Aulas completas cálculo numérico

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Uma loja vende um produto por R$50,00, cada unidade, e cobra a taxa de R$5,00 pela entrega, 
independentemente da quantidade comprada pelo cliente. Determine a expressão do valor total 
a ser pago em reais, V(x), em função da quantidade x comprada incluindo a taxa de entrega. 
 
 V(x) = 50x +5 
 
V(x) = x50 + 5 
 
V(x) = 55 
 
V(x) = 50(x+5) 
 
V(x) = 50x + 5 
 
Seja f uma função de R em R, definida por f(x) = x2 + 1, calcule f(-1/4). 
 
 17/16 
 
2/16 
 
- 2/16 
 
16/17 
 
9/8 
 
Em que intervalo numérico abaixo a função f(x) = x3-8x+1 possui pelo menos uma raiz real? 
 
 (-0.5, 0) 
 
(1, 1.5) 
 (0, 0.5) 
 
(1.5, 2) 
 
(0.5, 1) 
 
A teoria da Computação Numérica se baseia em estabelecer rotinas reiteradas de cálculos 
matemáticos com o intuito de se obter solução aproximada ou mesmo exata para um 
determinado problema. Neste contexto, é ideal que uma rotina de cálculo seja implementada 
em um computador, sendo utilizadas algumas estruturas lógicas básicas. Com relação a estas 
estruturas, NÃO PODEMOS AFIRMAR: 
 
 
Estruturas sequenciais representam ações que seguem a outras ações 
sequencialmente. A saída de uma ação é a entrada de outra. 
 
Estruturas seletivas são aquelas que possuem ações que podem ser realizadas ou não. 
No pseudocódigo estas estruturas são representadas diversas vezes pela palavra 
inglesa "if". 
 
Estruturais repetitivas representam ações condicionadas a um critério de parada, às 
vezes determinado em pseudocódigo pela palavra inglesa "while". 
 
As estruturas repetitivas, sequenciais e seletivas utilizam com frequência os 
"pseudocódigos" para expressarem as ações a serem executadas. 
 Estruturas repetitivas representam ações que se repetem um número indeterminado de 
vezes. Em pseudocódigo podem ser representadas pela palavra inglesa "until". 
 
Utilize o Método de Newton para encontrar a sua raiz aproximada x2 na função f(x) = 2 - 
3ln(x) dado x0=0,5. 
 
 
1,87 
 1,77 
 
1,70 
 
1,67 
 
1,17 
Considere a descrição do seguinte método iterativo para a resolução de equações. " a partir de 
um valor arbitrário inicial x0 determina-se o próximo ponto traçando-se uma tangente pelo 
ponto (x0, f(x0)) e encontrando o valor x1 em que esta reta intercepta o eixo das abscissas." 
Esse método é conhecido como: 
 
 Método de Newton-Raphson 
 
Método da bisseção 
 
Método do ponto fixo 
 
Método das secantes 
 
Método de Pégasus 
 
 
Dado o seguinte sistema linear: 
x + y + 2z = 9 
2x + 4y -3z = 1 
3x + 6y - 5z = 0 
Determine utilizando o método de Gauss -Jordan os valores de x, y e z. 
 
 
x=2, y=4, z=6. 
 
x=-2, y=4, z=-6. 
 
x=3, y=1, z=2. 
 x=1, y=2, z=3. 
 
x=-3, y=1, z=-2. 
 
Marque o item correto sobre o Método Eliminação de Gauss: 
 
 
Utiliza o conceito de matriz quadrada. 
 É utilizado para a resolução de sistema de equações lineares. 
 
É utilizado para fazer a interpolação de dados. 
 
É utilizado para encontrar a raiz de uma função. 
 
Nenhuma das Anteriores. 
 
Numa situação experimental, um engenheiro sabe que o carregamento distribuído sobre uma 
viga é um arco de parábola dado pela equação w(x) = a.x2 + b.x, onde x é dado em metros e 
W(x) em kN/m. A viga tem comprimento l = 2 m e, nas extremidades, o carregamento é zero. 
Além disso, no ponto médio da viga W vale 2 kN/m. Encontre a função para W(x) 
 
 
W(x) = - x2 + 4x 
 
W(x) = x2 + 4x 
 
W(x) = -2.x2 + 2x 
 W(x) = 2.x2 + 4x 
 W(x) = -2.x2 + 4x 
 
 
 
 
Você é estagiário de uma empresa de engenharia que trabalha com testes em peças para 
grandes motores. Em um ensaio laboratorial você gera 10 pontos ( (x0,f(x0)), (x1,f(x1)),..., 
(x9,f(x9))). Suponha que se você tenha encontrado o polinômio P(x) interpolador desses pontos. 
A respeito deste polinômio é verdade que: 
 
 Será de grau 9, no máximo 
 Sempre será do grau 9 
 
Poderá ser do grau 15 
 
Nunca poderá ser do primeiro grau 
 
Pode ter grau máximo 10 
 
Arredonde para quatro casas decimais, o valor x= 3,1415926536 
 
 
3,142 
 
3,141 
 
3,1415 
 3,1416 
 
3,14159 
 
 
Uma vendedora recebe R$ 1000,00 de salário fixo, mais R$ 0,05 para cada real faturado nas 
vendas. Sendo x o valor em reais correspondente às vendas mensais da referida vendedora, 
expresse seu salário em função de x. 
 
 
1000 - 0,05x 
 1000 + 0,05x 
 
50x 
 
1000 + 50x 
 
1000 
 
Vamos encontrar uma aproximação da raiz da função: f(x) = x3 - 9x + 3 utilizando o Método da 
Bisseção. Realize 2 iterações. Intervalo inicial de x0=0 e x1=0.5. Após a realização das iterações 
diga o valor encontrado para x3. 
 
 
1 
 
0,4 
 
0.765625 
 0, 375 
 
0.25 
 
Usando um método iterativo para buscar a raiz da equação f(x) = 0 são 
encontrados os valores: x1= 2,79 x2 = 2,75 x3= 2,74 x4 
= 2,735 x5=2,734. Considerando que o critério de parada é obter um valor para a raiz cujo 
erro absoluto seja menor que 0,01, qual o maior valor que pode ser adotado para a raiz ? 
 
 
x5 
 
x3 
 
x1 
 
 x2 
 x4 
 
 
Considere a equação x3 - 3x2 + 3x - 3 = 0. É possível afirmar que existe uma raiz real desta 
equação em que intervalo? 
 
 
(-2, -1) 
 
(1, 2) 
 
(0, 1) 
 
(-1, 0) 
 (2, 3) 
 
Determine, utilizando o método de newton-raphson, qual a raiz da equação f(x) = 3x4-x-3 
utilizando x0 = 1. Aplique duas iterações do método e indique a raiz encontrada. (Utilize 
quatro casas decimais para as iterações) 
 
 
 
1.0909 
 1.0800 
 
1.0746 
 
1.0245 
 
1.9876 
 
 
Considere um sistema linear 2 x 2, isto é, duas equações e duas incógnitas. Ao fazer a 
representação no plano cartesiano xy tem-se duas retas paralelas distintas. A respeito deste 
sistema podemos afirmar que: 
 
 apresenta uma única solução 
 apresenta infinitas soluções 
 
nada pode ser afirmado. 
 
não apresenta solução 
 
apresenta ao menos uma solução 
 
 
O sistema de equações lineares abaixo pode ser representado em uma matriz estendida como: 
2x+3y-z = -7 
x+y+z = 4 
-x-2y+3z = 15 
 
 
 1 0 0 | -7 
 0 1 0 | 4 
 0 0 1 | 15 
 
 2 3 1 | -7 
 1 1 1 | 4 
 1 2 3 | 15 
 2 3 1 | -7 
 1 1 1 | 4 
-1 -2 3 | 15 
 2 3 -1 | -7 
 1 1 1 | 4 
-1 -2 3 | 15 
 
 2 1 1 | -7 
 3 1 -2 | 4 
-1 1 3 | 15 
 
Numa situação experimental, um engenheiro sabe que o carregamento distribuído sobre uma 
viga é um arco de parábola dado pela equação w(x) = a.x2 + b.x, onde x é dado em metros e 
W(x) em kN/m. A viga tem comprimento l = 2 m e, nas extremidades, o carregamento é zero. 
Além disso, no ponto médio da viga W vale 2 kN/m. Encontre a função para W(x) 
 
 
W(x) = - x2 + 4x 
 
W(x) = x2 + 4x 
 
W(x) = -2.x2 + 2x 
 W(x) = -2.x2 + 4x 
 
W(x) = 2.x2 + 4x 
 
Durante a coleta de dados estatísticos referente ao número médio de filhos das famílias de uma 
comunidade em função do tempo, verificamos a obtenção dos seguintes pontos (x,y), nos quais 
"x" representa o tempo e "y" representa o número de filhos: (1, 2), (2, 4), (3,5) e (4,6). Caso 
desejemos representar estes pontos através de uma função, que ramo do Cálculo Numérico 
deveremos utilizar? Assina a opção CORRETA. 
 
