjunto B. 
Notação: 
BA
. Dizemos que A é subconjunto de B ou 
que A está contido em B. 
Exemplo: Se A = {0, 1} e B = {0, 1, 2} então 
BA
. 
Observação: o conjunto vazio é subconjunto de todo 
conjunto, ou seja, 
A
 para todo conjunto A. 
6. Diagrama de Venn: forma gráfica de representar con-
juntos. 
BA
A
B
 
7. Igualdade de conjuntos: dois conjuntos são iguais 
quando são formados pelos mesmos elementos. Nota-
ção: A = B. 
Exemplo: Se A = {0, 1} e B = {1, 0} então A = B. 
8. Propriedade da Igualdade de Conjuntos 
A = B se e somente se 
BA
 e 
AB 
. 
9. União de conjuntos: a união de dois conjuntos é o con-
junto formado com os elementos de cada um dos dois 
conjuntos. Notação: A  B. Temos 
}ou{ BxAxxBA 
. 
BA
A B
 
Exemplo: Se A = {0, 1} e B = {1, 2} então 
}2,1,0{ BA
. 
10. Interseção de conjuntos: a interseção de dois conjuntos 
é o conjunto formado pelos elementos que pertencem si-
multaneamente aos dois conjuntos. Notação: A  B. Te-
mos 
} e{ BxAxxBA 
. 
BA
A B
 
Exemplo: Se A = {0, 1} e B = {1, 2} então 
}1{ BA
. 
11. Conjuntos disjuntos: dois conjuntos que têm interseção 
vazia. 
 BA
A B
 
12. Diferença de conjuntos: a diferença de dois conjuntos 
é o conjunto formado pelos elementos que pertencem ao 
primeiro conjunto mas que não pertencem ao segundo. 
Notação: A  B. Temos 
} e{ BxAxxBA 
. 
BA
A B
 
 
Exemplo: Se A = {0, 1} e B = {1, 2} então 
}0{ BA
. 
Observação: A diferença A  B também é chamada de 
complementar de B em A e também é denotada por 
A
BC
 
13. Conjunto universo: é o conjunto do qual se pressupõe 
que são subconjuntos todos os demais conjuntos em dis-
cussão. 
Notação: o conjunto universo geralmente é denotado 
por U. 
A B
U
 
14. Conjunto complementar: é a diferença entre o conjunto 
universo e o conjunto em questão. 
Notação: 
A
. Temos 
AA  U
 
A
U
AA  U
 
15. Propriedades das Operações com Conjuntos 
a. 
ABBA 
; 
ABBA 
 
b. 
)()( CBACBA 
 
)()( CBACBA 
 
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7 
c. 
)()()( CBCACBA 
 
)()()( CBCACBA 
 
d. 
)()()( CABACBA 
 
)()()( CABACBA 
 
e. 
BABA 
; 
BABA 
 
f. 
AA 
; 
A
 
g. 
AA 
; 
U
; 
U
 
16. Par ordenado de objetos a e b: (a, b) 
dbcadcba  e ),(),(
 
17. Produto cartesiano: 
} e ),{(BbAabaBA 
 
Exemplo: Se A = {0, 1} e B = {, }, então 
A  B = {(0, ), (0, ), (1, ), (1, )}. 
Observação: Se A e B são conjuntos numéricos, ou seja, 
RBA,
, então temos uma representação gráfica de 
2
RRR  BA
. 
A
BA
B
x
y
 
18. Cardinalidade de conjunto: é o número de elementos 
do conjunto, denotado por 
A
. 
19. Propriedade 
a. 
BABABA 
 
b. 
CBACBCABA
CBACBA


 
c. 
BABA 
 
 
20. Conjunto das partes: o conjunto das partes de um con-
junto A é formado por todos os subconjuntos de A. 
Notação: (A). 
Exemplo: A = , (A) = {} 
 A = {0}, (A) = {, {0}} 
 A = {0, 1}, (A) = {, {0}, {1}, {0, 1}} 
 
21. Propriedade 
Se A é um conjunto com n elementos, ou seja, 
nA 
, 
então 
a. 
nA 2)( 
 
b. A possui 






k
n
 subconjuntos com k elementos. 
Obs.: 
)!(!
!
knk
n
k
n







 
 
22. Princípio da Casa dos Pombos 
Se 
1n
 objetos são distribuídos, no máximo, em n ca-
sas, então alguma casa recebe pelo menos dois objetos. 
Exercícios 
1. (UFF 2001) Os conjuntos não-vazios M, N e P estão, 
isoladamente, representados abaixo. 
M N P
 
