119 2008 1 EP 01 tutor

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Equações Diferenciais - Exercícios Programados 01
Soluções
Exercício 1
Resolva a equação diferencial
y′ =
2x
1 + x2
utilizando uma mudança de variáveis conveniente.
Solução:
Sabemos que resolver a equação diferencial y′ =
2x
1 + x2
equivale a calcular a
família de primitivas
∫
2x
1 + x2
dx.
Para calcular essa família de primitivas, fazemos a mudança de variáveis
u = 1 + x2. Então du = 2x dx. Temos,∫
2x
1 + x2
dx =
∫
du
u
= ln|u|+ c
= ln(1 + x2) + c
Portanto a resposta é:
A solução geral de y′ =
2x
1 + x2
é dada por
y(x) = ln(1 + x2) + c,
onde c representa uma constante real arbitrária (ou - melhor dizendo - um
parâmetro ral).
Comentário: Note que, apesar de só existirem logaritmos reais de números
positivos, não precisamos utilizar o módulo na última passagem, já que 1 +x2 é
sempre positivo (qualquer que seja o x escolhido), e portanto |1 + x2| = 1 + x2
Exercício 2 Resolva, utilizando integração por partes:
a)
dy
dx
= x e−2x
b)
dy
dx
= x2 sen x
Consórcio CEDERJ - Fundação CECIERJ 2008/1
Solução:
a)
dy
dx
= x e−2x
Temos:
dy
dx
= x e−2x ⇐⇒ y(x) =
∫
xe−2x dx.
Fazendo as mudanças de variáveis[
u = x du = dx
dv = e−2x dx v =
∫
e−2x dx = −1
2
e−2x
]
a fórmula de integração por partes no dá∫
xe−2x dx = x ·
(
−1
2
)
e−2x −
∫
−1
2
e−2x dx.
Calculando a última integral:
−
∫
−1
2
e−2x dx = −1
4
e−2x + c;
Portanto, a solução geral de
dy
dx
= x e−2x é
y(x) =
1
2
x e−2x − 1
4
e−2x + c
b)
dy
dx
= x2 sen x
dy
dx
= x2 sen x ⇐⇒ y(x) =
∫
x2 sen x dx.
Este exercício é semelhante ao anterior, mas precisamos aplicar o processo de
integração por partes duas vezes:
Primeiramente, façamos as mudança de variáveis[
u = x2 du = 2x dx
dv = sen x dx v =
∫
sen x dx = −cos x
]
Assim, ∫
x2 sen x dx = x2(− cos x) −
∫
(− cos x) dx
= −x2 cos x+ 2
∫
x cos x dx.
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Para calcular
∫
x cos x dx usamos novamente a técnica de integração por
partes. Fazemos[
u = x du = dx
dv = cos x dx v =
∫
cos x dx = sen x
]
Portanto
∫
x cos x dx = x sen x
∫
sen x dx
Daí ∫
x2 sen x dx = −x2 cos x+ 2 [x senx−
∫
sen x dx]
= −x2 cos x+ 2 x sen x+ 2 cos x+ c
A solução geral de
dy
dx
= x2 sen x é
y(x) = −x2 cos x+ 2 x sen x+ 2 cos x+ c
Exercício 3 Determine a solução da equação
y′ =
x3 + 3x− 1
x4 − 4x2
que passa pelo ponto (1,2)
Solução:
y′ =
x3 + 3x− 1
x4 − 4x2 ⇐⇒ y(x) =
∫
x3 + 3x− 1
x4 − 4x2 dx;
fatorando o denominador da função racional, o integrando pode ser escrito como
x3 + 3x− 1
x4 − 4x2 =
x3 + 3x− 1
(x− 2)(x+ 2)x2
=
A
x− 2 +
B
x+ 2
+
C
x
+
D
x2
.
Eliminando os denominadores, obtemos
x3 + 3x− 1 = Ax2(x+ 2) +Bx2(x− 2) + C(x− 2)(x+ 2) +Dx(x− 2)(x+ 2)
ou ainda
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x3 + 3x− 1 = (A+B +D)x3 + (2A− 2B + c)x2 − 4Dx− 4C
Igualando os coeficientes das poitências de x:
A+B +D = 1
2A− 2B + C = 0
−4D = 3
4C = −1
Daí D = −3/4, C = 1/4, A = 13/16, B = 15/16
Então
x3 + 3x− 1
x4 − 4x2 =
13
16
· 1
x− 2 +
15
16
· 1
x+ 2
− 3
4
· 1
x
+
1
4
· 1
x2
Logo∫
x3 + 3x− 1
x4 − 4x2 dx =
13
16
∫
dx
x− 2 +
15
16
∫
dx
x+ 2
− 3
4
∫
dx
x
+
1
4
∫
dx
x2
=
13
16
ln|x− 2|+ 15
16
ln|x+ 2| − 3
4
ln|x| − 1
4x
+ c
A solução geral de
dy
dx
=
x3 + 3x− 1
x4 − 4x2 é
y(x) =
13
16
ln|x− 2|+ 15
16
ln|x+ 2| − 3
4
ln|x| − 1
4x
+ c
Para completar o exercício, precisamos determinar (caso seja possível) a solução
que passa pelo ponto (1, 2), isto é a solução que vale 2, quando x = 1.
