AVALIAÇÃO Fundamentos de Geometria I com GABARITO

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Questões 
1. 
(a) (10 pontos). Na Geometria Neutra, é válido o seguinte *Lema (do triângulo isósceles): se 
dois lados de um triângulo são iguais, então os ângulos opostos a estes lados são iguais. 
Utilizando este lema prove que "todo triângulo equilátero é equiângulo". 
Considere um triângulo equilátero ABC. Então AB=AC e segue do lema do triângulo 
isósceles* que os ângulos 𝐶 𝑒 𝐵 , opostos aos lados AB e AC, respectivamente, são tais que 
𝐶=𝐵 . De maneira análoga, considerando agora os lados iguais AB e BC, segue do mesmo 
lema que 𝐶=𝐴. Das duas igualdades anteriores obtemos 𝐵 =𝐶 =𝐴 , ou seja, o triângulo é 
equiângulo (todos os ângulos são iguais). 
 
(b) (10 pontos). Na Geometria Neutra, é válido o seguinte *Lema (dos ângulos alternos-
internos (ou correspondentes)): se os ângulos alternos-internos (ou ângulos correspondentes) 
formados por uma transversal com duas retas r e s são iguais, então r e s são paralelas. 
Utilizando este lema prove que "duas retas perpendiculares a uma terceira são paralelas". 
Sejam r e s duas retas perpendiculares a uma terceira reta t pelos pontos A e B, 
respectivamente (veja fig. 2). Assim, r e t determinam um ângulo de 90º assim como s e t(veja 
fig. 2). Sabemos que os ângulos alternos-internos também são de 90º (veja fig. 3). Agora o 
Lema dos ângulos alternos-internos* afirma que r e s são paralelas. 
 
 
 
 
UNIVERSIDADE FEDERAL DE GOIÁS 
REGIONAL CATALÃO 
UNIDADE ACADÊMICA ESPECIAL DE MATEMÁTICA E 
TECNOLOGIA 
CURSO DE MATEMÁTICA EaD 
 
 
Disciplina: Fundamentos de Geometria II Professor: Márcio Roberto Rocha Ribeiro 
AVALIAÇÃO PRESENCIAL- 07/07/2018-GABARITO 
ALUNO:_______________________________________________________________ 
 
2. 
(a) (10 pontos). Enuncie os axiomas de paralelismo de Euclides e de Lobatchevsky. 
Axioma de paralelismo de Euclides (PLAYFAIR). Qualquer que seja a reta r e qualquer que 
seja o ponto P fora de r, por P passa só uma paralela à reta r. 
Axioma de paralelismo de Lobatchevisky. Existe reta r e existe ponto P fora de r tal que, por 
P passam mais de uma paralela a r. 
 
(b) (10 pontos). Defina paralelogramo. 
Definição de paralelogramo. Um paralelogramo é um quadrilátero cujos lados opostos são 
paralelos (isto é, estão em retas paralelas). 
 
 Na geometria Euclidiana existe retângulo? 
Sim, existe retângulo na Geometria Euclidiana, e podemos construir um da seguinte forma: 
 
 
 
 
 
De fato, do lema dos ângulos correspondentes temos que u é paralela a r e s é paralela à t; 
logo, os lados opostos do quadrilátero são paralelos. Os ângulos 𝑨 ,𝑩 𝒆 𝑫 são retos por 
construção. Quanto ao ângulo 𝑪 , sendo as retas s e t paralelas os ângulos correspondentes 
formados com a transversal u são iguais (Lema fundamentas das retas paralelas): sendo um 
deles, 𝑫 , reto o outro também é reto. Portanto, o ângulo 𝑪 também é reto. Assim, A, B, C e D 
são vértices de um retângulo. 
E na geometria Hiperbólica? 
Na Geometria Hiperbólica não existe retângulo. De fato, a soma dos ângulos internos de um 
retângulo é sempre 360º. Todavia, vimos que, na Geometria Hiperbólica (GH), "a soma dos 
ângulos de qualquer quadrilátero convexo é menor que 360º". Segue que não pode existir 
retângulo na GH. 
 