 
Determinação de raízes. 
 
Verificação de erros. 
 
Derivação. 
 Interpolação polinomial. 
 
Integração. 
 
Toda medida Física apresenta um erro inerente. Dois erros são muito utilizados para avaliar o 
afastamento de um valor, supostamente, correto. Suponha que ao medir o diâmetro do eixo de 
um motor, um técnico
encontrou o valor 35,42 mm. Ao examinar o manual do motor, a 
informação é de que o diâmetro deste eixo é de 35,50 mm. Qual o erro percentual desta 
medição: 
 
 
0,35% 
 
1,08% 
 
0,08% 
 0,23% 
 
8% 
 
 
 
 
Sendo f uma função de R em R, definida por f(x) = 2x - 7, calcule f(2). 
 
 -3 
 
3 
 
-11 
 
2 
 
-7 
 
Em Cinemática Física, temos funções matemáticas que nos fornecem informações da posição, 
velocidade e aceleração em função do tempo e que se relacionam entre si através de operações 
matemáticas denominas de derivação e integração. Entre os diversos métodos numéricos para 
se obter a integral definida de uma função, podemos citar, com EXCEÇÃO de: 
 
 
Extrapolação de Richardson. 
 
Regra de Simpson. 
 
Método de Romberg. 
 
Método do Trapézio. 
 Método da Bisseção. 
 
Seja a medida exata da área de uma laje igual a 24,8 m2 e o valor aproximado de 25m2. Qual 
o erro absoluto associado? 
 
 0,2 m2 
 
0,992 
 
99,8% 
 
1,008 m2 
 
0,2% 
 
Determine, utilizando o método de newton-raphson, qual a raiz da equação f(x) = 3x4-x-3 
utilizando x0 = 1. Aplique duas iterações do método e indique a raiz encontrada. (Utilize 
quatro casas decimais para as iterações) 
 
 
 
1.0909 
 
1.0746 
 1.0800 
 
1.9876 
 
1.0245 
 
Considere a equação x3 - 3x2 + 3x - 3 = 0. É possível afirmar que existe uma raiz real desta 
equação em que intervalo? 
 
 
(-2, -1) 
 
(-1, 0) 
 
(0, 1) 
 (2, 3) 
 
(1, 2) 
 
 
Uma maneira de resolver um sistema linear é utilizando a eliminação de Gauss. Este método 
pode ser resumido como: 
 
 
Determinar uma matriz equivalente com determinante nulo 
 
Determinar uma matriz equivalente não inversível 
 Encontrar uma matriz equivalente escalonada 
 
Determinar uma matriz equivalente singular 
 
Encontrar uma matriz equivalente com (n-1) linhas 'zeradas'. 
 
Para resolvermos um sistema de equações lineares através do método de Gauss-Jordan, nós 
representamos o sistema usando uma matriz e aplicamos operações elementares até que ela 
fique no seguinte formato: Obs: Considere como exemplo uma matriz 3X3. Considere que * 
representa um valor qualquer. 
 
 1 0 0 | * 
0 1 0 | * 
0 0 1 | * 
 
1 1 1 | * 
1 1 1 | * 
1 1 1 | * 
 
0 0 1 | * 
0 0 1 | * 
0 0 1 | * 
 
1 0 0 | * 
1 1 0 | * 
1 1 1 | * 
 
1 1 1 | * 
0 1 1 | * 
0 0 1 | * 
 
 
Considere o valor exato 1,126 e o valor aproximado 1,100. Determine respectivamente o erro 
absoluto e o erro relativo. 
 
 
0,026 E 0,026 
 
0,023 E 0,026 
 0,026 E 0,023 
 
0,013 E 0,013 
 
0,023 E 0,023 
 
 
 
 
Em Cálculo Numérico, existem diversos métodos para a obtenção de raízes de uma equação 
através de procedimentos não analíticos. Considerando a equação x2+x-6=0 e a técnica 
utilizada no método do ponto fixo com função equivalente igual a g(x0)=6-x2 e x0=1,5, verifique 
se após a quarta interação há convergência e para qual valor. Identifique a resposta CORRETA. 
 
 Não há convergência para um valor que possa ser considerado raiz. 
 
Há convergência para o valor -3. 
 
Há convergência para o valor 2. 
 
Há convergência para o valor -59,00. 
 
Há convergência para o valor - 3475,46. 
 
 
Arredonde para quatro casas decimais, o valor x= 3,1415926536 
 
 3,1415 
 
3,142 
 
3,14159 
 3,1416 
 
3,141 
 
 
 
Uma vendedora recebe R$ 1000,00 de salário fixo, mais R$ 0,05 para 
cada real faturado nas vendas. Sendo x o valor em reais correspondente 
às vendas mensais da referida vendedora, expresse seu salário em função 
de x. 
 
 
1000 
 1000 + 0,05x 
 
1000 - 0,05x 
 
1000 + 50x 
 
50x 
 
 
 
Em cálculo numérico é necessário o conhecimentos de várias funções. Por 
exemplo, que função é definida pela sentença: função f definida de R em R na qual 
a todo x pertencente ao domínio R associa o elemento yde valor igual 
a ax2+bx+cx (onde a  R*, b e c  R) 
 
 
Função linear. 
 Função quadrática. 
 
Função exponencial. 
 
Função afim. 
 
Função logaritma. 
 
 
 
Seja f uma função de R em R, definida por f(x) = x2 + 1, calcule f(-1/4). 
 
 17/16 
 
- 2/16 
 
16/17 
 
2/16 
 
9/8 
 
 
 
Sendo f uma função de R em R, definida por f(x) = 2x - 7, calcule f(2). 
 
 
3 
 
-11 
 -3 
 
-7 
 
2 
 
 
f(2)= 2.2-7=-3 
 
Sendo f e g funções de R em R, definida por f(x) = 3x - 4 e g(x) = 4x -
3 calcule f(3) +g(2) . 
 
 10 
 9 
 
 7 
 
 6 
 
14 
 
 
Explicação: 
f(3) = 3.3 -4 = 5 e g(2) = 4.2 -3 = 5 , então f(3) +g(2) = 5 + 5 = 
10 . 
 
 
 
O número binário (10000111101)2 tem representação na base decimal 
igual a: 
 
 
1086 
 1085 
 
1084 
 
10860 
 
10085 
 
Número binário | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 
Valor de posição | | | | | | | | | | | 
Cálculo | 1 * 1024 | 0 * 512 | 0 * 256 | 0 * 128 | 0 * 64 | 1 * 32 | 1* 16 | 1 * 8 | 1 * 4 | 0 * 2 | 1 * 0 
Resultado | 1024 + 0 + 0 + 0 + 0 + 32 + 16 + 8 + 4 + 0 + 1 = 1085 
 
 
 
Toda medida Física apresenta um erro inerente. Dois erros são muito 
utilizados para avaliar o afastamento de um valor, supostamente, correto. 
Suponha que ao medir o diâmetro do eixo de um motor, um técnico 
encontrou o valor 35,42 mm. Ao examinar o manual do motor, a 
informação é de que o diâmetro deste eixo é de 35,50 mm. Qual o erro 
percentual desta medição: 
 
 
1,08% 
 
0,35% 
 
8% 
 0,23% 
 
0,08% 
 
 
Explicação: 
Erro absoluto = módulo (35,50 - 35,42) = 0,08 
Erro relativo: = 0,08/35,50 = 0,0023 = 0,23% 
 
Sejam os vetores u = (0,2), v = (-2,5) e w = (x,y) do R2. Para que w = 3u + v, devemos ter x + y igual a: 
 
 9 
 
18 
 
5 
 
2 
 
10 
 
 
Explicação: 
xu = 3.0 - 2 = -2 
yu = 3.2 + 5 = 11 
 
 
 
Vamos encontrar uma aproximação da raiz da função: f(x) = x3 - 9x + 3 utilizando o Método da Bisseção. 
Realize 2 iterações. Intervalo inicial de x0=0 e x1=0.5. Após a realização das iterações diga o valor 
encontrado para x3. 
 
 
0.25 
 0, 375 
 
0.765625 
 
0,4 
 
1 
 
 
Explicação: 
 f(x) = x3 - 9x + 3 ... x0 =0 e x1 =0,5 . 
f(0 ) = +3 positivo e f(0,5) = 0,125 - 4,5 +3 = -1,375 negativo ( há pelo menos uma raiz) 
Primeiro x médio : x2 = 0,25 ... f (0,25) = 0,253 - 9. 0,25 +3 = 0,0156 + 0,75 = + 0,7656 valor 
positivo . então novo intervalo com raiz é ( x2, 0,5 ) 
Segundo x médio x3 = ( 0,25 + 0,5 ) /2 = 0,75/ 2 = 0,375 ..iteração pediada. 
 
