EP10fgfg

Prévia do material em texto

1
Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Equações Diferenciais - Exercícios Programados 10
Exercício 1 Mostre que o �operador� L de�nido no espaço vetorial das fun-
ções integráveis no intervalo [a, b] por
L[y](t) =
∫ t
a
s2y(s) ds
é linear; isto é, L[cy] = cL[y] e L[y1 + y2] = L[y1] + L[y2].
Exercício 2
Este exercício apresenta outra maneira de determinar uma segunda solução y2(t)
da equação linear homogênea, no caso em que a equação característica associ-
ada tem uma raiz real dupla . Ele se aplica também a uma importante classe de
equações lineares de coe�cientes variáveis
Consideremos a equação linear homogênea com coe�cientes constantes
L[y] ≡ ay′′ + by′ + cy = 0 (1)
a) Mostre que
L[ert] = a(ert)′′ + b(ert)′ + cert = a(r − r1)2ert (2)
b) Mostre que
(∂/∂r)L[ert] = 2a(r − r1)ert + at(r − r1)2ert (3)
Mostre também que
L[(∂/∂r)ert] = 2a(r − r1)ert + at(r − r1)2ert (4)
Conclua então que
(∂/∂r)L[ert] = L[(∂/∂r)ert] = L[tert] (5)
c) Utilizando os itens (a) e (b), mostre �nalmente que que
L[ter1t] = 0,
o que signi�ca que y2(t) = ter1t é uma segunda solução de (1) .
Consórcio CEDERJ - Fundação CECIERJ 2012/2
2
Exercício 3 Use o método da redução de ordem para encontrar uma solução
para a equação diferencial dada.
a) t2y′′ − 4ty′ + 6y = 0, t > 0; y1(t) = t2
b) t2y′′ + 3ty′ + y = 0, t > 0; y1(t) = t−1
Exercício 4 Encontre a solução dos problemas de valor inicial abaixo:
a) 9y′′ − 12y′ + 4y = 0, y(0) = 2, y′(0) = −1
b) y′′ + y′ + 5/4y = 0, y(0) = 3, y′(0) = 1
c) y′′ + 4y′ + 3y = 0, y(0) = 2, y′(0) = −1
d) y′′ + 2y′ + 2y = 0, y(pi/4) = 2, y′(pi/4) = −2
e) y′′ + y′ − 2y = 0, y(0) = 1, y′(0) = 1
f) y′′ + 8y′ − 9y = 0, y(1) = 1, y′(1) = 0
g) y′′ + 4y′ + 4y = 0, y(−1) = 2, y′(−1) = 1
Exercício 5 Calcule a solução u(t) do problema de valor inicial
3u′′ − u′ + 2u = 0, u(0) = 2, u′(0) = 0.
Consórcio CEDERJ - Fundação CECIERJ 2012/2