 
 
 
1. Seja r uma reta; 
2. A e B pontos em r; 
3. s e t perpendiculares a r, por A e B, respectivamente; 
4. Seja D um ponto de s, distinto de A; 
5. Considere u uma perpendicular a s, por D; 
6. u corta t num ponto C ( pelo lema da transversal); 
7. Os pontos A, B, C e D são vértices de um retângulo 
(vamos justificar esta afirmação logo abaixo); 
 
3. 
(a) (10 pontos) Defina triângulos congruentes e enuncie o axioma de congruência de 
triângulos. 
DEFINIÇÃO. Dois triângulos, um com vértices A, B e C, outro com vértices A’, B’ e C’, são 
IGUAIS ou CONGRUENTES se existe uma correspondência f entre os vértices do primeiro e 
os vértices do segundo, digamos f(A)=A’, f(B)=B’, f(C)=C’, tal que os ângulos 
correspondentes e os lados correspondentes sejam iguais (congruentes). 
ENUNCIADO DO AXIOMA. Se 𝑨𝑩 = 𝑨′𝑩′ , Â = 𝑨′ e 𝑨𝑪 = 𝑨′𝑪′ então o triângulo ABC é 
congruente ao triângulo A’B’C’. 
 
(b) No modelo de Moulton considere a seguinte figura com dois triângulos ABC e ACD. 
 
Estabeleça uma correspondência entre os vértices desses dois triângulos de tal forma que a 
hipótese do axioma de congruência seja atendida. 
Utilizando de nossa imaginação, podemos descolar os dois triângulos de Moulton da figura 
acima e nomeá-los como triângulo ABC e triângulo ADC como mostrado abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. 
(a) (10 pontos). Na geometria Euclidiana prove que a soma dos ânuglos internos de um 
triângulo é 180º. 
 Tracemos por um vértice do triângulo uma reta paralela ao 
lado oposto (como na figura ao lado); observemos que neste 
vértice aparecem três ângulos adjacentes formando um 
ângulo raso sendo, pois a soma deles igual a 180º. Um destes 
ângulos é um dos ângulos do triânguylo; os outros dois são 
iguais aos outros dois ângulos do triângulo, pelo lema 
fundamental das paralelas. Logo a soma dos três ângulos do 
triângulo é 180º. 
A 
B C 
β 
C 
D A 
α 
Note que já estamos estabelecendo uma correspondência 
entre os vértices nos triângulos de Moulton: A com A, B com 
D e C com C, de tal forma que AB = AD, 𝑩 = 𝑫 e BC=DC 
(LAL). A hipótese do teorema de congruência de triângulos 
está atendida. De fato, os lados AB, AD, BC e DC são 
segmentos cartesianos e todos possuem a mesma media 1. Os 
ângulos 𝑩 𝒆 𝑫 são ângulos cartesianos retos, portanto 
possuem mesma medida. 
 
 
 
(b) (10 pontos). No triângulo da figura abaixo 𝜃 é um ângulo externo, 𝛼 e 𝛾 são ângulos internos 
não adjacentes à 𝛼. Prove que 𝜃 = 𝛼 + 𝛾. 
 
 
 
 
5. (20 pontos). 1) Considerando-se em vigor todos os axiomas da geometria euclidiana. 
Como se prova que o APE é independente dos axiomas da Geometria Neutra? 
O APE não pode ser provado, isto é, é impossível prová-lo. Para provar que é impossível provar 
precisamos de um modelo em que valha todos os axiomas da geometria Neutra e não vale o da 
unicidade de paralelas, este modelo é o de Klein. 
No modelo de Klein vamos exibir uma reta r e um ponto P fora de r pelo qual passam duas retas 
s e t, paralelas à reta r (veja a figura abaixo). 
1. Sejam: r a reta cartesiana 𝑦 = 0; 𝑃 = −
1
3
,
2
3
 ; s a reta cartesiana 𝑦 =
2
3
 e t a reta 
cartesiana 𝑦 = 𝑥 + 1. Ao restringirmos estas retas ao interior do círculo de raio 1, 
obtemos retas de Klein. A figura abaixo mostra estas retas. 
 
 
 
 
 
 
𝜶 + 𝜸 = 𝜽. 
Do item (a) 
 𝜶 + 𝜷 + 𝜸 = 𝟏𝟖𝟎 𝜶 + 𝜸 = 𝟏𝟖𝟎 − 𝜷. 
Como 𝜷 + 𝜽 = 𝟏𝟖𝟎. Então 𝜽 = 𝟏𝟖𝟎- 𝜷. 
Substituindo na equação acima, obtemos 
1 
−1 
s 
t 
r 
P