ap3 ed 2010 2 gab

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
AP3– Equações Diferenciais – 2010/2
Soluções!
Questão 1 [2,5 pts]
Resolva 

dy
dx
=
y2 − y
x2 − 1
y(2) = 2
Solução:
Separando as variáveis da equação proposta chega-se a
dy
y(y − 1) =
dx
(x− 1)(x+ 1) (1)
Temos, utilizando o método das frações parciais,
dy
y(y − 1) =
A
y
+
B
y − 1 =
(A+ B)y − A
y(y − 1) .
A partir daí, igualando os coeficientes nos numeradores das primeira e
última frações, calculamos A = −1 e B = 1. Assim,
dy
y(y − 1) =
(
−1
y
+
1
y − 1
)
dy.
Analogamente
dx
(x− 1)(x+ 1) =
[
C
x− 1 +
D
x + 1
]
dx = · · · =
[
1/2
x− 1 −
1/2
x + 1
]
dx
Substituindo na equação (1) e integrando:
−ln(y) + ln(y − 1) = 1
2
[ln(x− 1)− ln(x + 1)] + c,
ou ainda,
y − 1
y
= k
√
x− 1
x + 1
Impondo a condição inicial:
{
x = 2
y = 2
}
=⇒ 1
2
= k
√
1
3
=⇒ k =
√
3
2
A solução é a função definida implicitamente por
y − 1
y
=
√
3
2
√
x− 1
x + 1
.
Questão 2 [2,5 pts]
Calcule uma família a um parâmetro de curvas planas definindo impli-
citamente soluções de(
x2y3 − 1
1 + x2
)
y′ + x3y2 = 0
Solução:
Sejam
M =
(
x2y3 − 1
1 + x2
)
e N = x3y2.
Observamos que
My = Nx = 3x
2y2,
de modo que a equação é exata.
Existe F tal que
∂F
∂x
= x2y3 − 1
1 + x2
(2)
∂F
∂y
= x3y2 (3)
Integrando (3) com realção y:
F (x, y) =
x3y3
3
+ g(x) (4)
2
Derivando (4) com respeito a x e igualando a (2), obtemos
x2y3 + g′(x) = x2y3 − 1
1 + x2
Assim,
g′(x) = − 1
1 + x2
,
g(x) = −arctg(x),
e
F (x, y) =
x3y3
3
− arctg(x).
As soluções da equação proposta são definidas implicitamente pela fa-
mília de curvas plans
x3y3
3
− arctg(x) = c.
Questão 3 [2,5 pts] Mostre que a equação
x y′′ − (x+ 3) y′ + 3y = 0
admite y1(x) = e
x como solução, e , em seguida, calcule uma solução
geral para ela.
Solução:
Substituindo ex e suas derivadas até a segunda ordem na equação dada,
obtemos:
x ex − (x+ 3) ex + 3 ex ≡ 0,
demodo que y1(x) = e
x é solução.
Utilizaremos agora o método da redução de ordem para construir uma
segunda solução, y2(x), linearmente independente de e
x.
Primeiramente, não podemos esquecer de escrever a equação na forma
normal
y′′ − (1 + 3
x
)︸ ︷︷ ︸
p(x)
y′ +
3
x
y = 0
3
De acordo com os resultados estabelecidos na Aula 13, uma segunda
solução, linearmente independente de y1(x), é dada pela fórmula
y2(x) = y1(x) ·
∫
1
[y1(x)]2
· e
(
−
∫
p(x)dx
)
dx
Substituindo p(x) por −
(
1 + 3
x
)
na fórmula acima, chega-se a
y2(x) = e
x
∫
e−x x3 dx,
o que nos dá (depois de integrar por partes três vezes):
y2(x) = e
x
(
−x3 e−x − 3x2 e−x − 6x e−x − 6 e−x
)
ou seja
y2(x) = −x3 − 3x2 − 6x− 6.
Obviamente podemos tomar
y2(x) = x
3 + 3x2 + 6x+ 6
como segunda solução. Portanto uma solução geral da equação x y′′−
(x+ 3) y′ + 3y = 0 é
y(x) = c1 e
x + c2 (x
3 + 3x2 + 6x+ 6).
Questão 4 [2,5 pts] Achar a solução geral do sistema de equações
−→
X ′ =
(
2 −1
3 −2
)−→
X +
(
et
t
)
Solução:
−→
X ′ =
(
2 −1
3 −2
)−→
X +
(
et
t
)
A equação dos autovalores da matriz do sistema é λ2− 1 = 0, que tem
como raízes λ1 = −1 e λ2 = 1.
4
Resolvendo o sistema (λI − A)−→V = −→O com λ = λ1 = −1 e λ =
λ2 = 1, calcula-se que, por exemplo,
−→
V1 =
(
1
3
)
e
−→
V2 =
(
1
1
)
são autovetores associados respectivamente a λ1 = −1 e λ2 = 1,
respectivamente.
Portanto a solução geral do sistema homogêneo associado é
−→
XH(t) = c1
(
e−t
3e−t
)
︸ ︷︷ ︸
−→
X1(t)
+c2
(
et
et
)
︸ ︷︷ ︸
−→
X2(t)
O determinante da matriz cujas colunas são
−→
X1(t) e
−→
X2(t) é
det ( col[
−→
X1(t)
−→
X2(t)] ) = det
(
e−t et
3e−t et
)
= −2
Conforme vimos na Aula 19, existe uma solução particular da forma
−→
Xp(t) = u(t)
−→
X1(t) + v(t)
−→
X2(t),
sendo que
u′(t) =
det
(
et et
t et
)
−2 e v
′(t) =
det
(
e−t et
3e−t t
)
−2
Isto é
u′(t) =
tet − e2t
2
e v′(t) =
3− te−t
2
Portanto (integrando por partes)
u(t) =
tet
2
− e
t
2
− e
2t
4
e v(t) =
3t
2
+
te−t
2
+
e−t
2
Assim
−→
Xp(t) =
(
tet
2
− e
t
2
− e
2t
4
)−→
X1(t) +
(
3t
2
+
te−t
2
+
e−t
2
)−→
X2(t),
e consequentemente a solução geral do sistema não-homogêneo é
−→
X (t) =
[
c1 +
(
tet
2
− e
t
2
− e
2t
4
)](
1
3
)
e−t+
[
c2 +
(
3t
2
+
te−t
2
+
e−t
2
)](
1
1
)
et �
5