Diagonalização de Operadores Lineares

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Campus de 
Ilha Solteira 
 
UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA 
“Júlio de Mesquita Filho” 
Faculdade de Engenharia 
Departamento de Matemática 
 
 
Álgebra II: 2o Semestre 2018 
Roteiro 14: Diagonalização de Operadores Lineares 
 
Objetivos: 
(a) Determinar quando um operador linear é diagonalizável; 
(b) Determinar uma base B de V, em relação à qual a matriz [T]B assume a forma 
diagonal. 
 
1. Introdução 
Considere o operador linear: 
2y) 3x y,-(6x y) (x, 
:T 22



. 
 
Sejam B1 = {(1, 0), (0, 1)}, B2 = {(1, 3), (1, 1)}, bases de 2. Então, a matriz de T na base 
B1 é: 
  






2 3
1- 6
T
1B
. 
A matriz de T na base B2 é: 
  






5 0
0 3
T
2B
. 
De fato: 
T(1, 3) = (3, 9) = 3(1, 3) + 0(1, 1); 
T(1, 1) = (5, 5) = 0(1, 3) + 5(1, 1); 
 
Questões: 
(1) Qualquer operador T pode ser representado por uma matriz diagonal em relação a 
alguma base ordenada? 
(2) Em caso negativo, para quais operadores T existe tal base? 
(3) Se tal base existir, como a mesma poderá ser determinada? 
 
Observa-se, no exemplo dado, que: 
 
T(1, 3) = 3(1, 3) e T(1, 1) = 5(1, 1). 
 
Nota-se que o efeito de T em u e v é apenas uma mudança no módulo ou sentido, 
mantendo a direção. A determinação de bases como B2 será o objetivo, a seguir. 
 
2. Autovalores e Autovetores 
 
Sejam V espaço vetorial de dimensão finita sobre  e 
VV:T 
 um operador 
linear. 
 
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Definição: Um autovalor de T é um    tal que exista um vetor v  0  V, com Tv = 
v. Se  é um autovalor de T, então: 
(i). Todo v  0  V tal que Tv = v é dito autovetor de T associado ao autovalor ; 
(ii). O conjunto 
 v)v(T:VvW  
 é dito autoespaço associado a . 
 
Observações: 
(a) 
 v)v(T:VvW  
 é um subespaço de V; 
(b) 
W
 = 
 0)v)(IT(:Vv   = Ker(T - I), sendo I o operador identidade sobre 
V. 
 
Exemplos: 
(a) Seja T(x, y) = 2(x, y). Então, v = (x, y), T(v) = 2v. Daí,  = 2 é um autovalor real e 
v = (x, y)  0 é um autovetor de T em V = 2. 
 
(b) Seja T(x, y) = (x, -y).  =  1 são autovalores reais de T, pois (x, 0) = 1 (x, 0) e T(0, 
y) = -1 (0, y), para x, y  0 em V = 2. 
 
(c) Seja T(x, y) = (-y, x) a rotação de 90o em torno da origem. Tem-se que nenhum vetor 
não nulo é levado em um múltiplo de si mesmo. Portanto, T não possui autovalores 
e nem autovetores. 
 
Teorema 1: Sejam V espaço vetorial de dimensão n, 
VV:T 
 operador linear e   . 
As seguintes condições são equivalentes: 
(a)  é um autovalor de T; 
(b) O operador (T - I) é singular; 
(c) det(T - I) = 0. 
 
Observações: 
(a) Por (c), os autovalores de T são as raízes de det(T - I) = 0 ; 
(b) Se B é uma base de V e A = [T]B, então, por (c), (T - I) é inversível se e somente se a 
matriz (A - I) for inversível. 
 
Definição: Um autovalor de Anxn é um escalar  em K tal que Av = v. 
 
Observações: 
(a)  é um autovalor de A  det(A - I) = 0. Considerando a matriz (A - I), f() = 
det(A - I) é um polinômio na variável ; 
(b) Os valores característicos de A são as raízes de f(). 
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Definição: A equação det(A - I) = 0 é dita equação característica do operador T ou da 
matriz A. O polinômio p() = det(A - I) é dito polinômio característico do operador T 
ou da matriz A. 
 
Lema: Matrizes semelhantes têm o mesmo polinômio característico. 
 
Problema 1: Calcular os autovalores, autovetores e autoespaços dos seguintes operadores 
lineares: 
(a) T(x, y, z) = (3x – y + z, -x + 5y – z, x – y + 3z); 
(b) 








31
12 
A
; 
(c) 











2 1 0 
0 1 1-
0 2 4 
A ; 
 
(d) T(x, y) = (-3x -5y, 2y); 
(e) 











1- 0 0
5 3 0
4- 0 3 
A . 
 
Teorema 2: Autovetores não nulos associados a autovalores distintos são l.i. 
 
Problema 2: Encontrar os autovalores, autovetores e respectivos autoespaços de 







31
22 
A
. 
 
Sejam V espaço vetorial sobre K de dimensão n e 
VV:T 
 um operador linear. 
T pode ser representado por uma matriz diagonal se e somente se existe uma base B = 
 n21 v,....,v,v
 de V de modo que: 
111 v)v(T 
 
 
222 v)v(T 
 
................. 
nnn v)v(T 
 
 
isto é, B é uma base de autovetores de T. Neste caso: 
 
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4 
[T]B = 












n
2
1
......... 0 0
....................
0........ 0
........0 0 



. 
 
Teorema 3: T pode ser representado por uma matriz diagonal A se e somente se V tem 
uma base B formada por autovetores de T. Neste caso, os elementos diagonais de A são 
os autovalores correspondentes. 
 
Teorema 4: Uma matriz A é semelhante a uma matriz diagonal B se e somente se A tem 
n autovetores l.i.. 
 
Observação: No Teorema 4, se P é a matriz cujas colunas são os autovetores l. i. de A, 
então B = P-1AP. 
 
Definição: A é diagonalizável se A é semelhante a uma matriz diagonal. 
 
Problema 3: Os operadores lineares dados abaixo são diagonalizáveis? 
(a) A = 






3 1
2 2 
(b) 











1- 0 0
5 3 0
4- 3- 3 
A 
(c) T(x, y) = (4x + 5y, 2x + y); 
 
Problema 4: Determinar uma matriz P que diagonaliza o operador 











3 1- 1 
1- 5 1-
1 1- 3 
A 
e calcular P-1AP. 
 
Problema 5: Os operadores lineares dados são diagonalizáveis? 
(a) T(x, y, z, t) = (3x - 4y, 3y + 5z, -z, -t); 
(b) 













3 0 0 0
0 2 0 0
0 0 2 0
0 0 1 2 
A ;