Aula 04 EDO's lineares de segunda ordem versão 03

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11/13/2018
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EDO’s de segunda ordem
1. EDO’s de Segunda Ordem: definição
Vimos que uma EDO de �-ésima ordem é dada por:
� �, �,
��
��
,
���
���
, … ,
�	�
��	
 0 ou 
�	�
��	
 
 �, �,
��
��
,
���
���
, … ,
�	���
��	��
.
Daí, para � 
 2 , temos, genericamente, que uma EDO de
segunda ordem é definida por:
� �, �,
��
��
,
���
���
 0 ou 
���
���
 
 �, �,
��
��
 .
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Ao se resolver uma EDO de segunda ordem é de se esperar
que sua solução geral apresente duas constantes arbitrárias, à
qual denominaremos de família de soluções a dois parâmetros.
Como ocorreu para as EDO’s de 1ª ordem, as EDO’s de 2ª
ordem possuem vários tipos diferentes, cada uma apresentando
um procedimento diferente de solução.
A forma geral desse tipo de solução se escreve:
� �, �, ��, �� 
 0
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2. EDO’s Lineares de Segunda Ordem: definição
Vimos que uma EDO linear na variável dependente � de �-ésima
ordem é dada por:
�� �
���
���
� ���	 �
���	�
����	
�⋯� �� �
���
���
� �	 �
��
��
� �� � � 
 � �
Ela é chamada de EDO linear de �-ésima ordem não homogênea ou
completa.
Daí, se � 
 2 (2ª ordem), temos que
�� �
���
���
� �	 �
��
��
� �� � � 
 � �
ou
�����′′ � �����′ � � � � 
 � � ,
que é denominada de EDO de 2ª ordem linear, na variável
dependente �, não homogênea ou completa.
Como será a solução desse tipo de EDO?
Um outro motivo que também influencia na obtenção da
solução geral da EDO de 2ª ordem linear são os coeficientes,
� � .
Podemos classifica-los em:
 coeficientes constantes,
 e, coeficientes variáveis.
O tipo de coeficiente influencia diretamente no procedimento de
obtenção de �� e ��. Por isso, por simplicidade, iremos primeiro
inspecionar as EDO’s lineares com coeficientes constantes,
para só depois trabalhamos com as EDO’s lineares com
coeficientes variáveis.
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3. Solução geral da EDO Linear Homogênea 
(Princípio da Superposição)
Independentemente se os coeficientes são constantes ou variáveis,
a forma geral da solução de uma EDO linear homogênea, em um
intervalo �, é dada pela expressão:
� � 
 �	�	 � � ���� � ,
onde �	 � e �� � também são soluções da EDO linear
homogênea, às quais denominamos de soluções fundamentais da
EDO linear homogênea e, �	 e �� são constantes quaisquer.
Denominamos a solução acima de solução geral da EDO linear
homogênea, pois ela representa a combinação linear entre �	 � e
�� � .
Agora, por que chamamos �	 � e �� � de soluções
fundamentais?
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4. EDO’s de 2ª ordem lineares com coeficientes constantes
São EDO’s da forma
��′′ � ��′ � �� � � 	 ,
onde �, � e � são constantes (� � 0) e � 	 é uma função
continua em um intervalo 
.
Sua solução geral é escrita como
� 	 � �� 	 � �� 	 ,
onde �� é sua solução particular e �� é a solução solução
complementar (solução da EDO linear homogênea ou EDO
complementar).
5. EDO’s de 2ª ordem Lineares Homogêneas com 
Coeficientes Constantes
Se � 	 � 0 na EDO ��′′ � ��′ � �� � � 	 , obtemos a EDO
��′′ � ��′ � �� � 0,
à qual denominamos de EDO de 2ª ordem linear homogênea com
coeficientes constantes, onde �, � e � são números reais e � � 0.
Sendo assim, a solução da EDO ��′′ � ��′ � �� � 0 depende da
resolução da equação auxiliar ou característica, que, por sua vez:
i) se Δ � 0, terá duas raízes reais e distintas;
ii) se Δ � 0, terá duas raízes reais e iguais;
iii) e, se Δ � 0, terá duas raízes complexas e distintas.
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1º CASO: Δ � 0
Nesse caso, a equação auxiliar admite duas raízes reais e
diferentes. Sejam elas: �� e ��.
Exemplo: Resolva a equação diferencial
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���
�	�
�
��
�	
� � � 0.
Assim, neste caso, a solução geral da EDO ��′′ � ��′ � �� �
0 se escreve:
� 	 � ���
��� � ���
���.
Então as soluções fundamentais da EDO ��′′ � ��′ � �� � 0
são:
�� 	 � �
��� e �� 	 � �
���
que, por sua vez, são LI.
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6. EDO’s lineares não homogêneas com coeficientes 
constantes
São EDO’s da forma
��′′ � ��′ � �� � � 	 ,
onde �, � e � são constantes (� � 0) e � 	 é uma função
continua em um intervalo 
.
(*)
A eq. homogênea associada a eq. (*) é
��′′ � ��′ � �� � 0,
também denominada de equação complementar.
A solução geral da eq. (*) é escrita como
� 	 � �� 	 � �� 	 ,
onde �� é uma solução particular de (*) e �� é a solução da eq.
complementar, denominada solução complementar de (*).
Agora veremos como determinar a solução particular de (*).
Há dois métodos para determinar ��:
 Método dos Coeficientes Indeterminados
 Método da Variação dos Parâmetros
Já vimos como determinar a solução complementar de (*).
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6.1 Método dos coeficientes indeterminados ou dos coeficientes a 
serem determinados
���� Forma de ��
1. � (qualquer constante) �
2. a	 � � �	 � �
3. a	� � �	 � � �	� � �	 � �
4. �	� � �	� � �	 �d �	� � �	� � �	 � �
5. �� ��� 
6. sen $	 � cos�$	� � � sen�$	�
7. cos $	 � cos�$	� � � sen�$	�
8. �	 � � �� �	 � � �� 
9. a	� � �	 � � �� �	� � �	 � � �� 
10. �� sen $	 ��� cos�$	� � ��� sen�$	�
11. �	 � � sen $	 �	 � � cos�$	� � �	 � � sen�$	�
12. �	 � � �� cos $	 �	 � � �� cos�$	� � �	 � � �� sen�$	�
Dependendo da forma de ��	� na EDO, pode-se inferir uma
expressão para �� de acordo com o quadro abaixo: