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1 UNIVERSIDADE SÃO JUDAS TADEU DATA: CURSO: ENGENHARIA TURMA: Nº DE ORDEM: DISCIPLINA: CÁLCULO II Prof. Ms Rogério Lobo DIVERGENTE RESUMO 9 CAMPO VETORIAL Definição: Seja A c IRn, e F uma função de A em IRn, então F(X), X ∈ A , é um vetor aplicado em X, ou seja, um campo vetorial. Exemplo Represente geometricamente o campo vetorial F dado por F(x, y) = j. Solução: DIVERGENTE Definição: Seja 𝐅 = (F1, F2, … , Fn) um campo vetorial definido em um aberto A c IRn, onde as componentes de F admitem derivadas parciais em A, e div F uma função de A em IR, então o campo escalar div 𝐅 = ∇ ∙ 𝐅 = ∂F1 ∂x1 + ∂F2 ∂x2 + ⋯ + ∂Fn ∂xn denomina-se divergente de F. Exemplo Seja F(x, y, z) = (x2 + z)𝐢 − y2 𝐣 + (2x + 3y + z2) 𝐤. Calcule div F. Solução: div 𝐅 = ∇ ∙ 𝐅 = 2x − 2y + 2z. Exercícios de Aula Sejam r = xi+yj+zk e r = |r|. Verifique as identidades : a) 𝛁𝐫 = 3 b) 𝛁(r𝐫) = 4r 2 Determine o divergente do campo vetorial: 2-) F(x, y, z) = x2yz𝐢 + xy2z𝐣 + xyz2𝐤 3-) F(x, y, z) = xye𝑧𝐢 + yze𝑥𝐤 4-)Demonstre que div (f 𝐅) = f div𝐅 + 𝐅 ∙ 𝛁f admitindo que as derivadas parciais existem e são contínuas e (f 𝐅)(x, y, z) = f(x, y, z)𝐅(x, y, z). Exercícios de Casa Represente geometricamente o campo vetorial dado. 1-) v(x,y) = x2 𝐣 2-) h(x, y) = 𝐢 + 𝐣 3-) P(x,y) = x 𝐢 + xy 𝐣 4-) E(x,y) = 3 𝐢 + 𝐣 5-) k(x,y) = y3 𝐢 + 𝐣 6-) F(x,y,z) = x √x2+y2 𝐢 + y √x2+y2 𝐣 7-) F(x,y,z) = −y √x2+y2 𝐢 + x √x2+y2 𝐣 8-) F(x,y,z) = x x2+y2 𝐢 + y x2+y2 𝐣 Calcule o divergente do campo vetorial dado. 9-) F(x,y,z) = -y 𝐢 + x 𝐣 10-) F(x,y,z) = x 𝐢 + y 𝐣 + z 𝐤 11-) F(x,y,z) = -y(x2 − y2) 𝐢 + sen (x2 + y2) 𝐣 + arctgz 𝐤 12-)𝐅(x, y, z) = (x2 + y2 + z2)arctg (x2 + y2 + z2) 𝐤 13-) 𝐅(x, y, z) = ex 3+y2+z4 𝐢 + tg (y2) 𝐣 + ln ( z x ) 𝐤 14-) 𝐅(x, y, z) = 𝐢 + cos z3 𝐣 + x+4 y 𝐤 15-) 𝐅(x, y, z) = senx. seny 𝐢 + 3x cos y 𝐣 + 30 𝐤
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