Processos_Estocasticos_2012.1_M(1)

Esta é uma pré-visualização de arquivo. Entre para ver o arquivo original

Processos Estocásticos
Grupo: 
Amanda Ventura, Beatriz Canabarro, Gustavo Garcia, Larissa Souza, Leticia Monteiro e Marco Galvani
Professor: Mario Jorge
Álgebra Linear II (MAE125)
Índice
Introdução
Teoria das Probabilidades
História de Markov
Cadeias de Markov
Aplicações
Exercícios
1. Introdução
	Um processo estocástico é uma família de variáveis aleatórias indexadas por elementos t pertencentes a determinado intervalo temporal. Intuitivamente, se uma variável aleatória é um número real que varia aleatoriamente, um processo estocástico é uma função temporal que varia aleatoriamente.
	Em resumo, podemos dizer que processos estocásticos são processos aleatórios que dependem do tempo de acordo com as leis probabilísticas. 
2. Teoria das Probabilidades
O conjunto de todos os possíveis resultados de um experimento é chamado de espaço amostral e é denotado por Ω (ou S). 
Para cada evento A associa-se um número real P(A) indicando a probabilidade de A ocorrer. 
2.1. Propriedades:
0  P(A)  1
P(Ω) = 1
P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
P(A*) = 1 – P(A)
Se A e B são eventos mutuamente excludentes, então: 
	P(AUB) = P(A) + P(B)
Eventos são ditos mutuamente exclusivos se, e somente se, eles não puderem ocorrer simultaneamente:
	A ∩ B = 0
2.2. Probabilidade Clássica:
	É aplicada quando o espaço amostral Ω é finito e os eventos elementares são equiprováveis, ou seja, eles têm a mesma probabilidade de ocorrer. 
	Se A é um evento qualquer em Ω temos que a probabilidade de A será:
2.3. Probabilidade Frequentista:
	Em situações em que os elementos do espaço amostral não são igualmente prováveis, a probabilidade de ocorrer o evento A pode ser calculada pela noção de frequência relativa.
2.4. Probabilidade Condicional:
	A probabilidade de um evento (A) ocorrer depende da condição da probabilidade de (B) ocorrer. 
Gerando a regra da multiplicação:
P(A  B) = P(B) x P(A|B) = P(A) x P(B|A)
Se P(B) ≠ 0 
3. História de Markov
		Andrei Andreyevich Markov foi um matemático russo. Nasceu em 14 de junho de 1856 na cidade de Ryazan e morreu em 20 de julho de 1922 em São Petersburgo.
		Em 1878, formou-se na Universidade de St. Petersburg, de onde tornou-se professor em 1886. Seus primeiros trabalhos foram sobre limite de integrais e a teoria da aproximação.
		Depois de 1900, Markov aplicou métodos de frações contínuas, na teoria da probabilidade.
		Ficou conhecido por provar o teorema do limite central e ter criado as “Cadeias de Markov”.
4. Cadeias de Markov
	As cadeias de Markov são casos especiais de processos estocásticos que obedecem à propriedade Markoviana. Ela define que os estados anteriores são irrelevantes para a predição dos estados seguintes, desde que se conheça o estado atual. Por isso diz-se que as cadeias de Markov não têm memória.
	A probabilidade de ir do estado i para o j em n passos para um cadeia de Markov estacionária é dada por:
	A matriz de transição é uma matriz de elementos Pij de tamanho n x n, onde cada elemento Pij representa a probabilidade do sistema sair do estado i e ir para o estado j (dentre n estados possíveis). 
4.1. Exemplo:
	Considere um dado viciado que é usado num jogo onde o objetivo é obter um dos números do seguinte grupo no dado: 1, 3 ou 5 (chamados de grupo A). Caso saia qualquer outro número no dado (2, 4 ou 6, chamados de grupo B), o apostador perde. Porém, como o dado é viciado, a probabilidade de sair um número do grupo A após um número deste mesmo grupo ter saído é de ¾, e a probabilidade de sair um número do grupo A após um número do grupo B ter saído é de 1/3. 
