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Geometria Anal´ıtica I Respostas do Mo´dulo I 1
Geometria Anal´ıtica I
23/02/2005
Respostas dos Exerc´ıcios da Aula 3 do Mo´dulo I
Prezado aluno,
Seguem as respostas (na˜o as soluc¸o˜es!) dos exerc´ıcios propostos no Mo´-
dulo I de Geometria Anal´ıtica. Vale a pena lembrar que obter a resposta
e´ apenas uma etapa. O caminho que o levou a esta resposta e´ ta˜o ou
mais importante! Habitue-se a escrever cuidadosamente a sua soluc¸a˜o,
evidenciando cada passo e cada ide´ia! Bom trabalho para voceˆ!
Humberto Jose´ Bortolossi
AULA 3
[01] (a) r :
{
x = −1 + 3 t,
y = −1 + t/2, com t ∈ R. Vetor diretor:
−→
AB = (3, 1/2).
(b) r :
{
x = 2 + t/4,
y = −3/4 + 7 t/4, com t ∈ R. Vetor diretor:
−→
AB = (1/4, 7/4).
(c) r :
{
x = −4 + 6 t,
y = 1− t, com t ∈ R. Vetor diretor:
−→
AB = (6,−1).
(d) r :
{
x = 1− 4 t,
y = −1 + 2 t, com t ∈ R. Vetor diretor:
−→
AB = (−4, 2).
[02] (a) r :
{
x = 1− t,
y = 1− t/2, com t ∈ R.
(b) r :
{
x = −2 + 2 t,
y = −1 + 9 t/4, com t ∈ R.
(c) r :
{
x = −1 + t,
y = 1/2,
com t ∈ R.
(d) r :
{
x = 1 + 3 t,
y = −1 + t, com t ∈ R.
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[03] (a) (⇒) Seja P um ponto sobre o segmento AB. Se A = B, isto e´, se as extremidades
do segmento AB coincidem, enta˜o obrigatoriamente P = A = B e, portanto,
(1− t) · −→OA+ t · −−→OB = (1− t) · −→OP + t · −→OP = −→OP − t · −→OP + t · −→OP = −→OP.
Suponha enta˜o que A �= B. Escolha um sistema de eixos coordenados cuja origem
seja o ponto A e de tal maneira que B esteja no semi-eixo horizontal positivo.
Assim, em termos de coordenadas,
A = (0, 0) e B = (b, 0),
com b > 0. Se P esta´ no segmento AB, enta˜o
P = (0, p),
com 0 ≤ p ≤ b. Sendo assim,
−→
AP = (0, p) =
(
0,
p
b
· b
)
=
p
b
· (0, b) = p
b
· −→AB = t · −→AB,
onde t = p/b ∈ [0, 1], ja´ que 0 ≤ p ≤ b. Agora, se O = (o1, o2) e´ um ponto
qualquer do plano, enta˜o
−→
OP =
−→
OA+
−→
AP =
−→
OA+ t · −→AB = −→OA+ t ·
(−−→
OB −−→OA
)
=
1 · −→OA+ t · −−→OB − t · −→OA = (1− t) · −→OA+ t · −−→OB.
Isto mostra que o escalar t na˜o depende da escolha do ponto O e, sim, apenas
de A, B e P .
(⇐) Sejam O, A, B e P pontos tais que −→OP = (1− t) ·−→OA+ t ·−−→OB, com t ∈ [0, 1].
Se A = B, enta˜o
−→
OP = (1− t) · −→OA+ t · −−→OB = (1− t) · −→OA+ t · −→OA = −→OA− t · −→OA+ t · −→OA = −→OA
e, portanto, P = A = B, isto e´, P esta´ no segmento de extremidades A e B.
Suponha enta˜o que A �= B. Agora
−→
OP = (1− t) · −→OA+−−→OB = (1− t) ·
(−→
OP +
−→
OA
)
+ t ·
(−→
OP +
−−→
PB
)
=
(1− t) · −→OP + (1− t) · −→PA+ t · −→OP + t · −−→PB = −→OP + (1− t) · −→PA+ t · −−→PB.
Sendo assim, podemos escreve que (0, 0) =
−→
O = (1− t) · −→PA+ t · −−→PB ou, ainda,
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−→
AP = t · −→AP + t · −−→PB = t ·
(−→
AP +
−−→
PB
)
= t · −→AB.
