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Álgebra Linear
Grupo: 
Alice Borges
Andressa Oliveira
Bárbara Carvalho
Juliana Fayad
Olavo Moreira
Viviane Moreira
Inversão de Matrizes
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Definição de Matriz Inversa
A representação de uma matriz inversa é dada por A–1 
Uma matriz invertível admite apenas uma matriz inversa. 
A multiplicação da matriz A pela sua inversa A-1 é igual à matriz identidade de A. 
AA–1 = A-1A = I
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Condição para Inversão
Para uma matriz A ser invertível é necessário que:
 A seja uma matriz quadrada
 ex.:
Det (A) ≠ 0
 Se Det (A) = 0, a matriz é dita singular ou não invertível
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Propriedades:
A inversa da matriz A multiplicada por um número (diferente de zero) é igual à matriz inversa multiplicada pelo inverso desse número. 
 (n.A)-1 = n-1.A-1
A matriz inversa da inversa de uma matriz A: é igual a própria matriz. 
 (A–1)–1 = A
 
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A matriz inversa da matriz transposta é a transporta da inversa, logo, a transposta de uma matriz invertível é também invertível.
 
 (A–1)t = (At)–1
A matriz inversa de um produto de matrizes é igual ao produto das matrizes inversas.
(AB)–1 = B–1 · A–1 
 
 
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Calculando a Matriz Inversa
 Basicamente temos três procedimentos para calcular a inversa de uma matriz. São os seguintes:
 
 Aplicando a definição e resolvendo os sistemas de equações correspondentes. 
 Pelo método de Gauss.
Por determinantes e co-fatores.
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Método de sistema de equações
Esse método utiliza a definição da matriz inversa, onde A.A-1 = I
 Ex.: 
 A =
A-1 =
.
=
2 a + c = 1
2 b + d = 0
4 a + 3 c = 0
4 b + 3 d = 1
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Resolvendo o sistema de equações temos:
 
 
Este método, no entanto, fica muito trabalhoso quando a ordem da matriz é superior a 2.
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Método da Eliminação de Gauss
 Neste caso aplicamos o procedimento de eliminação por diagonalização da matriz aumentada para a obtenção da matriz inversa. Deseja-se determinar a matriz B=A-1 tal que A.B=B.A=I, onde I é a matriz identidade com as mesmas dimensões da matriz A.
 Etapa 1: Forme a matriz n x 2n [A|In] juntando a matriz identidade In à matriz A.
 Etapa 2: Colocar a matriz obtida na Etapa 1 em sua forma triangular usando operações elementares nas linhas.
 Etapa 3: Suponha que a Etapa 2 produziu uma matriz [C|D] em forma triangular.
 (a) Se C=In , então D=A-1
 (b) Se C≠In , então C tem uma linha nula. Neste caso, A é singular e A-1 não existe.
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Exemplo: 
Etapa 1:
 1 1 1 1 1 1 1 0 0
A = 0 2 3 [A|I3] = 0 2 3 0 1 0
 5 5 1 5 5 1 0 0 1 
Eatapa 2:
 A I3
 1 1 1 1 0 0
 0 2 3 0 1 0 L3 = L3 + (-5)L1
 5 5 1 0 0 1
 1 1 1 1 0 0
 0 2 3 0 1 0 L2 = 1/2 L2
 0 0 -4 -5 0 1
 1 1 1 1 0 0
 0 1 3/2 0 1/2 0 L1 = L1 + (-1)L2
 0 0 -4 -5 0 1
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 1 0 -1/2 1 -1/2 0
 0 1 3/2 0 1/2 0 L3 = -1/4 L3
 0 0 -4 -5 0 1
 1 0 -1/2 1 -1/2 0
 0 1 3/2 0 1/2 0 L2 = L2 + (-3/2)L3
 0 0 1 5/4 0 -1/4
1 0 -1/2 1 -1/2 0
0 1 0 -15/8 1/2 3/8 L1 = L1 + (1/2)L3
0 0 1 5/4 0 -1/4
1 0 0 13/8 -1/2 -1/8
0 1 0 -15/8 1/2 3/8
0 0 1 5/4 0 -1/4
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Como C = I3, concluímos que D = A-1. Portanto, 
 13/8 -1/2 -1/8 
 A-1 = -15/8 1/2 3/8 
 5/4 0 -1/4 
É fácil verificar que AA-1 = A-1A = I3
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Calculo por determinante e co-fatores
Utilizamos:
 