RESOLUÇÃO:
Grupo A = estado 1; Grupo B = estado 2
	Se quisermos calcular a probabilidade de tirar um número do grupo A daqui a 2 lançamentos de dado, precisamos multiplicar a matriz P por ela mesma. Note que para podermos fazer isso, esse sistema deve ser estacionário: a probabilidade de um estado provocar outro não pode mudar com relação ao tempo.
5. Algumas Aplicações:
Há vários ramos de aplicação para os processos estocásticos:  economia, gestão, engenharia, física, biologia, nanotecnologia, etc.
PREVISÃO DO TEMPO
Supondo que o tempo a cada dia seja determinado somente pelo tempo do dia 
anterior, com as seguintes condições:
 Após em dia ensolarado, a probabilidade de que o dia seguinte seja também ensolarado é de 90% e a probabilidade de que o dia seguinte seja chuvoso é de 10%.
 Após um dia chuvoso, há 50% de probabilidade de que o dia seguinte seja ensolarado e 50% de probabilidade de que seja chuvoso.
A matriz de transição desse problema é:
Seja a coluna 1 dia ensolarado e a coluna 2 
dia chuvoso. O mesmo pode ser feito com 
as linhas. 
A matriz abaixo representa a probabilidade de que um dia i seja seguido por um dia j (vetor de probabilidade):
Assim, a previsão do tempo no dia 1 é:
FREQUÊNCIAS ALÉLICAS
Usando a cadeia de Markov, chega-se uma equação geral para a predição das frequências alélicas em qualquer geração, dada uma frequência alélica inicial.
PRESSÃO DE GASES
-Modelagem do comportamento da pressão de um gás, 
pois apesar das partículas terem um padrão determinado
de movimento, o conjunto delas exibirá um Comporta-
mento estocástico.
PAGERANK
No algoritmo do PageRank do Google, que é basicamente uma cadeia de Markov.
O Google interpreta um link da página A para a página B como um voto. Contudo, não é só o total de votos que conta no ordenamento das páginas, também é analisada e página “votante”. Votos dados por páginas que são elas mesmas importantes têm um peso maior e ajudam outras páginas a tornarem-se também importantes.
6. Exercícios 
1. Em uma população constituída de indivíduos de genótipo dominante (D), heterozigoto (H) e recessivo (R), cuja distribuição dos genótipos e seus respectivos cruzamentos são dados na tabela:
Considerando que, no processo de seleção artificial, a primeira geração a cruzar com o genótipo H seja formada exclusivamente por indivíduos homozigotos dominantes (D), qual é a previsão dos genótipos para o período de três gerações?
RESOLUÇÃO:
A matriz de transição M é formada pelos vetores de probabilidade dos cruzamentos DxH, HxH e RxH, respectivamente.
Considerando que, no processo de seleção artificial, a primeira geração a cruzar com o genótipo H seja formada exclusivamente por indivíduos homozigotos dominantes (D), a previsão para o período de três gerações é dada pela equação:
Pode-se estimar que: 31% da terceira geração terá genótipo D, 50% terá genótipo H, e 19% genótipo R.
2. Partículas se movem entre estados, que representam a localização de certa partícula em um dado intervalo fixo de tempo. A partícula pode encontrar-se nos estados A, B e C, com a matriz de transição de probabilidades correspondente dada por:
a) Considerando-se que a partícula estava na posição A, qual a probabilidade de ela se encontrar na mesma posição após 1 movimento?
b) E após 2 movimentos?
c) E na situação limite?
RESOLUÇÃO:
a) A probabilidade é de 50%.
b) A probabilidade é de 25%.
 
c) A probabilidade é de 33,3%.
Referências:
 http://www.eletrica.ufpr.br/pedroso/2011/TE816/Markov- Exercicios.pdf
http://www.inf.unioeste.br/~rogerio/Cadeias-Markov2.pdf
http://www.nee.ueg.br/seer/index.php/economia/article/viewFile/302/309
http://stochastic.askdefine.com/
http://www.inf.ufsc.br/~marcelo/