Servomecanismo para Engenharia da Computação UFPE - AULA 7. Erros de estado estacionário

Prévia do material em texto

Prof. Adriano L. I . Oliveira – alio@cin.ufpe.br 1
Erros de Estado Estacionário
Servomecanismo 
Prof. Adriano Lorena I. Oliveira
Prof. Adriano L. I . Oliveira – alio@cin.ufpe.br 2
Introdução
■ Projeto e análise de sistemas de controle: 
■ Resposta de Transiente 
■ Estabilidade 
■ Erros de Estado Estacionário (ou Permanente) 
■ Diferença entre a entrada e a saída para uma entrada de teste 
pré-determinada quando t →∞ 
■ Entradas de teste comuns: degrau, rampa ou parábola
Prof. Adriano L. I . Oliveira – alio@cin.ufpe.br 3
Introdução
■ Como estamos preocupados com a diferença entre 
a entrada e saída de um sistema de controle com 
re-alimentação depois de alcançar o estado 
estacionário, vamos nos limitar a estudar sistemas 
estáveis, onde a resposta natural tende a zero 
quando t →∞ 
■ Considere os exemplos a seguir....
Prof. Adriano L. I . Oliveira – alio@cin.ufpe.br 4
Introdução
■ Exemplo 1: 
■ Uma entrada degrau gera duas possíveis saídas: output1 
tem erro de estado estacionário zero e output2 tem erro 
finito, e2 (no infinito)
Prof. Adriano L. I . Oliveira – alio@cin.ufpe.br 5
Introdução
■ Exemplo 2: 
■ Aqui, para uma rampa de entrada, temos erro zero para 
a output1, erro finito para output2 e infinito para a output3
Prof. Adriano L. I . Oliveira – alio@cin.ufpe.br 6
Introdução
■ Sistemas com Re-Alimentação Unitária 
■ Sistema de controle re-alimentado onde o ganho do laço 
de re-alimentação é 1 
■ Malha Fechada (Representação Geral) – T(s) é a função 
de transferência equivalente
Erro
C(s) = R(s)T(s) 
E(s) = R(s) – C(s) = R(s) – R(s)T(s) 
E(s) = R(s)[1 - T(s)]
Prof. Adriano L. I . Oliveira – alio@cin.ufpe.br 7
Introdução
■ Sistemas com Re-Alimentação Unitária 
■ Malha Fechada (Re-Alimentação Unitária)
Erro
C(s) = E(s)G(s) 
E(s) = R(s) – C(s) = R(s) – E(s)G(s) 
E(s)[1 + G(s)] = R(s) 
E(s) = R(s)/[1 + G(s)]
Prof. Adriano L. I . Oliveira – alio@cin.ufpe.br 8
Introdução
■ Erro de estado estacionário finito para uma entrada 
degrau
E(s) = R(s)/(1 + K) 
E(s) = 1/[s(1 + K)] 
e(t) = [1/(1+K)]u(t) = 1/(1 + K) 
K → ∞ ⇒ e(t) → 0
Prof. Adriano L. I . Oliveira – alio@cin.ufpe.br 9
Introdução
■ Erro de estado estacionário zero para uma entrada 
degrau
E(s) = R(s)/(1 + K/s) 
E(s) = 1/[s(1 + K/s)] 
e(t) = 1/(s + K) = e-Ktu(t) = e-Kt 
Ou seja, o erro decai até zero.
Prof. Adriano L. I . Oliveira – alio@cin.ufpe.br 10
Erro de Estado Estacionário para 
Sistemas com Re-Alimentação Unitária
■ O erro de estado estacionário pode ser calculado a 
partir da função de transferência de um sistema de 
malha fechada (T(s)) ou aberta (G(s)) para 
sistemas com re-alimentação unitária 
■ Vamos começar analisando o erro em relação à 
função de transferência de malha fechada T(s) 
■ Depois, analisaremos o sistema em malha aberta 
G(s), introduzindo a re-alimentação unitária
Prof. Adriano L. I . Oliveira – alio@cin.ufpe.br 11
Erro de Estado Estacionário para 
Sistemas com Re-Alimentação Unitária
■ Considere o erro E(s), a entrada R(s) e a saída 
C(s) para o sistema de malha fechada abaixo 
■ Lembrando que T(s) é a função de transferência 
equivalente 
!
!
!
!