 A-1 = 1__ . (Cof A)t = A-1 = 1__ . Adj (A) 
 det (A) det (A)
Onde, 
Cof A = Matriz dos co-fatores de A
(Cof A)t = Matriz transposta da matriz dos co-fatores, também chamada de MATRIZ ADJUNTA de A.
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Temos que o co-fator de aij é o número Aij = (-1)i+j . Mij
 
Onde,
Mij = o determinante da matriz obtida eliminando a linha e a coluna a que pertence o elemento aij . 
Ex.: Dada a matriz A, calcule o co-fator do elemento a12.
 Calculando o co-fator:
Destacamos nesse caso a linha 1 e a coluna 2
A ij = (-1) 1+2 . = -1 . (15-7) = -8
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Calculando a matriz adjunta 
Podemos calcular a matriz adjunta através da matriz transposta da matriz do co-fator.
Ou seja, podemos calcular a matriz adjunta, calculando o determinante de cada elemento (eliminando sua linha e coluna), trocando o sinal dos elementos em que a soma i+j for ÍMPAR e trocando as linhas pelas colunas.
Cof (B)=
(Cof B)t= Adj(B) = 
Z=
Adj(Z)=
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Calculando a inversa
L = 
Det = 3
Cof (L) =
Adj (L) = 
L -1 = ___1___ Adj (L) = __1__ =
 3
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Aplicações
 Solução de sistemas lineares
 Se A é uma matriz nxn, então o sistema linear Ax = b é um sistema de n equações em n incógnitas. Suponha que A é invertível. Então A-1 existe e podemos multiplicar o sistema por A-1 em ambos os lados, obtendo 
 
 A-1 (Ax) = A-1 b
 
 (A-1 A)x = A-1 b
 
 Ix = A-1 b
 
 x = A-1 b 
 
 
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 Aplicação de modelos matemáticos ao diagnóstico médico, tecnologia de engenharia e geofísica
		Em ciência, tecnologia e medicina, as pessoas constantemente confrontam-se com a necessidade de interpretar medidas. Tal interpretação é particularmente difícil em geofísica, medicina e astrofísica. A questão, aqui, é determinar, com base nos dados medidos, parâmetros tais como densidade de massa (no ponto x) ou condutividade elétrica (x), que não podem ser medidos diretamente. Tais problemas são, em resumo, chamados inversos. Em medicina e tecnologia, freqüentemente usa-se o termo diagnóstico. Nossos problemas inversos, no entanto, são usualmente do tipo subdeterminado, nos quais existem menos observações que parâmetros desconhecidos. Esse é o caso quando a densidade de massa (no ponto x) ou a condutividade elétrica (x) devem ser determinadas. Para introduzir o tema, escolherei aqui um modelo matemático conceitualmente simples: sistemas de equações lineares algébricas. 
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 		Assim, nosso protótipo simples será um sistema de equações lineares de forma matricial
	 Af
= g
	em que A é uma matriz dada, g um vetor dado e f um vetor desconhecido de parâmetros do sistema. Se a matriz A é quadrada e regular, então a inversão
	 f = A-1g
	existe e fornece um vetor f unicamente definido. Se a matriz é retangular, então pode haver tanto infinitas como nenhuma solução sequer. Ainda assim, a equação f = A-1g pode existir. Nesse caso, a matriz A-1 é chamada matriz inversa generalizada, a qual, no entanto, não é geralmente estável nem definida unicamente. Tais situações, correspondendo a uma matriz retangular A, são a estrutura matemática típica de muitos problemas inversos.
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Aplicação na engenharia:
Projeto de Estrutura Metálica
 Uma aplicação de Álgebra Linear à Engenharia Civil: o projeto de uma estrutura composta por vigas metálicas exige resolver um sistema de equações lineares; quanto mais complexa for esta estrutura, maior será o número de equações e de variáveis. A matriz dos coeficientes do sistema deve ser invertível para que a estrutura não colapse. Para uma mesma estrutura sujeita a forças externas variáveis, pode-se encontrar a matriz-coluna das forças que atuam sobre as vigas multiplicando-se a inversa da matriz que modela a estrutura metálica pela matriz-coluna das forças externas. 
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 Aplicação na economia: 
 A matriz insumo-produto regional 
 		A matriz de insumo-produto (MIP) decompõe os fluxos entre as atividades econômicas e os fatores primários, descrevendo a estrutura interna de cada setor produtivo e do conjunto da economia. Ela é um instrumento importante para avaliar as interdependências entre os setores produtivos, possibilitando identificar seus efeitos multiplicadores sobre a produção, o emprego e a renda. Além disso, ela também possibilita medir o impacto de políticas públicas, auxiliando no planejamento econômico. A matriz inversa de Leontief permitiu obter os multiplicadores de impactos diretos e indiretos e identificar os setores-chave da economia regional.
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 		A matriz A é dita matriz dos coeficientes técnicos; o vetor D é dito vetor de demanda. 
 
