Matrizes_2011.1_T

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ALGEBRA LINEAR ii-
trabalho de matrizes
GRUPO:
Caroline Bernardo Araujo
Ian Costa Gonçalves
Juan Ortiz 
Luísa Lopes 
Maria Luísa Pinho
Pedro Lustosa 
1
Universidade Federal do Rio de Janeiro
Professor: Mario Jorge Ferreira de Oliveira
Turma: MAE125 - 6535
Rio de Janeiro, 19 de abril de 2011
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Índice
Introdução de matrizes
Tipos especiais de matrizes:
Matriz linha
Matriz Coluna
Matriz Quadrada
Matriz Triangular Superior e Inferior
Matriz Transposta
Matriz Diagonal
Matriz Simétrica
Matriz Anti- Simétrica
Matriz Nula
Matriz Identidade
Matriz Inversa
 Operações
Soma
Subtração
Multiplicação por escalar
Multiplicação de matrizes
 Transposta
 Exercícios
 Aplicações de Matrizes
Imagens
Animações
Engenharias
 Mecânica
Civil
Elétrica
Química
 Bibliografia
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Matrizes
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A informação em ciências e, em particular, na matemática é muitas vezes organizada em linhas e colunas que formam tabelas de dados. Essas tabelas podem ser apresentadas em forma de matrizes. Um exemplo são as tabelas de contingência (m x n ) onde as frequências observadas se distribuem por m linhas e n colunas. A seguinte tabela com três linhas e sete colunas descreve o número de horas que um estudante despende a estudar três disciplinas durante uma determinada semana:
A partir desta última, suprimido os cabeçalhos, podemos construir a seguinte tabela ( 3 x 7 ), denominada matriz:
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Por outro lado, apesar das matrizes serem muitas vezes tabelas de dados numéricos que resultam de observações físicas, podem ocorrem em diferentes contextos matemáticos. Por exemplo, como veremos, toda a informação necessária para resolver o sistema de equações
está contida na matriz:
A solução do sistema é obtida realizando operações apropriadas na matriz. As matrizes não são apenas uma ferramenta utilizada para este propósito, estas podem ser vistas como objetos matemáticos por direito, existindo uma vasta e importante teoria que lhes esta associada que tem uma grande variedade de aplicações que serão vistas mais tardes nessa apresentação.
Definição: Uma matriz é uma tabela retangular de números, ou outro tipo de objetos matemáticos, dispostos em m linhas (filas horizontais) e n colunas ( filas verticais). Dizemos assim que a matriz possui ordem m x n (lê-se: ordem m por n).
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A aij designa-se por elemento genérico, aos números i e j dá-se o nome de índices naturais, o primeiro representa a ordem da linha e o segundo a ordem da coluna;
	Matriz Linha é a matriz que possui uma única linha. Exemplos: 
		 1) A = [–1 0] 
 2) B= [1 0 0 2] 
 	Matriz Coluna é a matriz que possui uma única coluna. Exemplos:
 Matriz Quadrada: onde o número de linhas e de colunas é igual. Exemplos:
Tipo especiais
6
7
 	Caso m x n a matriz diz-se retangular (matriz tipo (m x n)) caso m = n a matriz diz-se quadrada (matriz tipo (m x n) ou de ordem n), estas últimas são particularmente importantes.
 	 Numa matriz quadrada dá-se o nome de elementos principais aos elementos aij, em que i = j (aij). Eles formam a diagonal principal, que vai do canto superior esquerdo ao canto inferior direito.
 	Os elementos que se distribuem simetricamente em relação à diagonal principal chamam-se elementos opostos. O elemento aij é oposto do elemento aji . Por exemplo, a matriz (3 x 3),
 	Matriz Triangular Superior é uma matriz quadrada onde todos os elementos abaixo da diagonal são nulos (aij = 0 para todo i > j).
 	Matriz Triangular Inferior é uma matriz quadrada onde todos os elementos acima da diagonal são nulos (aij = 0 para todo i < j)
 	Matriz Transposta quando dada uma matriz A, chamamos de matriz transposta de A à matriz obtida de A trocando-se, “ordenadamente”, suas linhas por colunas. Indicamos a matriz transposta de A por At. 
8
8
9
 	Matriz Diagonal é quando só existem elementos significativos na diagonal principal. Exemplos:
 	Matriz Simétrica é uma matriz quadrada A tal que A t = A, isto é, aij = aij para ij.  Exemplo:
 	 Matriz Anti-simétrica é uma matriz quadrada A tal que At = -A , isto é, aij = -aij para i e j quaisquer. Exemplo: 
 	Matriz Nula é a matriz que possui todos os elementos iguais a zero. Exemplos:
 	Matriz Identidade é a matriz diagonal que apresenta todos os elementos da diagonal principal iguais a 1. Representamos a matriz identidade de ordem n por In. Exemplos:
10
11
 	Matriz Inversa quando dada uma matriz quadrada A, a sua inversa será tal que a multiplicação das matrizes resulte na matriz identidade, como já definida.
Sendo : , mostre que B= A -1
 
