AP2 GAI 2017.1

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Gabarito da AP2 – Geometria Anal´ıtica I – 03/06/2017
Considere o ponto P =
(
5, pi2
)
dado em coordenadas polares para responder a`s questo˜es 1 e 2.
Questa˜o 1 (1,0 pontos): Encontre as coordenadas cartesianas do ponto P .
Questa˜o 2 (1,0 pontos): Sem utilizar nenhuma fo´rmula, determine a equac¸a˜o polar do c´ırculo C
centrado no ponto P e raio 6.
Soluc¸a˜o:
(1) Como ρ = 5 e θ = pi2 , temos que
x = ρ cos θ = 5 cos pi2 = 0;
y = ρ sen θ = 5 sen pi2 = 5.
Logo, (0, 5) sa˜o as coordenadas cartesianas do ponto P .
(2) Seja Q = (ρ cos θ, ρ sen θ) um ponto qualquer do plano. Se Q ∈ C, enta˜o
d(P,Q) = 6 ⇐⇒
√
(ρ cos θ)2 + (ρ sen θ − 5)2 = 6
⇐⇒ ρ2 cos2 θ + ρ2 sen2 θ − 10ρ sen θ + 25 = 36
⇐⇒ ρ2 − 10ρ sen θ − 11 = 0.
Portanto, a equac¸a˜o polar do c´ırculo C e´ ρ2 − 10ρ sen θ − 11 = 0.
Considere a coˆnica C : x2 − 4y2 − 2x− 16y + 1 = 0 para responder a`s questo˜es 3, 4 e 5.
Questa˜o 3 (1,0 ponto): Classifique a coˆnica C. E, encontre o centro, os ve´rtices, os focos, a reta
focal, a reta na˜o focal, as ass´ıntotas e diretriz, se for o caso, de C.
Questa˜o 4 (1,0 ponto): Fac¸a um esboc¸o de C que contenha todos os elementos encontrados na
questa˜o anterior.
Questa˜o 5 (1,0 ponto): Parametrize C.
Soluc¸a˜o:
(3) Completando os quadrados:
x2 − 4y2 − 2x− 16y + 1 = 0 ⇐⇒ (x2 − 2x+ 1)− 4(y2 + 4y + 4) = −1 + 1− 16
⇐⇒ (x− 1)2 − 4(y + 2)2 = −16
⇐⇒ (y + 2)
2
4 −
(x− 1)2
16 = 1,
obtemos que a coˆnica C e´ uma hipe´rbole centrada no ponto (1,−2), a = 2 e b = 4. Da´ı, como
c2 = a2 + b2 temos que c2 = 4 + 16⇐⇒ c = √20.
Assim, temos
Geometria Anal´ıtica I AP2 2
• reta focal: x = 1;
• reta na˜o focal: y = −2;
• ve´rtices focais: (1,−2± 2)⇒ A1 = (1,−4) e A2 = (1, 0);
• focos: (1,−2±√20)⇒ F1 = (1,−2−
√
20) e F2 = (1,−2 +
√
20);
• ve´rtices na˜o focais: (1± 4,−2)⇒ B1 = (−3,−2) e A2 = (5,−2);
• ass´ıntotas: 2y + x = −3 e −x+ 2y = −5.
(4) O esboc¸o da hipe´rbole C pode ser visto na figura abaixo.
Figura 1: Hipe´rbole C.
(5) Pelos dados obtidos na questa˜o 3, podemos parametrizar a hipe´rbole C de maneira direta:
C :
{
x = 1 + 4 sinh t
y = −2± 2 cosh t ; t ∈ R.
Questa˜o 6 (2,0 pontos): Determine o sime´trico da reta r : x− 2y + 4 = 0 em relac¸a˜o ao ponto
de intersec¸a˜o das retas s : x− y = 0 e t : 2x− y = 3 . Fac¸a um esboc¸o que contenha r, s e t, ale´m
do sime´trico de r.
