Geometria Plana Areas 2012

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Áreas – 2012 
 
1. (Ufg 2012) Uma chapa retangular com 
2170 cm
 de área é perfurada, por etapas, com furos 
triangulares, equiláteros, com 
1 cm
 de lado, como indica a figura a seguir. 
 
 
 
O número de furos acrescentados em cada etapa, a partir da segunda, é sempre o mesmo e 
não há interseção entre os furos. O porcentual da chapa original que restará na etapa 14 é, 
aproximadamente, 
Dado: 
3 1,7
 
a) 10% 
b) 30% 
c) 70% 
d) 80% 
e) 90% 
 
2. (Espm 2012) A figura abaixo mostra um retângulo de lados 7 cm e 8 cm no qual estão 
contidos os quadrados A, B e C. A medida x pode variar entre 3,5 cm e 7 cm, fazendo com que 
os lados dos três quadrados se alterem. 
 
Dentro desse intervalo, o maior valor que a 
área do polígono P pode ter é igual a: 
a) 18 cm
2
 
b) 15 cm
2
 
c) 17 cm
2
 
d) 19 cm
2
 
e) 16 cm
2
 
 
 
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3. (Fgv 2012) O polígono do plano cartesiano determinado pela relação 
3x 4y 12 
 tem 
área igual a 
a) 6. 
b) 12. 
c) 16. 
d) 24. 
e) 25. 
 
4. (Ueg 2012) A figura representa no plano cartesiano um triângulo ABC, com coordenadas A 
(0,5), B (0,10) e C (x,0), em que x é um número real positivo. 
 
 
 
Tendo em vista as informações apresentadas, 
 
a) encontre a função F que representa a área do triângulo ABC, em função de sua altura 
relativa ao lado AB; 
b) esboce o gráfico da função F. 
 
5. (Fgv 2012) Considere, no plano cartesiano, o pentágono ABCDE, de vértices 
A(0, 2),
 
B(4, 0),
 
C(2 1, 0),π
 
D(2 1, 4)π
 e 
E(0, 4).
 
 
 
 
Escolhendo aleatoriamente um ponto P no interior desse pentágono, a probabilidade de que o 
ângulo 
APB
 seja obtuso é igual a 
a) 
1
5
 
b) 
1
4
 
c) 
5
16
 
d) 
3
8
 
e) 
4
5
 
 
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6. (Espm 2012) Na figura plana abaixo, ABCD é um quadrado de área 10 cm
2
. Os segmentos 
CE e CF medem 4 cm cada. Essa figura deverá ser dobrada nas linhas tracejadas, fazendo 
com que os pontos E e F coincidam com um ponto P do espaço. 
 
 
 
A distância desse ponto P ao ponto A é igual a: 
a) 6 cm 
b) 5 cm 
c) 
4 2
cm 
d) 
5 2
cm 
e) 
6 2
cm 
 
7. (Ufmg 2012) Na figura a seguir, o triângulo ABC tem área igual a 126. Os pontos P e Q 
dividem o segmento AB em três partes iguais, assim como os pontos M e N dividem o 
segmento BC em três partes iguais. 
 
 
 
Com base nessas informações, 
 
a) Determine a área do triângulo QBN. 
b) Determine a área do triângulo sombreado PQM. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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8. (Ufu 2012) Na Figura 1, o triângulo retângulo ABC possui ângulo reto em B, 
AF 1cm,
 
AC 10 cm
 e BDEF é um quadrado. Suponha que o quadrado BDEF seja transladado ao 
longo de AC, sem alterar a medida dos lados e ângulos ao longo dessa translação, gerando, 
dessa forma, um novo quadrado XYZW, em que coincidem os pontos C e Z conforme ilustra a 
Figura 2. 
 
 
 
Nessas condições, qual é o valor (em cm
2
) da área do triângulo HZW? 
a) 5/2 
b) 13/4 
c) 3/2 
d) 15/2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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9. (Ufu 2012) O número áureo aparece com frequência em proporções ligadas a fenômenos 
da natureza e em magníficos projetos arquitetônicos. Neste contexto, alguns objetos 
matemáticos estão associados à elaboração estrutural de tais projetos. Este é o caso do 
retângulo áureo, cuja razão entre o maior e o menor lado é o número áureo. Uma maneira 
simples de construir um retângulo áureo é dada pelo seguinte roteiro: 
 
1º) Construa um quadrado ABCD de lados medindo 1 metro e um segmento de reta ligando o 
ponto médio O do lado AD ao ponto médio do lado BC, oposto ao lado AD. 
 
 
 
2º) Considere a reta r contendo o segmento AD. Com centro em O e raio OC, trace um arco de 
circunferência do vértice C até intersectar a reta r no ponto F. 
 
 
 
3°) Prolongue BC e trace a perpendicular à r por F, obtendo o ponto E. O retângulo ABEF é 
áureo. 
 