Considere a seguinte figura que estes conjuntos formam. 
M
N
P
 
A região hachurada pode ser representada por: 
(a) 
)( PNM 
 (d) 
)( PMN 
 
(b) 
)( PNM 
 (e) 
)( MPN 
 
(c) 
)( PNM 
 
2. (UNIRIO 2000) Considerando que 
],[ baA 
 e 
[,[ dcB 
, onde 
dbca 
, assinale opção correta. 
(a) 
],] bcBA 
 (d) 
Bca
R
C[,[
 
(b) 
],[ bcAB 
R
C
 (e) 
BAb 
 
(c) 
BAc 
 
3. (UFF 2000) Com relação aos conjuntos 
}7{  xxP Z
 e 
}333,0{ 2  xxQ Z
 
afirma-se: 
I) 
PQP 
 
II) 
}0{ PQ
 
III) 
QP 
 
IV) 
QQP 
 
Somente são verdadeiras as afirmativas: 
a) I e III (d) II e IV 
b) I e IV (e) III e IV 
c) II e III 
4. (UFF 99) Dado o conjunto 
}}{,,0},0{{ P
, con-
sidere as afirmativas: 
I. 
P}0{
 
II. 
P}0{
 
III. 
P
 
Com relação a estas afirmativas conclui-se que: 
(a) Todas são verdadeiras. 
(b) Apenas a I é verdadeira. 
(c) Apenas a II é verdadeira. 
(d) Apenas a III é verdadeira. 
(e) Todas são falsas. 
5. (UNIRIO 99) Numa pesquisa para se avaliar a leitura 
de três revistas A, B e C, descobriu-se que 81 pessoas 
lêem, pelo menos, uma das revistas; 61 pessoas lêem 
somente uma delas e 17 pessoas lêem duas das três re-
vistas. Assim sendo, o número de pessoas mais bem in-
formadas dentre as 81 é: 
(a) 3 (b) 5 (c) 12 (d) 29 (e) 37 
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6. (OGlobo 99) Num conjunto de 30 pessoas, 5 são altas e 
gordas, 11 são baixas e 13 são gordas. O número de 
pessoas que são baixas e magras é: 
(a) 3 (c) 7 
(b) 5 (d) 9 
7. (UNIRIO 98) Considere os três conjuntos A, B e C, tais 
que: 
28)( An
, 
21)( Bn
, 
20)( Cn
, 
8)(  BAn
, 
9)( CBn
, 
4)( CAn
 e 
3)(  CBAn
. 
Assim sendo, o valor de 
 CBAn  )(
 é: 
(a) 3 (d) 21 
(b) 10 (e) 24 
(c) 20 
8. (UFF 98) Dados três conjuntos M, N e P não vazios tais 
que 
PNM 
, considere as afirmativas: 
I) 
NP
 
II) 
PPM 
 
III) 
MNMP  )(
 
Com relação a estas afirmativas conclui-se que: 
(a) Todas são verdadeiras. 
(b) Somente II e III são verdadeiras. 
(c) Somente I e II são verdadeiras. 
(d) Somente I e III são verdadeiras. 
(e) Nenhuma é verdadeira. 
9. (UERJ 97) Em uma pesquisa sobre infecção hospitalar 
foram examinados 200 estetoscópios de diferentes hos-
pitais. O resultado da pesquisa revelou que: 
I. todos os estetoscópios estavam contaminados; 
II. em cada um deles havia um único tipo de bactéria; 
III. ao todo foram detectados 17 tipos distintos de bacté-
rias nesses 200 estetoscópios examinados; 
IV. os estetoscópios recolhidos do primeiro hospital es-
tavam contaminados, só e exclusivamente, por 5 
dentre os 17 tipos de bactérias; 
V. depois do exame de 187 estetoscópios, verificou-se 
que todos os 17 tipos de bactérias apareceram em 
igual número de vezes; 
VI. entre os 13 estetoscópios restantes, observou-se a 
presença de 13 tipos diferentes de bactérias, dentre 
os 17 tipos encontrados na pesquisa. 
A análise dos resultados desta pesquisa permite afirmar 
que a quantidade mínima de estetoscópios contaminados 
no primeiro hospital é: 
(a) 54 (c) 56 
(b) 55 (d) 57 
10. (UFF 97) Os conjuntos S, T e P são tais que todo ele-
mento de S é elemento T ou P. O diagrama que pode 
representar esses conjuntos é: 
T
(a)
S P
(d)
T P
S
 
