Lista de exercícios de Vetores e Geometria Analitica

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE
DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA
PROFESSORA ARYANA JOECY CAVALCANTE
LISTA 1 - VETORES E GEOMETRIA ANALI´TICA
1. Determine x para que se tenha ~AB = CD, sendo A = (x, 1), B = (4, x+3), C = (x, x+2)
e D = (2x, x + 6).
2. Determine a extremidade da seta que representa o vetor v = (3,−7), sabendo que sua
origem e o ponto A = (2, 1).
3. Dados A = (2, y) e B = (3, 3), determine y para que o mo´dulo do vetor ~AB seja
√
5.
4. Dado B = (3, 4) e sendo || ~AB|| = 2, qual e´ o valor ma´ximo que a primeira coordenada
de A pode assumir? E o mı´nimo?
5. Determine vetores u e v tais que: ||u||2 + ||v||2 = ||u− v||2.
6. Represente graficamente os vetores:
a)u + v b)− u c)u− v d) 3u− 2v + w e)− u− v + 2w
sendo u = (2, 3), v = (−1, 4) e w = (−2,−1).
7. Dados os vetores u = (2,−1) e v = (1, 3), determine um vetor w tal que
a) 3(u + w)− 2(v − w) = 0
b) 1
2
[3(u + w)− 4(v − w)] = 5[u− 3w + 4(3v − 2w)].
8. Dados os vetores u e v, determine os vetores z e w tais que
2(u + z)− 3(v + w) = u
5(u− z) + 2(v − w) = v
9. Encontre um vetor
a) com mesma direc¸a˜o e sentido do vetor (3, 4) e mo´dulo igual a 6;
b) com mesma direc¸a˜o e sentido contra´rio ao do vetor (−1, 2) e mo´dulo igual a 5.
10. Encontre numeros k1 e k2 tais que v = k1u + k2w, sendo v = (2, 3), u = (−1, 2) e
w = (1, 2).
11. Dados A = (−1,−1) e B = (3, 5), determine C tal que
a) ~AC = 1
2
~AB b) ~AC = 2
3
~AB.
12. Dados B = (0, 4) e C = (8, 2), determine o ve´rtice A do triaˆngulo ~ABC, sabendo que o
ponto me´dio de ~AB e´ M = (3, 2).
13. Escreva o vetor (7,−1) como soma de dois vetores, um paralelo ao vetor (1,−1) e o outro
paralelo ao vetor (1, 1)
14. Dados A = (1, 3) e B = (2, 2), determine x para que a reta definida pelo ponto me´dio de
~AB e o ponto X = (x, 0) seja paralela ao vetor v = (1, 2).
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15. Demonstre que o segmento que une os ponto me´dios de dois lados de um triaˆngulo e´
paralelo ao terceiro lado e igual a` sua metade.
16. Sejam u = (x1, y1) e v = (x2, y2). Demonstre que ||u||2 + ||v||2 − ||u− v||2 = 2(u · v),
onde u · v indica o nu´mero x1x2 + y1y2.
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