 
 
No retângulo áureo ABEF, se o ângulo 
θ
 é dado em radianos, então, dentre as expressões 
que seguem, aquela que corresponde ao valor da área sombreada, em 
2m ,
 é 
a) 
5 2
8
θ 
 
b) 
8 5
8
θ
 
c) 
3
4
θ
 
d) 
2 5 1
4
θ 
 
 
 
 
 
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10. (G1 - cftmg 2012) Se a área de um retângulo, cujos lados são denominados a e b, em que 
a > b, é igual a 120 m
2
 e seu perímetro é igual a 52 m, então, é correto afirmar que 
a) a – b = 0. 
b) a – b = 2. 
c) a – b = 14. 
d) a – b = 68. 
 
11. (Uftm 2012) O trapézio retângulo ABCD representa um terreno, com área de 
2800 m ,
 
situado em certo condomínio. Uma das cláusulas que regulamentam as construções nesse 
condomínio exige que a área construída, indicada pelo trapézio AECD na figura, ocupe no 
mínimo 50% e no máximo 70% da área do terreno. 
 
 
 
Desse modo, determine: 
a) o intervalo de todos os possíveis valores que x pode assumir para atender à cláusula 
especificada. 
b) o valor de x, se a área não construída ocupar 
2
5
 da área total do terreno. 
 
12. (Insper 2012) O retângulo da figura, cuja base 
AB
 mede o triplo da altura 
BC
, foi dividido 
em três regiões por meio de duas retas paralelas. 
 
 
 
Os pontos marcados sobre os lados 
AD
 e 
BC
dividem esses lados em quatro partes de 
medidas iguais. Se a área da faixa central á igual à soma das áreas dos triângulos 
sombreados, então o ângulo 

é tal que 
a) 
1
tg 
4
 
 
b) 
3
tg 
10
 
 
c) 
1
tg 
3
 
 
d) 
3
tg 
8
 
 
e) 
3
tg 
5
 
 
 
 
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13. (Enem 2012) Jorge quer instalar aquecedores no seu salão de beleza para melhorar o 
conforto dos seus clientes no inverno. Ele estuda a compra de unidades de dois tipos de 
aquecedores: modelo A, que consome 600 g/h (gramas por hora) de gás propano e cobre 35 
m
2
 de área, ou modelo B, que consome 750 g/h de gás propano e cobre 45 m
2
 de área. O 
fabricante indica que o aquecedor deve ser instalado em um ambiente com área menor do que 
a da sua cobertura. Jorge vai instalar uma unidade por ambiente e quer gastar o mínimo 
possível com gás. A área do salão que deve ser climatizada encontra-se na planta seguinte 
(ambientes representados por três retângulos é um trapézio). 
 
 
 
Avaliando-se todas as informações, serão necessários 
a) quatro unidades do tipo A e nenhuma unidade do tipo B. 
b) três unidades do tipo A e uma unidade do tipo B. 
c) duas unidades do tipo A e duas unidades do tipo B. 
d) uma unidade do tipo A e três unidades do tipo B. 
e) nenhuma unidade do tipo A e quatro unidades do tipo B. 
 
14. (G1 - cftmg 2012) A área de um paralelogramo ABCD é 54 dm
2
. Aumentando-se 6 
unidades na sua altura e diminuindo-se 4 unidades na base, sua área aumenta de 6 dm
2
. 
Dessa forma, a razão entre as medidas da base e da altura desse paralelogramo será 
a) 
3
.
2
 
b) 
2
.
3
 
c) 
1
.
2
 
d) 
1
.
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15. (G1 - epcar (Cpcar) 2012) Considere a área S da parte sombreada no triângulo retângulo 
isósceles 
1 2OO O .
 
AD, AB e BC são arcos de circunferência com centros em 
2O ,
 O e 
1O
 respectivamente, cujos 
raios medem 2r. 
 
 
 
Das figuras abaixo, a única em que a área sombreada NÃO é igual a S, é 
a) 
 Circunferência de diâmetro 
AB
 e semicircunferências de diâmetros 
OA
 e 
OB
 
b) 
 Circunferência de centro O 
c) 
 Circunferência de centro O 
d) 
 Circunferência de centro O inscrita num quadrado. Dois setores circulares de raio r 
 
 
 
 
 
 
 
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16. (Fgvrj 2012) O quadrilátero ABCD é um quadrado e E, F, G e H são os pontos médios dos 
seus lados. Qual superfície tem maior área: a branca ou a hachurada? 
 
 
 
17. (Fgv 2012) Na figura abaixo, o ângulo 
A
 do triângulo ABC inscrito na circunferência é reto. 
O lado 
AB
 mede 4, e o lado 
AC
 mede 5. 
 
