Integral Tripla

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Universidade Salvador – UNIFACS 
Cursos de Engenharia – Cálculo IV 
Profa: Ilka Rebouças Freire 
 
Integrais Múltiplas 
 
Texto 04 : A Integral Tripla 
 
A integral simples de uma função f(x) foi definida numa região fechada do eixo OX, um 
intervalo [a,b]. A integral dupla de uma função f(x,y) foi definida numa região fechada R do 
plano xy. Nosso objetivo agora é definir o significado da integral tripla da função f(x,y,z) 
numa região sólida fechada Q do sistema de coordenadas XYZ. 
Dada uma função de três variáveis f(x,y,z) podemos definir a integral tripla para essa 
função com um processo análogo ao que foi feito para integral dupla. A integral tripla 
aparece em muitas aplicações da engenharia. Por exemplo, a massa de um sólido Q 
pode ser calculada através da integral 
 
Q
dV)z,y,x(m
 onde (x,y,z) é a densidade em 
um ponto (x,y,z). 
 
Suponhamos que f(x,y,z) é uma função contínua em uma região Q em forma de um 
paralelepípedo Q = { (x,y,z)  R3; a  x  b; c  y  d; e  z  f }. Dividindo-se Q em sub-
regiões Q1, Q2,...Qn, através de planos paralelos aos planos coordenados, obtemos uma 
partição de Q. Se xi, yi e zi são as dimensões de Qi, então Vi é o seu volume. 
Considerando a soma 
 
i
iiii V)z,y,x(f
, onde (xi, yi, zi ) é um ponto arbitrário de Qi, 
definimos a integral tripla de f sobre Q como o limite da soma, se existir, ou seja, 



n
0i
iiii
nQ
V)z,y,x(fdV)z,y,x(f lim
 
Pode-se mostrar que a integral acima pode ser obtida através de três integrações simples 
   
b
a
d
c
f
eQ
dzdydx)z,y,x(fdV)z,y,x(f
 
 
 2 
Observações: 
 
1. Assim como na integral dupla, a ordem de integração pode ser trocada e a integral 
iterada acima pode ser obtida por qualquer uma das outras cinco integrais iteradas 
resultantes da alteração da ordem de integração. O número de possíveis ordens 
de integração corresponde a 3! = 6 
2. Valem as mesmas propriedades da integral dupla 
 
 
 
Exemplo: Calcule

Q
xyzdxdydz
, sendo Q = {(x,y,z)R3; 0  x  1; 0  y  2; 1  z  0}. 
Solução: 

Q
xyzdxdydz
= 
2
1
]
2
z
[zdzdz]
4
zy
[dydz
2
yz
dydz]
2
yzx
[xyzdxdydz 01
20
1
0
1
2
0
20
1
2
0
1
0
0
1
2
0
20
1
2
0
1
0
     

 
 
 
 
Se Q é uma região mais geral (não muito “complicada”) que um paralelepípedo, onde 
f(x,y,z) é contínua, o processo é análogo ao que foi feito para integral dupla. 
Consideramos a região Q envolvida por um paralelepípedo. 
 
 Vamos analisar as três primeiras integrações: 
 
1) Integrando 1o em relação a z: 
 
Suponhamos, por exemplo, que Q = {(x,y,z)R3; (x,y)  R ; z1(x,y)  z  z2(x,y)}. onde R 
é uma região do tipo das analisadas na integral dupla, isto é, R é do tipo Rx ( tipo I ) ou 
Ry ( tipo II ) e corresponde à projeção do sólido Q sobre o plano XY 
 
 
 
 
 3 
Neste caso, 
  
R
)y,x(2z
)y,x(1zQ
dA ] dz)z,y,x(f[ dV)z,y,x(f
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observações: No caso da integral acima, primeiro integra-se em relação a z e depois na 
região R , que pode ser primeiro em x e depois em y ou vice-versa. 
 
A depender da situação, pode ser mais conveniente integrar primeiro em relação a y e 
depois numa região R no plano xz. ou integrar primeiro em relação a x e depois numa 
região R no plano yz. 
 