e
Então:
ALGEBRA DAS MATRIZES- OPERAÇÕES
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Serão definidas as seguintes operações com matrizes: soma e subtração de matrizes, multiplicação de uma matriz por um escalar, multiplicação de matrizes e transposição de matrizes.
Soma
Definição: Dadas duas matrizes A (mx n) e B (mx n), do mesmo tipo, define-se soma das duas matrizes, como sendo a matriz C = A + B, tal que o elemento genérico c ij = a ij + b ij , i = 1,...,m e j = 1,...,n ; ou seja, a matriz C obtém-se somando os elementos homólogos das matrizes A e B. Claro que, se A e B são do tipo (m x n ) então também C = A + B é do tipo (m x n ).
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Propriedades da soma de matrizes: admitindo que a dimensão das matrizes envolvidas permite que as operações indicadas possam ser efetuadas, então são válidas as seguintes regras:
i) Associatividade, A + (B + C) = (A + B) + C ;
ii) Comutatividade, A + B = B + A ;
iii) Elemento neutro, A + O = O + A = A (O matriz nula) ;
iv) Elemento simétrico, A + (-A) = (-A) + A = O;
v) O - A = -A;
A = B e C = D então A + C = B + D.
Repare-se que as propriedades da adição de matrizes são idênticas às da adição em R .
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Subtração
A subtração de duas matrizes de mesma ordem, Am x n = [aij] e Bm x n = [bij], é uma matriz (m x n), que denotaremos A - B, cujos os elementos são subtrações dos elementos correspondentes de A e B. Logo, A - B = [aij - bij]m x n .
Exemplo:
 5 7	-1
 6 0	-3
-4 3	 0
 3 4	 1
 2 7	-1
 9 1	 0
 2 3	-2
 4 -7	-2
-13 2 0
-
=
(3x3)
(3x3)
(3x3)
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Multiplicação
Multiplicação de matrizes por um escalar
A multiplicação de matrizes por um escalar: A multiplicação de uma matriz A por um escalar λ ∈ R é uma nova matriz, do mesmo tipo, cujo elemento genérico é λaij. Ou seja, multiplica-se uma matriz por um escalar multiplicando todos os seus elementos por esse escalar, λA = [λaij], i = 1,...,m e j = 1,...,n .
Exemplo
Propriedades da multiplicação de uma matriz por um escalar. Admitindo que a dimensão das matrizes A e B permite que as operações possam ser efetuadas, então, para λ , µ ℮ R , são válidas as seguintes regras:
i) Distributividade, λ (A + B) = λ A + λ B ;
ii) Distributividade, (λ + µ )A = λ A + µ A;
iii) Associatividade, λ(µ A) = (λ µ )A;
iv) 1A = A ;
v) A = B λ A = λ B.
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Multiplicação entre Matrizes:
Dadas as matrizes, A(mxn) e, B(pxq) o produto de matrizes A x B existe se n = p e o seu resultado é a matriz C do tipo (m x q) cujo elemento genérico é cik, o qual se obtém multiplicando a linha i da matriz A (primeira matriz), pela coluna k da matriz B (segunda matriz). Uma vez que, a multiplicação de matrizes envolve a multiplicação de (linhas da 1ª matriz) x (colunas da 2ª matriz), torna-se necessário que o número de elementos das linhas da 1ª matriz (n – nº de colunas) coincida com o número de elementos das colunas da 2ª matriz (p – nº de linhas).
Por exemplo,
para calcular c11 multiplica-se a 1ª linha (1x3) da matriz A pela 1ª coluna (3x1) da matriz B, obtendo-se uma matriz (1x1) , ou seja, um escalar,
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Propriedades de Multiplicação de Matrizes: admitindo que a dimensão das matrizes envolvidas
permite que as operações indicadas possam ser efetuadas, então são válidas as seguintes
regras:
i) Associatividade, (AxB) x C = A x(BxC) ;
ii) Não comutatividade, pode existir AxB mas não BxA, ou existirem mas serem diferentes;
iii) Distributividade em relação à adição de matrizes, A x (B + C) = (AxB) + (AxC) e (B + C)x A = (BxA)+ (CxA);
iv) λ (AxB) = (λA)x B = A x(λ B) ,λ ℮ R ;
v) Ax0 = 0 e 0xA = 0 ou A(n xn) x 0 = 0 x A(n xn) = 0 (matriz nula);
vi) A x I = A e I x A = A ou A(nxn) x I = I x A(nxn) = A(nxn) (a matriz identidade I é o elemento neutro);
vii) AK = A x A x A x A; ( k > 0 ) desde que A seja quadrada;
 k vezes
viii) A0 = I (matriz identidade).
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Transposta
Definição: Chama-se matriz transposta de uma matriz A(m x n) à matriz que dela se obtém trocando, ordenadamente, as linhas com as colunas, e representa-se por At(mxn) .
Exemplo:
Propriedades da transposição de matrizes. Admitindo que a dimensão das matrizes permite que as operações indicadas possam ser efetuadas, então são válidas as seguintes regras:
i) (AT ) T = A ;
ii) (λ A) T = λ A T (λ constante);
iii) (AT )k = (A k ) T ;
iv) (A + B) T = AT + BT ;
v) (A x B) T= BT x AT ;
vi) (A x B x ... x X) T = XT x ... x BT x AT
Obs.: Numa matriz quadrada se A = A T A é simétrica. 
EXERCÍCIOS
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(Nível 1) 
Um grupo de engenheiros foram em um bar e consumiram três tipos de bebidas: (A) Absolut, (J) Jack Daniel’s, (H) Heineken que foi consumido em três intervalos de tempo diferentes (1t), (2t), (3t) ao sair eles queriam utilizar uma matriz para saber o quanto irá pagar no total (Doses: A-10 reais, J- 20 reais, H-5 reais) devido aos seus estados embriagados eles não conseguiram e pediram sua ajuda. Ajude-os:
Dado a matriz das doses de bebidas por intervalo de tempo: 
 