 
 
A área do círculo da figura é: 
a) 
9,75π
 
b) 
10π
 
c) 
10,25π
 
d) 
10,50π
 
e) 
10,75π
 
 
18. (Enem 2012) Um forro retangular de tecido traz em sua etiqueta a informação de que 
encolherá após a primeira lavagem, mantendo, entretanto, seu formato. A figura a seguir 
mostra as medidas originais do forro e o tamanho do encolhimento (x) no comprimento e (y) na 
largura. A expressão algébrica que representa a área do forro após ser lavado é (5 – x) (3 – y). 
 
 
 
Nessas condições, a área perdida do forro, após a primeira lavagem, será expressa por: 
a) 2xy 
b) 15 – 3x 
c) 15 – 5y 
d) –5y – 3x 
e) 5y + 3x – xy 
 
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19. (G1 - cftmg 2012) Na figura seguinte, os pontos A e B pertencem à circunferência de 
centro O e a reta s é tangente à mesma no ponto A. 
 
 
 
O valor de x + y + z, em graus, é 
a) 160. 
b) 184. 
c) 196. 
d) 210. 
 
20. (G1 - cps 2012) Para preparar biscoitos circulares, após abrir a massa formando um 
retângulo de 
20 cm
 de largura por 
40 cm
 de comprimento, dona Maria usou um cortador 
circular de 
4 cm
 de diâmetro, dispondo-o lado a lado várias vezes sobre toda a massa para 
cortar os biscoitos, conforme a figura. 
 
 
 
Considere que: 
– os círculos que estão lado a lado são tangentes entre si e completam todo o retângulo com o 
padrão apresentado; 
– os círculos das bordas são tangentes aos lados do retângulo. 
 
Com a sobra de massa, dona Maria abre um novo retângulo, de mesma espessura que o 
anterior, para cortar mais biscoitos. Assim sendo, desconsiderando a espessura da massa, as 
dimensões desse novo retângulo podem ser 
Dados: área do círculo de raio r: 
2A r ;π
 adote: 
3.π 
 
a) 
8 cm 30 cm.
 
b) 
8 cm 25 cm.
 
c) 
9 cm 24 cm.
 
d) 
10 cm 22 cm.
 
e) 
10 cm 21cm.
 
 
 
 
 
 
 
 
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21. (Insper 2012) Na figura a seguir, os pontos M, N, O, P, Q e R pertencem aos lados do 
triângulo equilátero ABC, de perímetro 
6 cm,
 de modo que 
 
AM AN 2x cm; 
 
BO BP CQ CR x cm.   
 
 
 
 
Se a área do hexágono MNOPQR é metade da área do triângulo ABC, então o valor de x é 
igual a 
a) 
3
.
3
 
b) 
1
.
2
 
c) 
3
.
4
 
d) 
3
.
6
 
e) 
1
.
4
 
 
22. (G1 - cftrj 2012) O polígono ABCDEF da figura abaixo apresenta 3 pares de lados 
paralelos e congruentes entre si. 
 
 
 
Além disso, 
ED GH IJ KL AB
, 
EF DH HI JK LA BC
, 
AB AL
, 
ˆˆAFE BCD 90  
 e 
ˆDEF 120º
. Sabendo que med
(FE) 6cm
 e med
(AB) 3cm
, determine a área do polígono 
ABCDEF. 
 
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23. (G1 - ifsc 2012) Considere os dois retângulos da figura abaixo. O retângulo ABCD tem 2 
cm de largura e 9 cm de comprimento, e o retângulo EFGH tem 4 cm de largura e 12 cm de 
comprimento. 
 
 
 
É CORRETO afirmar que a razão da área do retângulo ABCD para a do retângulo EFGH é: 
a) 
3
.
4
 
b) 
8
.
3
 
c) 
1
.
2
 
d) 
3
.
8
 
e) 
11
.
16
 
 
24. (G1 - utfpr 2012) Num triângulo retângulo, os lados perpendiculares têm o mesmo 
comprimento e o lado oposto ao ângulo reto mede 
12 2 cm.
 Qual é a área desse triângulo? 
a) 
212 cm .
 
b) 
224 cm .
 
c) 
272 cm .
 
d) 
2144 cm .
 
e) 
  212 2 cm .
 
 
25. (Ufrn 2012) A figura a seguir representa uma área quadrada, no jardim de uma residência. 
Nessa área, as regiões sombreadas são formadas por quatro triângulos cujos lados menores 
medem 3 m e 4 m, onde será plantado grama. Na parte branca, será colocado um piso de 
cerâmica. 
 
 
 
O proprietário vai ao comércio comprar esses dois produtos e, perguntado sobre a quantidade 
de cada um, responde: 
a) 
224 m
 de grama e 
225 m
 de cerâmica. 
b) 
224 m
 de grama e 
224 m
 de cerâmica. 
c) 
249 m
 de grama e 
225 m
 de cerâmica. 
d) 
249 m
 de grama e 
224 m
 de cerâmica. 
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26. (Uftm 2012) Na figura, A, B, C e D são vértices de um quadrado de lado x, M é o ponto 
médio do lado 
AD e MC
 é o segmento de reta que divide o quadrado em dois polígonos, 
trapézio AMCB e triângulo MDC. 
 
