Aula Forma canônica de Jordan

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Notas de Aula – Forma Canoˆnica de Jordan – Outubro de
2009
Paulo Goldfeld
Definic¸a˜o 1 Diz-se que uma transformac¸a˜o linear L 6= 0 e´ nilpotente de grau q se
existe q ∈ N tal que Lq−1 6= 0 = Lq. Se L = 0, diz-se que L e´ nilpotente de grau 1.
Lema 2 Seja V espac¸o vetorial e seja L : V → V nilpotente de grau q > 1. Enta˜o
existe x 6= 0 tal que o conjunto {x, Lx, L2x, . . . , Lq−1x} e´ linearmente independente.
Demonstrac¸a˜o Seja x ∈ V tal que Lq−1x 6= 0 e αi’s escalares tais que
∑q−1
i=0 αiL
ix = 0.
Multiplicando por Lq−1 e usando que Lq = 0, temos
∑q−1
i=0 αiL
q+i−1x = α0Lq−1x = 0
e portanto, como Lq−1x 6= 0, concluimos que α0 = 0 e
∑q−1
i=1 αiL
ix = 0. Multipli-
cando agora por Lq−2, temos
∑q−1
i=1 αiL
q+i−2x = α1Lq−1x = 0 e portanto α1 = 0 e∑q−1
i=2 αiL
ix = 0. Repetindo-se o argumento, conclui-se que todos os αi’s sa˜o zero. �
Corola´rio 3 Seja V espac¸o vetorial de dimensa˜o finita e L : V → V transformac¸a˜o
linear. Se L e´ nilpotente, o grau de nilpoteˆncia q e´ menor ou igual a dim(V ).
Lema 4 Seja V espac¸o vetorial de dimensa˜o finita e A : V → V transformac¸a˜o linear.
Existem u´nicos N (A) e R(A) subespac¸os de V tais que A = A|N (A) ⊕ A|R(A) , sendo
A|N (A) nilpotente e A|R(A) invert´ıvel.
De fato, N (A) e´ o maior subespac¸o invariante tal que A|N (A) e´ nilpotente, no
sentido de que, se M e´ invariante por A e A|M e´ nilpotente, enta˜o M ⊂ N (A). De
forma ana´loga, R(A) e´ o maior subespac¸o invariante tal que A|R(A) e´ invert´ıvel.
Demonstrac¸a˜o Note que ∀k ≥ 1, Akx = 0 ⇒ Ak+1x = A(Akx) = A0 = 0 , de
forma que
{0} = N(I) ⊂ N(A1) ⊂ N(A2) ⊂ . . . .
Como 0 = dim(N(A0)) ≤ dim(N(A1)) ≤ dim(N(A2)) ≤ . . . ≤ dim(V ), existe
necessariamente p tal que dim(N(Ap+1)) = dim(N(Ap)). Seja q ≥ 1 mı´nimo tal
que dim(N(Aq+1)) = dim(N(Aq)) e defina N (A) = N(Aq). E´ fa´cil verificar que
N(Aq+k) = N (A) ∀k ∈ N. A inclusa˜o N(Aq+k) ⊃ N(Aq) = N (A) e´ imediata. A
inclusa˜o inversa segue por induc¸a˜o: evidentemente N(Aq+k) = N(Aq) para k = 0.
Suponha N(Aq+k) ⊂ N (A) para algum k ∈ N e seja x ∈ N(Aq+k+1). Enta˜o
0 = Aq+k+1x = Aq+1(Akx) ⇒
⇒ (Akx) ∈ N(Aq+1) = N(Aq) ⇒
⇒ Aq(Akx) = Aq+kx = 0 ⇒
⇒ x ∈ N(Aq+k) ⊂ N (A),
de forma que N(Aq+k+1) ⊂ N (A). Isto encerra a induc¸a˜o.
1
Temos, portanto,
{0} = N(A0) ( N(A1) ( N(A2) ( . . . ( N(Aq) = N (A) = N(Aq+1) = N(Aq+2) = · · ·
e vale ainda notar que
N(Ak) ⊂ N (A) ∀ k ∈ N.
Se x ∈ N (A) = N(Aq), enta˜o Ax ∈ N(Aq−1) ⊂ N (A) e portanto N (A) e´ invariante
por A. E´ evidente que A|N (A) e´ nilpotente de grau q. Ademais, se M e´ invariante por
A e A|M e´ nilpotente de grau r, enta˜o M⊂ N(Ar) ⊂ N (A).
De forma ana´loga, como Ak+1x = Ak(Ax) ∀k ∈ N, temos
V = R(A0) ⊃ R(A1) ⊃ R(A2) ⊃ . . . .
Como dim(R(Ak)) = dim(V )− dim(N(Ak)), temos que
V = R(A0) ) R(A1) ) R(A2) ) . . . ) R(Aq) = R(A) = R(Aq+1) = R(Aq+2) = · · · ,
de forma que
R(A) ⊂ R(Ak) ∀ k ∈ N.