A J H 
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Solução:
Estruturando uma matriz de preço temos que:
Assim utilizando da multiplicação entre matrizes:
 
Logo a soma dos elementos da matriz resultante é o valor total que é 70+130+100 = 300 reais
 
Obs1: Apesar de você solucionar corretamente ninguém mais lembrava o motivo de calcular a conta por matrizes ignorando sua façanha.
Obs2: Logo o somatório total foi de 300 reais, porém com 10% foi para 330 reais. (Pegadinha hehehe)
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(Nível 2) 
Seja o conjunto de matrizes quadradas de ordem n, de coeficientes reais. Define-se a função,
 
 
Calcule:
 
 
 
Solução:
 
Pela definição de , têm se que:
e assim a expressão do enunciado é igual à matriz nula de ordem n.
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(Nível 3) 
Determine todas as matrizes X reais, de dimensões (2 x 2), tais que AX = XA, para toda matriz A real 2 x 2.
 
Solução:
Logo, devemos ter:
=
=
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Como estas relações devem ser satisfeitas para todas as matrizes A, tem-se que , e então:
Assim a matriz X pode ser escrita como:
Logo X deve ser da forma X = kI, onde I é a matriz identidade 2 x 2.
 
 
 
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(Nível 4)
 Uma matriz quadrada é denominada ortogonal quando a sua trasposta é igual a sua inversa. Considerando esta definição, determine se a matriz , abaixo, é uma matriz ortogonal, sabendo-se que n é um número inteiro e é um ângulo qualquer. Justifique a sua resposta.
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Solução:
 
Pela definição da matriz inversível substituindo pela matriz transposta por 
logo:
 ,onde I no caso é a matriz identidade de ordem 3. Verificando:
e
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Onde
com e definidos por:
Logo:
Mostrando que A = I e R é uma matriz ortogonal.
Aplicações de Matrizes
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Por terem capacidade de armazenar grande quantidade de números, as matrizes são muito utilizadas em trabalhos com informações abundantes. As matrizes possuem grande importância em diversas ciências, como na engenharia, economia, computação e genética, além de ser aplicada em utilidades diárias, como na área de telecomunicações, animações e aparelhos eletrônicos.
Engenharias
Aparelhos eletrônicos
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Matriz das probabilidades de transição
 