 
 
Desse modo, é correto afirmar que 
a) a área do triângulo é 
x
.
4
 
b) a área do trapézio é 22x
.
3
 
c) a área do trapézio é igual ao triplo da área do triângulo. 
d) a área do quadrado é o triplo da área do triângulo. 
e) a área do triângulo é 
1
x.
2
 
 
27. (Esc. Naval 2012) O triângulo da figura abaixo é equilátero, 
AM MB 5 
 e 
CD 6.
 A 
área do triângulo 
MAE
 vale 
 
 
a) 
200 3
11
 
b) 
100 3
11
 
c) 
100 2
2
 
d) 
200 2
11
 
e) 
200 2
2
 
 
 
 
 
 
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28. (G1 - ifba 2012) A figura a seguir representa o coração perfeito que Jair desenhou para a 
sua amada. 
 
 
 
Sabendo que esse coração representa dois semicírculos com o diâmetro em dois lados 
consecutivos de um quadrado, cuja diagonal mede 
5 8 cm,
, a área do coração, em cm 
quadrados, é: 
a) 175 
b) 160 
c) 155 
d) 140 
e) 142 
 
29. (Ufsj 2012) Observe a figura abaixo. 
 
 
 
A razão entre a área e o perímetro do hexágono regular inscrito na circunferência de diâmetro k 
é 
a) 
8 3
k
3
 
b) 
3
k
4
 
c) 
8 3
3k
 
d) 
3
k
8
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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30. (Epcar (Afa) 2012) Conforme a figura abaixo, A é o ponto de tangência das circunferências 
de centros 
1C ,
 
2C
 e 
3C .
 
Sabe-se que os raios dessas circunferências formam uma progressão geométrica crescente. 
 
 
 
Se os raios das circunferências de centros 
1C
 e 
2C
 medem, respectivamente, 2r e 3r, então a 
área da região sombreada vale, em unidades de área, 
a) 
255 r
8
π
 
b) 
229 r
4
π
 
c) 
261 r
8
π
 
d) 
28 rπ
 
 
31. (Ufg 2012) Três irmãos herdaram uma propriedade rural em Goiás e necessitamrepartir as 
terras. A figura a seguir representa a propriedade, que é retangular, medindo 2000 m por 1500 
m, e está integralmente utilizada para lavouras e pastagens, exceto a reserva legal mínima de 
mata nativa, também em formato retangular, com 1200 m de comprimento, representada pela 
região sombreada na figura. 
As linhas destacadas na figura apresentam uma proposta de partilha das terras em que a 
região de mata nativa fica dividida em um retângulo e dois triângulos. 
 
 
 
Considerando-se que os três irmãos devem ficar com propriedades de mesma área e que, para 
cada uma delas, deve ser garantida a reserva legal mínima de vegetação nativa, que no estado 
de Goiás é de 20% da área da propriedade, determine quais devem ser as medidas 
assinaladas por x e y. 
 
 
 
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32. (Espm 2012) Uma parede retangular pode ser totalmente revestida com ladrilhos 
retangulares de 30 cm por 40 cm ou com ladrilhos quadrados de 50 cm de lado, inteiros, sem 
que haja espaço ou superposição entre eles. A menor área que essa parede pode ter é igual a: 
a) 4,5 m
2
 
b) 2,5 m
2
 
c) 3,0 m
2
 
d) 4,0 m
2
 
e) 3,5 m
2
 
 
33. (G1 - ifpe 2012) O Sr. Joaquim comprou um terreno em um loteamento numa praia do 
litoral sul de Pernambuco. O terreno tem a forma de um paralelogramo (figura abaixo) com a 
base medindo 20 metros e a altura medindo 15 metros. Os pontos M e N dividem a diagonal 
BD em três partes iguais. No triângulo CMN, ele vai cultivar flores. Qual é a área que o Sr. 
Joaquim destinou para esse cultivo, em m
2
? 
 
 
a) 37 
b) 39 
c) 45 
d) 48 
e) 50 
 
34. (Ufsj 2012) 
 
 
A figura acima é conhecida como Homem Vitruviano (Leonardo da Vinci, 1490). Nela, um 
homem nu aparece inscrito em um quadrado e em um círculo, ambos de mesma área. 
Considerando R o raio desse círculo e L o lado desse quadrado, é CORRETO afirmar que: 
a) R = L/2 b) 
2(L/R)π 
 c) 
2L /2Rπ 
 d) 
2L/Rπ 
 
 
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35. (Uel 2012) Considere que um tsunami se propaga como uma onda circular. 
 
