Formulário para P2

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ENG 1500 - TEORIA DA PROBABILIDADE - PROFA. FLÁVIA CESAR TEIXEIRA MENDES 
FOLHA DE CONSULTA – G2 
 
Distribuição binomial: X ~ bin (n, p) 
X = nº de vezes que um evento A ocorre em 
n tentativas independentes, onde p = P(A) em 
qualquer tentativa. 
   1
n xx
n
P X x p p
x
 
   
 
, x = 0, 1, ..., n 
E(X) = np, V(X) = np(1 – p). 
Aprox. pela distr. de Poisson: 
 X ~ bin (n, p)  X ~ Poisson (α = np). 
Distribuição de Poisson: X ~ Poisson (α) 
X = nº de ocorrências independentes em uma 
determinada quantidade de tempo (ou 
quantidade de produto analisada). 
  , 0,1, ...
!
xe
P X x x
x

  
 
E(X) = α, V(X) = α. 
Distribuição geométrica: X ~ geom(p) 
X = nº de repetições independentes necessárias 
para obter-se, com prob. p, o 1º sucesso. 
P(X = x) = (1 - p)x-1p, x = 1, 2, ... 
E(X) = 1/p, V(X) = (1 – p)/p2. 
Distribuição de Pascal: X ~ Pascal(p, r) 
X = nº de repetições independentes necessárias 
até ocorrerem exatamente r sucessos. 
   
1
1 , , 1, ...
1
x rr
x
P X x p p x r r
r
 
     
 
 
E(X) = r/p, V(X) = r(1 – p)/p2. 
Distr. hipergeométrica: X ~ hipergeom(N, d, n) 
X = nº de ocorrências de interesse encontradas 
em uma amostra de n itens retirada sem 
reposição de um grupo de N itens (n ≤ N), das 
quais d são de interesse. 
  ,
d N d
x n x
P X x
N
n
  
  
   
 
 
 
 
    0x máx ,n d N , ,mín d,n   
 
E(X) = np, com p = d/N, e 
V(X) = np(1 – p)[(N–n)/(N–1)]. 
Aprox. pela distr. binomial: 
X ~ hipergeom(N, d, n)  X ~ bin(n, p = d/N). 
 
 
Distribuição Uniforme: X ~ unif[a, b] 
  bxa,
ab
1
xf 


 
   
 
12
e
2
2
ab
XV
ba
XE




 
Distribuição Exponencial: X ~ expo(λ) 
  xf x e 
, x > 0. 
E(X) =
1

 e V(X) =
2
1

. 
Distribuição Normal: X ~ N(, 2) 
 













 

2
2
1
2
1
σ
μx
exp
σπ
xf
, - < x < +, 
onde - <  < + e  > 0. 
E(X) =  e V(X) = 2 
Se X ~ N(, 2), e se Z = (X - )/, então Z terá a 
distribuição normal padronizada: Z ~ N(0, 1). 
 
Aproximação Normal da Distr. Binomial 
Seja X ~ bin(n, p); para n grande, Z ~ N(0,1), 
onde 
 1
X np
Z
np p



. 
 
Teorema do Limite Central (TLC) 
Sejam X1, X2, ..., Xn independentes, 
com E(Xi) = i e V(Xi) = i
2, i = 1, 2, ..., n. 
Se X = X1 + X2 + ... + Xn, então para n 
suficientemente grande, teremos que 
1
2
1
n
ii
n
ii
X
Z 

 




 ~ N(0, 1). 
Aproximação Normal da Distr. de Poisson 
Seja W a soma de n v. a.’s Xi independentes, 
onde cada Xi ~ Poisson(αi); pelo TLC, 
W ~ Poisson
 1
n
ii
  
, e, portanto, 
W
Z



 ~ N(0,1). 
 
 
 
 
Correções de Continuidade 
Sempre que aproximarmos uma distribuição de 
probabilidade de variável aleatória discreta por 
uma distribuição de probabilidade de variável 
aleatória contínua, deveremos usar correção de 
continuidade: 
(a) 
  






2
1
2
1
kXkPkXP
 
(b) 
  






2
1
2
1
bXaPbXaP
 
Função Geratriz de Momentos (fgm) 
   tXX eEtM 
; então: 
   
todo
tx
X
x
M t e p x 
, caso discreto; 
   
todo
tx
X
x
M t e f x dx 
, caso contínuo. 
Exemplos: 
X ~ bin(n, p): 
    ntX ppetM  1
. 
 
X ~ Poisson (α): 
   
1te
X
M t e
 

. 
 
X ~ geom(p): 
  pq
qe
pe
tM
t
t
X 

 1onde,
1
 
 
X ~ unif[a, b]: 
 
 
 atbtX ee
tab
tM 


1
, t  0. 
 
X ~ expo(): 
 XM t
t


 
, t < . 
 
X ~ N(, 2): 
  2/tσtμX
22
etM 
. 
 
 
Propriedades da fgm 
   XE'M X 0
 e 
   20 XE"M X 
. 
           222 00 'M"MXEXEXV XX 
. 
 
Seja X com fgm MX. Seja Y = X + . Então, 
   αtMetM X
βt
Y 
. 
 
Sejam X com fgm MX(t) e Y com fgm MY(t). Se 
MX(t) = MY(t) para todos os valores de t, então 
X e Y terão a mesma distribuição de 
probabilidade. 
 
Sejam X com fgm MX(t) e Y com fgm MY(t); 
X e Y são independentes. Façamos Z = X + Y. 
Então, 
     tMtMtM YXZ 
. 
 
Somas de variáveis aleatórias independentes e 
identicamente distribuídas 
 
Sejam X1, X2, ..., Xn independentes com 
distribuição N(i, i
2), i = 1, 2, ..., n. 
Se W = X1 + X2 + ...+ Xn, então W terá a 
distribuição N(


n
i
i
n
i
i σ,μ
1
2
1
). 
 
Sejam X1, X2, ..., Xn independentes com distr. de 
Poisson(αi), i = 1, 2, ..., n. 
Se W = X1 + X2 + ...+ Xn, então W terá a 
distribuição Poisson(α), onde 
1 2
...
n
     
.