D x D
R x R
D x R
D x H
R x H
H x H
D
1
0
0
0,5
0
0,25
H
0
0
1
0,5
0,5
0,5
R
0
1
0
0
0,5
0,25
Economia
Genética
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Imagens
As imagens que você vê em uma página na internet e as fotos que você tira com sua máquina fotográfica digital podem ser representadas usando-se matrizes.
Exemplo: a pequena imagem do Gato Félix abaixo pode ser representada por uma matriz 35 × 35 cujos elementos são os números 0 e 1, que especificam a cor do pixel. O número 0 indica a cor preta e o número 1, indica a cor branca. Imagens digitais que usam apenas duas cores (em geral, preta e branca) são denominadas imagens binárias (ou imagens booleanas).
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A figura abaixo apresenta uma versão ampliada da imagem do Gato Félix, onde cada quadrado representa um pixel. A matriz correspondente é apresentada ao lado.
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Pixel é o menor elemento num dispositivo de exibição (como por exemplo um monitor), ao qual é possível atribuir-se uma cor. De uma forma mais simples, um pixel é o menor ponto que forma uma imagem digital, sendo que o conjunto de milhares de pixels formam a imagem inteira.
Cada elemento quadrado representa um pixel, contendo uma cor específica e se configurando como elemento de uma matriz formadora da imagem.
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A resolução de uma imagem, seja digital ou analógica, descreve o nível de detalhe que ela comporta. A resolução pode ser medida pelo quantidade de linhas por coluna. Quanto maior o número que a exprime, mais detalhamento a imagem oferece. O termo resolução é também indicado pela quantidade total de pixels na imagem, que é o produto do número de colunas pelo de linhas de pixels. 
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Animações
Muitas animações que vemos no cinema utilizam matrizes. Desde o movimento dos personagens até o quadro de fundo podem ser criados por softwares que combinam pixels em formas geométricas, que são armazenadas e manipuladas. Os softwares codificam informações como posição, movimento, cor e textura de cada pixel. Para isso, utilizam vetores, matrizes e aproximações poligonais de superfícies para determinar a característica de cada pixel. Um simples quadro de um filme criado no computador tem mais de dois milhões de pixels, o que torna indispensável o uso de computadores para realizar todos os cálculos necessários.
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Uma imagem digital em duas dimensões é uma função f(x,y), onde x e y são coordenadas espaciais (variáveis discretas e limitadas) e o valor de f em qualquer ponto (x,y) é proporcional ao nível de cinza da imagem no ponto.
(1) Convenção dos eixos mais utilizada. 
A imagem é varrida linha a linha
(2) Convenção de eixos. No geral, 
os índices x,y variam a partir de 0.
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Uma imagem digital pode ser considerada como uma matriz cujos índices de linha e coluna identificam a posição do ponto e o valor do elemento de matriz (pixel) correspondente identifica o nível de cinza.
A resolução espacial de uma imagem envolve a quantidade de linhas e colunas utilizada. Ou seja, uma boa resolução de uma imagem depende do tamanho da matriz que está representando a imagem. 
Engenharias:
Mecânica
Civil
Elétrica
Química
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Engenharia Mecânica:
 Na indústria automobilística existem testes em componentes ainda na fase de projeto a fim de prever seu desempenho quando em condições de operação. Métodos numéricos simples e precisos predizem as freqüências naturais dos componentes e a faixa de sua atuação. O Método das Matrizes de Transferência utilizado oferece rapidez e precisão.
Engenharia Civil
O projeto de uma estrutura composta por vigas metálicas exige resolver um sistema de equações lineares. A matriz dos coeficientes do sistema deve ser invertível para que a estrutura não colapse. Para uma mesma estrutura sujeita a forças externas variáveis, pode-se encontrar a matriz-coluna das forças que atuam sobre as vigas multiplicando-se a inversa da matriz que modela a estrutura metálica pela
matriz-coluna das forças externas.
Quanto mais complexa for a estrutura, maior será o número de equações e de variáveis.
Métodos matriciais são utilizados na análise de circuitos elétricos sob condição de curto-circuito. A mesma técnica se aplica à análise estrutural de uma ponte apoiada em vários pilares e sujeita a uma carga concentrada. São também usados para resolver problemas de linhas de transmissão.
Engenharia Elétrica
Circuito elétrico
Na Industria química, a matriz é muito utilizada nos cálculos dos processos químicos, operação e no controle de plantas industriais. São calculados volume, vazão, temperatura, massa, pressão em cada etapa do processo. É importante o conhecimento e o estudos desses valores visando aumentar a capacitância do sistema evitando gastos desnecessários.
Engenharia Química
Fluxograma de processo na indústria química
Objetivo: buscar correspondência entre sequência amostra e sequência armazenada a partir da similaridade entre suas estruturas primárias.
Bioinformática
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 Existem vários métodos para descobrir uma sequência armazenada correspondente a uma sequência amostra. Dentre estes, existem dua matrizes utilizadas por variados programas de bioinformática: 
 Matriz dos pontos
	