 
 
Se a distância radial percorrida pelo tsunami, a cada intervalo de 1 hora, é de k quilômetros, 
então a área A, em quilômetros quadrados, varrida pela onda entre 9 horas e 10 horas é dada 
por: 
a) 
2A k 
 
b) 
2A 9 k 
 
c) 
2A 12 k 
 
d) 
2A 15 k 
 
e) 
2A 19 k 
 
 
36. (G1 - ifce 2012) Na figura abaixo, os segmentos AB, AE e ED possuem o mesmo 
comprimento. Sendo F o ponto médio do segmento BE e sabendo-se que ABCD é um 
retângulo de área 200 m
2
, é correto concluir-se que a área do triângulo CDF, em metros 
quadrados, vale 
 
 
 
a) 120. 
b) 100. 
c) 90. 
d) 75. 
e) 50. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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37. (Ufpr 2012) Calcule a área do quadrilátero P1P2P3P4 , cujas coordenadas cartesianas são 
dadas na figura abaixo. 
 
 
38. (Ufjf 2012) Em um trapézio ABCD, com lados 
AB
 e 
CD
 paralelos, sejam M o ponto médio 
do segmento 
CD
 e 
1S
 a área do triângulo BMC. 
 
a) Considere P o ponto de interseção do segmento 
AM
 com 
BD.
 Sabendo que a área do 
triângulo DPM é um quarto da área do triângulo BMC, deduza a relação existente entre a 
altura H do triângulo BMC relativa à base 
MC
 e altura h do triângulo DPM relativa à base 
MD.
 
b) Sabendo que 
CD 2
 e 
AB 6,
 calcule a área do trapézio em função da altura H do 
triângulo BMC. 
 
39. (Ufpb 2012) Um ambientalista, desejando estimar a área de uma região de preservação 
ambiental, observou em um mapa, com escala de 1 cm para cada 100 km, que o formato da 
região era, aproximadamente, um triângulo retângulo de catetos medindo 2 cm e 3 cm. Com 
base nesses dados, conclui-se que a área da região de preservação ambiental era, 
aproximadamente, de: 
a) 
220.000 km
 
b) 
230.000 km
 
c) 
235.000 km
 
d) 
240.000 km
 
e) 
260.000 km
 
 
40. (Ufrgs 2012) Um cilindro tem o eixo horizontal como representado na figura abaixo. Nessa 
posição, sua altura é de 2 m e seu comprimento, de 5 m. 
 
 
 
A região sombreada representa a seção do cilindro por um plano horizontal distante 1,5 m do 
solo. A área dessa superfície é 
a) 
3.
 
b) 
2 2.
 
c) 
2 3.
 
d) 
5 2.
 
e) 
5 3.
 
 
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Gabarito: 
 
Resposta da questão 1: 
 [E] 
 
Sabendo que o lado dos furos mede 
1cm,
 segue que área de cada furo é dada por 
 
2
21 3 17 cm .
4 40


 
 
Além disso, o número de furos em cada etapa cresce segundo uma progressão aritmética de 
primeiro termo igual a 
1
 e razão 
3.
 Logo, o número de furos na 14ª etapa é igual a 
1 13 3 40.  
 
 
Portanto, o percentual pedido é igual a 
 
17
170 40
40 100% 90%.
170
 
 
 
 
Resposta da questão 2: 
 [A] 
 
Considere a figura. 
 
 
 
A área do polígono 
P
 é dada por 
 
2
2
2
(ABCDEG) (ABFG) (CDEF)
AG FG CF EF
(x 1) (7 x) (8 x) (2x 8)
3 (x 10x 19)
3 [(x 5) 25 19]
18 3 (x 5) .
 
   
       
    
     
   
 
 
Portanto, a área do polígono 
P
 é máxima para 
x 5,
 e seu valor é 
218cm .
 
 
 
 
 
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Resposta da questão 3: 
 [D] 
 
Sabendo que 
, se 0
| | ,
, se 0
φ φ
φ
φ φ
 
 
 
 para todo 
φ
 real, segue que a relação 
| 3x | | 4y | 12 
 
determina o losango de diagonais 
6
 e 
8,
 conforme a figura abaixo. 
 
 
 
Portanto, a área pedida é dada por 
6 8
24 u.a.
2


 
 
Resposta da questão 4: 
 a) 
10.x 5x
F(x)
2 2
 
 
5x
F(x)
2

 
 
 
 
b) Observe o gráfico a seguir: 
 
 
 
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Resposta da questão 5: 
 [C] 
 
Para que o ângulo 
APB
 seja obtuso, é necessário que P seja um ponto no interior do 
semicírculo de diâmetro AB, contido no pentágono ABCDE. Desse modo, como a área do 
semicírculo de diâmetro AB é dada por 
 
22 2 2
A, Bd1 1 2 4
2 2 2 2
1 20
2 4
5
u.a.
2
π π
π
π
   
            
  

 
 
e a área do pentágono ABCDE é igual a 
 
2 1 2 3
2 (2 1) 2 4 2 4 2
2
8 u.a.,
π π
π π π
π
  
       

 
 
segue que a probabilidade pedida é 
 
5
52 .
8 16
π
π

 
 
Resposta da questão 6: 
 [A] 
 
Como o quadrado 
ABCD
 tem área igual a 
210cm ,
 vem que 2 2AB 10cm . 
De acordo com as informações, temos que o segmento 
PA
 é a hipotenusa do triângulo 
retângulo de catetos 
CP 4cm
 e 
AC AB 2cm.
 Portanto, pelo Teorema de Pitágoras, 
obtemos 
 
2 2 2 2 22
2 2
2
PA AC CP PA (AB 2) CP
PA 2 10 4
PA 36
PA 6cm.
    
