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PROMILITARES PROF. RENATO MADEIRA 
 
EQUAÇÃO DO 2º GRAU 
 
 
1) (CN 1991) As raízes da equação 2ax bx c 0   são iguais a m e n . Assinale a equação cujas raízes são 3m 
e 3n . 
(A) 
 3 2 2 3a x b 3ac b x c 0   
 
(B) 
 2 2ax b 3ac b x c 0   
 
(C) 
 3 2 2a x b b 3ac x c 0    
(D) 
 3 2 2 3a x b b 3ac x c 0   
 
(E) 
 3 2 2 3a x b b 3ac x c 0   
 
 
RESPOSTA: E 
 
RESOLUÇÃO: 
b
m n
a
  
 e 
c
mn
a

 
   
3 3 3
33 3
3 2 3
b c b b 3bc b 3abc
m n m n 3mn m n 3
a a a a a a
     
               
   
 
 
3 3
33 3
3
c c
m n mn
a a
 
    
 
 
A equação cujas raízes são 3m e 3n é 
 
3 3
2 3 2 2 3
3 3
b 3abc c
x x 0 a x b b 3ac x c 0
a a
  
         
 
. 
 
 
2) (CN 1993) Sendo
m
 e 
n
 as raízes da equação 2x 10x 1 0   , o valor da expressão 
3 3
1 1
m n

 é: 
(A) 
970
 
(B) 
950
 
(C) 
920
 
(D) 
900
 
(E) 
870
 
 
RESPOSTA: A 
 
RESOLUÇÃO: 
2 m n 10x 10x 1 0
mn 1
 
    

 
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   
 
33 3
3 3 3 3 3
3
3
1 1 m n m n 3ab a b
m n m n mn
10 3 1 10
970
1
   
   
  
 
 
Esse problema pode ser resolvido também usando a fórmula de Newton: 
k k 0 0 1 1
k 0 1S m n S m n 2 e S m n 10        
 
33 3
1 1
S
m n
 
 
n n 1 n 2 n 2 n 1 n1 S 10 S 1 S 0 S 10 S S            
 
1 0 1n 1 S 10 S S 10 2 10 10        
 
2 1 0n 0 S 10 S S 10 10 2 98         
 
3 2 1n 1 S 10 S S 10 98 10 970           
 
 
 
3) (CN 1995) O trinômio 
2y x 14x k  
, onde 
k
 é uma constante real positiva, tem duas raízes reais distintas. 
A maior dessas raízes pode ser: 
(A) 
4
 
(B) 
6
 
(C) 
11
 
(D) 
14
 
(E) 
17
 
 
RESPOSTA: C 
 
RESOLUÇÃO: 
Se o trinômio 
2y x 14x k  
, tem duas raízes reais distintas, então seu discriminante 
  é positivo. 
 214 4 1 k 0 4k 196 k 49          
 
A soma das raízes do trinômio é  14
14
1
 

. 
Sejam as raízes do trinômio 
r s
, então 
r s 14 2r 14 r 7     
. 
Como r é raiz do trinômio, temos: 
2 2r 14r k 0 k 14r r     
 
20 k 49 0 14r r 49     
 
2
2
14r r 0 0 r 14
0 r 7 ou 7 r 14
r 14r 49 0 r 7
     
    
    
 
Logo, a maior raiz do trinômio é 
r
 tal que 
7 r 14 
. 
Observe que se 
11
 é a maior raiz do trinômio, então a menor é 
3
 e 
k 33
. 
 
Esse problema também poderia ser resolvido inspecionando-se as opções e considerando que as raízes têm soma 
14
 e produto 
k 0
. Dessa forma, os pares ordenados de raízes resultantes seriam 
 4,10
; 
 6,8
; 
 11,3
; 
 14,0
 
e 
 17, 3 .
 Nos dois primeiros pares a raiz que aparece na opção não é a maior raiz e nos dois últimos pares o 
produto das raízes não é positivo. Portanto, o único desses pares de raízes que satisfaz as condições do enunciado 
é 
 11,3
, cuja maior raiz é 
11
. 
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4) (CN 1996) Considere a equação do 
2
 grau em 
x
 tal que 2ax bx c 0   , onde a , b e c são números reais 
com 
"a"
 diferente de zero. Sabendo que 
2
 e 
3
 são as raízes dessa equação, podemos afirmar que: 
(A) 
13a 5b 2c 0  
. 
(B) 
9a 3b c 0  
. 
(C) 
4a 2b 0 
. 
(D) 
5a b 0 
. 
(E) 
36a 6b c 0  
. 
 
