Gab 1ºEE (1)

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GABARITO PRIMEIRA PROVA CA´LCULO I
12/09/2011
1a Questa˜o a) lim
t→−3
36 − 4t2
2t2 + 7t + 3
= lim
t→−3
4(3 − t)���(3 + t)
���(t + 3)(2t + 1)
=
4
(
3 − (−3))(
2(−3) + 1) = −245
c) Sabemos que limx→+∞ cos(x) na˜o existe, pore´m vale −1 ≤ cos(x) ≤ 1 para todo x. Ja´
que e−x > 0, enta˜o temos −e−x ≤ e−x cos(x) ≤ e−x para todo x. Como limx→+∞ e−x =
limx→+∞ 1ex =
1
+∞ = 0 e limx→+∞−e
−x = −0 = 0, enta˜o pelo teorema do confronto
teremos lim
x→+∞ e
−x cos(x) = 0
b) lim
x→0
5x − sen(3x)
sen(x)
= lim
x→0
[
5x
sen(x)
− sen(3x)
sen(x)
]
. Temos lim
x→0
5x
sen(x)
= lim
x→0
5
sen(x)
x
=
5
1
= 5
pelo limite fundamental. Analogamente temos lim
x→0
sen(3x)
sen(x)
= lim
x→0
sen(3x)
3x
· 3sen(x)
x
=
1 · 3
1
= 3 . Portanto lim
x→0
5x − sen(3x)
sen(x)
= 2
2a Questa˜o a) f ′(x) = (3x)′tg(4x) + 3x
[
tg(4x)
]′
= (3x) ln(3) tg(4x) + 3x
[
tg′(4x)
]
(4x)′
= (3x) ln(3) tg(4x) + 3x sec2(4x) · 4
b) g′(x) =
(1 − xex)′(2x + ex) − (1 − xex)(2x + ex)′
(2x + ex)2
=
−(xex)′(2x + ex) − (1 − xex)(2 + ex)
(2x + ex)2
=
−(xex + ex)(2x + ex) − (1 − xex)(2 + ex)
(2x + ex)2
=
−ex(2x2 + ex + 1) − 2
(2x + ex)2
3a Questa˜o Derivando implicitamente temos 2x − 3[x3y2]′ + [y2]′ − 2 = 0, isto e´, 2x − 3[3x2y2 +
x3(y2)′
]
+ [y2]′ − 2 = 0. Substituindo [y2]′ = 2yy′ (regra da cadeia) e x = 1, y = −2 nesta
igualdade obtemos 2− 36+ 12y′ − 4y′ − 2 = 0, e assim a inclinac¸a˜o da reta tangente e´ igual
a y′ = 36/8 = 9/2, logo a equac¸a˜o da reta tangente procurada e´ y − (−2) = 9
2
(x − 1), isto e´,
y =
9
2
x − 13
2
4a Questa˜o a) Temos f ′(1) = lim
x→1
f (x) − f (1)
x − 1 = limx→1
√
6 − 2x − 2
x − 1 = limx→1
(√
6 − 2x − 2)(√6 − 2x + 2)
(x − 1)(√6 − 2x + 2)
= lim
x→1
6 − 2x − 4
(x − 1)(√6 − 2x + 2) = limx→1 −2��
��(x − 1)
����(x − 1)(
√
6 − 2x + 2) = −22 + 2 = −12
b) E´ suficiente garantir a continuidade da func¸a˜o h nos pontos x = 0 e x = pi/2. Ora,
lim
x→0− h(x) = limx→0− x
4 + a + 1 = a + 1, enquanto lim
x→0+ h(x) = limx→0+ b sen(x) − 2a cos(x) =
b sen(0) − 2a cos(0) = −2a. Portanto h e´ contı´nua em x = 0 se e somente se a + 1 =
−2a, isto e´, a = −1/3. Analogamente lim
x→(pi/2)− h(x) = limx→(pi/2)− b sen(x) − 2a cos(x) =
b sen(pi/2) − 2a cos(pi/2) = b e lim
x→(pi/2)+ h(x) = limx→(pi/2)+ 2b − 3 = 2b − 3. Portanto h
e´ contı´nua em x = pi/2 se e somente se b = 2b − 3, isto e´, b = 3. Assim, os valores
procurados sa˜o a = −1/3, b = 3