Binômio_de_Newton

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INTRODUÇÃO
No campo matemático Isaac Newton, matemático e físico inglês, 1642 – 1727, desenvolveu o binômio “de Newton” e o método das fluxões, que se tornaria o atual cálculo diferencial e integral, e posteriormente motivo da disputa com Liebniz pela prioridade de sua descoberta.
 	O binômio de Newton não foi objeto de estudo de Isaac Newton. Na verdade o que Newton estudou foram regras para que valem para (a + b)n quando o expoente n é fracionário ou inteiro negativo, o que leva ao estudo de séries infinitas. Suas contribuições à Matemática, estão reunidas na monumental obra Principia Mathematica, escrita em 1687. 
	Existe um método para desenvolver a enésima potência de um binômio e Newton. Para esse método é necessário saber o que são coeficientes binomiais, algumas de suas propriedades e o triângulo de Pascal.
1 – Definição:
Denomina-se Binômio de Newton, a todo binômio da forma (a+b)n, sendo n um número natural. Foi definido pelo físico e matemático Isaac Newton, esse estudo veio para complementar o estudo de produto notável. Produto notável diz que um binômio elevado ao quadrado é igual ao quadrado do primeiro monômio mais duas vezes o primeiro, vezes o segundo monômio mais o quadrado do segundo monômio.
O estudo de Binômio de Newton engloba: 
- Coeficientes Binomiais e suas propriedades;
- Triângulo de Pascal e suas propriedades;
- Fórmula do desenvolvimento do binômio de Newton.
2 – Exemplos:
Exemplo de um binômio de Newton:
B = (3x - 2y)4 onde (a = 3x, b = -2y e n = 4 [grau do binômio]). 
Exemplos de desenvolvimento de binômios de Newton:
a) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
b) (a + b)3 = a3 + 3 a2b + 3ab2 + b3
c) (a + b)4 = a4 + 4 a3b + 6 a2b2 + 4ab3 + b4 
d) (a + b)5 = a5 + 5 a4b + 10 a3b2 + 10 a2b3 + 5ab4 + b5
	Vamos tomar por exemplo, o item (d) acima: (a + b)5
Observe que o expoente do primeiro e último termos são iguais ao expoente do binômio, ou seja, igual a 5. A partir do segundo termo, os coeficientes podem ser obtidos a partir da seguinte regra prática de fácil memorização.
Multiplicamos o coeficiente de a pelo seu expoente e dividimos o resultado pela ordem do termo. O resultado será o coeficiente do próximo termo. Assim por exemplo, para obter o coeficiente do terceiro termo do item (d) acima teríamos: 5x4 = 20; agora dividimos 20 pela ordem do termo anterior (2 por se tratar do segundo termo) 20:2 = 10 que é o coeficiente do terceiro termo procurado. Observe que os expoentes da variável a decrescem de n até 0 e os expoentes de b crescem de 0 até n. Assim o terceiro termo é 10 a3b2 (observe que o expoente de a decresceu de 4 para 3 e o de b cresceu  de 1 para 2).
Observações:
O desenvolvimento do binômio (a + b)n é um polinômio.
O desenvolvimento de (a + b)n possui n + 1 termos.
Os coeficientes dos termos eqüidistantes dos extremos, no desenvolvimento de (a + b)n são iguais.
A soma dos coeficientes de (a + b)n é igual a 2n.
3 – Formula do Termo Geral do Binômio de Newton:
Um termo genérico Tp+1 do desenvolvimento de (a+b)n, sendo p um número natural, é dado por:
Tp+1 = onde = Cn,p = 
É denominado Número Binomial e Cn.p é o número de combinações simples de n elementos, agrupados p a p, ou seja, o número de combinações simples de n elementos de taxa p.  Este número é também conhecido como Número Combinatório.
4 – Triângulo de Pascal
4.1 – Definição: 
O triângulo de Pascal é um triângulo aritmético formado por números que têm diversas relações entre si. Muitas dessas relações foram descobertas pelo próprio Blaise Pascal (cientista francês, 1623-1662), o que justifica o nome que lhe é dado. O triângulo de Pascal é um arranjo de números, usado para calcular coeficientes binomiais. Ele é construído somando-se dois números adjacentes numa linha e colocando a soma entre eles, na próxima linha abaixo.
	
	
	
	
	
	
	
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...
Este triângulo forma-se de forma recursiva, ou seja, as diagonais de fora são formadas por 1's, os restantes números são a soma dos números acima. Como exemplo podemos dizer que: 10=4+6 (10-linha 5; 4 e 6-linha 4).
NOTA: Considera-se que o topo do triângulo corresponde à linha 0, coluna 0.
Apresentando a fórmula matemática para esta propriedade:
Sendo n o número de linhas e k o número de colunas dessa linha onde o número está (não se conta com o topo do triângulo, pois numa sucessão definida por recorrência tem que existir uma condição inicial, tal é 1).
Tal fórmula mostra-se por indução matemática em n.
	
 
Uma outra consequência é a soma dos elementos de uma linha.
Pascal ao constatar este resultado particularizou o método da indução para um determinado valor e disse que o mesmo sucederia para os restantes.
A 20ª consequência que Blaise Pascal retirou do triângulo foi a seguinte:
Também esta fórmula pode ser demonstrada usando o método da indução. 
Com as 20 consequências que Pascal retirou do triângulo, foi-lhe possível chegar ao resultado.
Usando o método da indução, ele chegou ainda à conclusão que:
Ou seja, ao número de combinações de n elementos k a k.
Também mostrou que as linhas do triângulo correspondem aos coeficientes da potência de a na expansão de (a+1)n
Pascal relaciona o triângulo aritmético com a teoria das probabilidades da qual foi também pioneiro.
	