 
 
Deseja-se buscar a raiz de uma equação f(x) =0 no intervalo [1,5] . Pelo método da bisseção o intervalo 
a ser testado para a raiz na 1ª iteração deve ser escolhido como: 
 
 
[3,5] se f(3). f(5) > 0 
 
 [1,2 ] se f(1). f(2) < 0 
 
 [2,5] se f(2).f(5) >0 . 
 [1,3] se f(1). f(3) > 0 
 [1,3] se f(1). f(3) < 0 
 
 
Explicação: 
Deve ser calculado o ponto médio do intervalo x= (1+5)/2 , donde x=3. . 
Então os intervalos a serem testados podem ser [1,3] ou [3,5] .. 
Entretanto o produto f(1).f(3) ou f(3) .f(5) tem que ser < 0 pelo teorema de Bolzano, para que 
contenham ao menos uma raiz. 
Só há uma opção que atende , citando intervalo [1,3] com f(1).f(3) < 0 . 
As opções com x=2 não atendem ao método que prevê usar o ponto médio x =3.. 
 
 
 
Analisando a função y = 3x4 - 1 , usando o teorema de Bolzano, a conclusão correta sobre suas
raízes no intervalo [ -1, 0 ] é: 
 
 
tem nº par de raízes pois f(-1) .f(0) > 0 
 tem nº ímpar de raízes pois f(-1) .f(0) < 0 
 
não tem raízes nesse intervalo 
 tem nº par de raízes pois f(-1) .f(0) < 0 
 
tem nº ímpar de raízes pois f(-1) .f(0) > 0 
 
 
Explicação: 
f(-1) = 3 - 1= 2 positivo e f(0) = 0 - 1= - 1 negativo Então f(-1) . f(0) < 0 . 
De acordo com o teorema de Bolzano : 
Se f(a) x f(b) < 0, existe uma quantidade ímpar de raízes reais no intervalo [a,b] . 
 
 
 
Considere a função f(x) = x^3 - 2x e o intervalo [1, 3]. Utilizando o método da falsa posição, qual o valor da 
raiz após a primeira iteração. 
 
 1,14 
 
0,55 
 
1,00 
 1,56 
 
1,85 
 
 
Explicação: 
Função f(x) = x3 - 2x e o intervalo [1, 3]. . Valor da raiz após a primeira iteração - o método da falsa 
posição. 1,14 
Confirmando a existência de raiz : f(1) = 1-2 = -1 .. f(3) = 27 - 6 = +21 , então como f(1) . f(3) < 0 , 
há ao menos uma raiz nesse intervalo . 
x = [a. f(b) - b. f(a) ] / [f(b) - f(a) ] , 
Cálculo de x0 : a=1 , b= 3, f(b) = f(3) = 21 , f(a)= f(1) = - 1 , 
substituindo na expressão de x , resulta x0 = [1. 21 - 3(-1)] / [ 21 - (-1)] = 24 / 22 = 1,0909 
Testando novo intervalo : f(x0) = 1,09093 - 2 .1,0909 = 1,2982 - 2,1818 = - 0,8835 ,sinal diferente de 
f(b), então intervlo da raiz é [x0 e 3] 
Então na fórmula de x : a = x0 = 1,0909 , b = 3 , f(a) = f(x0) = -0,8835 , f(b) = 21 
substituindo na expressão de x , 
resulta x1 = [1,0909 x 21 - 3(-0,8835)] / [ 21 - (-0,8835)] = (22,9089 + 2,6505 =25,5594 ) / 
21,8835 = 1.1679 
 
 
 
 
 6a Questão 
 
 
A teoria da Computação Numérica se baseia em estabelecer rotinas reiteradas de cálculos matemáticos com 
o intuito de se obter solução aproximada ou mesmo exata para um determinado problema. Neste contexto, 
é ideal que uma rotina de cálculo seja implementada em um computador, sendo utilizadas algumas 
estruturas lógicas básicas. Com relação a estas estruturas, NÃO PODEMOS AFIRMAR: 
 
 
Estruturais repetitivas representam ações condicionadas a um critério de parada, às vezes 
determinado em pseudocódigo pela palavra inglesa "while". 
 As estruturas repetitivas, sequenciais e seletivas utilizam com frequência os "pseudocódigos" para 
expressarem as ações a serem executadas. 
 
Estruturas sequenciais representam ações que seguem a outras ações sequencialmente. A saída de 
uma ação é a entrada de outra. 
 Estruturas repetitivas representam ações que se repetem um número indeterminado de vezes. Em 
pseudocódigo podem ser representadas pela palavra inglesa "until". 
 
Estruturas seletivas são aquelas que possuem ações que podem ser realizadas ou não. No 
pseudocódigo estas estruturas são representadas diversas vezes pela palavra inglesa "if". 
 
 
Explicação: 
Estruturas repetitivas sempre devem ter uma condição lógica de saída 
 
 
 
Seja h uma função contínua, real de variável real. Sabe-se que h(-1) = 4; h(0) = 0; h(1) = 8. Seja uma 
função g definida como g(x) = h(x) - 2. Sobre a equação g(x) = 0 pode-se afirmar que: 
 
 
nada pode ser afirmado 
 tem uma raiz 
 
não tem raízes reais 
 
tem três raízes 
 pode ter duas raízes 
 
 
Explicação: 
g(x) = h(x) - 2. e h(-1) =4 , h(0) = 0; h(1) = 8 , então : 
g( -1) = h(-1) - 2 = 4 - 2 = 2 
 g(+ 1) = h(+1) - 2 = 8 -2 = 6 . 
Então como g(-1). g(+1) = +12 positivo , podemos afirmar que entre x =-1 e x=+1 g(x) pode ter um 
número par de raízes , como por exemplo 2 raízes positivas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
A substituição de um processo infinito por um finito resulta num erro como o que acontece em 
0,435621567...= 0,435. Esse erro é denominado: 
 
 
Percentual 
 
Relativo 
 
De modelo 
 
Absoluto 
 De truncamento 
 
 
Explicação: 
Em matemática e ciência da computação, o truncamento é a limitação do número de dígitos à direita da 
vírgula decimal 
 
 
 
Considere a descrição do seguinte método iterativo para a resolução de equações. " a partir de um valor 
arbitrário inicial x0 determina-se o próximo ponto traçando-se uma tangente pelo ponto (x0, f(x0)) e 
encontrando o valor x1 em que esta reta intercepta o eixo das abscissas." Esse método é conhecido como: 
 
 
Método de Pégasus 
 Método de Newton-Raphson 
 
Método das secantes 
 
Método da bisseção 
 Método do ponto fixo 
 
 
Explicação: 
O Método de Newton procura uma convergência mais rápida para a raiz usando a derivada da função . 
Devido à interpretação gráfica da derivada como tangente , é também conhecido como Método das 
Tangentes . 
 
 
 
Utilize o Método de Newton para encontrar a sua raiz aproximada x2 na função f(x) = 2 - 3ln(x) dado 
x0=0,5. 
 
 
1,17 
 
1,70 
 
1,87 
 1,67 
 1,77 
 
 
Explicação: 
xn+1 = xn - [ f(xn) / f' (xn) ] 
x1 = x0 - [f(x0) / f"(x0)] 
( obs para os cálculos : ln x = 2,3.log x ; se y = lnx então y ' = 1/x .) 
então f(x0) = f(0,5) = 2 - 3ln0,5 = 2 - 3.(-0,69) = 2 + 2,07) = 4,07 e f '(x0) = - 3 .1/x0 = -3 /0,5 
= - 6. 
daí : x1 = 0,5 - (4,07) / (-6) = 0,5 + 0,678 = 1,178 
x2 = x1 - [f(x1) / f"(x1)] 
onde f(x1) = 2 - 3 ln 1,178 = 2 - 3. (0,163 ) = 2 - 0,489 = 1,511 e f '(x1) = - 3.1/x1= -3 / 1.178 
= - 2,546 
daí x2 = 1,178 - (1,511) / (-2,546) = 1,178 + 0,593 = 1,771 
 
 
 
 
 
 
 
 
Determine, utilizando o método de newton-raphson, qual a raiz da equação f(x) = 3x4-x-3 
utilizando x0 = 1. Aplique duas iterações do método e indique a raiz encontrada. (Utilize 
quatro casas decimais para as iterações) 
 