(b)
T
S
P
(e)
PT
S
 
(c)
PT S
 
11. (UNIRIO 97) Tendo sido feito o levantamento estatís-
tico dos resultados do CENSO POPULACIONAL 96 
em uma cidade, descobriu-se, sobre a população, que: 
I. 44% têm idade superior a 30 anos; 
II. 68% são homens; 
III. 37% são homens com mais de 30 anos; 
IV. 25% são homens solteiros; 
V. 4% são homens solteiros com mais de 30 anos; 
VI. 45% são indivíduos solteiros; 
VII.6% são indivíduos solteiros com mais de 30 anos. 
Com base nos dados acima, pode-se afirmar que a por-
centagem da população desta cidade que representa as 
mulheres casadas com idade igual ou inferior a 30 anos 
é de: 
(a) 6% (b) 7% (c) 8% (d) 9% (e) 10% 
12. (PUC 96) Considere os seguintes conjuntos: 
I = 
}ímpar é{ Z nn
 P = 
}primo é{ nn Z
 
} 3 de múltiplo é{ nn ZM 
 
Então temos: 
(a) 
IP 
; (d) 
PIPM 
; 
(b) 
PI 
; (e) 
IM
. 
(c) 
MP
; 
13. (Unificado 96) Se 
}1{  xxA R
, 
}31{  xxB R
 e 
}0{  xxC R
, então o 
conjunto que representa 
CBA  )(
 é: 
(a) 
}01{  xx R
 (d) 
}3{  xx R
 
(b) 
}01{  xx R
 (e) 
}1{  xx R
 
(c) 
}11{  xx R
 
14. (PUC 95) Qual é o número mínimo de pessoas que deve 
haver num grupo para que se possa garantir que neste 
grupo haja pelo menos 5 pessoas nascidas no mesmo 
mês? 
(a) 16 (b) 61 (c) 60 (d) 49 (e) n.r.a. 
15. (PUC 94) Se 
}23{  xxA R
 e 
}0128{ 2  xxxB R
, o conjunto 
BA
 é 
igual a: 
(a) (1, 2) (d) [1, 2] 
(b) (1, 2] (e) {2} 
(c) [1, 2) 
16. (PUC 94) Cláudio resolveu fazer uma coleção de calen-
dários. Começou guardando o calendário de 1975 e, a 
cada ano, guardava o calendário do ano. Hoje, a coleção 
de Cláudio já possui várias duplicatas (por exemplo, o 
calendário de 1986 é idêntico ao de 1975), mas ainda 
não está completa. Em que ano Cláudio completará sua 
coleção? 
(a) 1996 (b) 1997 (c) 1998 (d) 1999 (e) 2000 
 
17. (UNIRIO 94) Considerando os conjuntos A, B e C, a 
região hachurada no diagrama abaixo representa: 
A B
C
 
 
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9 
(a) 
)( BCA 
 (d) 
)( CBA 
 
(b) 
)( BCA 
 (e) 
CBA  )(
 
(c) 
)( CBA 
 
18. (UFF 94) Considere os intervalos M1, M2, N1 e N2, onde 
 21 MM
 e 
 21 NN
, e as seguintes afirma-
ções: 
1) 
)()()()( 21212211 NNMMNMNM 
 
2) 
)()()()( 22111221 NMNMNMNM 
 
3) 
)()( 2121 NNMM 
 pode ser um retângulo 
Pode-se concluir que somente as afirmações: 
(a) 1 e 2 são verdadeiras. (d) 1 e 2 são falsas. 
(b) 1 e 3 são verdadeiras.(e) 2 e 3 são falsas. 
(c) 2 e 3 são verdadeiras. 
19. (PUC 92) Os conjuntos A, B e 
BA
 possuem 5, 7 e 
11 elementos, respectivamente. O número de elementos 
do conjunto 
BA
 é: 
(a) 0 (d) 4 
(b) 1 (e) 6 
(c) 2 
20. (PUC 92) Se 
}41{  xxA R
 e 
}53{  xxB R
, o conjunto formado pelos ele-
mentos que pertencem a A mas não pertencem a B é: 
(a) 
}54{  xx R
 (d) 
}31{  xx R
 