Escolhendo um sistema de coordenadas cuja origem seja o pontoA e de tal maneira
que B esteja no semi-eixo horizontal positivo, segue-se que
A = (0, 0), B = (b, 0) e P = (p1, p2),
com b > 0. Assim, a relac¸a˜o
−→
AP = t ·−→AB implica que (p1, p2) = t · (b, 0) = (t ·b, 0),
isto e´, p1 = t · b e p2 = 0. Em particular, isto mostra que P esta´ na reta que passa
por A e B. Mais ainda, como 0 ≤ t ≤ 1, segue-se que 0 ≤ p1 ≤ b, isto e´, segue-se
que P esta´ no segmento de extremidades A e B.
(b) No item (a), mostramos que P pertence ao segmento AB se, e somente se,
existe t ∈ [0, 1] tal que −→AP = t · −→AB. Ora, se t = 1/2, enta˜o −→AP = (1/2) · −→AB.
Escrevendo A = (a1, a2), B = (b1, b2) e P = (p1, p2), esta u´ltima relac¸a˜o implica
que
(p1 − a1, p2 − a2) = 1
2
· (b1 − a1, b2 − a2).
A partir da´ı, conclu´ımos que
(p1, p2) =
(
a1 + b1
2
,
a2 + b2
2
)
.
Pela definic¸a˜o dada na margem direita na pa´gina 11 do mo´dulo, deduzimos enta˜o
que P e´ o ponto me´dio do segmento AB.
(c) No enunciado deste item, tambe´m e´ preciso supor que A �= B. Ora,
−→
OP = (1− t) · −→OA+ t · −−→OB = −→OA− t · −→OA+ t · −−→OB =
−→
OA+ t ·
(−−→
OB −−→OA
)
=
−→
OA+ t · −→AB.
Como A e B pertencem a reta r que passa por A e B, segue-se que
−→
v =
−→
AB
e´ um vetor diretor da reta r. Assim,
−→
OP = (1 − t) · −→OA + t · −−→OB e´ uma outra
maneira de se escrevar a equac¸a˜o (2) na pa´gina 35 do mo´dulo, que determina as
equac¸o˜es parame´tricas da reta r que passa por A e B.
[04] (a) 2 x− y − 4 = 0. (b) x = 3. (c) x+ y − 2 = 0. (d) 3 x+ 4 y = 0.
[05] (a) r :
{
x = t,
y = 1− 2 t, com t ∈ R. Vetor paralelo a` reta r:
−→
v = (1,−2).
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(b) r :
{
x = 5,
y = t,
com t ∈ R. Vetor paralelo a` reta r: −→v = (0, 1).
(c) r :
{
x = t,
y = 1− 3 t, com t ∈ R. Vetor paralelo a` reta r:
−→
v = (1,−3).
(d) r :
{
x = t,
y = −3 + t, com t ∈ R. Vetor paralelo a` reta r:
−→
v = (1, 1).
[06] (a)
−→
v na˜o e´ paralelo a` reta r! (b)
−→
v e´ paralelo a` reta r! (c)
−→
v na˜o e´ paralelo a`
reta r! (d)
−→
v e´ paralelo a` reta r!
[07] (a) r1 e r2 sa˜o concorrentes no ponto P = (2,−3). (b) r1 e r2 sa˜o concorrentes no
ponto P = (6, 1/2). (c) r1 e r2 sa˜o retas paralelas. (d) r1 e r2 sa˜o concorrentes no
ponto P = (2/3, 1).
[08] (a)
−→
v e
−→
w sa˜o LD. (b)
−→
v e
−→
w sa˜o LD. (c)
−→
v e
−→
w sa˜o LI. (c)
−→
v e
−→
w sa˜o LI.
[09] (a) Represente por mA, mB e mC as medianas que passam, respectivamente, pelos
ve´rtices A, B e C do triaˆngulo ∆ABC. As equac¸o˜es parame´tricas destas retas
sa˜o dadas, respectivamente, por
mA :
{
x = 3− 7 t/2,
y = 2− 5 t/2,
mB :
{
x = −1 + 5 t/2,
y = 1− t,
mC :
{
x = + t,
y = −1 + 7 t/2.
(b) O baricentro G do triaˆngulo tem coordenadas (2/3, 1/3).
[10] (a) (5, 6) = 4 · (1, 1) + 1 · (1, 2). (b) (1, 4/5) = 0 · (2, 3) + (1/5) · (5, 4).
[11] A = (1, 0).
[12] As coordenadas dos ve´rtices sa˜o (2,−5), (1,−3), (8,−17) e (5,−9).
[13] 4 x+ y − 12 = 0.
[14] A = (1, 0), B = (5/3, 4/3), C = (7/3, 2/3) e D = (3, 2).
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