PS- Vetores - SI e QUI

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Universidade Federal do Esp´ırito Santo
Centro de Cieˆncias Agra´rias - CCA
Prova Substitutiva de Vetores e GA - 29/06/2011
Nome Leg´ıvel:
Justifique todas as respostas!
1. Dado o vetor −→v = (1,−3, 4). Calcule:
(a) (0,75 pt) O versor do vetor −2−→v .
(b) (0,75 pt) O vetor paralelo a −→v de sentido oposto e mo´dulo 3.
2. (a) (1 pt) Calcule z, sabendo que A = (2, 0, 0), B = (0, 2, 0) e C = (0, 0, z) sa˜o ve´rtices
de um triaˆngulo de a´rea 6.
(b) (0,5 pt) Determine a altura do triaˆngulo relativo ao ve´rtice C.
3. Seja o plano pi : −4x+ y − 5z − 4 = 0. Calcular:
(a) (1 pt) O valor de m e n para que o plano pi1 : −3x + my + nz + 4 = 0 seja paralelo
ao plano pi.
(b) (0,5 pt) O ponto do plano pi cuja a ordenada e´ -1 e a cota e´ o quadruplo da abscissa.
Questo˜es da Prova 1
4. Levando em conta a figura abaixo, calcule:
(a) (1 pt) O aˆngulo que o vetor
−→
OA forma com o vetor
−→
AC.
(b) (1 pt) A projec¸a˜o do vetor
−−→
OD sobre o vetor −→v = (−2a, a,−3a)
5. (2 pts) Determine −→u = (x, y, z) de mo´dulo 4 ortogonal ao vetor −→v = (1,√3,−√3) e forma
um aˆngulo de 30o com o vetor −→w = (1, 0,√3).
6. No trape´zio ABCD, tem-se
−−→
MB = 23
−−→
AB,
−−→
NC = 23
−−→
DC e
−−→
BC = 12
−−→
AD. Mostre que o lado
MN e´ paralelo ao lado AD.
Questo˜es da Prova 2
4. (2 pts) Determine os valores de m para que o volume do paralelep´ıpedo formado pelos
vetores −→u = (m,−1, 2), −→v = (−1,m, 4) e −→w = (−7, 11, 6) seja de 36.
5. (1,5 pts) Determinar na reta r : x− 2 = y = −1− z
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um ponto equ¨idistante dos pontos
A = (2,−1, 2) e B = (1, 0,−1).
6. (2 pts) Determine se as retas abaixo sa˜o concorrentes, paralelas na˜o-coincidentes,
paralelas coincidentes ou reversas.
r1 :
 y = 2x+ 3z = −x− 2 e r2 : x− 1 = 5− y−2 = −3− z
Questo˜es da Prova 3
4. (2 pts) Determine uma equac¸a˜o geral do plano que passa pelo ponto A = (−1, 2, 5) e e´
perpendicular a` intersec¸a˜o dos planos pi1 : −x+ y − 3z + 4 = 0 e pi2 : 2x− 4y + z − 6 = 0.
5. Dados o ponto P = (2, 1, 4) e o plano pi : −2x− 3y + 3z − 7 = 0. Calcule:
(a) (0,5 pt) Encontre equac¸o˜es parame´tricas da reta r que passa pelo ponto P e e´ per-
pendicular ao plano pi.
(b) (1 pt) Calcule o ponto P1 de intersec¸a˜o da reta r com o plano pi.
(c) (0,5 pt) Com o resultado da letra b, calcule a distaˆncia do ponto P ao plano pi.
6. (1,5 pts) Calcule a distaˆncia entre as retas
r1 :

x = t+ 1
y = t+ 2
z = −2t− 2
e r2 :
 y = 3x+ 1z = −4x
Boa Prova!
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