RESPOSTA: A 
 
RESOLUÇÃO: 
Se 
2
 e 
3
 são raízes de 2ax bx c 0   , então: 
2a 2 b 2 c 0 4a 2b c 0        
 e 
2a 3 b 3 c 0 9a 3b c 0        
. 
Somando as duas igualdades, temos: 
   4a 2b c 9a 3b c 0 13a 5b 2c 0         
. 
 
 
5) (CN 1999) Um professor elaborou 
3
 modelos de prova. No primeiro 1° modelo, colocou uma equação do 2° 
grau; no 2° modelo, colocou a mesma equação trocando apenas o coeficiente do termo do 2° grau; e no 3° modelo, 
colocou a mesma equação do 1° modelo trocando apenas o termo independente. Sabendo que as raízes da equação 
do 2° modelo são 
2
 e 
3
 e que as raízes do 3° modelo são 
2
 e 
7
, pode-se afirmar sobre a equação do 1° modelo, 
que: 
(A) não tem raízes reais. 
(B) a diferença entre a sua maior e a sua menor raiz é 
7
. 
(C) a sua maior raiz é 
6
. 
(D) a sua menor raiz é 
1
. 
(E) A soma dos inversos das suas raízes é 
2
3
. 
 
RESPOSTA: B 
 
RESOLUÇÃO: 
1° MODELO: 2ax bx c 0   
2° MODELO: 
2px bx c 0  
 de raízes 
2
 e 
3
 
b c
2 3 5 e 2 3 6 b 5p e c 6p
p p
b 6b
c 6
5 5
          
 
      
 
 
3° MODELO: 
2ax bx q 0  
 de raízes 
2
 e 
7
 
   
b q
2 7 5 e 2 7 14
a a
b 5a e q 14a
          
   
 
6b 6
c 5a 6a
5 5
       
 
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A equação do 1° modelo é dada por: a 02 2 2ax bx c 0 ax 5ax 6a 0 x 5x 6 0          , cujas raízes são 6 
e 
1
. 
Logo, a diferença entre sua maior e sua menor raiz é 
 1 6 7  
. 
 
 
6) (CN 2000) Sobre a equação 21999x 2000x 2001 0  , a afirmação correta é: 
a) tem duas raízes reais de sinais contrários, mas não simétricas. 
b) tem duas raízes simétricas. 
c) não tem raízes reais. 
d) tem duas raízes positivas. 
e) Tem duas raízes negativas. 
 
RESPOSTA: a 
 
RESOLUÇÃO: 
O discriminante da equação do 
2
 grau é dado por: 
   2
2
2000 4 1999 2001
2000 4 1999 2001 0
       
    
. 
Logo, a equação possui duas raízes reais distintas. 
Como a soma das raízes é  2000 2000
S 0
1999 1999
 
  
 e o produto é 
2001
P 0
1999

 
, a equação possui duas raízes 
de sinais contrários, sendo a positiva a de maior módulo. 
Assim, podemos afirmar que a equação tem duas raízes reais de sinais contrários, mas não simétricas. 
 
 
7) (CN 2002) A soma de dois números reais distintos é igual ao produto desses números. O 
menor
 valor natural 
desse produto é igual a: 
(A) 
8
 
(B) 
7
 
(C) 
6
 
(D) 
5
 
(E) 
4
 
 
RESPOSTA: D 
 
RESOLUÇÃO: 
P
P xy y
x
  
 
2Px y xy x P x Px P 0
x
        
 
 2 20 P 4 1 P 0 P 4P 0
P 0 ou P 4
           
  
 
Logo, o menor valor natural que 
P
 pode assumir é 
5
. 
 