(b) 
}54{  xx R
 (e) 
}31{  xx R
 
(c) 
}41{  xx R
 
21. (Cesgranrio 83) Seja M um conjunto de 20 elementos. 
O número de subconjuntos de M que contêm exata-
mente 18 elementos é: 
(a) 360 (d) 120 
(b) 190 (e) 18 
(c) 180 
22. (ITA 2007) Se A, B e C forem conjuntos tais que 
23)(  BAn
; 
12)(  ABn
; 
10)(  ACn
; 
6)( CBn
 e 
4)(  CBAn
, 
Então 
)(An
, 
)( CAn 
 e 
)( CBAn 
, nesta ordem, 
(a) formam uma progressão aritmética de razão 6. 
(b) formam uma progressão aritmética de razão 2. 
(c) formam uma progressão aritmética de razão 8, cujo 
primeiro termo é 11. 
(d) formam uma progressão aritmética de razão 10, 
cujo último termo é 31. 
(e) não formam um progressão aritmética. 
23. (ITA 2007) Seja A um conjunto com 14 elementos e B 
um subconjunto de A com 6 elementos. O número de 
subconjuntos de A com um número de elementos menor 
ou igual a 6 e disjuntos de B é: 
(a) 
928 
. (d) 
814 22 
. 
(b) 
128 
. (e) 
82
. 
(c) 
628 
. 
24. (ITA 2006) Seja U um conjunto não vazio com n ele-
mentos, 
1n
. Seja S um subconjunto de P(U) com a 
seguinte propriedade: 
Se 
SBA ,
, então 
BA
 ou 
AB 
. 
Então, o número máximo de elementos que S pode ter é 
(a) 
n2
 
(b) n/2 se n for par, e 
2)1( n
 se n for ímpar. 
(c) 
1n
 (d) 
12 n
 (e) 
12 1 n
 
25. (ITA 2006) Sejam A e B subconjuntos finitos de um 
mesmo conjunto X, tais que 
)\( ABn
, 
)\( BAn
 e 
)( BAn 
 formam, nesta ordem, uma progressão arit-
mética de razão 
0r
. Sabendo que 
4)\( ABn
 e 
64)(  rBAn
, então 
)\( BAn
 é igual a 
(a) 12 (b) 17 (c) 20 (d) 22 (e) 24 
26. (ITA 2005) Considere os conjuntos 
}6,4,2,0{S
, 
}5,3,1{T
 e 
}1,0{U
 e as afirmações: 
I. 
S}0{
 e 
US
. 
II. 
US \}2{ 
 e 
}1,0{UTS 
. 
III. Existe uma função 
TSf :
 injetiva. 
IV. Nenhuma função 
STg :
 é sobrejetiva. 
Então, é(são) verdadeira(s) 
(a) apenas I. (d) apenas II e III. 
(b) apenas IV. (e) apenas III e IV. 
(c) apenas I e IV. 
27. (ITA 2004) Considere as seguintes afirmações sobre o 
conjunto 
}9,8,7,6,5,4,3,2,1,0{U
: 
V. 
U
 e 
10)( Un
. 
VI. 
U
 e 
10)( Un
. 
VII. 
U5
 e 
U}5{
. 
VIII. 
5}5{}5,2,1,0{ 
. 
Pode-se dizer, então, que é (são) verdadeira(s): 
(a) apenas I e III. (d) apenas IV. 
(b) apenas II e IV. (e) todas as afirmações. 
(c) apenas II e III. 
28. (ITA 2004) Seja o conjunto 
}2e0:{ 2  rrrS Q
, 
sobre o qual são feitas as seguintes afirmações: 
I. 
S45
 e 
S57
. 
II. 
 Sxx }20:{ R
. 
III. 
S2
. 
Pode-se dizer, então, que é (são) verdadeira(s) apenas: 
(a) I e II (d) I 
(b) I e III (e) II 
(c) II e III 
29. (ITA 2002) Sejam A um conjunto com 8 elementos e B 
um conjunto tal que 
BA
 contenha 12 elementos. En-
tão, o número de elementos de 
)()\(  PABP
 é 
igual a 
(a) 8 (b) 16 (c) 20 (d) 17 (e) 9 
30. (ITA 2001) Sejam X, Y e Z subconjuntos próprios de R, 
não-vazios. Com respeito às afirmações: 
I. 
XYXXYXYX cccc  ]})([])({[
. 
II. Se 
XZ 
, então 
YXYZXYZ c  )]([)(
. 
III. Se 
ZYX c  )(
 então 
XZ c 
. 
temos que: 
(a) apenas I é verdadeira. 
(b) apenas I e II são verdadeiras. 
(c) apenas I e III são verdadeiras. 
(d) apenas II e III são verdadeiras. 
(e) todas são verdadeiras. 
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10 
31. (ITA 2000) Denotemos por n(X) o número de elemen-
tos de um conjunto finito X. Sejam A, B e C conjuntos 
tais que 
8)(  BAn
, 
9)( CAn
, 
10)( CBn
, 
11)(  CBAn
 e 
2)(  CBAn
. Então 
)()()( CnBnAn 
 é igual a 
(a) 11. (c) 15. (e) 25 
(b) 14. (d) 18. 
32. (ITA 99) Sejam E, F, G e H subconjuntos não vazios de 
R. Considere as afirmações: 
I. Se 
)()( HFGE 
, então 
FE 
 e 
HG 
. 
II. Se 
)()( HFGE 
, então 
HFHFGE  )()(
. 
III. Se 
HFHFGE  )()(
, então 
)()( HFGE 
. 
Então: 
(a) Apenas a afirmação I é verdadeira. 
(b) Apenas a afirmação II é verdadeira. 
(c) Apenas as afirmações II e III são verdadeiras. 
(d) Apenas as afirmações I e II são verdadeiras. 
(e) Todas as afirmações são verdadeiras. 
33. (ITA 96) Sejam A e B subconjuntos não vazios de R, 
e considere as seguintes afirmações: 
I. 
 CCC ABBA )()(
 