 
2) Integrando 1o em relação a y: 
 
Neste caso temos que Q = {(x,y,z)R3; (x,z)  R ; y1(x,z)  y  y2(x,z)}. onde R é a 
projeção da superfície Q sobre o plano xz 
 
R 
Q 
x 
y 
z 
z2(x,y) 
z1(x,y) 
 4 
 
R
)z,x(2y
)z,x(1yQ
dA ] dy)z,y,x(f[ dV)z,y,x(f
 e R é uma região dos tipos I ou II no plano xz 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) Integrando 1o em relação a x: 
 
Neste caso temos que Q = {(x,y,z)R3; (y,z)  R ; x1(y,z)  x  x2(y,z)}. onde R é a 
projeção da superfície Q sobre o plano yz 
 
 
R
)z,y(2x
)z,y(1xQ
dA ] dx)z,y,x(f[ dV)z,y,x(f
 e R é uma região dos tipos I ou II no plano yz 
 
 
 
 
 
 
 
 
Q 
x 
y 
z 
y2(x,z) 
R 
y1(x,z) 
 5 
Exemplos: 
 
1) Expresse 

Q
dV)z,y,x(f
como uma integral iterada sendo Q a região do espaço no 
1o octante limitada pelo plano x + 4y + 2z – 4 = 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Assim, 

Q
dV)z,y,x(f
 = 
 

R
4/)z2x4(
0
dydA)z,y,x(f
. A região R pode ser interpretada de duas 
maneiras. Podemos em R integrar primeiro em relação a x e depois em relação a z: 
 
   
  2
0
z24
0
4/)z2x44(
0R
4/)z2x4(
0
dydxdz)z,y,x(f dydA)z,y,x(f
 
 
Ou podemos em R integrar primeiro em relação a z e depois em relação a x: 
   
  4
0
2/)x4(
0
4/)z2x44(
0R
4/)z2x4(
0
dydzdx)z,y,x(f dydA)z,y,x(f
 
 
 
 
 
 
 
Solução: Neste caso o grau de dificuldade é 
equivalente integrando-se primeiro em 
relação a qualquer uma das variáveis. 
Vamos escolher integrar primeiro em relação 
a y. Assim, projetando o sólido no plano XZ, 
obtemos que R é a região no plano XZ 
limitada pelos eixos OX e OZ e a reta 
z = (4 – x)/2. Explicitando y na equação do 
plano temos que y = (4 – x –2z)/4 
 
1 
2 
4 
x 
y 
z 
R 
 6 
 
 
2) Expresse 

Q
dV)z,y,x(f
como uma integral iterada 
sendo Q a região do espaço no 1º octante, 
limitado pela superfície cilíndrica z = 1  y2; 
pelos planos coordenados e pelo plano x = 2. 
A) 1ª integração em relação a z 
B) 1ª integração em relação a y 
C) 1ª integração em relação a x 
 
Solução: 
 
A) Integrando primeiro em relação a z , a variação de z será 
2y1z0 
. A projeção 
de Q no plano xy corresponde ao retângulo 
 1y0 e 2x0 ;R)y,x(R 2 
. O 
valor y = 1 é obtido com a interseção da parábola z = 1  y2 no eixo OY. 
 
A integral fica portanto 
dxdydz)z,y,x(f dydxdz)z,y,x(f dV)z,y,x(f
1
0
2
0
2y1
0
2
0
1
0
2y1
0Q
    
 
 
B) Integrando primeiro em relação a y, a variação de y será do plano XZ ( y = 0) até a 
superfície cilíndrica 
2y1z 
. Escrevendo y em função de z obtemos 
z1y 
 . Logo, 
z1y0 
. A projeção de Q no plano xz corresponde ao retângulo 
 1z0 e 2x0 ;R)y,x(R 2 
. O valor z = 1 é obtido com a interseção da 
parábola z = 1  y2 no eixo OZ. 
 
A integral fica portanto 
dxdzdy)z,y,x(f dzdxdy)z,y,x(f dV)z,y,x(f
1
0
2
0
z11
0
2
0
1
0
z11
0Q
    

 
 
C) Integrando primeiro em relação a x , a variação de x será do plano YZ ( x = 0) até o 
plano x = 2, logo, 
2x0 
. A projeção de Q no plano YZ corresponde à região limitada 
pela parábola z = 1  y2 para 
0z 0y 
, ou seja, 
 1y0 e y1z0 ;R)z,y(R 22 
 
 
 