 Escrevendo o sistema: 
 (I – A) . X = D
 Se a matriz (I - A) é invertível, então,
 X = (I – A) -1. D.
 	A matriz (I – A) -1= K é chamada matriz de Leontief. 
 	Essa matriz nos permite calcular as quantidades totais necessárias, direta e indiretamente, para a produção de x1, ..., xn em função das demandas finais d1, ..., dn.
  
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Aplicação na Estatística: 
A Distância Estatística Multivariada
 		A Distância Estatística Multivariada é expressa pela Distância de Mahalanobis:
 Formalmente, a distância de Mahalanobis entre um grupo de valores com média 
 e matriz de covariância Σ para um vetor multivariado 
 é definida como:
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APLICAÇÃO AO ESPECTRO DE ANIQUILAÇÃO DE
PÓSITRONS E AO ESTUDO DE SISTEMAS LÍQUIDOS
 		Neste trabalho utilizou-se a análise linear em problemas inversos, para a determinação da Função densidade de probabilidade do processo de aniquilação de pósitrons em solução aquosa de lisozima e no complexo cristalino dipivaloilmetanoato de alumínio. Utilizou-se, também, a metodologia de inversão para a determinação do potencial de interação repulsivo para o sistema Líquido.
 		O potencial intermolecular é obtido pela relação:
 
 u(r) = E(1 - exp(-2I(s)))
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 	Como nem sempre é possível inverter de forma analítica uma opção para a solução de um problema inverso é a discretização da equação integral e a determinação da matriz inversa, que é um
 tratamento numérico para se determinar o operador inverso. Muitas vezes o sistema linear envolvido é mal-colocado e a solução a partir do cálculo da matriz inversa não leva a resultados aceitáveis. 
 		É portanto necessário o conhecimento da estrutura dos subespaços vetoriais nos domínios de f e g para a resolução do problema.
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Bibliografia
http://www.scielo.br/scielo.php?pid=S0103-40141994000100007&script=sci_arttext
http://www.mat.ufmg.br/gaal/aplicacoes/aplicacoes.html
http://biblioteca.cdtn.br/cdtn/arpel/adobe/Tese_RobertoPellacani_GMonteiro.pdf
www.fee.tche.br/4-encontro-economia-gaucha/.../localizacao-sessao1-4.doc
http://www.anvisa.gov.br/reblas/III_enc_aplicacao_de_metodos_modelo_dependentes.pdf
http://pt.wikipedia.org/wiki/Dist%C3%A2ncia_de_Mahalanobis
http://www.upf.tche.br/cepeac/download/rev_n11_1998_art7.pdf
http://www.cocemsuacasa.com.br/ebook/pages/1804.htm
http://wapedia.mobi/pt/Matriz_adjunta
http://www.igm.mat.br/aplicativos/index.php?option=com_content&view=article&id=73:matrizinversa&catid=41:conteudosal
http://www.algosobre.com.br/matematica/matrizes-e-determinantes-ii.html
Algebra Linear-José Luiz Boldrini – 3ª edição
Algebra Linear –Seymour Lipschutz – 3ª edição
Introdução à Algebra Linear com aplicações- Bernara Kolman -6ª edição
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