Se x ∈ R(A) = R(Aq), enta˜o Ax ∈ R(Aq+1) = R(A) e portanto R(A) e´ invariante
por A. Como R
(
A|R(A)
)
= AR(A) = AR(Aq) = R(Aq+1) = R(A), concluimos que
A|R(A) e´ invert´ıvel. Ademais, se S e´ invariante por A e A|S e´ invert´ıvel, enta˜o S =
(A|S)q (A|S)−q S = Aq
(
(A|S)−q S
) ⊂ R(Aq) = R(A).
N (A) eR(A) sa˜o subespac¸os disjuntos. De fato, se x ∈ N (A)∩R(A), em particular
x ∈ N (A) e portanto Aqx = 0. Mas x ∈ R(A) implica x = Aqy e portanto Aqx =
A2qy = 0. Lembrando que N(A2q) = N(Aq), temos Aqy = 0 e conclui-se que x =
Aqy = 0. Pelo teorema do Nu´cleo e Imagem, dim(N (A))+dim(R(A)) = dim(N(Aq))+
dim(R(Aq)) = dim(V ), de forma que N (A) ∩R(A) = 0 implica V = N (A)⊕R(A).
Como ja´ foi observado, seM e S sa˜o subespac¸os invariantes por A restritos aos quais
A e´, respectivamente, nilpotente e invert´ıvel enta˜oM⊂ N (A) e S ⊂ R(A) e portanto
dim(M) ≤ dim(N (A)) e dim(S) ≤ dim(R(A)). Como dim(N (A)) + dim(R(A)) =
dim(V ), so´ e´ poss´ıvel que M e S reduzam A se dim(M) = dim(N (A)) e dim(S) =
dim(R(A)), o que implica M = N (A) e S = R(A). �
Definic¸a˜o 5 Se λ e´ autovalor de A, define-se o autoespac¸o generalizado associado
a λ como N (A− λI).
Observac¸a˜o 6 Note que um subespac¸o e´ invariante por A se e somente se o e´ por
A− λI para todo (ou algum) λ.
Lema 7 Seja V espac¸o vetorial de dimensa˜o finita e A : V → V transformac¸a˜o linear.
Se λi e´ autovalor de A com multiplicidade alge´brica mi, defina Ni = N (A − λiI), o
autoespac¸o generalizado associado a λi, e Ri = R(A−λiI). Note que A = A|Ni⊕A|Ri
e que portanto pAc = p
A|Ni
c p
A|Ri
c . Enta˜o p
A|Ni
c (λ) = (λi−λ)mi (e portanto dim(Ni) = mi)
e p
A|Ri
c (λi) 6= 0.
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Demonstrac¸a˜o Sabemos, pelo Lema 4, que V = Ni⊕Ri, com (A− λiI)|Ni nilpotente
e (A− λiI)|Ri invert´ıvel. E´ claro, ainda, que, se Ni e Ri sa˜o invariantes por A− λiI,
enta˜o tambe´m o sa˜o por A e portanto A = A|Ni ⊕ A|Ri . Assim,
pAc (λ) = p
A|Ni
c (λ) · pA|Ric (λ) .
Sabemos que o fator (λ− λi) aparece em pAc (λ) exatamente mi vezes. Mas (λ− λi)
na˜o e´ fator de p
A|Ri
c (λ) uma vez que (A− λiI)|Ri e´ invert´ıvel. Igualmente, (λ− λ˜) com
λ˜ 6= λi na˜o e´ fator de pA|Nic (λ). De fato, se λ˜ fosse autovalor de A|Ni , com 0 6= x ∈ Ni
e Ax = λ˜x, ter´ıamos (A− λiI)k x = (λ˜ − λi)kx 6= 0 ∀k ∈ N, o que e´ absurdo pois
(A− λiI)|Ni e´ nilpotente. Assim, p
A|Ni
c (λ) = (λ− λi)mi . �
Lema 8 Nj ⊂ Ri ∀i 6= j.
Demonstrac¸a˜o Sabemos que Nj e´ invariante por A− λjI e portanto tambe´m invari-
ante por A− λiI, isto e´, (A− λiI)Nj ⊂ Nj.
Mas N((A− λiI)|Nj) e´ trivial. De fato, se x 6= 0 e (A− λiI)x = 0, enta˜o Ax = λix
e (A− λjI)kx = (λi − λj)kx 6= 0 ∀k ≥ 0, de forma que x /∈ Nj. Portanto (A− λiI)|Nj
e´ invert´ıvel e, pelo Lema 4, Nj ⊂ Ri. �
Teorema 9 (da Decomposic¸a˜o Prima´ria) Seja V espac¸o vetorial de dimensa˜o finita
sobre um corpo algebricamente fechado e A : V → V transformac¸a˜o linear. Sejam
λ1, λ2, . . . , λp seus distintos auto-valores com multiplicidades alge´bricas m1,m2, . . . ,mp,
respectivamente.
Enta˜o existem u´nicos N1,N2, . . . ,Np tais que A = A|N1 ⊕ A|N2 ⊕ · · · ⊕ A|Np, onde
(A− λjI)|Nj e´ nilpotente. Nj = N (A − λjI) e´ o autoespac¸o generalizado associado a
λj.