II. 
CCC ABBA  )(
 
III. 
AABBA CC  )]()[(
 
Sobre estas afirmações podemos garantir que: 
(a) apenas a afirmação I é verdadeira. 
(b) apenas a afirmação II é verdadeira. 
(c) apenas a afirmação III é verdadeira. 
(d) todas as afirmações são verdadeiras. 
(e) apenas as afirmações I e II são verdadeiras. 
34. (ITA 89) Sejam A, B e C subconjuntos de R, não vazios, 
e 
}e;{ BpAppBA  R
. Dadas as igualda-
des: 
I. 
)()()( CBCACBA 
 
II. 
)()()( CBBACBA 
 
III. 
BABABA  )()(
 
IV. 
)()()( CABACBA 
 
V. 
)()()()( BACACBBA 
 
podemos garantir que: 
(a) II e IV são verdadeiras. 
(b) I e V são verdadeiras. 
(c) III e IV são verdadeiras. 
(d) I e IV são verdadeiras. 
(e) I e III são verdadeiras. 
35. (ITA 88) Sejam A, B e C subconjuntos do conjunto dos 
números reais. Então podemos afirmar que: 
(a) 
ccc)( BABA 
 
(b) 
ccc)( BABA 
 
(c) Se 
BA
 então 
cc BA 
 
(d) 
ccccc )()()( CBCACBA 
 
(e) 
)()()( ccc CABACBA 
 
36. (ITA 87) Sejam F e G dois subconjuntos não vazios de 
R. Assinale a afirmativa correta. 
(a) Se 
GF 
 e 
FG 
, então necessariamente 
GFF 
. 
(b) Se 
GF 
 é o conjunto vazio, então necessaria-
mente 
RGF
. 
(c) Se 
GF 
 e 
FG 
, então 
GFGF 
. 
(d) Se 
FGF 
, então necessariamente 
FG 
. 
(e) Se 
GF 
 e 
RG
, então
R GGF )(
. 
37. (ITA 85) Sejam X um conjunto não vazio; A e B dois 
subconjuntos de X. Definimos 
} que tal{C AxXxA 
 e 
} que tal{ BxAxBA 
. Dadas as sentenças: 
I. 
CBABA 
, onde “” significa “equi-
valente” e  o conjunto vazio; 
II. Se 
RX
; 
}01 que tal{ 3  xxA R
; 
}01 que tal{ 2  xxB R
 e 
}01 que tal{  xxC R
, então 
BCA 
; 
III. 
AA 
 e 
)( BAABA 
; 
IV. 
CBABA 
; 
podemos afirmar que está (estão) correta(s): 
(a) as sentenças I e III. 
(b) as sentenças I, II e IV. 
(c) as sentenças III e IV. 
(d) as sentenças II, III e IV. 
(e) apenas a sentença II. 
Problemas 
38. (UFRJ 2003) Numa pesquisa, feita com todos os mora-
dores de um prédio, constatou-se que mais de 45% são 
homens e que mais de 60% pintam o cabelo. Explique 
por que se pode concluir que, nesse prédio, há homens 
que pintam o cabelo. 
39. (UFRJ 2002) Um clube oferece a seus associados aulas 
de três modalidades de esporte: natação, tênis e futebol. 
Nenhum associado pôde se inscrever simultaneamente 
em tênis efutebol, pois, por problemas administrativos, 
as aulas destes dois esportes serão dadas no mesmo ho-
rário. Encerradas as inscrições, verificou-se que: dos 85 
inscritos em natação, 50 só farão natação; o total de ins-
critos para as aulas de tênis foi de 17 e, para futebol, de 
38; o número de inscritos só para as aulas de futebol 
excede em 10 o número de inscritos só para as de tênis. 