Isto equivale a determinar o valor de c que satisfaz à igualdade
2 =
13
16
ln|x− 2|+ 15
16
ln|x+ 2| − 3
4
ln|x| − 1
4x
+ c,
ou seja, devemos ter
2 =
13
16
ln| − 1|+ 15
16
ln|3| − 3
4
ln|1| − 1
4
+ c
Daí conclui-se que
c = 2 +
1
4
− 15
16
ln|3|
e a solução procurada é
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y(x) =
13
16
ln|x− 2|+ 15
16
ln|x+ 2| − 3
4
ln|x| − 1
4x
+
9
4
− 15
16
ln|3|
Exercício 4 Calcule, usando o Teorema Fundamental do Cálculo, a derivada
de
F (x) =
∫ x
a
sen10(t) dt
Solução:
Uma das maneiras de (tentar) resolver o exercício dado é utilizar a fórmula de
recorrência
∫
senn(x) dx = −sen
n−1 x cos x
n
+
n− 1
n
∫
senn−2x dx+ c.
(Obs: É possível obter esta fórmula a partir da fórmula de integração por partes
e usando indução.)
Depois é só avaliar em x e em a, subtrair uma da outra e · · · derivar.
No exercício dado, temos n = 10 e vamos precisar aplicar a fórmula de recor-
rência umas cinco vezes, o que torna a solução, no mínimo, muito �cara�.
Um problema bem pior é que algumas vezes (muitas vezes ) não conhecememos
fórmulas de recorrência, e nem sabemos fazer mudanças de variáveis quer per-
mitam calcular as integrais.
Precisamos encontrar de um método alternativo. E este método utiliza nossos
conhecimentos sobre a equação diferencial fundamental. Ele parte da observação
de que qualquer derivada de
∫ x
a
sen10(t) dt não é nada além de uma solução da
equação diferencial
y′ = sen10(x)
Quem nos garante isso é o 1
0
Teorema Fundamental do Cálculo .
Vamos recordar o seu enunciado:
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Seja f Riemann-integrável em [a,b], e defina F em [a,b] por
F (x) =
∫ x
a
f(t) dt.
• Se f é contínua em c ∈ [a, b], então F é derivável em c, e
F ′(c) = f(c)
• (Se c = a ou b, então F ′(c) é entendido como sendo a deriva à
direita ou à esquerda de F em c)
Obs: Em particular, quando f é contínua em todos os pontos de um intervalo
aberto, o qual pode ser o intervalo R = (−∞,+∞), então F (x) =
∫ x
a
f(t) dt é
derivável naquele intevalo e F ′(x) = f(x) em todos os pontos do intervalo.
P MAS ISTO SIGNIFICA EXATAMENTE QUE F É UMA PRIMITIVA
DE f NO INTERVALO CONSIDERADO!!!
Ou seja:
F (x) =
∫ x
a
f(t) dt
É UMA SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DIFERENCIAL
dy
dx
= f(x).
Ou ainda, observando que x 7→ sen10(x) é contínua em R, temos que as derivadas
de
F (x) =
∫ x
a
sen10(t) dt
são as soluções da equação diferencial
dy
dx
= F ′(x)
e a resposta é simplesmente
F ′(x) = sen10(x)
Exercício 5 Calcule a derivada de
F (x) =
∫ b
a
x
1 + t2 + sen2 t
dt
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Solução:
Neste exercício, os limites de integração são números bem determinados. Não
estamos nas condições do 1
0
teorema fundamental do cálculo.
Mas, observemos que a variável de integração é t, e que o x que está no
numerador do integrando é uma constante com relação à integração.
Podemos escrever:
F (x) = x
∫ b
a
1
1 + t2 + sen2 t
dt,
e notamos imediatamente que F (x) é da forma F (x) = αx,
com α =
∫ b
a
1
1 + t2 + sen2 t
dt.
Temos imediatamente que
F ′(x) = α =
∫ b
a
1
1 + t2 + sen2 t
dt.
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