EP01dfdfd

Prévia do material em texto

1
Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Equações Diferenciais - Exercícios Programados 01
semana de 23/07 a 29/07/2012
• Ao terminar de resolver estes exercícios você terá recordado algumas das princi-
pais fórmulas para cálculos de primitivas de funções.
Como assinalamos no texto da aula 01, calcular primitivas é um exercício de re-
solução de equações diferenciais;
os �métodos de integração� constituem uma das ferramentas do Cálculo que serão
mais utilizadas ao longo de todo o curso de Equações Diferenciais.
• Completamos o EP01 com alguns exercícios sobre a equação de Bernoulli.
Na lista seguinte, adotaremos as seguintes convenções:
i) As funções envolvidas são de�nidas em intervalos onde elas são deriváveis. Vamos
supor o maior intervalo possível em cada caso
ii) u e v são funções que dependem da variável x
iii) a e n são constantes , b é uma constante real positiva, e c indica a constante de
integração.
1.
∫
a dx = ax+ c
2.
∫
a f(x) dx = a
∫
f(x) dx
3.
∫
(u+ v) dx =
∫
u dx+
∫
v dx
4.
∫
xn dx =
xn+1
n+ 1
+ c, n 6= −1
5.
∫
dx/x = ln x+ c, x > 0
6.
∫
dx/x = ln (−x) + c, x < 0
7.
∫
ex dx = ex + c
8.
∫
eax dx = eax/a+ c, a 6= 0
9.
∫
bax dx =
bax
a ln b
+ c, b > 0, a 6= 0
10.
∫
ln x dx = x ln x− x+ c, x > 0
11.
∫
sen x dx = − cos x+ c
12.
∫
cos x dx = sen x+ c
13.
∫
tg x dx = −ln [cos x] + c
14.
∫
cotg x dx = ln [sen x] + c
15.
∫
sec x dx = ln (sec x+ tg x) + c
16.
∫
sen x cos x dx = 12 sen
2x+ c
17.
∫ dx
a2 + x2
dx =
1
a
arctg
x
a
+ c
18.
∫ dx√
a2 − x2 dx = arcsen
x
a
+ c
19.
∫ dx√
x2 ± a2 = ln[x+
√
x2 ± a2] + c
20.
∫
u dv = uv − ∫ v du
Exercício 1
Resolva a equação diferencial
y′ =
2x
1 + x2
Consórcio CEDERJ - Fundação CECIERJ 2012/1
2
utilizando uma mudança de variáveis conveniente.
Exercício 2 Resolva, utilizando integração por partes:
a)
dy
dx
= x e−2x
b)
dy
dx
= x2 sen x
Exercício 3 Determine a solução da equação
y′ =
x3 + 3x− 1
x4 − 4x2
que passa pelo ponto (1,2)
Exercício 4 Calcule, usando o Teorema Fundamental do Cálculo, a derivada
de
F (x) =
∫ x
a
sen10(t) dt
Exercício 5 Calcule uma função contínua no intervalo [0,+∞) que seja so-
lução de
y′ + y = 1, no intervalo 0 ≤ x ≤ 1,
e solução de
y′ + y = 0, no intervalo x > 1
Consórcio CEDERJ - Fundação CECIERJ 2012/1
3
Exercício 6 Calcule a solução particular de
(1 + x3) dy − x2y dx = 0
que satisfaz a condição inicial x = 1, y = 2
Exercício 7 Dar as soluções gerais de:
a) x
dy
dx
+ y = x3y3
b)
dy
dx
=
4
x
y + x
√
y
c) 2xy
dy
dx
− y2 + x = 0
d) (1− x2)dy
dx
= xy + xy2
Respostas:
a) −2x3y2 + cx2y2 = 1
b) y = x4
(1
2
ln x+ c
)2
c) y2 = x ln
( c
x
)
d) y =
−1
1 + c
√
1− x2
Consórcio CEDERJ - Fundação CECIERJ 2012/1