   
 
 
 
 
Resposta da questão 7: 
 a) 2 2
Maior
menor
Menor menor
A L 126 3x
A 14ua
A l A x
   
       
   
 
 
b) 2 2
ABC
PBM
PBM PBM
A L 126 3x
A 56ua
A l A 2x
   
       
   
 
 
Portanto: 
PBM
PQM QBM PQM
A 56
A A A 28ua
2 2
    
 
www.nsaulasparticulares.com.br Página 22 de 34Resposta da questão 8: 
 [C] 
 
Das relaçơes métricas no triângulo retângulo, vem 
 
 2 2
AB AF AC AB 1 10
AB 10 cm,
    
 
 
 
 2 2
BC CF AC BC 9 10
BC 3 10 cm
    
 
 
e 
 2 2
BF AF CF BF 1 9
BC 3cm.
    
 
 
 
Como os triângulos 
HZW
 e 
ABC
 săo semelhantes, temos que 
 
 HW WZ HW 3
AB BC 10 3 10
HW 1cm.
  
 
 
 
Portanto, a área pedida é dada por 
 
 
2HW WZ 1 3 3 cm .
2 2 2
 
 
 
 
Resposta da questão 9: 
 [A] 
 
Sabendo que 
AD 1m
 e 
O
 é o ponto médio de 
AD,
 do triângulo retângulo 
ODC,
 vem 
 
 
2
2 2 2 2 2
2 2
1
OC OD DC OC 1
2
5
OC m .
4
 
     
 
 
 
 
A área pedida é dada pela diferença entre as áreas do setor circular 
OFC
 e do triângulo 
retângulo 
ODC,
 ou seja, 
 
 
2
2
OC OD DC
(OFC) (ODC)
2 2
5 1
1
4 2
2 2
5 2
m .
8
θ
θ
θ
 
  
 
 


 
 
 
 
 
 
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Resposta da questão 10: 
 [C] 
 
2
2
2a 2b 52 a b 26 b 26 a (1)
a b 120 a b 120 a b 120 (2)
a (26 a) 120
a 26 a 120 0
a 26 a 120 0
       
   
       
  
    
   
 
 
Resolvendo a equação do segundo grau, temos 
 
a = 20 ou a = 6 
Se a = 20; b = 6 
Se a = 6; b = 20 (não convém, pois a > b). 
 
Portanto, a – b = 20 – 6 = 14. 
 
Resposta da questão 11: 
 a) De acordo com as informações, segue que 
 
 x 30
0,5 (ABCD) (AECD) 0,7 (ABCD) 400 20 560
2
10 m x 26 m.

       
  
 
b) Se a área não construída ocupar 
2
5
 da área total do terreno, então a área construída 
ocupará 
3
5
 da área total. Portanto, o valor de 
x
 deve ser tal que 
 
 3 x 30
(AECD) 800 20 480
5 2
x 18 m.

    
 
 
 
Resposta da questão 12: 
 [D] 
 
 
1 2
2
2 2
2
2
2
2
2
A 2 A 12a 4a
2 A 2 A 48 a
4 A 48 a
2 A 24 a
x 3 a 24 a
x 8 A
   
    
  
  
   
 
 
 
 
Logo, 
3a 3
tg
8a 8
 α
 
 
 
 
 
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Resposta da questão 13: 
 [C] 
 
Calculando as áreas dos ambientes, obtemos 
 
2
IS 8 5 40 m ,  
 
 
2
IIS (14 8) 5 30 m ,   
 
 
2
IIIS (14 8) (9 5) 24 m    
 
e 
2
IV
(14 8) 4
S 7 35 m .
2
 
  
 
 
Desse modo, como Jorge quer gastar o mínimo com gás, ele deverá instalar duas unidades do 
tipo A (ambientes II e III) e duas unidades do tipo B (ambientes I e IV). 
 
Resposta da questão 14: 
 [A] 
 
 
 
   
54b h 54 b h 54 h
b
bh 6b 4h 24 60b 4 h 6 54 6 6b 4h 30
     
   
            
 
 
Resolvendo o sistema, temos: 
 
2 2546b 4 30 6b 30b 216 0 b 5b 36 0.
b
          
 
 
Resolvendo a equação, temos: 
 
b = 9 ou b = –4 (não convém) 
 
Se b = 9, então h = 6. 
 