■ Como calculamos antes, E(s) = R(s)[1 – T(s)] 
■ Estamos interessados em e(t), quando t → ∞
Prof. Adriano L. I . Oliveira – alio@cin.ufpe.br 12
Erro de Estado Estacionário para 
Sistemas com Re-Alimentação Unitária
■ e(∞) = limt→∞e(t) 
■ A transformada de Laplace da derivada de uma 
função é, por definição (Teorema do valor final): 
!
!
■ Quando s → 0:
Prof. Adriano L. I . Oliveira – alio@cin.ufpe.br 13
Erro de Estado Estacionário para 
Sistemas com Re-Alimentação Unitária
■ Assim: 
■ e(∞) = limt→∞e(t) = lims→0sE(s) 
■ Com isso: 
■ e(∞) = lims→0s{R(s)[1 – T(s)]}
Prof. Adriano L. I . Oliveira – alio@cin.ufpe.br 14
Erro de Estado Estacionário para 
Sistemas com Re-Alimentação Unitária
■ Exemplo: Dado o sistema abaixo 
!
!
!
!
■ Seja: 
■ Assim: 
!
!
■ Para R(s) = 1/s
Prof. Adriano L. I . Oliveira – alio@cin.ufpe.br 15
Erro de Estado Estacionário para 
Sistemas com Re-Alimentação Unitária
■ Exemplo (cont.): 
■ T(s) é estável, pois só tem polos no semi-plano esquerdo 
(-2 e -5) 
■ Assim, E(s) também não tem polos no semi-plano direito 
ou complexos (seu único novo polo é a origem) 
■ Com isso, podemos aplicar o Teorema do Valor Final 
■ e(∞) = limt→∞e(t) = lims→0sE(s) 
!
!
!
■ e(∞) = 1/2
Prof. Adriano L. I . Oliveira – alio@cin.ufpe.br 16
Erro de Estado Estacionário para 
Sistemas com Re-Alimentação Unitária
■ Sistema com malha fechada com re-alimentação 
unitária 
!
!
!
■ Solução 1: Achar a função equivalente T(s) e 
analisar como antes 
■ Solução 2: Definir o erro de estado estacionário em 
função de G(s)
Prof. Adriano L. I . Oliveira – alio@cin.ufpe.br 17
Erro de Estado Estacionário para 
Sistemas com Re-Alimentação Unitária
■ Sistema com malha fechada com re-alimentação 
unitária 
!
!
!
■ Com a re-alimentação unitária, E(s) é realmente o 
erro entre a entrada e a saída 
■ E(s) = R(s) – C(s) 
■ C(s) = E(s)G(s) 
■ ⇒ E(s) = R(s) – E(s)G(s) ⇒ E(s) = R(s)/[1 + G(s)]
Prof. Adriano L. I . Oliveira – alio@cin.ufpe.br 18
Erro de Estado Estacionário para 
Sistemas com Re-Alimentação Unitária
■ Aplicando o Teorema do Valor Final 
■ E(s) = R(s)/[1 + G(s)] 
■ e(∞) = lims→0 sR(s)/[1 + G(s)] 
■ Essa expressão calcula o erro de estado estacionário, 
e(∞), dada a entrada R(s) e o sistema G(s) 
■ Vamos analisar o erro para três tipos diferentes de 
entrada....
Prof. Adriano L. I . Oliveira – alio@cin.ufpe.br 19
Erro de Estado Estacionário para 
Sistemas com Re-Alimentação Unitária
■ Entrada Degrau: R(s) = 1/s 
■ edegrau(∞) = lims→0 s(1/s)/[1 + G(s)] 
■ edegrau(∞) = 1/[1 + lims→0 G(s)] 
■ O termo lims→0G(s) é o termo dc da função de 
transferência já que s, a variável de frequência, se 
aproxima de zero 
■ Para ter erro estacionário zero devemos ter 
lims→0G(s) → ∞
Prof. Adriano L. I . Oliveira – alio@cin.ufpe.br 20
Erro de Estado Estacionário para 
Sistemas com Re-Alimentação Unitária
■ Entrada Degrau: 
■ Para uma entrada degrau para um sistema de re-
alimentação unitária, o erro de estado estacionário 
será zero se existir pelo menos um integrador puro 
no caminho à frente 
■ Isso implica que G(s) terá, pelo menos, um ‘1/s’ (polo na 
origem) o que leva G(s)→∞, quando s→0 
!
!