 
 1.0245 
 
1.0746 
 
1.0909 
 1.0800 
 
1.9876 
 
 
Explicação: 
f(x) = 3x4-x-3 , utilizando x0 = 1. Aplique duas iterações para a raiz . 
xn+1 = xn - [ f(xn) / f' (xn) ] 
x1 = x0 - [f(x0) / f"(x0)] 
f '(x) = 12x3 - 1 
f(x0) = f(1) = 3.14- 1 - 3 = -1 ... f '(x0 ) = 12.13 - 1 = 11 
daí : x1 = 1 - (-1) / 11 = 12/11 = 1,0909 
x2 = x1 - [f(x1) / f"(x1)] 
 f(x1) = 3. 1,09094 - 1,0909 - 3 = 0,1578 ... f '(x1 ) = 12.(1,0909) 3 - 1 = 14,578 
daí x2 = 1,0909 - ( 0,1578 ) / 14,578 = 1,0909 - 0,0108 = 1,0801 
 
 
 
 
Seja a equação P(x) = 0. Se P(1) x P(3) < 0, o teorema de Bolzano afirma que: 
 
 a equação P(x) = 0 tem uma raiz real no intervalo (1, 3) 
 
a equação P(x) = 0 não tem raiz real no intervalo (1, 3) 
 
a equação P(x) = 0 tem duas raízes reais no intervalo (1, 3) 
 a equação P(x) = 0 pode ter uma raiz real no intervalo (1, 3) 
 
nada pode-se afirmar a respeito das raízes reais no intervalo (1, 3) 
 
 
Explicação: 
De acordo com o teorema de Bolzano, considerando um intervalo real (a,b) e uma função contínua f(x). 
Se f(a) x f(b) < 0, existe uma quantidade ímpar de raízes reais no intervalo (a,b) para a equação f(x) = 0 
Se f(a) x f(b) > 0, existe uma quantidade par de raízes reais (incluindo o zero, ou seja, nehuma) no 
intervalo (a,b) para a equação f(x) = 0 
 
 
 
 
Uma equação f(x) = 0 é resolvida por um método iterativo. Dois valores consecutivos, a quinta e sexta 
iterações, valem, respectivamente 1,257 e 1,254. Considerando como critério de parada o erro absoluto 
igual a 0,01, marque a afirmativa correta. 
 
 
É verdade que f(1,257) - f(1,254) = 0,01 
 
Qualquer um dos dois valores pode ser arbitrado para ser raiz aproximada da equação f(x) = 0. 
 
O valor 1,254 não pode ser escolhido para ser a raiz aproximada da equação f(x) = 0, uma vez 
que 1,257 - 1,254 = 0,003 < 0,01. 
 O valor 1,254 pode ser escolhido para ser a raiz aproximada da equação f(x)
= 0, uma vez que 
1,257 - 1,254 = 0,003 < 0,01. 
 
É verdade que f(0) = 1,254 
 
 
Explicação: 
Se o critério de parada é o erro, devemos sempre que encontrarmos uma nova solução aproximada 
comparar com a anterior e avaliar se é menor que o critério. No exercício, x5 = 1,257 e x6 = 1,254. Assim, 
como módulo (1,257 - 1,254) = 0,003 é menor que o erro (0,01), 1,254 é uma raiz aproximada de f(x) = 0. 
 
 
 
Qual método procura a aproximação para o valor da raiz usando a derivada da função? 
 
 
Ponto fixo 
 
Gauss Jacobi 
 
Gauss Jordan 
 Bisseção 
 Newton Raphson 
 
 
Explicação: 
Pelo método de Newton Raphson escolhe-se uma aproximação inicial para a raiz e após isso calcula-se a 
função da reta tangente aplicando a derivada da função nesse ponto e a interseção dela com o eixo das 
abcissas, buscando encontrar uma aproximação para a raiz. Repete-se o processo, em um método iterativo, 
para encontrar a raiz da função . 
 
 
 
Dentre os métodos numéricos para encontrar raízes (zeros) de funções reais, indique o 
gráfico que corresponde aos MÉTODO DO PONTO FIXO: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Explicação: 
Como exemplificado no gráfico da quarta figura, no método do ponto fixo a raiz da função g(x) mostrada é 
encontrada através da raiz de uma outra função próxima y =x , que podemos resolver, ao invés da g(x) . 
 
 
 
O método de Newton-Raphson utiliza a derivada f´(x) da função f(x) para o cálculo da raiz desejada. No 
entanto, existe um requisito a ser atendido: 
 
 A derivada da função não deve ser negativa em nenhuma iteração intermediária. 
 
A derivada da função deve ser positiva em todas as iterações intermediárias. 
 
A derivada da função deve ser negativa em todas as iterações intermediárias. 
 
A derivada da função não deve ser positiva em nenhuma iteração intermediária. 
 A derivada da função não deve ser nula em nenhuma iteração intermediária. 
 
 
Explicação: 
Como no Método de Newton as aproximações para a raiz são obtidas por xn+1 = xn - [ f(xn) / f' (xn) 
] em que f' (x) está no denominador , então f' (x) não pode ser zero . 
 
 
 
Resolva o sistema de equações abaixo e enconte x1 e x2: 
5x1 + 4x2 = 180 
4x1 + 2x2 = 120 
 
 
 x1 = 20 ; x2 = 20 
 
x1 = -20 ; x2 = 15 
 
x1 = 18 ; x2 = 18 
 
x1 = 10 ; x2 = -10 
 
x1 = -10 ; x2 = 10 
 
 
Explicação: 
Multiplicando a segunda por ( -2 ) e somando com a primeira elimina-se o x2 e resulta : 
-3x1 = -60 ..donde x1 = 20 . 
Substituindo x1 na primeira ( ou na segunda) calcula-se x2 : 
5.20 + 4 x2 = 180 ... 4 x2 = 180 -100 = 80 ... x2 = 20. 
 
 
 
Os sistemas lineares com duas equações e duas incógnitas apresentam uma interpretação geométrica para 
as diversas possibilidades de solução. Assinale a opção incorreta. 
 
 O sistema linear 2 x 2 possível e determinado é representado por duas retas paralelas 
 O sistema linear 2 x 2 possível e determinado é representado por duas retas coincidentes 
 
O sistema linear 2 x 2 nem sempre tem solução 
 
O sistema linear 2 x 2 impossível é representado por duas retas paralela 
 
O sistema linear 2 x 2 possível e indeterminado é representado por duas retas coincidentes 
 
 
Explicação: 
Graficamente uma equação linear de duas variáveis x e y, como ax + by + c = 0 é representada por uma 
reta. Assim, um sistema 2 x 2 apresentará duas retas e, dependendo da posição relativa destas, o sistema 
apresentará discussão: 
Sistema possível e determinado: par de retas concorrentes (1 solução) 
Sistema possível e indeterminado: par de retas coincidentes (infinitas soluções) 
Sistema impossível: par de retas paralelas (sem solução) 
 
 
 
Em Cálculo Numérico possuímos o Método de Lagrange para a interpolação polinomial de funções quando 
conhecemos alguns pontos das mesmas. Considerando este método como referência, determine o 
"polinômio" que melhor representa os pontos (1,3), (4,9), (3,7) e (2,5). 
 
 
y=x3+1 
 
y=2x-1 
 
y=x2+x+1 
 y=2x+1 
 
y=2x 
 
 
Explicação: 
Substituindo nas funções questionadas os valores de x e de y dos pontos (x,y) dados , observamos que 
apenas a função y=2x+1 atende a todos os valores dos pares x e y . 
Por exemplo, para (1,3) temos x=1 , y =3 e substitundo nessa função , confirma-se a igualdade : 3 = 
2.1 + 1 ... 
O mesmo ocorre para os demais pontos (x=4, y =9 ) , ( x=3 , y =7) e (x=2, y =5) .. 
As demais opções de função não confirmam a igualdade , quando se substituem todos os valores (x, y). 
 
 
 
Dado o seguinte sistema linear: 
x + y + 2z = 9 
2x + 4y -3z = 1 
3x + 6y - 5z = 0 
Determine utilizando o método de Gauss -Jordan os valores de x, y e z. 
 
 x=-2, y=4, z=-6. 
 x=1, y=2, z=3. 
 
x=2, y=4, z=6. 
 
x=3, y=1, z=2. 
 
x=-3, y=1, z=-2. 
 
 
Explicação: 
Matriz Aumentada 
1 1 2 ] 9 já tem pivô (1) na 1ª linha ; 
2 4 -3 ] 1 zerar 1ª coluna : 1ª linha x(-2) + 2ª linha 
3 6 -5 ] 0 1ª linha x(-3) + 3ª linha 
1 1 2 ] 9 
0 2 -7 ] -17 
0 3 -11 ] -27 colocar pivô (1) na 2ª linha : 3ª linha + 2ª linha x (-1) 
1 1 2 ] 9 
0 1 -4 ] -10 zerar 2ª coluna : 2ª linha x(-3) + 3ª linha ..já surge o pivô (1) na 3ª linha 
0 3 -11 ] -27 2ª linha x(-1) + 1ª linha 
1 0 6 ] 19 
0 1 -4 ] -10 zerar 3ª coluna : 3ª linha x(-6) + 1ª linha 
0 0 1 ] 3 3ª linha x(+4) + 2ª linha 
1 0 0 ] 1 ... x =1 
0 1 0 ] 2 ... y=2 
0 0 1 ] 3 ... z=3 
 
 
 
A Pesquisa Operacional é uma forte ferramenta matemática que se utiliza basicamente de sistemas lineares 
para "modelar" uma determinado contexto em que temos um problema físico, econômico, financeiro etc. 
Entre as opções oferecidas a seguir, identifique qual método numérico PODE ser utilizado para a resolução 
de sistemas lineares. 
 