Calculando, agora, a razão pedida: 
 
b 9 3
.
h 6 2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Resposta da questão 15: 
 [D] 
 
 
 
A figura da alternativa [D] é a única que não é equivalente a um semicírculo de raio 2r, pois é 
equivalente a um semicírculo de raio r. 
 
Resposta da questão 16: 
 A área da superfície branca é dada por 
 
2AH AE
4 2 AH .
2

  
 
 
Como 
EFGH
 é um quadrado de lado 
2 AH,
 segue que a área da superfície hachurada é 
igual a 
22( 2 AH) 2 AH .  
 
 
Portanto, as áreas são iguais. 
 
Resposta da questão 17: 
 [C] 
 
Se o ângulo CÂB é reto então BC = 2R onde R é o diâmetro do círculo da figura. 
 
2 2 2BC 4 5 BC 41   
 
 
Logo, a área do círculo será dada por 2
41
A 10,25 .
2
π π
 
     
 
 
 
 
 
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Resposta da questão 18: 
 [E] 
 
Como o retângulo de dimensões 
x y
 está contido nos retângulos de dimensões 
5 y
 e 
3 x,
 
segue que a área perdida do forro, após a primeira lavagem, será expressa por 
3x 5y xy. 
 
 
Resposta da questão 19: 
 [B] 
 
Como O é o centro da circunferência, o triângulo AOB é isósceles de base AB; portanto, x = 
43°. 
 
A reta t é tangente à circunferência, portanto, 43° + y = 90°; logo, y = 47°. 
 
No triângulo AOB, temos: 
 
x + x + z = 180° 
43° + 43° + z = 180° 
z = 180° – 86° 
z = 94°. 
 
Portanto, valor de x + y + z = 43° + 47° + 94° = 184°. 
 
Resposta da questão 20: 
 [B] 
 
 
 
Total de biscoitos retirados no comprimento: 40/4 =10 
Total de biscoitos retirados na largura: 20/4 =5 
Total de biscoitos retirados: 5/10 = 50 
 
Área restante em cm
2
: 
2 2A 40 20 – 50 3 2 200 cm    
 
 
Com 200 cm
2
 de massa será possível formar um retângulo de dimensões 8 por 25 cm, já que 
28 25 200 cm . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Resposta da questão 21: 
 [A] 
 
Se é a medida do lado do triângulo equilátero 
ABC,
 então 
 
ABC2p 6 3 6 2cm.    
 
 
Dado que 
AM AN 2xcm 
 e 
BAC 60 , 
 segue que o triângulo 
AMN
 é equilátero. 
Analogamente, concluímos que os triângulos 
BOP
 e 
CRQ
 são equiláteros congruentes. 
Portanto, sabendo que a área do hexágono 
MNOPQR
 é metade da área do triângulo 
ABC,
 
isto é, 
 
(ABC)
(MNOPQR) ,
2

 
 
obtemos 
 
2 2 2
2
(MNOPQR) (ABC) (AMN) 2 (BOP)
(ABC)
(AMN) 2 (BOP)
2
(2x) 3 x 3 1 2 3
2
4 4 2 4
6x 2
3
x cm.
3
   
  
   


 
 
Resposta da questão 22: 
 De acordo com as afirmações do problema e através dos segmentos 
AE e BD
podemos dividir 
o polígono em dois triângulos retângulos e oito triângulos equiláteros cujos lados medem 3 cm. 
 
 
 
No triângulo AFE, temos: 
AF
tg60 AF CD 6 3cm
6
     
 
 
Portanto, a área do polígono ABCDEF será dada por: 
2
ABCDEF
28 3 3 6 6 3
18 3 36S 3 54 3
4 2
cm
  
   
 
 
 
 
 
 
 
 
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Resposta da questão 23: 
 [D] 
 
ABCD
EFGH
A 2 9 18 3
.
A 4 12 48 8

  

 
 
Resposta da questão 24: 
 [C] 
 
 
 
 
22 2
2
2
2
x x 12 2
2x 144 2
x 144
Portanto, a área do triângulo será:
x 144
A 72.
2 2
 
 

  
 
 
Resposta da questão 25: 
 [A] 
 
A área sombreada onde será plantada a grama é dada por 
23 44 24 m .
2

 
 Por outro lado, 
como os quatro triângulos menores são triângulos retângulos pitagóricos de hipotenusa 
5 m,
 
segue que a superfície que receberá o piso de cerâmica é um quadrado, cuja área mede 
2 25 25 m .
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Resposta da questão 26: 
 [C] 
 
Considere a figura. 
 
 
 
É fácil ver que 
  
1
(ACD) (ACB) (ABCD).
2
 Além disso, como 
AM MD,
 temos que 
 
1
(AMC) (MCD) (ACD).
2
 Donde 
   
1 1 1
(MCD) (ABCD) (ABCD).
2 2 4
 
 
Além disso, 
 (AMCD) (ABC) (AMC)
1 1
(ABCD) (ABCD)
2 4
1
3 (ABCD)
4
3 (MCD)
 
     
 
 
 
Portanto, a área do trapézio é igual ao triplo da área do triângulo. 
 