Soluc¸a˜o:
E´ fa´cil ver que a intersec¸a˜o das retas s e t e´ o ponto A = (3, 3). Para isso, basta resolver o sistema{
x = y
2x− y = 3 . Portanto, queremos encontrar a reta r
′ sime´trica de r em relac¸a˜o a A.
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Geometria Anal´ıtica I AP2 3
Tomando os pontos P1 = (−4, 0) e P2 = (0, 2) pertencentes a` reta r, temos que P ′1 = 2A− P1 =
(10, 6) e P ′2 = 2A− P2 = (6, 4) sa˜o os sime´tricos de P1 e P2 em relac¸a˜o ao ponto A. Agora, basta
encontrar a reta que passa pelos pontos P ′1 e P
′
2, que esta reta e´ r
′.
O vetor
−−→
P ′1P
′
2 = (−4,−2) ‖ (2, 1) ‖ r′, enta˜o (1,−2) ⊥ r′ e r′ tem a seguinte forma
x− 2y = d,
para algum d, que descobriremos usando o ponto P ′1 ∈ r′:
10− 2 · 6 = d⇐⇒ d = −2.
Assim, r′ : x− 2y = −2 .
Figura 2: Retas r e r′ sime´tricas em relac¸a˜o ao ponto A.
Questa˜o 7 (3,0 pontos): Fac¸a um esboc¸o detalhado da regia˜o do plano dada pelo sistema de
inequac¸o˜es:
R :
{
y ≤ 2− (x+ 3)2
−x+ y < 5.
OBS.: Na˜o esquec¸a de encontrar as curvas que delimitam a regia˜o R, assim como suas intersec¸o˜es e de marcar no
esboc¸o tais intersec¸o˜es.
Soluc¸a˜o:
Queremos encontrar a regia˜o R dada pela intersec¸a˜o das regio˜es R1 e R2, onde
R1 : y ≤ 2− (x+ 3)2
R2 : −x+ y < 5.
A regia˜o R1 e´ limitada pela curva C1 : y − 2 = −(x+ 3)2, que e´ uma para´bola com ve´rtice (−3, 2).
C1 divide o plano em duas regio˜es, sendo uma contendo o ponto (-3,0) e a outra contendo o ponto
(0, 2). Vejamos enta˜o se a regia˜o R1 conte´m (−3, 0). Substituindo as coordenadas (−3, 0) na
inequac¸a˜o y ≤ 2− (x+ 3)2 obtemos:
0 ≤ 2− (−3 + 3)2 ⇐⇒ 0 ≤ 2.
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Geometria Anal´ıtica I AP2 4
Como 0 ≤ 2, conclu´ımos que o ponto (−3, 0) pertence a regia˜o procurada. Na figura abaixo,
destacamos em azul claro a regia˜o R1.
A regia˜o R2 e´ limitada pela curva C2 : −x+y = 5, que e´ uma reta crescente que corta o eixo OY no
ponto (0, 5). Esta reta divide o plano em duas partes, sendo uma delas a regia˜o R2. Para descobrir
qual regia˜o e´ a procurada, de maneira ana´loga ao que foi feito anteriormente, vamos substituir as
coordenadas de um ponto pertencente a umas das regio˜es para verificar se ele pertence a regia˜o.
Vejamos se o ponto (0,0) pertence a regia˜o R2:
−0 + 0 < 5⇐⇒ 0 < 5.
Como 0 < 5, a regia˜o que procuramos e´ a que conte´m a origem. Na figura abaixo, destacamos de
azul claro a regia˜o R2, que fica acima da reta C2.
Na figura abaixo, destacamos em azul mais escuro a regia˜o R dada pela intersec¸a˜o das regio˜es R1
e R2.
Figura 3: Regia˜o R.
Para finalizar, precisamos encontrar o ponto de intersec¸a˜o P entre as curvas C1 e C2. Para isso e´
necessa´rio resolver o seguinte sistema:{
y − 2 = −(x+ 3)2
−x+ y = 5.
Resolvendo o sistema encontramos P1 = (−4, 1) e P2 = (−3, 2), que esta˜o marcados na figura
acima.
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