 
Método da bisseção. 
 Método do ponto fixo. 
 
Método da falsa-posição. 
 
Método de Newton-Raphson. 
 Método de Gauss-Jordan. 
 
 
Explicação: 
O único método que se aplica à soluçõa de sistemas é o primeiro. Os demais são todos para 
determinação de raízes. 
 
 
 
Resolva o sistema de equações abaixo e encontre x e y: 
3x - 2y = - 12 
5x + 6y = 8 
 
 
 
x = 5 ; y = -7 
 x = -2 ; y = 3 
 
x = - 2 ; y = -5 
 
x = 2 ; y = -3 
 
x = 9 ; y = 3 
 
 
Explicação: 
Multiplicando toda a primeira equação por 3 resulta : 9x - 6y = -36 ... 
 Somada esta à segunda , elimina-se o termo com y , resultando a equação ; 14x = -28 , donde x = -
2 . 
 Substituindo x = - 2 na primeira resulta : - 6 - 2y = -12 ... -2y = -6 ... y = 3 
 
 
 
Para resolvermos um sistema de equações lineares através do método de Gauss-Jordan, nós representamos 
o sistema usando uma matriz e aplicamos operações elementares até que ela fique no seguinte formato: 
Obs: Considere como exemplo uma matriz 3X3. Considere que * representa um valor qualquer. 
 
 
1 1 1 | * 
0 1 1 | * 
0 0 1 | * 
 0 0 1 | * 
0 0 1 | * 
0 0 1 | * 
 
1 0 0 | * 
1 1 0 | * 
1 1 1 | * 
 
1 1 1 | * 
1 1 1 | * 
1 1 1 | * 
 1 0 0 | * 
0 1 0 | * 
0 0 1 | * 
 
 
Explicação: 
O objetivo é fazer operações de modo a obter uma matriz com 1 apenas na diagonal e o restante zero . .
Desse temos imediatamente, em cada linha, o valor solução para cada variável lido na última coluna. 
 
 
 
Considere um sistema linear 2 x 2, isto é, duas equações e duas incógnitas. Ao fazer a representação no 
plano cartesiano xy tem-se duas retas concorrentes. A respeito deste sistema podemos afirmar que: 
 
 
apresenta ao menos uma solução 
 apresenta uma única solução 
 
nada pode ser afirmado. 
 
não apresenta solução 
 
apresenta infinitas soluções 
 
 
Explicação: 
A representação gráfica de uma equação do primeiro grau é uma reta. No exercício, as duas retas 
concorrem. Assim, o sistema apresenta solução única ( o ponto de concorrência). Portanto, o sistema é 
possível e determinado. 
 
 
Em Cálculo Numérico, existem diversos métodos para a obtenção de raízes de uma equação através de 
procedimentos não analíticos. Considerando a equação x2+x-6=0 e a técnica utilizada no método do ponto 
fixo com função equivalente igual a g(x0)=6-x2 e x0=1,5, verifique se após a quarta interação há 
convergência e para qual valor. Identifique a resposta CORRETA. 
 
 Há convergência para o valor 2. 
 
Há convergência para o valor - 3475,46. 
 
Há convergência para o valor -59,00. 
 Não há convergência para um valor que possa ser considerado raiz. 
 
Há convergência para o valor -3. 
 
 
 
Durante a coleta de dados estatísticos referente ao número médio de filhos das famílias de uma comunidade 
em função do tempo, verificamos a obtenção dos seguintes pontos (x,y), nos quais "x" representa o tempo e 
"y" representa o número de filhos: (1, 2), (2, 4), (3,5) e (4,6). Caso desejemos representar estes pontos 
através de uma função, que ramo do Cálculo Numérico deveremos utilizar? Assina a opção CORRETA. 
 
 
Integração. 
 
Derivação. 
 
Verificação de erros. 
 
Determinação de raízes. 
 Interpolação polinomial. 
 
 
 
Em um experimento, foram obtidos os seguintes pontos (0,1), (4,9), (2,5), (1,3) e (3,7) que devem fornecer 
uma função através dos métodos de interpolação de Cálculo Numérico. Das funções descritas a seguir, qual é a 
mais adequada? 
 
 Função linear. 
 
Função exponencial. 
 
Função cúbica. 
 
Função logarítmica. 
 
Função quadrática. 
 
 
 
 
 5a Questão 
 
 
A interpolação polinomial consiste em encontrar um polinômio que melhor se ajuste aos pontos dados. 
Suponha que você tenha que determinar por interpolação o polinômio P(x) que se ajuste aos pontos pontos 
A (1,2), B(-1,-1), C(3, 5).e D(-2,8). Qual dos polinômios abaixo pode ser P(x) 
 
 Um polinômio do quarto grau 
 
Um polinômio do sexto grau 
 
Um polinômio do quinto grau 
 
Um polinômio do décimo grau 
 Um polinômio do terceiro grau 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dentre os métodos numéricos para encontrar raízes (zeros) de funções reais, indique o 
gráfico que corresponde aos MÉTODO DAS SECANTES: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A sentença "valor do módulo do quociente entre o erro absoluto e o número exato" expressa a definição de: 
 
 Erro relativo 
 
Erro fundamental 
 
Erro derivado 
 
Erro conceitual 
 
Erro absoluto 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Considere o gráfico de dispersão abaixo. 
 
 
 
Analisando o gráfico acima, qual a curva que os pontos acima melhor se ajustam? 
 
 Y = b + x. ln(2) 
 Y = ax2 + bx + 2 
 Y = a.log(bx) 
 Y = ax + 2 
 Y = a.2-bx 
 
 
Explicação: 
A função tem um comportamento decrescente e aspecto exponecial. Assim, a expressão deve ser do tipo y 
= b-kx, com b > 1 e k > 0 
 
 
 
Considere o valor exato 1,126 e o valor aproximado 1,100. Determine respectivamente o erro absoluto e o 
erro relativo. 
 
 
0,023 E 0,026 
 
0,013 E 0,013 
 0,026 E 0,023 
 
0,023 E 0,023 
 
0,026 E 0,026 
 
 
Se u = (5,4,3) e v = (3,5,7), calcule u + 2v 
 
 
(6,10,14) 
 
(8,9,10) 
 (11,14,17) 
 
(10,8,6) 
 
(13,13,13) 
 
Calcular pela regra do T rapézio usando 5 pontos e sabendo-se que: 
 
 
 
 5,125 
 
7,970 
 
4,785 
 3,985 
 
2,395 
 
 
Considere o conjunto de instruções: If A > B then C = A x B Else C = A/B Se os valores de A e B são, 
respectivamente, 10 e 2, determine o valor de C após esse conjunto de instruções ser executado. 
 
 Indefinido 
 
0 
 
Qualquer valor entre 2 e 10 
 
5 
 20 
 
 
Se u = (5,4,3) e v = (3,5,7), calcule u + 2v 
 
 (11,14,17) 
 
(13,13,13) 
 
(8,9,10) 
 
(6,10,14) 
 
(10,8,6) 
 
 
 
Dado (n + 1) pares de dados, um único polinômio de grau ____ passa através dos dados 
(n + 1) pontos. 
 
 menor ou igual a n 
 n + 1 
 n 
 menor ou igual a n + 1 
 menor ou igual a n - 1 
 
 
Experimentos laboratoriais visando a obtenção de pares ordenados (x,y) e posterior interpolação de funções 
é uma das aplicações do Cálculo Numérico. Por exemplo, empiricamente foram obtidos os seguintes pontos 
(-3,9), (-2,4), (0,0), (3,9), (1,1) e (2,4) que devem fornecer uma função através dos métodos de 
interpolação de Cálculo Numérico. Das funções descritas a seguir, qual é a mais adequada? 
 
 
Função exponencial. 
 
Função logarítmica. 
 Função quadrática. 
 
Função cúbica. 
 Função linear. 
 
 
 
Muitas situações de engenharia necessitam do cálculo de integrais definas. Por vezes devemos utilizar 
métodos numéricos para esta resolução. Considere o método numérico de integração conhecido como regra 
dos trapézios. A aplicação deste método consiste em dividir o intervalo de integração (de a a b) em trapézios 
com mesma altura h = (b ¿ a)/n. Quando se aumenta n, ou seja, o número de trapézios, o valor da integral 
definida: 
 
 Varia, aumentando a precisão 
 
Nunca se altera 
 
Varia, diminuindo a precisão 
 Varia, podendo aumentar ou diminuir a precisão 
 
Nada pode ser afirmado. 
 