Resposta da questão 27: 
 [B] 
 
Pelo Teorema de Menelaus, aplicado no triângulo 
ABC,
 vem 
 
MA DB EC 5 16 EC
1 1
5 6MB DC EA EA
EC 3
8EA
      
 
 
 
Agora, como 
AB AC AE EC 10,   
 pela propriedade das proporções, temos 
 
EC 3 EC EA 3 8
8 3EA EA
80
EA .
11
 
  
 
 
Portanto, sabendo que 
MAE 60 , 
 encontramos 
1
(MAE) MA EA senMAE
2
1 80 3
5
2 11 2
100 3
.
11
   
   

 
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Resposta da questão 28: 
 [A] 
 
 
 
d 5 8 2 5 8 10    
 
 
2 R 10 R 5,   
 onde R é o raio dos semicírculos. 
 
Portanto, considerando 
3π 
 a área pedida será dada por: 
 
2
2 .5A 10 2 175
2
π 
    
 
 
 
 
Resposta da questão 29: 
 [D] 
 
2
k 3
6. .
Área k 32 4
kPerímetro 8
6.
2
 
 
 
 
 
 
Resposta da questão 30: 
 [C] 
 
A razão da P.G. formada pelos raios será dada por 
3r 3
,
2r 2

 portanto o raio da terceira 
circunferência será 
9r
.
2
 
 
Calculando agora as áreas assinaladas A1 e A2: A = A1+ A2 
 
 
 
2
9r
2 2(2r) (3r)2
A
2 2 2
π
π π
 
       
   
 
 
45 612A 2 r
8 8
π π
π   
 
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Resposta da questão 31: 
 
 
 
Área total do terreno: 3 km
2
 
Área que cabe a cada filho: 1 km
2
 
 
 k 1,2 0,2 1,5 2
k 0,5
   

 
 
k m 0,2 1
0,5 m 0 2
m 0,4
  
  

 
 
1A 0,8 1 
 
(0,4 x) 1
0,8 x 1,2 km
2
 
  
 
 
2A 0,8 1 
 
 0,5 y 0,8
0,8 y 1,5 km
2
 
  
 
 
Resposta da questão 32: 
 [C] 
 
A área de um ladrilho retangular de 
30cm
 por 
40cm
 é 
230 40 1200cm , 
 enquanto a área e 
um ladrilho quadrado de 
50cm
 de lado é 
2 250 2500cm .
 
Portanto, a menor área que pode ter essa parede, sem que haja espaço ou superposição entre 
os ladrilhos, é dada por 
2 2mmc(1200, 2500) 30.000cm 3,0 m . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Resposta da questão 33: 
 [E] 
 
A área destinada à plantação de flores é 1/6 da área do paralelogramo, pois todos os triângulos 
possuem a mesma área. 
 
 
 
 
2
1
A 15.20
6
A 50m
 

 
 
Resposta da questão 34: 
 [B] 
 
Admitindo a área do círculo igual à área do quadrado, temos: 
 
    
 
2
2 2 L.R L
R
π π
 
 
Resposta da questão 35: 
 [E] 
 
A área 
A,
 em quilômetros quadrados, varrida pela onda entre 
9
 horas e 
10
 horas é dada por 
 
2 2 2 2 2A [(10k) (9k) ] (100k 81k ) 19 k .       
 
 
Resposta da questão 36: 
 [D] 
 
 
 
Área do retângulo: 2x.x = 100 

x = 10 m. 
Área do triângulo: 21 x 3x
.x. 2x
2 2 4
 
  
 
= 23.10
75.
4

 
 
 
 
 
 
 
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Resposta da questão 37: 
 
 
 
1 2 3 4A A A A A A
2.1 5.4 4.3 6.3
A 8.6
2 2 2 2
A 48 1 10 6 9
A 48 26
A 22 unidades de área
    
    
    
 

 
 
Resposta da questão 38: 
 a) Considere a figura. 
 
 
 
 Como 
M
 é o ponto médio de 
CD,
 segue que 
MD MC.
 
 Sabendo que a área do triângulo 
DPM
 é um quarto da área do triângulo 
BMC,
 obtemos 
 
 1 MD h 1 MC H
(DPM) (BMC)
4 2 4 2
H 4h.
 
    
 
 
b) A área do trapézio em função da altura 
H
 do triângulo 
BMC
 é dada por 
 
 
AB CD 6 2
(ABCD) H H 4H.
2 2
 
    
 
 
Resposta da questão 39: 
 [B] 
 
2
200.300
A
2
A 30 000 km


 
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Resposta da questão 40: 
 [E] 
 
 
 
Pelo Teorema de Pitágoras: 
 
2
2 21 31 x x .
2 2
 
    
 
 
Portanto: 
2
regiãoA 5 3 5 3 m .  