■ Se não existir integração, então o erro será finito e 
diferente de zero
n ≥ 1
Prof. Adriano L. I . Oliveira – alio@cin.ufpe.br 21
Erro de Estado Estacionário para 
Sistemas com Re-Alimentação Unitária
■ Entrada Rampa: R(s) = 1/s2 
■ erampa(∞) = lims→0 s(1/s2)/[1 + G(s)] = lims→0 1/[s + sG(s)] 
■ erampa(∞) = 1/lims→0 sG(s) 
■ Para ter erro estacionário zero devemos ter 
lims→0sG(s) → ∞ 
■ Fazendo a mesma análise anterior, é preciso existir 
pelo menos dois integradores no caminho à frente
n ≥ 2
Prof. Adriano L. I . Oliveira – alio@cin.ufpe.br 22
Erro de Estado Estacionário para 
Sistemas com Re-Alimentação Unitária
■ Entrada Rampa: R(s) = 1/s2 
■ Se houver apenas um integrador, o erro será finito 
!
!
■ Se não houver integrador, o erro será infinito 
!
!
■ Já que
Prof. Adriano L. I . Oliveira – alio@cin.ufpe.br 23
Erro de Estado Estacionário para 
Sistemas com Re-Alimentação Unitária
■ Entrada Parabólica: R(s) = 1/s3 
■ eparábola(∞) = lims→0 s(1/s3)/[1 + G(s)] = lims→0 1/[s2 + 
s2G(s)] 
■ eparábola(∞) = 1/lims→0 s2G(s) 
■ Para ter erro estacionário zero devemos ter 
lims→0s2G(s) → ∞ 
■ Fazendo a mesma análise anterior, é preciso existir 
pelo menos três integradores no caminho à frente
n ≥ 3
Prof. Adriano L. I . Oliveira – alio@cin.ufpe.br 24
Erro de Estado Estacionáriopara 
Sistemas com Re-Alimentação Unitária
■ Entrada Parabólica: R(s) = 1/s3 
■ Se houver apenas dois integradores, o erro será 
finito 
!
!
■ Se não houver integrador, o erro será infinito 
!
!
■ Já que
Prof. Adriano L. I . Oliveira – alio@cin.ufpe.br 25
Erro de Estado Estacionário para 
Sistemas com Re-Alimentação Unitária
■ Exemplo 1: Erros de estado estacionário para 
sistemas sem Integradores 
■ Entradas: 
■ 5u(t) 
■ 5tu(t) 
■ 5t2u(t)
Sistema estável: duas raízes 
reais no semi-plano esquerdo
Prof. Adriano L. I . Oliveira – alio@cin.ufpe.br 26
Erro de Estado Estacionário para 
Sistemas com Re-Alimentação Unitária
■ Exemplo 1 (cont.): 
■ Entrada 5u(t): 
!
!
■ Entrada 5tu(t): 
!
!
■ Entrada 5t2u(t):
Prof. Adriano L. I . Oliveira – alio@cin.ufpe.br 27
Erro de Estado Estacionário para 
Sistemas com Re-Alimentação Unitária
■ Exemplo 2: Erros de estado estacionário para 
sistemas com um Integrador 
■ Entradas: 
■ 5u(t) 
■ 5tu(t) 
■ 5t2u(t)
Sistema estável: três raízes 
reais no semi-plano esquerdo
Prof. Adriano L. I . Oliveira – alio@cin.ufpe.br 28
Erro de Estado Estacionário para 
Sistemas com Re-Alimentação Unitária
■ Exemplo 2 (cont.): 
■ Entrada 5u(t): 
!
!
■ Entrada 5tu(t): 
!
!
■ Entrada 5t2u(t):
Prof. Adriano L. I . Oliveira – alio@cin.ufpe.br 29
Erro de Estado Estacionário para 
Sistemas com Re-Alimentação Unitária
■ Exemplo 3: Ache o erro de estado estacionário para 
as entradas 15ut, 15tu(t), 15t2u(t) para a seguinte 
função de transferência: 
!
!
!
■ Solução: O sistema é instável (há raiz com 
multiplicidade dupla), logo nenhum cálculo precisa 
ser feito
Prof. Adriano L. I . Oliveira – alio@cin.ufpe.br 30
Constantes de Erro Estático e Tipo do 
Sistema
■ Constantes de Erro Estático: especificações de 
desempenho de erro de estado estacionário 
■ Como definimos antes taxa de amortecimento, 
frequência natural, tempo de acomodação, etc.
