Segunda_ordem

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Análise de Sistemas de Controle 
no domínio do tempo 
FUNÇÕES DE TRANSFERÊNCIA 
 PROPRIEDADES DAS FUNÇÕES DE TRANSFERÊNCIA 
 
ORDEM DA FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA 
 
» É a maior potência de “s” no denominador. 
» O sistema é chamado de n-ésima ordem. 
 
 
 
GANHO 
» A variação da saída no estado-estacionário é calculada 
fazendo s = 0. 
» Em G(s) dá o ganho do processo. 
 
 
FUNÇÕES DE TRANSFERÊNCIA 
 PROPRIEDADES DAS FUNÇÕES DE 
TRANSFERÊNCIA 
 
PÓLOS E ZEROS 
 
 
G(s) pode ser fatorada em 
 
 
Onde: zi - zeros 
 pi - pólos 
G s
b s b s b s b
a s a s a s a
m
m
m
m
n
n
n
n( )
...
...

   
   


 

1
1
1 0
1 1
1
1 0
 
    
    n
m
n
m
pspsps
zszszs
a
b
sG









...
...
21
21
ANÁLISE DE SISTEMAS NO DOMÍNIO DO TEMPO 
Análise: respostas a sinais de teste (entradas) conhecidos 
Resposta completa: Transitória + regime permanente 
A função de transferência permite obter a resposta completa 
SISTEMAS DE SEGUNDA ORDEM 
Equação geral 
Aplicando Laplace: 
A função de transferência será: 
K é o ganho do sistema 
  é o fator de amortecimento 
A resposta c(t) dependerá da entrada u(t) 
)(..)(.
)(
...2
)( 22
2
2
tuktc
dt
tdc
dt
tcd
nnn  
22
2
...2
.
)(
)(
nn
n
ss
k
sU
sC




 n é a frequência natural não amortecida 
)(.
...2
.
)(
22
2
sU
ss
k
sC
nn
n




)(..)()(....2)( 222 sUKsCsCssCs nnn  
SISTEMAS DE PRIMEIRA ORDEM : Exemplos 
)(.).
.
1
.()( sI
sC
sLRsVi  )(.
.
1
)( sI
sC
sVo 
Circuito RLC: 
 + 
 Vi 
 - 
 R 
 L 
 C 
 + 
 Vo 
 - 
 
1..
1
)(
)(
2 

sRCsLCsV
sV
i
o
 n
LC

1
 
R C
L2
.1K
C s
R s
k
s s
n
n n
( )
( )
.
. . .

 

  
2
2 22
CL
s
L
R
s
CL
sV
sV
i
o
.
1
.
.
1
)(
)(
2 

Pólos 
0...2 22  nn ssEC 
C s
R s
k
s s
n
n n
( )
( )
.
. . .

 

  
2
2 22
SISTEMAS DE SEGUNDA ORDEM : 
 
 CLASSIFICAÇÃO 
1.. 21   nns
1.. 22   nns
TIPO DE 
SISTEMA 
POLOS 
 = 0 sistema sem 
amortecimento 
Imaginários 
puros 
 
0 <  < 1 sistema 
subamortecido 
Complexos 
conjugados 
 = 1 criticamente 
amortecido 
Reais e 
iguais 
 > 1 Sobre 
amortecido 
Reais e 
distintos 
SISTEMAS DE SEGUNDA ORDEM 
SOBREAMORTECIDOS (  > 1) 
RESPOSTA AO DEGRAU 
sbsas
k
sC n
1
.
)).((
.
)(
2



1.. 2   nna
1.. 2   nnb
  bsass .
1
)..1.()( .2
.
1
tbta ekekktc  
1 - 
 
1
b a
be aebt at

 
1 - 
 
1
b a
be aebt at

 
 atbt aebe
ab
 


1
1
SISTEMAS DE SEGUNDA ORDEM CRITICAMENTE 
AMORTECIDOS (  = 1 ) 
RESPOSTA AO DEGRAU 
ss
k
sC
n
n 1.
)(
.
)(
2
2




)).1.(1.()(
.
tektc n
tn   
 )1(11
2
ate
a
at  
 
1
2
s s a
SISTEMAS DE SEGUNDA ORDEM 
SUBAMORTECIDOS ( 0 <  < 1 ) 
RESPOSTA AO DEGRAU 
21...   nn ja
21...   nn jb
sss
k
sC
nn
n 1.
...2
.
)(
22
2




))
1
(1(
1
1
1
2
12
2 

 

  tgtsene n
tn
)2.(
22
2
nn
n
sss 


))
1
(.1(.
1
1.()(
2
12
2
..


 


 

tgtsen
e
ktc n
tn
nd  .1 2
n .
Taxa de amortecimento Frequência amortecida 
d
))
1
(.1(.
1
1.()(
2
12
2
..


 


 

tgtsen
e
ktc n
tn
T=1/f 
ω=2.π.f 
SISTEMAS DE 2ª. ORDEM: 
Exemplos 
)()(.
)(
.
)(
.
2
2
txtyK
dt
tdy
f
dt
tyd
M 
KsfsMsX
sY


..
1
)(
)(
2
No sistema massa-mola-amortecedor, ao aplicarmos a força
x(t) na massa m, esta irá se deslocar de uma distância y(t).
Determinemos a função de transferência Y(s)/X(s).
Equação física para o sistema: 
K - constante elástica da mola 
f - coefic. de atrito viscoso 
M - massa 
A função de transferência será: 
2
2 )(
.)(.
)(
.)(
dt
tyd
MtyK
dt
tdy
ftx 
)(. taMFORÇAS 
%sistemas de 2a ordem 
%num=k.wn^2 
%den= s^2 + 2.zeta.wn.s + wn^2 
 
num=d; 
den=[a b c]; 
 
nump=d/a; %forma padrão 
denp=[1 b/a c/a]; 
k=d/c 
wn=sqrt(c/a) 
zeta=b/(2*a*wn) 
 
if zeta>1 disp('sistema sobreamortecido') 
elseif zeta<1 disp('sistema subamortecido') 
else disp('sistema criticamente amortecido') 
end 
 
polos=roots(den) 
 
t=0:0.01:10/(zeta*wn); 
y=step(num,den,t); 
plot(t,y), title('Resposta ao degrau'), xlabel('t'), grid;