P3 Alg Lin 2016 1 gabarito

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO 
CCEN - DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA - ÁREA II 
PRIMEIRO SEMESTRE DE 2016 
3ª Prova de Álgebra Linear – 01/07/2016 
 
Nome:____________________________________________________ 
 
ATENÇÃO: 
 Leia cada enunciado com atenção antes de iniciar uma resolução. 
 Não esqueça de justificar as respostas. 
 Escreva todos os detalhes dos cálculos que levam a uma solução 
 Não destaque as folhas do caderno de prova 
 
1ª Questão: Considere o espaço 𝑉 = 𝑃1 com o seu produto interno usual: 
〈(𝑎1 + 𝑏1𝑥), (𝑎2 + 𝑏2𝑥)〉 = ∫ (𝑎1 + 𝑏1𝑥)(𝑎2 + 𝑏2𝑥) 𝑑𝑥
1
0
. 
Seja 𝑊 = [1] um subespaço de 𝑉. 
a) [1,0 ponto] Determine uma base para 𝑊⊥, o complemento ortogonal de 𝑊. 
b) [1,0 ponto] Determine uma base ortonormal para 𝑉 a partir de 𝑊 e 𝑊⊥. 
c) [0,5 ponto] Determine o ângulo 𝜃 entre os polinômios 𝑝1 = 1 e 𝑝2 = 𝑥. 
Resposta: 
a) 𝑝(𝑥) = 𝑎 + 𝑏𝑥 ∈ 𝑊⊥ ⇒ 〈𝑎 + 𝑏𝑥, 1〉 = ∫ (𝑎 + 𝑏 𝑥)(1) 𝑑𝑥
1
0
= 0 
⇒ 𝑎[𝑥]0
1 + 𝑏 [
𝑥2
2
]
0
1
= 𝑎 +
𝑏
2
= 0 ⇒ 𝑏 = −2𝑎 ⇒ 𝑝(𝑥) = 𝑎(1 − 2𝑥) 
⇒ 𝑊⊥ = [1 − 2𝑥]. 
b) 𝑉 = 𝑊⊕𝑊⊥ ⇒ 𝛽 = {1, 1 − 2𝑥} já é uma base ortogonal. Normalizando: 
〈1,1〉 = ∫ (1)(1) 𝑑𝑥
1
0
= [𝑥]0
1 = 1, 
〈1 − 2𝑥, 1 − 2𝑥〉 = ∫ (1 − 2𝑥) 2𝑑𝑥
1
0
= ∫ (1 − 4𝑥 + 4𝑥2) 𝑑𝑥
1
0
= [𝑥]0
1 − 4 [
𝑥2
2
]
0
1
+ 4 [
𝑥3
3
]
0
1
= 1 −
4
2
+
4
3
=
1
3
, 
 Base ortonormal para 𝑉: 𝛽′ = {1, √3(1 − 2𝑥)}. 
c) 〈1,1〉 = 1 (já obtido); 〈𝑥, 𝑥〉 = ∫ 𝑥2𝑑𝑥
1
0
= [
𝑥3
3
]
0
1
=
1
3
; 〈1, 𝑥〉 = ∫ 𝑥 𝑑𝑥
1
0
=
[
𝑥2
2
]
0
1
=
1
2
 ⇒ cos 𝜃 =
〈1,𝑥〉
‖1‖‖𝑥‖
=
√3
2
 ⇒ 𝜃 = 30° 
 
2ª Questão: 
a) [1,5 pontos] Seja 𝑉 = ℝ2, com produto interno 〈(𝑎, 𝑏), (𝑐, 𝑑)〉 = 𝑎𝑐 + 9𝑏𝑑. 
Determine se 𝑇:ℝ2 → ℝ2, o operador linear cuja matriz na base canônica, 𝛼, é: 
[𝑇]𝛼
𝛼 = [
−1 1
1 1
]. 
é um operador auto adjunto. 
b) [1,0 ponto] Em ℝ3, considere o produto interno usual. Seja 𝛼 a base canônica 
de ℝ3 e 𝑇:ℝ3 → ℝ3 o operador linear dado por 
[𝑇]𝛼
𝛼 = [
1/2 0 √2/2
0 1 0
√3/2 0 1/2
]. 
Determine se o operador 𝑇 é ortogonal. 
Resposta: 
a) [𝑇]𝛼
𝛼 = [
−1 1
1 1
] ⇒ 𝑇(1,0) = (−1, 1), 𝑇(0, 1) = (1, 1) ⇒ 𝑇(𝑥, 𝑦) =
𝑥 𝑇(1, 0) + 𝑦 𝑇(0, 1) = 𝑥(−1, 1) + 𝑦(1, 1) = (−𝑥 + 𝑦, 𝑥 + 𝑦). 
Mas 𝛼 = {(1, 0), (0, 1)} não é ortonormal! 〈(1, 0), (0, 1)〉 = 0, 〈(1, 0), (1, 0)〉 = 1, 
mas 〈(0, 1), (0, 1)〉 = 9. Normalizando: 𝛽 = {(1, 0),
1
3
(0, 1)}. Achando [𝑇]𝛽
𝛽
: 
𝑇(1,0) = (−1, 1) = −1(1, 0) + 3 (0,
1
3
) ; 
𝑇 (0,
1
3
) = (
1
3
,
1
3
) =
1
3
(1,0) + 1 (0,
1
3
), 
[𝑇]𝛽
𝛽
= [
−1 1/3
3 1
]. 
Como [𝑇]𝛽
𝛽
 não é simétrica, T não é auto adjunta. 
b) Note que as colunas da matriz são vetores ortogonais, e todos são unitários 
menos a 3ª coluna: ‖(
√2
2
, 0,
1
2
)‖ = √
2
4
+
1
4
=
√3
2
≠ 1! Logo, T não é ortogonal. 
 
