LicMat2017 MCA001CalculoI P2 GABARITO

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AVALIAÇÃO PRESENCIAL 
CADERNO DE PERGUNTAS 
curso: Licenciatura em Matemática bimestre: 4º bimestre ano: 2018 | 2sem 
CÓDIGO DA PROVA 
P2 
• Preencha atentamente o cabeçalho de TODAS AS FOLHAS DE RESPOSTA que você utilizar. 
• Ao término da prova, entregue apenas a folha de resposta ao aplicador. Leve este caderno de 
perguntas consigo. 
Boa prova! 
disciplina: MCA001 – Cálculo I 
 
 
Questão 1 (1,0 pontos) 
Calculando os limites lim
𝑥𝑥→0
4𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐2(1
𝑥𝑥
) ∙ (5𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥) , lim
𝑥𝑥→5
√𝑥𝑥−√5
𝑥𝑥−5
 e lim
𝑥𝑥→+∞
4𝑥𝑥2+5𝑥𝑥+10
𝑥𝑥3+6𝑥𝑥2
 encontramos, respectivamente: 
a) +∞, √5
10
, 0. 
b) 0, 1
√5
, 0. 
c) 0, √5
10
, +∞. 
d) 0, indeterminado, 0. 
e) Nenhuma das alternativas. 
 
 
Questão 2 (1,0 pontos) 
Em que ponto(s) do gráfico da função 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥3 − 9𝑥𝑥2 + 27𝑥𝑥 − 4 a reta tangente ao gráfico é horizontal? 
a) No ponto de abscissa igual a 1. 
b) No ponto de abscissa igual a 2. 
c) No ponto de abscissa igual a 3. 
d) No ponto de abscissa igual a 8. 
e) Nenhuma das alternativas. 
 
 
Questão 3 (1,5 pontos) 
Num acidente ecológico em que ocorreu vazamento de óleo de um navio cargueiro, os especialistas 
envolvidos no evento detectaram que a mancha de óleo era de formato aproximadamente circular e que 
num determinado instante o raio desta mancha era de 200m e aumentava a uma taxa de 30m/h. Calcule a 
que velocidade aumentava a área da mancha neste instante. Adote 𝜋𝜋 = 3. 
a) 𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑑𝑑
(𝑡𝑡) = 32.000𝑚𝑚2/ℎ. 
b) 𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑑𝑑
(𝑡𝑡) = 36.000𝑚𝑚2/ℎ. 
c) 𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑑𝑑
(𝑡𝑡) = 32.700𝑚𝑚2/ℎ. 
d) 𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑑𝑑
(𝑡𝑡) = 37.200𝑚𝑚2/ℎ. 
e) Nenhuma das alternativas. 
 
 
Questão 4 (1,5 pontos) 
Calcule a área da região do plano abaixo do gráfico de 𝑦𝑦 = 5𝑥𝑥4 − 5𝑥𝑥, acima do gráfico de 𝑦𝑦 = 3𝑥𝑥 − 6, entre 
𝑥𝑥 = 0 e 𝑥𝑥 = 2. 
2 
 
Questão 5 (2,0 pontos) 
Calcule ∫ 𝑥𝑥3√𝑥𝑥4 + 1𝑑𝑑𝑥𝑥10 . 
 
 
Questão 6 (3,0 pontos - 0,75 por item) 
Considere a função 𝑓𝑓:ℝ\{4} → ℝ dada por 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 1−2𝑥𝑥
𝑥𝑥−4
. 
a) Calcule os valores de lim
𝑥𝑥→∞
𝑓𝑓(𝑥𝑥), lim
𝑥𝑥→−∞
𝑓𝑓(𝑥𝑥), lim
𝑥𝑥→4+
𝑓𝑓(𝑥𝑥) e lim
𝑥𝑥→4−
𝑓𝑓(𝑥𝑥). 
b) Calcule 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) e determine os intervalos de crescimento e decrescimento da função. 
c) Calcule 𝑓𝑓′′(𝑥𝑥) e analise a concavidade do gráfico da função. 
d) Faça um esboço do gráfico da função. 
 