 
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8) (CN 2004) Dada a equação do 
2
grau na incógnita 
x
: 24x kx 3 0   . Quantos são os valores inteiros 
possíveis do parâmetro 
k
, tais que essa equação só admita raízes racionais. 
(A) 
2
 
(B) 
3
 
(C) 
4
 
(D) 
6
 
(E) 
8
 
 
RESPOSTA: D 
 
RESOLUÇÃO: 
2
2 2
4x kx 3 0
k k 4 4 3 k k 48
x
2 4 8
   
       
  

 
  
2 * 2 2
2 2
x k 48 p, p k 48 p
k p 48 k p k p 48
        
      
 
Observando que 
 k p
 e 
 k p
 têm a mesma paridade e que 
k p k p  
, podemos montar a tabela a seguir: 
 
k p
 
k p
 k 
24
 
2
 
13
 
24
 
2
 
13
 
12
 
4
 
8
 
12
 
4
 
8
 
8
 
6
 
7
 
8
 
6
 
7
 
 
Logo, há 
6
 valores inteiros possíveis para o parâmetro 
k
. 
 
 
9) (CN 2005)Dada a equação na variável real 
x
: 
3
7x k
x
 
, pode-se concluir, em função do parâmetro real 
k
, 
que essa equação: 
(A) tem raízes reais só se 
k
 for um número positivo. 
(B) tem raízes reais só se 
k
 for um número negativo. 
(C) tem raízes reais para qualquer valor de 
k
. 
(D) tem raízes reais somente para dois valores de 
k
. 
(E) nunca terá raízes reais. 
 
RESPOSTA: C 
 
RESOLUÇÃO: 
Inicialmente, cabe observar que 
x 0
. 
237x k 7x kx 3 0
x
     
 
   2 2k 4 7 3 k 84        
 
2 2k 0, k k 84 0, k        
 
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Como 
0 
 para qualquer valor de 
k
, então a equação possui duas raízes reais para qualquer valor de 
k
. 
 
 
10) (CN 2008) Qual a soma das raízes quadradas das raízes da equação do 2º grau 2x 6x 2 0   ? 
(A)  1 21 26 2 2  
(B)  1 21 26 2 3  
(C)  1 21 23 2 2  
(D)  1 21 23 2 3  
(E)  1 21 23 3 2  
 
RESPOSTA: A 
 
RESOLUÇÃO: 
Sejam 
a
 e 
b
 as raízes da equação 2x 6x 2 0   , então  26 4 1 2 28 0       ,  6
a b 6
1
 
  
 e 
2
a b 2
1
  
. 
Como o discriminante da equação, a soma e o produto das raízes são positivos, então as duas raízes são reais e 
positivas, e, consequentemente, suas raízes quadradas são números reais. 
Seja 
s a b 0  
 a soma das raízes quadradas da equação, então 
 
 
2
2
1 2
1 2
s a b a b 2 ab 6 2 2
s 6 2 2 6 2 2
       
     
. 
 
 
11) (CN 2009) Um trinômio do 2º grau tem coeficientes inteiros, distintos e não nulos. Se o termo independente 
for uma das suas raízes, a outra será o 
(A) inverso do coeficiente do termo de 1º grau. 
(B) inverso do coeficiente do termo de 2º grau. 
(C) simétrico inverso do coeficiente do termo do 1º grau. 
(D) simétrico inverso do coeficiente do termo do 2º grau. 
(E) simétrico inverso do coeficiente do termo independente. 
 
RESPOSTA: B 
 
RESOLUÇÃO: 
Seja o trinômio do segundo grau 
2y ax bx c  
, cujo termo independente é 
c 0
. 
O produto das raízes é dado por 
c
P
a

. 
Sendo uma das raízes 
1x c
 a outra raiz 
2x
 deve ser tal que c 0
1 2 2 2
c c 1
P x x c x x
a a a

       
 
Logo, a outra raiz é o inverso do coeficiente do termo de 2º grau. 
 
 
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12) (CN 2010) A menor raiz da equação 2ax bx c 0   , com abc 0 , é a média geométrica entre "m" e a 
maior raiz. A maior raiz é a média geométrica entre 
"n"
 e a menor raiz. Pode-se afirmar que 
"m n"
 é expresso 
por: 
(A) 3
2
3abc – b
a c
 
(B) 3
2
3abc b
a c
 
(C) 3
2
3abc – b
c a
 
(D) 3
2
abc b
c a
 
(E) 3
2
abc – b
c a
 
 
RESPOSTA: A 
 
RESOLUÇÃO: 
Sejam 
1r
 e 
2r
, com 
1 2r r
, as raízes de 2ax bx c 0   . 
Pelas relações entre coeficientes e raízes, temos: 
1 2
b
S r r
a
   
 e 
1 2
c
P r r
a
  
 
 *
. 
Como a menor raiz da equação 2ax bx c 0   é a média geométrica entre "m" e a maior raiz e a maior raiz é a 
média geométrica entre 
"n"
 e a menor raiz, temos: 
2
1
1 2
2
r
r m r m
r
   