3ª Questão: Seja 𝑊 o subespaço de 𝑉 = 𝑀2×2 dado por: 
𝑊 = [[
1 1
0 0
] , [
1 −1
0 0
] , [
0 0
0 1
]]. 
a) [1,0 ponto] Determine 𝑊⊥, o complemento ortogonal de 𝑊. 
b) [1,0 ponto] Determine uma base ortogonal para 𝑉 a partir de 𝑊 e 𝑊⊥. 
Dica: 𝑉 = 𝑊⊕𝑊⊥. 
c) [0,5 ponto] Determine a matriz do operador reflexão sobre 𝑊 na base acima. 
Resposta: 
a) 
{
 
 
 
 〈[
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
] , [
1 1
0 0
]〉 = 𝑎 + 𝑏 = 0
〈[
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
] , [
1 −1
0 0
]〉 = 𝑎 − 𝑏 = 0
〈[
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
] , [
0 0
0 1
]〉 = 𝑑 = 0 
 ⇒ 𝑊⊥ = [[
0 0
1 0
]] . 
b) 𝑉 = 𝑊⊕𝑊⊥ ⇒ 𝛽 = {[
1 1
0 0
] , [
1 −1
0 0
] , [
0 0
0 1
] , [
0 0
1 0
]}. Basta 
ortogonalizar a base de W: 
{
 
 
 
 〈[
1 1
0 0
] , [
1 −1
0 0
]〉 = 1 − 1 = 0
〈[
1 1
0 0
] , [
0 0
0 1
]〉 = 0 
〈[
1 −1
0 0
] , [
0 0
0 1
]〉 = 0 
 ⇒ 𝛽 é ortogonal. 
c) Se �⃗� ∈ 𝑊, 𝑅𝑊(�⃗�) = �⃗� ⇒ autovetor associado a 𝜆 = 1. 
Se �⃗� ∈ 𝑊⊥, 𝑅𝑊(�⃗�) = −�⃗� ⇒ autovetor associado a 𝜆 = −1. 
Então a base 𝛽 é uma base de auto vetores e 
[𝑅𝑊]𝛽
𝛽
= [
1 0
0 1
 0 0
 0 0
0 0
0 0
 1 0
 0 −1
]. 
4ª Questão: Considere a forma bilinear simétrica 𝐵 e a forma linear 𝐿 em ℝ3, definidas, 
em coordenadas canônicas, por: 
𝐵((𝑥1, 𝑦1, 𝑧1), (𝑥2, 𝑦2, 𝑧2)) = [𝑥1 𝑦1 𝑧1] [
1 1 0
1 1 0
0 0 0
] [
𝑥2
𝑦2
𝑧2
], 
e 
𝐿(𝑥, 𝑦, 𝑧) = [0 0 1] [
𝑥 
𝑦 
𝑧 
]. 
a) [1,5 pontos] Obtenha e diagonalize a forma quadrática associada a 𝐵, 
𝑄(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝐵((𝑥, 𝑦, 𝑧), (𝑥, 𝑦, 𝑧)), determinando a base de ℝ3 em que esta se 
torna diagonal; 
b) [1,0 ponto] Obtenha a forma normal (equação reduzida) da quádrica cuja 
equação cartesiana é: 
𝑄(𝑥, 𝑦, 𝑧) + 𝐿(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 0. 
 
Resposta: 
a) 
|
(1 − 𝜆) 1 0
1 (1 − 𝜆) 0
0 0 −𝜆
| = (1 − 𝜆)2(−𝜆) + 𝜆 = (−𝜆)((1 − 𝜆)2 − 1) = 0, 
⇒ 𝜆 = 0 ou (1 − 𝜆)2 = 1 ⇒ {
1 − 𝜆 = 1 ou 𝜆 = 0,
1 − 𝜆 = −1 ou 𝜆 = 2.
 
𝜆 = 0: [
1 1 0
1 1 0
0 0 0
] [
𝑥 
𝑦 
𝑧 
] = [
0
0 
0 
] ⇒ {
𝑥 + 𝑦 = 0
𝑥 + 𝑦 = 0
0 = 0
 ⇒ 𝛽0 = {[
1/√2
−1/√2
0
] , [
0
0
1
] }. 
𝜆 = 2: [
1 1 0
1 1 0
0 0 0
] [
𝑥 
𝑦 
𝑧 
] = 2 [
𝑥
𝑦 
𝑧 
] ⇒ {
−𝑥 + 𝑦 = 0
𝑥 − 𝑦 = 0
𝑧 = 0
 ⇒ 𝛽2 = {[
1/√2
1/√2
0
]}. 
⇒ 𝛽 = {[
1/√2
−1/√2
0
] , [
0
0
1
] , [
1/√2
1/√2
0
] } ⇒ [𝐵]𝛽
𝛽
= [
0 0 0
0 0 0
0 0 2
] ⇒ 𝑄(𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) = 2𝑧1
2 
b) 𝐿(𝑥, 𝑦, 𝑧) = [0 0 1] [
𝑥 
𝑦 
𝑧 
] = [0 0 1] [
1/√2 0 1/√2
−1/√2 0 1/√2
0 1 0
] [
𝑥1
𝑦1 
𝑧1 
] = 𝑦1. 
Logo 𝑄 + 𝐿 = 0 ⇒ 2𝑧1
2 + 𝑦1 = 0.