Constante de Posição: Kp
Constante de Velocidade: Kv
Constante de Aceleração: Ka
Prof. Adriano L. I . Oliveira – alio@cin.ufpe.br 31
Constantes de Erro Estático e Tipo do 
Sistema
■ Exemplo:
Entrada degrau:
Entrada rampa:
Entrada parabólica:
Prof. Adriano L. I . Oliveira – alio@cin.ufpe.br 32
Constantes de Erro Estático e Tipo do 
Sistema
■ Tipo de Sistema 
■ Continuando com sistemas com re-alimentação unitária 
negativa 
■ As constantes de erro estático dependem da forma de 
G(s), principalmente, do número de integrações puras no 
caminho à frente 
■ O tipo do sistema depende do número n de integrações
Prof. Adriano L. I . Oliveira – alio@cin.ufpe.br 33
Constantes de Erro Estático e Tipo do 
Sistema
■ Tipo de Sistema
Prof. Adriano L. I . Oliveira – alio@cin.ufpe.br 34
Constantes de Erro Estático e Tipo do 
Sistema
■ Exemplo 1: Um sistema com re-alimentação 
unitária tem a seguinte função de transferência à 
frente 
!
!
!
■ Defina o tipo do sistema, Kp, Kv e Ka 
■ Ache as respostas para entrada degrau, rampa e 
parabólica
Prof. Adriano L. I . Oliveira – alio@cin.ufpe.br 35
Constantes de Erro Estático e Tipo do 
Sistema
■ Exemplo 1 (cont.): 
■ Kp = lims→0G(s) = 8000/63 = 127 
■ Kv = lims→0sG(s) = 0 
■ Ka = lims→0s2G(s) = 0 
■ Assim: 
■ edegrau(∞) = 1/(1 + Kp) = 1/(1 + 127) = 0,0078 
■ erampa(∞) = 1/Kv = ∞ 
■ eparábola(∞) = 1/Ka = ∞
Prof. Adriano L. I . Oliveira – alio@cin.ufpe.br 36
Constantes de Erro Estático e Tipo do 
Sistema
■ Exemplo 1 (cont.):
Prof. Adriano L. I . Oliveira – alio@cin.ufpe.br 37
Constantes de Erro Estático e Tipo do 
Sistema
■ Exemplo 2: Que informações as constantes de erro 
estático podem trazer: 
■ Suponha um sistema com Kv = 1000: 
■ O sistema é estável 
■ O sistema é do Tipo 1, já que Kv é constante 
■ Kv = 0 para Tipo 0 e Kv = ∞ para Tipo 2 
■ A entrada de teste foi uma rampa 
■ O erro de estado estacionário é 1/Kv
Prof. Adriano L. I . Oliveira – alio@cin.ufpe.br 38
Constantes de Erro Estático e Tipo do 
Sistema
■ Exemplo 3: Que informações temos de um sistema 
com especificação Kp = 1000? 
■ O sistema é estável 
■ O sistema é do Tipo 0 
■ Kp = ∞ para sistemas Tipo 1 e 2 
■ A entrada de teste é um degrau 
■ edegrau(∞) = 1/(1 + Kp) = 1/1001 ≈ 0,001
Prof. Adriano L. I . Oliveira – alio@cin.ufpe.br 39
Constantes de Erro Estático e Tipo do 
Sistema
■ Exemplo 4: Dado o sistema de controle a seguir, 
encontre o valor de K tal que o erro de estado 
estacionário seja de 10%
Prof. Adriano L. I . Oliveira – alio@cin.ufpe.br 40
Constantes de Erro Estático e Tipo do 
Sistema
■ Exemplo 4 (cont.): 
■ Primeiro: Definir tipo do sistema 
■ Kp = lims→0 G(s) = ∞ 
■ Kv = lims→0 sG(s) = 5K/336 
■ Ka = lims→0 s2G(s) = 0 
■ Logo, o sistema é do Tipo 1 
■ Usando a especificação dada no problema: 
■ e(∞) = 1/Kv = 0,1 ⇒ Kv = 10 
■ Assim, K = 672 
■ Podemos aplicar o critério de Routh-Hurwitz para 
confirmar a estabilidade para esse valor de K
Prof. Adriano L. I . Oliveira – alio@cin.ufpe.br 41
Constantes de Erro Estático e Tipo do 
Sistema
■ Exemplo 5: Dado o sistema de controle a seguir, 
encontre o valor de K tal que o erro de estado 
estacionário seja de 10%
Prof. Adriano L. I . Oliveira – alio@cin.ufpe.br 42
Constantes de Erro Estático e Tipo do 
Sistema
■ Exemplo 5 (cont.): 
■ Primeiro: Definir tipo do sistema 
■ Kp = lims→0 G(s) = 12K/252 
■ Kv = lims→0 sG(s) = 0 
■ Ka = lims→0 s2G(s) = 0 
■ Logo, o sistema é do Tipo 0 
■ Usando a especificação dada no problema: 
■ e(∞) = 1/(1 + Kp) = 0,1 ⇒ 1 + Kp = 10 ⇒ Kp = 9 
■ Assim, K = 189 
■ Novamente, podemos aplicar o critério de Routh-Hurwitz 
para confirmar a estabilidade para esse valor de K
Prof. Adriano L. I . Oliveira – alio@cin.ufpe.br 43
Erro de Estado Estacionário para Sistemas de 
Re-Alimentação Não-Unitária
■ Sistema genérico com re-alimentação 
!