 
2
2
2 1
1
r
r n r n
r
   
 
Somando as duas igualdades acima e depois substituindo as relações 
 *
, temos: 
   
32 2 3 3
1 2 1 2 1 21 2 1 2
2 1 1 2 1 2
3
3 3
3 2 2
r r 3r r r rr r r r
m n
r r r r r r
b c b
3
b 3bc a 3abc ba a a
c ca a a c
a
  
     
 
   
                    
 
 
 
 
13) (IME 1982) Sabendo que a razão entre as raízes da equação 
   2mx 1 8m x 4 4m 1 0    
 é igual a 
1
4

 
para dois valores de 
m
, então a soma desses valores é igual a 
a) 
1
4

 
b) 
1
5

 
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c) 
1
4
 
d) 
1
5
 
e) 
1
20

 
 
RESPOSTA: a 
 
RESOLUÇÃO: 
Sejam 
1x
 e 
2x
 as raízes da equação 
   2mx 1 8m x 4 4m 1 0    
, com 
1
2
x 1
x 4
 
. 
 
   
2 22 2
1 2 1 2 1 21 2 1 2
2 1 1 2 1 2 1 2
x x 2x x x xx x x x1 17 17 17 9
4
x x 4 4 x x 4 x x 4 x x 4
    
              
  
 
 
 
2
2
1 2 1 2
1 8m
1 8m 4 4m 1 9mx x x x 100m 25m 1 0
4 4m 1m m 4
m
 
               
 
 
1 1
m m
5 20
     
 
Portanto, a soma dos valores de 
m
 é 
1
4

. 
Alternativamente, poderíamos resolver a equação: 
       2 2 21 8m 1 8m 4 m 4 4m 1 1 8m 1 16m 64m 64m 16m 1 1
x 4
2 m 2 m 2m
             
   
 
 
4 1 1 1
16 4 m
1 4 m 20
4
m
        

 ou 
1
4
1 1m m
4 4 5

    
 
 
 
14) Sendo  e  as raízes da equação do 2° grau 
        x 2 x 3 x 3 x 1 x 1 x 2 0        
, calcule 
        
1 1 1
1 1 2 2 3 3
 
     
. 
(A) 1 
(B) 1 
(C) 0 
(D) 2 
(E) 3 
 
RESPOSTA: C 
 
RESOLUÇÃO: 
PROMILITARES PROF. RENATO MADEIRA 
        
  
x 2 x 3 x 3 x 1 x 1 x 2
3 x x
        
  
 
           
  
x 1:
3 1 1 3 4 4 0 0 3 12
1 3 1
1 1 12 4
 
           
  
  
 
           
  
x 2 :
3 2 2 0 1 1 3 3 0 3
1 3
1
2 2 3

        
   
   
 
           
  
x 3:
3 3 3 1 0 0 4 4 1 4
1 3
3 3 4

     
 
 
 
        
1 1 1
1 1 2 2 3 3
1 3
1 0
4 4
  
        
   
 
 
REFERÊNCIA: Hahn, L. S. – New Mexico Mathematics Contest Problem Book – pg. 11. 
 
 
15) Sejam 

 e 

 as raízes da equação 
2x px 1 0  
, e sejam 

 e 

 as raízes da equação 
2x qx 1 0  
, então 
o valor da expressão 
       
 é: 
(A) 
2 2p q
 
(B) 
p q
 
(C) 
2 2p q
 
(D) 
q p
 
(E) 
2 2q p
 
 
RESPOSTA: E 
 
RESOLUÇÃO: 
2x px 1 0 p 1      
 
2x qx 1 0 q 1        
 
PROMILITARES PROF. RENATO MADEIRA 
    
    
          
           
           
  
   
   
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
2 2 2 2
2 2
q 2 p 2 q p

    
       
      
                 
     
 
 
REFERÊNCIA: Yaglom, I. M. e outros – The USSR Olympiad Problem Book – pg. 46.