 
 
 
 
 
3 
 
GABARITO 
curso: Licenciatura em Matemática bimestre: 4º bimestre P2 
 
 
Questão 1 
Alternativa E. lim
𝑥𝑥→0
4𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐2(1
𝑥𝑥
) ∙ (5𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥) = 0 pois a função 4𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐2(1
𝑥𝑥
) é limitada e lim
𝑥𝑥→0
(5𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥) = 0. lim
𝑥𝑥→5
√𝑥𝑥−√5
𝑥𝑥−5
= lim
𝑥𝑥→5
√𝑥𝑥−√5
𝑥𝑥−5
∙ √
𝑥𝑥+√5
√𝑥𝑥+√5
= lim
𝑥𝑥→5
𝑥𝑥−5(𝑥𝑥−5)(√𝑥𝑥+√5) = lim𝑥𝑥→5 1√𝑥𝑥+√5 = 1
2√5
= √5
10
 lim
𝑥𝑥→+∞
4𝑥𝑥2+5𝑥𝑥+10
𝑥𝑥3+6𝑥𝑥2
= lim
𝑥𝑥→+∞
4𝑥𝑥2(1+ 5
4𝑥𝑥
+
10
𝑥𝑥2
)
𝑥𝑥3(1+6
𝑥𝑥
) = lim𝑥𝑥→+∞ 4𝑥𝑥2𝑥𝑥3 = 0 
 
 
Questão 2 
Alternativa C. 
A reta tangente será horizontal naqueles pontos em que 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = 0. Lembre-se que o valor da derivada no 
ponto é o coeficiente angular da reta tangente. 
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥3 − 9𝑥𝑥2 + 27𝑥𝑥 − 4 ⇒ 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = 3𝑥𝑥2 − 18𝑥𝑥 + 27 
𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = 0 ⇔ 3𝑥𝑥2 − 18𝑥𝑥 + 27 = 0 ⇔ 𝑥𝑥2 − 6𝑥𝑥 + 9 = 0 ⇒ 𝑥𝑥 = 3 
 
Questão 3 
Alternativa B. 
Como a área é dada por 𝐴𝐴(𝑡𝑡) = 𝜋𝜋𝑟𝑟(𝑡𝑡)2, então sua taxa de variação é dada por 𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑑𝑑
(𝑡𝑡) = 2𝜋𝜋𝑟𝑟(𝑡𝑡) 𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑑𝑑
(𝑡𝑡). No 
instante em questão teremos: 
𝑑𝑑𝐴𝐴
𝑑𝑑𝑡𝑡
(𝑡𝑡) = 2 ∙ 3 ∙ 200 ∙ 30 = 36.000𝑚𝑚2/ℎ 
 
 
Questão 4 
Área = ∫ [(5𝑥𝑥4 − 5𝑥𝑥) − (3𝑥𝑥 − 6)]𝑑𝑑𝑥𝑥 = ∫ (5𝑥𝑥4 − 8𝑥𝑥 + 6)𝑑𝑑𝑥𝑥 = (𝑥𝑥5 − 4𝑥𝑥2 + 6𝑥𝑥)|20 = 32 − 16 + 12 − 0 = 282020 . 
 
 
Questão 5 
Fazemos a mudança de variável 𝑡𝑡 = 𝑥𝑥4 + 1, 𝑑𝑑𝑡𝑡 = 4𝑥𝑥3𝑑𝑑𝑥𝑥, 𝑥𝑥 = 0 ⇒ 𝑡𝑡 = 1. 
𝑥𝑥 = 1 ⇒ 𝑡𝑡 = 2 
∫ 𝑥𝑥3√𝑥𝑥4 + 1𝑑𝑑𝑥𝑥10 = ∫ 14 √𝑡𝑡𝑑𝑑𝑡𝑡 = 14 ∙ 23 ∙ 𝑡𝑡32|21 = 16 (2√2 − 1)21 
 
 
Questão 6 
a) lim
𝑥𝑥→∞
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = −2, lim
𝑥𝑥→−∞
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = −2, lim
𝑥𝑥→4+
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = −∞ e 
 lim
𝑥𝑥→4−
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = +∞. 
disciplina: MCA001 – Cálculo I 
4 
 
b) 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = −2∙(𝑥𝑥−4)−(1−2𝑥𝑥)∙1(𝑥𝑥−4)2 = 7(𝑥𝑥−4)2. 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) > 0 em todo o domínio que é 𝐷𝐷(𝑓𝑓) = ]−∞, 4[ ∪ ]4, +∞[. 
𝑓𝑓 é crescente em ]−∞, 4[ e em ]4, +∞[. 
Obs.: 𝑓𝑓 não é globalmente crescente em todo o domínio. 
c) 𝑓𝑓′′(𝑥𝑥) = 0−7∙2∙(𝑥𝑥−4)(𝑥𝑥−4)4 = −14(𝑥𝑥−4)(𝑥𝑥−4)4 
𝑓𝑓′′(𝑥𝑥) < 0 ⇔ 𝑥𝑥 > 4 ⇒ o gráfico de 𝑓𝑓 tem concavidade para baixo em ]4, +∞[. 
𝑓𝑓′′(𝑥𝑥) > 0 ⇔ 𝑥𝑥 < 4 ⇒ o gráfico de 𝑓𝑓 tem concavidade para cima em ]−∞, 4[. 
d) 
 
 
 
 
 
-6 -4 -2 2 4 6 8 10
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
y