!
!
!
!
!
■ Fazendo uma redução no diagrama, temos....
Transdutor 
de Entrada
Controlador e Planta
Feedback
Prof. Adriano L. I . Oliveira – alio@cin.ufpe.br 44
Erro de Estado Estacionário para Sistemas de 
Re-Alimentação Não-Unitária
■ Sistema genérico com re-alimentação 
!
!
!
!
!
!
■ Onde, G(s) = G1(s)G2(s) e H(s) = H1(s)/G1(s)
Prof. Adriano L. I . Oliveira – alio@cin.ufpe.br 45
Erro de Estado Estacionário para Sistemas de 
Re-Alimentação Não-Unitária
■ Primeiro, vamos transformar o sistema de controle 
com re-alimentação não-unitária em um sistema 
com re-alimentação unitária adicionando e 
subtraindo caminhos de re-alimentação unitária
Prof. Adriano L. I . Oliveira – alio@cin.ufpe.br 46
Erro de Estado Estacionário para Sistemas de 
Re-Alimentação Não-Unitária
■ Em seguida, combinamos H(s) com a re-
alimentação unitária negativa...
Prof. Adriano L. I . Oliveira – alio@cin.ufpe.br 47
Erro de Estado Estacionário para Sistemas de 
Re-Alimentação Não-Unitária
■ Finalmente, combinamos G(s) com H(s) -1 
!
!
!
!
!
!
!
■ Passamos a ter uma re-alimentação unitária e E(s) 
em função de R(s) e C(s)
Prof. Adriano L. I . Oliveira – alio@cin.ufpe.br 48
Erro de Estado Estacionário para Sistemas de 
Re-Alimentação Não-Unitária
■ Exemplo: Para o sistema abaixo, ache o tipo de 
sistema, a constante de erro apropriada ao sistema 
e o erro de estado estacionário para uma entrada 
degrau unitário 
Prof. Adriano L. I . Oliveira – alio@cin.ufpe.br 49
Erro de Estado Estacionário para Sistemas de 
Re-Alimentação Não-Unitária
■ Exemplo (cont.): 
■ O primeiro passo é transformar o sistema em um 
sistema de re-alimentação unitária 
■ De acordo com o processo anterior, temos: 
!
!
!
!
■ Com:
Prof. Adriano L. I . Oliveira – alio@cin.ufpe.br 50
Erro de Estado Estacionário para Sistemasde 
Re-Alimentação Não-Unitária
■ Exemplo (cont.): 
!
!
■ O sistema é do Tipo 0 já que não tem nenhuma 
integração pura 
■ Assim, Kp = lims→0Ge(s) = 500/(-400) = -1,25 
■ e(∞) = 1/(1 + Kp) = 1/(1 – 1,25) = -4 
■ O valor negativo do erro de estado estacionário 
implica que o degrau de saída é maior que o 
degrau de entrada
Prof. Adriano L. I . Oliveira – alio@cin.ufpe.br 51
Exercícios Sugeridos (Nise)
■ Cap. 7, Problemas: 
■ 1, 3, 4, 5, 9, 11, 13,18, 21, 23, 38, 42
Prof. Adriano L. I . Oliveira – alio@cin.ufpe.br 52
A Seguir....
■ Lugar das Raízes