 
 
Dada a função f através do tabelamento a seguir, complete a tabela, e calcule, aproximadamente, o valor 
de usando o método dos trapézios com 3 casas decimais. 
 
 
 
 
 13,017 
 
 13,000 
 13,857 
 13,900 
 
 13,500 
 
 
 
Ao medir uma peça de 100cm o técnico anotou com erro relativo de 0,5% . Qual o valor do erro 
absoluto? 
 
 0,5 cm 
 5 cm 
 
0,05 cm. 
 
99,5 cm 
 
 95 cm 
 
 
Ao realizar uma medida o técnico encontrou o valor 12 cm, mas o valor correto era 13 cm. Qual o 
erro relativo desta medição? 
 
 7,7% 
 
0,83% 
 
0,77% 
 
8,3% 
 
0,077% 
 
 
Com respeito a propagação dos erros são feitas trê afirmações: 
I - o erro absoluto na soma, será a soma dos erros absolutos das parcelas; 
II - o erro absoluto da multiplicação é sempre nulo. 
III - o erro absoluto na diferença é sempre nulo. 
É correto afirmar que: 
 
 todas são falsas 
 apenas II é verdadeira 
 apenas III é verdadeira 
 todas são verdadeiras 
 apenas I é verdadeira 
 
 
Muitas situações de engenharia necessitam do cálculo de integrais definas. Por vezes devemos utilizar 
métodos numéricos para esta resolução. Considere o método numérico de integração conhecido como regra 
dos retângulos, isto é, a divisão do intervalo [a,b] em n retângulos congruentes. Aplicando este método para 
resolver a integral definida cujos limites de integração são 0 e 3, n = 10, cada base h do retângulo terá que 
valor? 
 
 
Indefinido 
 0,3 
 
0,5 
 
30 
 
3 
 
A sentença: "Valor do modulo da diferença numérica entre um número exato e sua representação por um 
valor aproximado"
apresenta a definição de: 
 
 
Erro relativo 
 Erro absoluto 
 
 
Erro conceitual 
 
Erro derivado 
 
Erro fundamental 
 
 
 
Ao realizar uma medida o técnico anotou o valor 124 cm, mas o valor correto era 114 cm. Qual o 
erro relativo desta medição? 
 
 
0,88 % 
 
10% 
 8,8 % 
 8,1 % 
 
0,81 % 
 
 
Explicação: 
Erro absoluto = módulo (124 - 114) = 10 cm 
Erro relativo: = 10 / 114 = 0,088 = 8,8 % 
 
 
 
Ao medir uma peça de 100cm o técnico anotou com erro relativo de 0,3% . Qual o valor do erro 
absoluto? 
 
 
 
97 cm 
 
3 cm 
 0,3 cm 
 
0,03 cm 
 
99,7 cm 
 
 
Explicação: 
Erro relativo = erro absoluto / valor real 
0,3% = erro absoluto / 100 , então erro absoluto = 0,3% . 100 = 0.3/100 . 100 = 0,3 cm 
 
 
 
Considere o valor exato x = 3,1415926536 e o valor aproximado x¿ = 3, 14, o erro absoluto neste caso é: 
 
 
3,1416 
 
3,14 
 0,1415926536 
 0.0015926536 
 
0,14 
 
 
 
 
 
Em experimentos empíricos, é comum a coleta de informações relacionando a variáveis "x" e "y", tais como 
o tempo (variável x) e a quantidade produzida de um bem (variável y) ou o tempo (variável x) e o valor de 
um determinado índice inflacionário (variável y), entre outros exemplos. Neste contexto, geralmente os 
pesquisadores desejam interpolar uma função que passe pelos pontos obtidos e os represente 
algebricamente, o que pode ser feito através do Método de Lagrange. Com relação a este 
método, NÃO podemos afirmar: 
 
 Na interpolação quadrática, que representa um caso particular do polinômio de Lagrange, 
precisamos de dois pontos (x,y). 
 As interpolações linear (obtenção de reta) e quadrática (obtenção de parábola) podem ser 
consideradas casos particulares da interpolação de Lagrange. 
 
A interpolação de polinômios de grau "n+10" só é possível quando temos "n+11" pontos. 
 
Na interpolação linear, que pode ser obtida através do polinômio de Lagrange, precisamos de dois 
pontos (x,y). 
 
Na interpolação para obtenção de um polinômio de grau "n", precisamos de "n+1" pontos. 
 
 
No método de Romberg para a determinação de uma integral definida de limites inferior e superior iguais a a 
e b, respectivamente, o intervalo da divisão é dado por hk = (a-b)/2 ^(k-1). . Se a = 1, b = 0 e k =2, 
determine o valor de h. 
 
 
0 
 1/2 
 
1/5 
 1/3 
 
1/4 
 
 
Empregando-se a Regra dos Trapézios para calcular a integral de x3 entre 0 e 1 com dois intervalos, tem-se 
como resposta o valor de: 
 
 
0,2500 
 
0,3000 
 
0,2750 
 0,3225 
 0,3125 
 
O Método de Romberg é uma excelente opção para a obtenção de integrais definidas, exigindo menos 
esforço computacional e oferecendo resultados mais precisos que outros métodos através de cálculos 
sequenciais. As duas primeiras etapas são obtidas através R1,1=(a-b)/2 [f(a)+f(b)] e R2,1=1/2 
[R1,1+h1.f(a+h2)], e fornecem aproximações para a integral definida da função f(x) sobre o intervalo [a,b]. 
Considerando o exposto, obtenha R2,1 para a função f(x)=x2, no intervalo [0,1]. Assinale a 
opção CORRETA com três casas decimais. 
 
 
0,725 
 
1,567 
 1,053 
 0,351 
 
0,382 
 
 
Na determinação de raízes de equações é possível utilizar o método iterativo conhecido como de Newton- 
Raphson. Seja a função f(x)= x4 - 5x + 2. Tomando-se x0 como ZERO, determine o valor de x1. 
SUGESTÃO: x1=x0- (f(x))/(f´(x)) 
 
 
1,0 
 0,4 
 1,2 
 
0,8 
 
0,6 
 
 
Existem diversos métodos para a obtenção de uma integral definida, porém um deles aplica a regra do 
trapézio de forma repetida e "refina" a expressão obtida através da extrapolação de Richardson. Identifique 
nas opções a seguir o método que MAIS SE ADÉQUA ao descrito. 
 
 
Extrapolação de Richardson. 
 Método do Trapézio. 
 
Regra de Simpson. 
 Método de Romberg. 
 
Método da Bisseção. 
 
 
Os processos reiterados (repetitivos) constituem um procedimento de vários métodos numéricos para 
obtenção de raízes, como podemos constatar no método da bisseção. Um destes processos, se baseia na 
sucessiva divisão de um intervalo numérico no qual se conjectura a existência de uma raiz ou algumas 
raízes. Considerando-se a função f(x)= 2x3-5x2+4x-2 e o intervalo [2,6], determine o próximo intervalo a 
ser adotado no método de investigação das raízes. 
 
 [4,6] 
 
[3,4] 
 
[4,5] 
 [2,3] 
 
[5,6] 
 
 
O Método de Romberg nos permite obter o resultado de integrais definidas por técnicas numéricas. Este 
método representa um refinamento de métodos anteriores, possuindo diversas especificidades apontadas 
nos a seguir, com EXCEÇÃO de: 
 
 
As expressões obtidas para a iteração se relacionam ao método do trapézio. 
 
Pode se utilizar de critérios de parada para se evitar cálculos excessivos. 
 Permite a obtenção de diversos pontos que originam uma função passível de integração definida. 
 Utiliza a extrapolação de Richardson. 
 
A precisão dos resultados é superior a obtida no método dos retângulos. 
 
 
 
 
 
Método dos Trapézios Repetidos 
 Método de Euler 
 
Polinômio de Newton 
 Método de Lagrange 
 
Newton-Raphson 
 
Considere a situação em que você disponha de 20 pares ((x0,f(x0)), (x1,f(x1)),..., (x19,f(x19)) ) de dados 
distintos no plano cartesiano. Suponha que você utilize o método de Newton para a determinação do 
polinômio interpolador. Qual dos polinômios abaixo pode representar este polinômio? 
 