Demonstrac¸a˜o
Ja´ sabemos que os Nj’s sa˜o invariantes por A e que
∑p
j=1 dim(Nj) = dim(V ).
Assim, basta mostrar que
p∑
j=1
vj = 0 com vj ∈ Nj, j = 1, 2, . . . , p ⇒ vj = 0, j = 1, 2, . . . , p.
Para mostrar que vp e´ zero, multiplicamos a` esquerda por (A−λ1I)q1 · · · (A−λp−1I)qp−1 ,
onde os qi’s sa˜o os graus de nilpoteˆncia dos A|Ni ’s:
p∑
j=1
(A− λ1I)q1 · · · (A− λp−1I)qp−1vj = 0.
Para j = 1, . . . , p− 1, a parcela vale zero. Para ver isto, note que os fatores comutam
e portanto podemos comec¸ar efetuando (A− λjI)qjvj que e´ zero pois vj ∈ Nj. Assim,
conclu´ımos que (A − λ1I)q1 · · · (A − λp−1I)qp−1vp = 0. Mas vp ∈ Np e Np e´ invariante
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por A−λjI. Ademais, Np ⊂ Rj para j = 1, . . . , p e (A−λjI)|Rj e´ invert´ıvel, de forma
que vp = 0⇔ (A− λp−1I)qp−1vp = 0⇔ · · · ⇔ (A− λ1I)q1 · · · (A− λp−1I)qp−1vp = 0.
Conclu´ımos assim que vp = 0. Argumento ana´logo vale para v1, . . . , vp−1.
Se Mi e´ invariante por A e A|Mi e´ nilpotente, enta˜o Mi ⊂ Ni. A unicidade segue
por um argumento de dimensa˜o. �
Teorema 10 (de Cayley Hamilton) Seja A transformac¸a˜o linear em um espac¸o ve-
torial V de dimensa˜o finita sobre um corpo algebricamente fechado. Enta˜o pAc (A) = 0.
O mesmo resultado vale para espac¸os vetoriais sobre os reais.
Demonstrac¸a˜o Nj tem dimensa˜o mj e (A|Nj − λjI) e´ nilpotente (de forma que, pelo
Corola´rio 3, o ı´ndice de nilpoteˆncia qj e´ menor ou igual amj). Assim (A|Nj−λjI)mj = 0,
o que implica pAc (A|Nj) =
∏p
i=1(A|Nj −λiI)mi = 0. Mas A = A|N1 ⊕ A|N2 ⊕ · · · ⊕ A|Np
e portanto
pAc (A) = p
A
c
(
A|N1
)⊕ pAc (A|N2)⊕ · · · ⊕ pAc (A|Np) = 0.
Observe que utilizou-se o Teorema da Decomposic¸a˜o Prima´ria, que supunha V
definido sobre um corpo algebricamente fechado. Se V e´ definido sobre os reais, aplica-se o teorema em A+ definida em V + e tem-se pA
+
c (A
+) = pAc (A) = 0. �
Definic¸a˜o 11 Define-se polinoˆmio mı´nimo de A
pAm(λ) =
p∏
i=1
(λ− λi)qi .
Lema 12 O polinoˆmio mı´nimo de A anula A e todo polinoˆmio que anula A e´ mu´ltiplo
de pAm.
Demonstrac¸a˜o Que o polinoˆmio mı´nimo anula A segue da demonstrac¸a˜o do Teo-
rema 10. Se p anula A, onde p(λ) =
∏r
i=1(λ − µi)ni , enta˜o, para j = 1, . . . , p, temos∏r
i=1(A|Nj − µi)ni = 0. Mas ja´ vimos que para µi 6= λj, A|Nj − µi e´ invert´ıvel e que
(A|Nj − λj)ni = 0 se e somente se ni ≥ mj. Aqui, de novo, utilizou-se o fato de que o
corpo de escalares e´ algebricamente fechado. Mas, como no teorema anterior, pode-se
complexificar o caso real e concluir que o resultado vale tambe´m nste caso. �
Ja´ sabemos que a matriz de uma transformac¸a˜o linear na base formada pela unia˜o
das bases de seus autoespac¸os generalizados e´ da forma
λ1Im1 0 · · · 0
0 λ2Im2 · · · 0
...
...
. . .
...
0 0 · · · λpImp
+

M1 0 · · · 0
0 M2 · · · 0
...
...
. . .
...
0 0 · · · Mp

onde Mj e´ a matriz da transformac¸a˜o nilpotente A1|N1 . E´ evidente que estas duas
matrizes comutam. Observe que isto ja´ e´ suficiente, por exemplo, para o ca´lculo de eA.
E´ evidente que a matriz de uma transformac¸a˜o nilpotente na˜o-nula na˜o e´ diag-
onaliza´vel. Gostar´ıamos, no entanto, de definir uma base canoˆnica para esta trans-
formac¸a˜o, na qual a matriz da transformac¸a˜o tivesse uma forma “simples” e significa-
tiva. E´ disto que trataremos agora, da forma canoˆnica de Jordan.
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