Quantos associados se inscreveram simultaneamente 
para as aulas de futebol e natação? 
40. (UFRJ 99) Uma amostra de 100 caixas de pílulas anti-
concepcionais fabricadas pela Nascebem S.A. foi envi-
ada para a fiscalização sanitária. No teste de qualidade, 
60 foram aprovadas e 40 reprovadas, por conterem pí-
lulas de farinha. No teste de quantidade, 74 foram apro-
vadas e 26 reprovadas, por conterem um número menor 
de pílulas que o especificado. O resultado dos dois tes-
tes mostrou que 14 caixas foram reprovadas em ambos 
os testes. Quantas caixas foram aprovadas em ambos os 
testes? 
41. (UFRJ 90) Qual o número mínimo de pessoas que deve 
haver em um grupo para que possamos afirmar que nele 
há pelo menos 5 pessoas nascidas no mesmo dia da se-
mana? 
42. (ITA 2007) Seja k um número inteiro positivo e 
}1),({  kjmdcekjjAk N
. 
UERJ 2018.2 1ª LISTA DE EXERCÍCIOS DE ÁLGEBRA I – EST/CAT 
 
Prof. Ricardo Camelier 
 
 
11 
Verifique se n(A3), n(A9), n(A27) e n(A81), estão ou não, 
nesta ordem, numa progressão aritmética ou geométrica. 
Se for o caso, especifique a razão. 
43. (ITA 2006) Considere A um conjunto não vazio com 
um número finito de elementos. Dizemos que 
)(},,,{ 21 APAAAF m  
 
é uma partição de A se as seguintes condições são satis-
feitas: 
I. 
miAi ,,2,1, 
 
II. 
 ji AA
, se 
ji 
, para 
mji ,,2,1, 
 
III. 
mAAAA  21
 
Dizemos ainda que F é uma partição de ordem k se 
kAn i )(
, 
mi ,,2,1 
. 
Supondo que 
8)( An
, determine: 
a) As ordens possíveis para uma partição de A. 
b) O número de partições de A que têm ordem 2. 
44. (ITA 2004) Seja A um conjunto não vazio. 
a) Se 
mAn )(
, calcule 
))(( APn
 em termos de m. 
b) Denotando 
)()(1 APAP 
 e 
))(()(1 APPAP kk 
, para todo número natural 
1k
, determine o me-
nor k, tal que 
65000))(( APn k
, sabendo que 
2)( An
. 
45. (ITA 2003) Sejam U um conjunto não-vazio e 
UA
, 
UB
. Usando apenas as definições de igualdade, reu-
nião, interseção e complementar, prove que: 
a) Se 
 BA
, então 
CAB
. 
b) 
ABAB C \
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Respostas de Teoria dos Conjuntos: 
1. b 2. b 3. b 4. a 5. a 6. a 7. b 
8. a 9. c 10. d 11. b 12. d 13. a 14. d 
15. b 16. e 17. d 18. b 19. b 20. e 21. b 
22. d 23. a 24. c 25. b 26. b 27. c 28. d 
29. b 30. b 31. d 32. e 33. a 34. d 35. e 
36. c 37. a 
38. Se não houvessem homens que pintassem o cabelo, ha-
veriam pelo menos 60% de mulheres que somados aos 
45% de homens ultrapassariam os 100% de moradores, 
o que é uma contradição. 
39. 23 40. 48 41. 29 42. PG de razão 3. 
43. a) 1, 2, 4 e 8 b) 105 44. a) 
mAPn 2))(( 
 b) 
3k