Matriz de substituição 
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Considere um sistema onde há uma flor com 3 possibilidades de cores e seus respectivos genomas, vermelha (RR), rosa (RW) ou branca (WW).
Considere que cada tipo de planta é cruzada apenas com uma flor rosa.
Quais são as possibilidades de cruzamento?
R
R
R
RR
RR
W
RW
RW
R
W
R
RR
RW
W
RW
WW
W
W
R
RW
RW
W
WW
WW
Genética
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Cria-se então a matriz P de transição contendo a probabilidade de cada exemplo inicial desenvolver outro tipo de planta.
As colunas dessa matriz indicam os resultados possíveis para uma planta escolhida para cruzar. Note que todas colunas somam 1. 
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Qual é a probabilidade de, partindo-se de uma flor rosa, ter-se uma flor branca na 2ª geração?
Faz-se, então, P²:
Ou seja, tem-se 0.125 de probabilidade, ou seja, 12,5% de chance de se obter uma flor branca na segunda geração, partindo-se de uma flor vermelha.
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Nº de pacientes
Medicamentos
Dose diária
Ciências Biológicas
	
 
Outra aplicação de operações com matrizes é no campo das ciências biológicas para auxiliar os biocientistas em seus cálculos . Para o tratamento dos diabéticos são utilizadas, entre outros remédios, as insulinas que se apresentam em várias concentrações e tipos. Com os dados das insulinas que um paciente deva fazer seu tratamento, podemos montar matrizes para o controle do consumo de cada uma. Matriz com a quantidade de pacientes por tipo de medicamento utilizado:
Atividade Para que você conheça o gasto calórico aproximado de algumas atividades, montamos a tabela abaixo. Esta tabela é baseada numa pessoa de 60Kg de peso corporal em atividades físicas, num tempo de 1 hora: 
Peso: 60 Kg
Andar de bicicleta: 252 calorias
Caminhar acelerado: 552 calorias
Correr a 12Km/h: 890 calorias
Hidroginástica: 300 calorias 
Esporte e nutrição
Suponhamos um acompanhamento de uma pessoa com este peso por meio de um programa com estes exercícios ao longo de uma semana: 
 Horas por dia para cada atividade 
Dia da semana
2ª feira
3ª feira
4ª feira
5ª feira
6ª feira
Andar de bicicleta
1
0
0,5
0
0,5
Caminhar acelerado
0
0
0,5
0
1
Correr a 12Km/h
0
1
0
0,5
0
Hidroginástica
1
0
0
1,5
0
Aplicando as operações com matrizes podemos obter: 
Com as primeiras informações montamos uma matriz 4x1 e com as segundas informações montamos uma matriz 5x4. Assim podemos dizer quantas calorias esta pessoa queimará após cada dia de exercício físico, simplesmente multiplicando-as.
 
 
A pessoa a que nos referimos nesta situação, com este programa de exercícios, queimará 552 calorias na segunda-feira, 890 calorias na terça-feira, 1016 calorias na quarta-feira, 895 calorias na quinta feira e 678 calorias na sexta-feira.
Solução:
53
Bibliografia:
http://w3.ualg.pt/~cfsousa/Ensino/ALGA/Matriz.pdf
http://www.cin.ufpe.br/~cabm/algebra/Alg_Aula01.pdf
Álgebra Linear- Boldrini, José Luiz