Lista5 ValoresExtremosCondicionados

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Pr1 – Obtenha os valores de máximo e mínimo absolutos das funções condicionadas as regiões 𝐷. 
 
a) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 − 2𝑥𝑦 + 2𝑦, 𝐷 é a região retangular com vértices (0,0), (3,0), (0,2) e (3,2). 
b) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑥, 𝐷 é a região triangular com vértices (2,0), (0,2) e (0, −2). 
c) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥4 + 𝑦4 − 4𝑥𝑦 + 2, 𝐷 = {(𝑥, 𝑦) | 0 ≤ 𝑥 ≤ 3, 0 ≤ 𝑦 ≤ 2} 
d) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 2 + 2𝑥 + 2𝑦 − 𝑥2 − 𝑦2, 𝐷 = {(𝑥, 𝑦) | 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0 , 𝑦 ≤ 9 − 𝑥}. 
e) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 2𝑥3 + 𝑦4, 𝐷 = {(𝑥, 𝑦) | 𝑥2 + 𝑦2 ≤ 1} 
 
Pr2 – Em relação ao problema anterior, represente a região 𝐷 bem como o(s) ponto(s) que otimiza(m) a função. 
 
Pr3 – Use os multiplicadores de Lagrange para determinar 
 
a) O valor máximo da função 𝑓(𝑥, 𝑦) = 20𝑥 − 𝑥2 + 32𝑦 − 2𝑦2 sujeita a condição 𝑥 + 𝑦 = 24. 
b) O valor mínimo da função 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 + 𝑦2 + 10 sujeita a condição 𝑥
1
3𝑦
1
3 = 4. 
c) O valor mínimo da função 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 + 2𝑦 + 5 sujeita a condição 𝑥2𝑦 = 16. 
d) O maior e menor valores que a função 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑦 assume na elipse 
𝑥2
8
+
𝑦2
2
= 1. 
 
Pr4 – Com base no problema anterior, represente (mesmo gráfico) a curva associada a restrição, o(s) ponto(s) que 
otimiza(m) a função bem como a(s) curva(s) de nível(ies) que passa(m) pelo(s) ponto(s) ótimo(s). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo de Várias Variáveis 
Lista de Exercícios: Valores Extremos em Regiões Condicionadas 
Prof. Alexsandro M. Carvalho 
Prof. Vilarbo da Silva 
Prof. Anderson Tres 
 
Respostas 
Pr1 
a) Máximo absoluto: 𝑓(3,0) = 9 - Mínimo absoluto: 𝑓(0,0) = 𝑓(2,2) = 0 
b) Máximo absoluto: 𝑓(0,2) = 𝑓(0, −2) = 4 - Mínimo absoluto: 𝑓(1,0) = −1 
c) Máximo absoluto 𝑓(3,0) = 83 - Mínimo absoluto: 𝑓(1,1) = 0. 
d) Máximo absoluto: 𝑓(1,1) = 4 - Mínimo absoluto: 𝑓(0,9) = 𝑓(9,0) = −61 
e) Máximo absoluto: 𝑓(1,0) = 2 - Mínimo absoluto: 𝑓(−1,0) = −2 
 
Pr2 
 
 
 
Pr3 
 
a) 𝑓(14,10) = 204 
b) 𝑓(8,8) = 138 
c) 𝑓(4,1) = 11 
d) 𝑓(±2, −1) = −2 e 𝑓(±2,1) = 2 
 
 
Pr4 
 
 
𝑀𝑎𝑥 𝑀𝑖𝑛 
𝑀𝑖𝑛 
𝑀𝑎𝑥 
𝑀𝑎𝑥 
𝑀𝑖𝑛 
𝑀𝑎𝑥 
𝑀𝑖𝑛 
𝑀𝑎𝑥 
𝑀𝑖𝑛 
𝑀𝑖𝑛 
𝑀𝑖𝑛 𝑀𝑎𝑥 
𝑎) 
𝑏) 
𝑐) 
𝑑) 𝑒) 
20𝑥 − 𝑥2 + 32𝑦 − 2𝑦2 = 204 
𝑥 + 𝑦 = 24 
𝑥
1
3𝑦
1
3 = 4 
𝑥2 + 𝑦2 + 10 = 138 
𝑥2𝑦 = 16 
𝑥 + 2𝑦 + 5 = 11 
𝑥2
8
+
𝑦2
2
= 1 
𝑥𝑦 = −2 
𝑥𝑦 = 2 
𝑎) 𝑏) 𝑐) 𝑑)