 X
20 + 2X + 9 
 
X30 + 8X + 9 
 X
19 + 5X + 9 
 
X21 + 3X + 4 
 
X20 + 7X - 9 
 
 
as funções podem ser escritas como uma série infinita de potência. O cálculo do valor de sen(x) pode ser 
representado por: sen(x)= x - x^3/3! +x^5/5!+⋯ Uma vez que precisaremos trabalhar com um número 
finito de casas decimais, esta aproximação levará a um erro conhecido como: 
 
 erro de truncamento 
 
erro de arredondamento 
 
erro booleano 
 
erro absoluto 
 erro relativo 
 
 
Considere f (x) = x3 − 9x + 3. Considerando o teorema do valor intermediário, podemos afirmar que: 
 
 
Existe raiz no intervalo [-4,-3], pois f(-4) * f(-3) > 0 
 Existe raiz no intervalo [-2,-1], pois f(-2) * f(-1) > 0 
 Existe raiz no intervalo [-4,-3], pois f(-4) * f(-3) < 0 
 
Existe raiz no intervalo [-3,-2], pois f(-3) * f(-2) < 0 
 
Existe raiz no intervalo [-3,-2], pois f(-3) * f(-2) > 0 
 
O Método de Euler é um dos métodos mais simples para a obtenção de pontos de uma curva que serve como 
solução de equações diferenciais. Neste contexto, geramos os pontos, utilizando a relação yk+1=yk+h.f(xk,yk), 
onde "h" representa o passo adotado. Considerando a equação diferencial y'=y com y(0)=2, gere o ponto da 
curva para k=1 e passo igual a 0,5. Assinale a opção CORRETA. 
 
 
-3 
 -2 
 
1 
 3 
 
0 
 
 
Na descrição do comportamento de sistemas físicos dinâmicos, frequentente utilizamos equações diferenciais 
que, como o nome nos revela, podem envolver derivadas de funções. Um método comum para resolução de 
equações diferenciais de primeira ordem é o Método de Euler, que gera pontos da curva aproximada que 
representa a resolução do sistema. Para gerarmos os pontos, utilizamos a relação yk+1=yk+h.f(xk,yk), onde 
"h" representa o passo adotado. Considerando a equação diferencial y'=y com y(0)=1, gere o ponto da 
curva para k=1 e passo igual a 1. Assinale a opção CORRETA. 
 
 1 
 
-2 
 
-1 
 
0 
 2 
 
 
 
 
 
A Matemática traduz as ideias desenvolvidas em diversas ciências, como a Física, a Química e as 
Engenharias,
em uma linguagem algébrica clara, que nos possibilita a manipulação de equações 
matemáticas e, desta forma, o descobrimento e entendimento dos fenômenos naturais que nos rodeiam. 
Neste universo de conhecimento matemático, existem as funções que seguem o padrão f(x)=ax2+bx+c, 
onde "a", "b" e "c" representam números reais, com "a" diferente de zero. Com relação a este tipo de 
função, PODEMOS AFIRMAR: 
 
 Estas funções possuem em suas representações gráficas pontos que são denominados vértice da 
parábola. 
 
Estas funções apresentam comportamento crescente ou decrescente, porém nunca ambos. 
 
A forma gráfica destas funções sempre apresentam interseções com o eixo horizontal. 
 
O coeficiente "a" está relacionado a forma crescente ou decrescente da forma gráfica associada a 
função. 
 
Estas funções são adequadas a representação de fenômenos constantes ao longo do tempo. 
 
As equações diferenciais ordinárias (EDOs) têm grande aplicação nos diversos ramos 
da engenharia. Em algumas situações as EDOs precisam de um método numérico 
para resolvê-las. Um dos métodos é o de Runge - Kutta de ordem " n". Em relação 
a este método são feitas as seguintes afirmações: 
I - é um método de passo dois 
II - há a necessidade de se calcular a função derivada 
III - não é necessário utilizar a série de Taylor 
É correto afirmar que: 
 
 
apenas I e III estão corretas 
 todas estão corretas 
 apenas I e II estão corretas 
 todas estão erradas 
 
apenas II e III estão corretas 
 
 
Explicação: 
O método de Runge - Kutta de ordem "n" utiliza um único passo, sem necessidade de 
utilizar a função derivada para determinar o ponto subsequente e vale-se da série de 
Taylor 
 
 
 
Sendo as matrizes M = (mij)2x3, N = (nij)axb, P = (pij)cx4, Q = (qij)dxe, é possível determinar M+N, 
NxP e P- Q, se: 
 
 
 b = a + 1, c = d= e = 4 
 a x b = 6, a + 1 = b = c= d= e - 1 
 2b = 2c = 2d = a + c 
 b - a = c - d 
 
 a = b = c = d= e - 1 
 
 
 
Suponha que você tenha determinado umas das raízes da função f(x) = 0 pelo método da 
bisseção e tenha encontrado o valor 1,010 mas o valor exato é 1,030. Assim, os erros 
absoluto e relativo valem, respectivamente: 
 
 0,020 e 2,0% 
 2.10-2 e 1,9% 
 0,030 e 1,9% 
 0,030 e 3,0% 
 3.10-2 e 3,0% 
 
 
Dentre os conceitos apresentados nas alternativas a seguir, assinale aquela que NÃO pode ser enquadrada 
como fator de geração de erros: 
 
 
Uso de dados provenientes de medição: sistemáticos (falhas de construção ou regulagem de 
equipamentos) ou fortuitos (variações de temperatura, pressão) 
 
Uso de dados de tabelas 
 Uso de rotinas inadequadas de cálculo 
 Execução de expressão analítica em diferentes instantes de tempo. 
 
Uso de dados matemáticos inexatos, provenientes da própria natureza dos números 
 
 
 
A resolução de sistemas lineares é fundamental em alguns ramos da engenharia. O cálculo numérico é uma 
ferramenta importante e útil nessa resolução. Sobre os sistemas lineares assinale a opção CORRETA. 
 
 
Para o mesmo sistema linear e para um mesmo chute inicial, o método de Gauss-Seidel tende a 
convergir para a resposta exata do sistema numa quantidade maior de iterações que o método de 
Gauss-Jacobi. 
 O método da Eliminação de Gauss é um método iterativo para a resolução de sistemas lineares. 
 
Nos métodos diretos para a resolução de sistemas lineares utilizamos o escalonamento que consiste 
em transformar a matriz incompleta em uma matriz identidade 
 
Um sistema é dito linear quando pelo menos uma variável tem expoente unitário. 
 Ao se utilizar um método iterativo para solucionar um sistema de equações lineares deve tomar 
cuidado pois, dependendo do sistema em questão, e da estimativa inicial escolhida, o método pode 
não convergir para a solução do sistema. 
 
 
Aprendemos que a Matemática é a linguagem que utilizamos para expressar o conhecimento de várias 
ciências como a Física, a Química, a Economia e diversas outras. Associadas a Matemática estão as técnicas 
numéricas que nos facilitam a obtenção de soluções, inserindo os computadores na execução de rotinas de 
cálculo. Com relação ao cálculo numérico, podemos afirmar as seguintes sentenças, com EXCEÇÃOde: 
 
 
Nos métodos numéricos é necessário decidir qual a precisão dos cálculos com que se pretende 
obter a solução numérica desejada. 
 
Um método numérico é um método não analítico, que tem como objetivo determinar um ou mais 
valores numéricos, que são soluções de determinado problema. 
 
A precisão dos cálculos numéricos é também um importante critério para a seleção de um 
algoritmo na resolução de um dado problema. 
 Em cálculo numérico, erro é a diferença entre dois valores gerados por métodos não analíticos de 
obtenção do resultado. 
 
Os métodos analíticos conduzem a soluções exatas para os problemas; os métodos numéricos 
produzem, em geral, apenas soluções aproximadas. 
 
 
 
 
Seja a medida exata da área de uma laje igual a 24,8 m2 e o valor aproximado de 25m2. Qual o erro 
relativo associado? 
 
 0,8% 
 
1,008 m2 
 
0,992 
 0,2 m2 
 
99,8% 
 
 
Em algumas modelagens físicas, nos deparamos com diversas situações em que devemos expressar 
condições de contorno através de equações lineares, que se organizam em um sistema. Considerando as 
opções a seguir, identifique aquela que NÃO se relaciona a relação destes sistemas. 
 
 Método de Newton-Raphson. 
 
Método de Gauss-Jacobi. 
 
Método de Gauss-Jordan. 
 
Método de Gauss-Seidel. 
 
Método de Decomposição LU. 
 
 
Considere a situação em que você disponha de 20 pares ((x0,f(x0)), (x1,f(x1)),..., 
(x19,f(x19)) ) de dados distintos no plano cartesiano. Suponha que você utilize o 
método de Newton para a determinação do polinômio interpolador. Qual dos 
polinômios abaixo pode representar este polinômio? 
 
 
Resposta: X19 + 5X + 9 
 
 
Para analisar um fenômeno um engenheiro fez o levantamento experimental em um 
laboratório. Nesta análise concluiu que que as duas variáveis envolvidas x e y se 
relacionam linearmente, ou seja, através de um polinômio P(x) do primeiro grau. Qual 
o número mínimo de pontos que teve que obter no ensaio para gerar o polinômio P9x) 
por interpolação polinomial? 
 