	
4.2 Outras propriedades do triângulo de Pascal :
	
	
	
	
	
	
	
	
	
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...
É de realçar que o triângulo é simétrico. Por isso os elementos  eqüidistantes aos extremos do triângulo iguais, ou seja em linguagem matemática, nCp= nCn-p com n, pN0, np.
Encontramos também os números naturais aqui, na 2ª diagonal. Quando um deles for primo (isto é, apenas divisível por ele próprio e por 1) então todos os elementos dessa linha, excluindo o 1, são divisíveis por ele.
Temos como exemplo na linha 7 (1   7   21   35   35   21   7   1), como 7 é primo então 7, 21 e 35 são divisíveis por ele.
Como Pascal observou, a soma de cada linha é uma potência de 2. Portanto temos:
Linha 0: 20=1
Linha 1: 21=2
Linha 2: 22=4
Podemos verificar também que existem potências de 11, neste triângulo.
Linha 0:  110=1(100)=1
Linha 1:  111=1(101)+1(100)=10+1=11
Linha 2:  112=1(102)+2(101)+1(100)=100+20+1=121
Linha 3:  113=1(103)+3(102)+3(101)+1(100)=1000+300+30+1=1331
Linha 4:   114=1(104)+4(103)+6(102)+4(101)+1(100)=14641
...
Concluímos assim que:
A maior potência de cada soma corresponde a linha que estamos a considerar; 
Os coeficientes das potências são os elementos da linha em questão; 
A potência de 11 corresponde à maior potência apresentada na soma, ou seja, o número da linha. 
Na 3ª diagonal encontramos os números triangulares, estes pertencem à categoria dos números figurados (descobertos por matemáticos das escolas pitagóricas) pois formam figuras geométricas, neste caso triângulos como é exemplificado: 
      
É de notar que estes números são alternadamente dois ímpares dois pares, podendo ser alcançados através de sucessões porrecorrência através da fórmula T(n)= n(n+1)/2 (a partir dos n-1 elementos conseguimos alcançar o elemento n).
Como a partir dos números triangulares se podem obter os números hexagonais H(n)=n(2n-1), é possível vê-los aqui também. 
  
Esta diagonal contém ainda os números quadrados, pois se somarmos o primeiro elemento ao segundo (1+3) obtemos o 4 que é um número quadrado, ao somarmos o segundo ao terceiro elemento (3+6) ficamos com o número 9, também ele um número quadrado, e assim por diante. Para além do que estamos habituados a fazer (a2) podemos também representar estes números sobre a forma geométrica.
          
Na 4ª diagonal podemos observar mais alguns números figurados tais como os números tetraédricos (1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, ...). Estes, de acordo com os esquemas anteriores também representam formas geométricas, neste caso um tetraedro (pirâmide regular com base triangular). 
A sua fórmula é: 
  
Sendo o seu termo geral : 
  
	
	
	
4.3 Padrões do Triangulo de Pascal 
4.3.1 Padrão do Stick de Hóquei
	
	
	
	
	
	
	
	
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... 
Neste padrão verifica-se que um certo número de uma diagonal somados equivale ao número imediatamente abaixo, não estando nessa mesma diagonal. Pode-se constatar tal resultado através de uma fórmula combinatorial, bastante útil: 
  
4.3.2 Padrão da espiga
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
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Considerando as diagonais do Triângulo. Pode-se verificar que a soma dos primeiros n elementos da n-ésima diagonal é igual ao (n+1)-ésimo elemento dessa mesma diagonal. É interessante observar que esses elementos das diagonais vão estar todos numa coluna. 
4.3.3 Números de Fibonacci
	
	
	
	
	
	
	
	
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	56
	
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... 
Assim podemos ver 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,... que correspondem aos números de Fibonacci, podendo também ser obtidos por recorrência a partir da seguinte fórmula: 
F(1)=F(2)=1 
F(n)=F(n-1)+F(n-2)   
4.3.4 Números de Catalan 
Se aos elementos centrais do triângulo os dividíssemos pelos números naturais respectivamente, obteríamos a sucessão: 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, ... que se chamam número de Catalan.
Assim genericamente temos: 
Cn = [1/(n+1)] x 2nCn = (2n)! /(n!(n+1)!) 
REFERÊNCIAS
Introdução:
http://www.webartigos.com/articles/14098/1/Issac-Newton/pagina1.html
http://www.estv.ipv.pt/paginaspessoais/fmartins/Aluno/Matem%C3%A1tica/Ensino%20m%C3%A9dio/Binomio%20de%20Newtion/Bin%C3%B3mio%20de%20Newton.htm
Binômio de Newton:
http://www.algosobre.com.br/matematica/binomio-de-newton.html
 http://www.brasilescola.com/matematica/binomio-de-newton.htm
Triângulo de Pascal:
http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/opombo/seminario/pasca_l/pascal.htm
http://www.fem.unicamp.br/~em313/paginas/person/pascal.htm
FERNANDA LETÍCIA DA CRUZ SANTOS
NÍVIO IGOR CASEMIRO IMBIRIBA
PESQUISA SOBRE BINÔMIO DE NEWTON
Pesquisa sobre Binômio de Newton e Triângulo de Pascal, orientada pela professora Eliane Oliveira, com pontuação referente ao primeiro bimestre da disciplina Matemática Discreta I.
CESUPA – 2010
FERNANDA LETÍCIA DA CRUZ SANTOS
NÍVIO IGOR CASEMIRO IMBIRIBA
PESQUISA SOBRE BINÔMIO DE NEWTON
CESUPA – 2010