A integral fica 
dzdxdy)z,y,x(f dydxdz)z,y,x(f dA ]dx)z,y,x(f[dV)z,y,x(f
1
0
z1
0
2
0
1
0
2y1
0
2
0R
2
0Q
     
 
 
 
y 
x 
z 
 
 7 
Podemos calcular o volume de um sólido expressando o volume como uma integral tripla. 
 
Se f(x,y,z) =1 em toda região Q, então integral 

Q
dV
 representa o volume do sólidoQ 
 
Exemplo: Use integral tripla para encontrar o volume da região limitada pelos gráficos 
das 
equações 











0z
0y
4zy
4xz 2
 
 
 
 
O volume é dado pela expressão 

Q
dV
 
Neste caso é mais conveniente integrar primeiro em relação a x ou em relação a y. 
Integrar primeiro em relação a z seria mais trabalhoso pois teríamos que dividir o sólido 
em mais de uma região 
 
i) Integrando 1º em relação a x 
 
Projetando o sólido no plano YZ temos a região R que é limitada pelos eixos OZ e OY e 
pela reta y + z = 4 Podemos também, usando a simetria, variar x do plano YZ (x = 0 ) até 
a superfície z + x2 = 4 ( 
z4x 
) e multiplicar por 2. 
Logo, V = 
      


 
dy])z4(
3
2
[2dzdyz4 2dzdy]x[ 2dxdzdy 2
y4
0
4
0
4
0
2/3
y4
0
4
0
y4
0
z4
0
4
0
y4
0
z4
0
 
 
=
5
128
]y
3
16
y
15
4
[2dy)
3
16
y
3
2
(2 40
2/5
4
0
2/3  
 
 
Observação: Em R poderíamos integrar 1º em y depois em z. 
 
 
 
 8 
ii) Integrando 1º em relação a y 
 
Projetando o sólido no plano XZ temos que R corresponde à região limitada pela 
parábola z = 4  x2 e o eixo OX 
 
V = 
dx)
2
)x4(
)x4(4(2dx)]
2
z
z4[(2dzdx)z4( 2dzdx]y[ dydA 
2
0
22
2
2x4
0
2
0
2
0
22x4
0
2
2
2x4
0
z4
0
R
z-4
0


     





= 
5
128
10
x
x82dx)
2
x
8(2
2
0
52
0
4









 
 
 
Observação: Em R poderíamos integrar 1º em x depois em y. 
 
 
Integral Tripla em Coordenadas Cilíndricas 
 
As coordenadas cilíndricas de um ponto P no espaço, em coordenadas cartesianas 
(x,y,z) são determinadas pelas relações 








zz
rseny
cosrx
 ( I ) 
Os valores r e  correspondem às coordenadas polares da projeção de P sobre o plano 
XY. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: Use coordenadas cilíndricas para calcular a integral 
 
Q
22 dV)yx(
, sendo Q a 
região delimitada pelo parabolóide z = x2 + y2, pelo cilindro x2 + y2 = 1 e pelo plano XY. 
P 
y 
x 
z 
r 
 
 9 
 
Solução: a região Q é limitada inferiormente pelo círculo x2 + y2 = 1 e superiormente pelo 
parabolóide z = x2 + y2 . Projetando Q sobre o plano XY obtemos que R é a região 
limitada pelo círculo x2 + y2 = 1. Integrando primeiro em relação a z temos que z varia de 
z = 0 a z = x2 + y2 . 
z = x2 + y2 em coordenadas cilíndricas tem equação z = r2. 
A integral fica 
 
´R
2r
0
2dzr
, onde R´= 





20
1r0
. Logo, 
 
´R
2r
0
2dzr
=
    

rdrd]zr[rdrd dzr
2r
0
2
0
1
0
2
2
0
1
0
2r
0
2
 = 
3
]
6
[
6
d
d]
6
r
[drdr 20
2
0
2
0
1
0
62
0
1
0
5 



  


 
 
 
Observação: A depender da 1ª integração escolhida para a integral tripla podemos ter 
também 
1ª integração em x: 








rsenz
cosry
xx
 
1ª Integração em y: 








rsenz
yy
cosrx
 
 
 
 
Referências Bibliográficas: 
1. Cálculo um Novo Horizonte – Howard Anton vol 2 
2. Cálculo com Geometria Analítica – Swokowski vol 2 
3. Cálculo B – Diva Fleming 
4. Cálculo – James Stewart vol 2