Resposta: 2 
 
 
Em experimentos empíricos, é comum a coleta de informações relacionando a variáveis 
"x" e " y", tais como o tempo (variável x) e a quantidade produzida de um bem (variável 
y) ou o tempo variável x) e o valor de um determinado índice inflacionário (variável y), 
entre outros exemplos. 
Neste contexto, geralmente os pesquisadores desejam interpolar uma função que passe 
pelos pontos obtidos e os represente algebricamente, o que pode ser feito através do 
Método de Lagrange. Com relação a este método, NÃO podemos afirmar: 
 
 Resposta: Na interpolação linear, que pode ser obtida através do polinômio de 
Lagrange, precisamos de dois pontos (x,y). 
 
 
O cálculo de área sob curvas mereceu especial atenção nos métodos criados em 
Cálculo Numérico, originando dentre outros a Regra de Simpson, que, se 
considerada a função f(x) e a área sob a curva no intervalo [a,b], tem -se que esta 
última é dada por h/3 [f(x1)+ 4.f(x2)+ 2.f(x3)+ 4.f(x4)....+ 4.f(xn-1)+f(xn)], onde "h" é o 
tamanho de cada subintervalo e x1, x2, x3....xn são os valores obtidos com a divisão 
do intervalo [a,b] em "n" partes. Considerando o exposto, obtenha a integral da função 
f(x)= 3x no intervalo [0,4], considerando-o dividido em 4 partes. Assinale a opção 
CORRETA 
 
Resposta: 73,3 
 
 
Muitas situações de engenharia necessitam do cálculo de integrais definas. Por 
vezes devemos utilizar métodos numéricos para esta resolução.
Considere o 
método numérico de integração conhecido como regra dos retângulos, isto é, a 
divisão do intervalo [a,b] em n retângulos congruentes. Aplicando este método 
para resolver a integral definida cujos limites de integração são 0 e 3, n = 10, 
cada base h do retângulo terá que valor? 
 
 Resposta: 0,3 
 
A literatura especializada oferece diversos métodos para cálculo de área sob a 
curva, sendo a Regra dos Trapézios de fácil execução, fornecendo bons 
resultados quanto a precisão. Considerando que a integral definida de uma 
função f(x) no intervalo [a,b] neste método é dada por h/2 [f(x1)+ 2.f(x2)+ 
2.f(x3)+.... f(xn)], onde "h" é o tamanho de cada subintervalo e x1, x2, x3....xn são 
os valores obtidos com a divisão do intervalo [a,b] em "n" partes, obtenha a integral da 
função f(x)=2
x
 no intervalo [0,4], considerando-o dividido em 4 
partes. Assinale a opção CORRETA. 
 
 Resposta: 22,5 
 
 
Situações de engenharia necessitam do cálculo de integrais definas. Por 
vezes devemos utilizar métodos numéricos para esta resolução. Considere o 
método numérico de integração conhecido como regra dos trapézios. A 
aplicação deste método consiste em dividir o intervalo de integração (de a a b) 
em trapézios com mesma altura h = (b ¿ a)/n. Quando se aumenta n, ou seja, o 
número de trapézios, o valor da integral definida: 
 
 Resposta: Varia, aumentando a precisão 
 
 
Em diversas situações associadas a manipulação de funções matemáticas, não 
conseguimos ou não é prática a obtenção de soluções analíticas de integrais 
definidas, o que nos conduz a métodos numéricos. Com base na Regra do 
Retângulo e considerando a função f(x)=x
2
, obtenha a sua integração no 
intervalo [0, 1], considerando-o dividido em 2 partes. Expresse o resultado com 
uma casa decimal e escolha opção CORRETA. 
 
Resposta: Integral = 0,31 
 
 
Empregue a regra dos Retângulos para calcular o valor aproximado da integral 
de f(x) = x
3
, no intervalo de 0 a 1, com 4 intervalos. 
 
Resposta: 0,242 
 
 
No método de Romberg para a determinação de uma integral definida de limites 
inferior e superior iguais a a e b, respectivamente, o intervalo da divisão é dado 
por hk = (a-b)/2 ^(k-1). . Se a = 1, b = 0 e k =2, determine o valor de h. 
 
 
 Resposta: 
1/2 
 
Integrais definidas representam em diversas situações a solução de um 
problema da Física e podem ser obtidas através da Regra do Retângulo, da 
Regra do Trapézio, da Regra de Simpson e do Método de Romberg. Este último 
utiliza as expressões R1,1=(a-b)/2 [f(a)+f(b)] e R2,1=1/2 [R1,1+h1.f(a+h2)] para as 
primeiras aproximações, considerando a função f(x) sobre o intervalo [a,b]. 
Considerando o exposto, obtenha R2,1 para a função f(x)=x
3
, no intervalo [0,1]. 
Assinale a opção CORRETA com três casas decimais. 
 
Resposta: 0,313 
 
 
Uma técnica importante de integração numérica é a de Romberg. Sobre este 
método é correto afirmar que: 
 
Resposta: Tem como primeiro passo a obtenção de aproximações repetidas pelo 
método do trapézio 
 
 
O Método de Romberg é uma excelente opção para a obtenção de integrais 
definidas, exigindo menos esforço computacional e oferecendo resultados mais 
precisos que outros métodos através de cálculos sequenciais. As duas primeiras 
etapas são obtidas através R1,1=(a-b)/2 [f(a)+f(b)] e R2,1=1/2 [R1,1+h1.f(a+h2)], e 
fornecem aproximações para a integral definida da função f(x) sobre o intervalo 
[a,b]. Considerando o exposto, obtenha R2,1 para a função f(x)=x
2
, no intervalo 
[0,1]. Assinale a opção CORRETA com três casas decimais 
 
Resposta: 0,351 
 
O Método de Romberg nos permite obter o resultado de integrais definidas por 
técnicas numéricas. Este método representa um refinamento de métodos 
anteriores, possuindo diversas especificidades apontadas nos a seguir, com 
EXCEÇÃO de: 
 
Resposta: Permite a obtenção de diversos pontos que originam uma função 
passível de integração definida. 
 
 
Métodos numéricos para a resolução de problemas que envolvam integrais 
definidas nos fornecem boas aproximações, especialmente se for utilizado o 
Método de Romberg. Entre as opções oferecidas a seguir, determine aquela 
que apresenta expressão relacionada a este método 
 
Resposta : R2,1=1/2 [R1,1+h1.f(a+h2)] 
 
De acordo com o Teorema do Valor Intermediário, indique a opção correta de pontos 
extremos do intervalo para determinação da raiz da função f(x) = x
3
 - 4x +1 
 
Resposta: 1 e 2 
 
 
Encontrar a solução da eq uação diferencial ordinária y' = f ( x, y ) = 3x + 2y + 2 com 
a condição de valor inicial y (3 ) = 4. Dividindo o intervalo [3 ;4] em apenas uma parte, 
ou seja, fazendo h =1 e, aplicando o método de Euler, deter mine o valor aproximado 
de y (4) para a equação dada. 
 
Resposta: 23 
 
 
Dado (n + 1) par es de dados , um único polinômio de grau ____ passa através dos 
dados (n + 1) pontos. 
 
Resposta: menor ou igual a n 
 
 
 
Resposta: 0,2 
 
Abaixo tem- se a figura de um a função e várias tangentes ao longo da curva. 
 
Resposta: Newton Raphson 
Os métodos de integração numérica em regra não são exatos. Suponhamos o 
método de Simpson (trapézios) em sua apresentação mais simples mostrado na 
figura a seguir a 
 
 
Resposta: Área do trapézio 
 
 
Encontrar a solução da equação diferencial ordinária y' = f ( x, y ) = 2x + y + 1 com a 
condição de valor inicial y ( 1 ) = 1. Dividindo o intervalo [ 1; 2 ] em 2 partes, ou seja, 
fazendo h =0,5 e, aplicando o método d e Euler, determine o valor aproximado de y ( 
1,5 ) para a equação d ada. 
 
Resposta : 3 
 
 
Encontrar a solução da equação diferencial ordinária y' = f ( x, y ) = 2x + y + 1 com a 
condição de valor inicial y ( 1) = 3. Dividindo o intervalo [ 1; 2 ] em 2 partes, ou seja, 
fazendo h =0,5 e, aplicando o método de Euler, determine o valor aproxi mado de y ( 
1 ,5 ) para a equação dada. 
 
Resposta: 6 
 
 
 
Resposta: 20,099 
 
 
Seja a função f(x) = x
2
 - 5x + 4. Considere o Método da Bisseção para cálculo 
da raiz, e o intervalo [0, 3] o escolhido para a busca. Assim, empregando o 
método, na iteração seguinte, a raiz deverá ser pesquisada no intervalo 
 
Resposta: [0,3/2] 
 
 
 
Resposta: 2 
 
 
 
Resposta: Todas as afirmativas estão corretas 
 
 
 
Resposta: -5