Zaions D.R. (2013) Resistencia dos Materiais I (Mecanica)

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UNIVERSIDADE DO OESTE DE SANTA CATARINA 
 
CAMPUS DE JOAÇABA 
 
VICE-REITORIA DE GRADUAÇÃO 
 
ÁREA DAS CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA 
 
CURSO DE ENGENHARIA MECÂNICA 
 
 
 
RESISTÊNCIA DOS 
MATERIAIS I 
 
 
 
Prof. Douglas Roberto Zaions, MSc. 
 
 
 
 
Joaçaba, 13 de Fevereiro de 2013 
Resistência dos Materiais I ii 
Prof. Douglas Roberto Zaions 
 
Este material foi elaborado para a disciplina de Resistência dos Materiais I do curso de 
Engenharia Mecânica oferecido pela Universidade do Oeste de Santa Catarina Campus de Joaçaba 
O trabalho apresenta citações dos autores pesquisados e referências bibliográficas, constituindo-
se em uma ótima fonte para aprofundamento do conhecimento sobre resistência dos materiais. 
No mesmo são tratados assuntos como: “tensão e deformação; estados de tensão, lei de Hooke, 
trabalho de deformação; tração e compressão; flexão; cisalhamento; torção; solicitações compostas; 
tensões principais; teorias para falhas estáticas”. 
Tem a finalidade de proporcionar aos acadêmicos o conteúdo básico da disciplina, com o intuito 
de melhorar o aproveitamento dos mesmos, principalmente em sala de aula. No entanto não deve 
ser usado como única fonte de estudo. 
Qualquer sugestão com referência ao presente trabalho, serão aguardadas, pois assim pode-se 
melhorá-lo com futuras modificações. 
 
Prof. Eng. Douglas Roberto Zaions, MSc. 
 
 
 
DOUGLAS ROBERTO ZAIONS 
Engenheiro Mecânico formado pela Universidade Federal de Santa Maria em 1993. Em 1994 iniciou 
o curso de especialização em Engenharia Mecânica na Universidade Federal de Santa Catarina obtendo o 
grau de Especialista em Engenharia Mecânica. Em 2003 concluiu o curso de Mestrado em Engenharia de 
Produção na Universidade Federal do Rio Grande do Sul na área de concentração de Gerência, 
desenvolvendo o trabalho intitulado Consolidação da Metodologia da Manutenção Centrada em 
Confiabilidade em uma Planta de Celulose e Papel. 
Foi Coordenador do Curso de Engenharia de Produção Mecânica de março/2000 até março/2006 e do 
Curso de Tecnologia em Processos Industriais – Modalidade Eletromecânica de março/2000 até 
Junho/2002 da UNOESC – Joaçaba. 
Conselheiro Estadual e membro da Câmara Especializada de Engenharia Industrial do Conselho 
Regional de Engenharia, Arquitetura e Agronomia do Estado de Santa Catarina, CREA – SC no período 
de janeiro de 2001 até dezembro de 2003. Também foi Diretor do CREA – SC no período de janeiro de 
2002 até dezembro de 2002. 
Quinze anos de docência em cursos técnicos, tecnológicos, engenharia e especialização na área 
mecânica. 
Professor de várias disciplinas da área de projetos nos cursos Técnico em Mecânica e Eletromecânica 
do SENAI – CET Joaçaba. 
É Professor do curso de Engenharia de Produção Mecânica da UNOESC – Joaçaba onde atua nas 
disciplinas de Resistência dos Materiais, Elementos de Máquinas, Mecanismos, Processos de Usinagem e 
Comando Numérico, Pesquisa Operacional, Projeto de Sistemas Mecânicos e Manutenção Mecânica. É 
também pesquisador nas áreas de Projeto e Manutenção Industrial. 
Professor dos cursos de Especialização em Engenharia de Manutenção Industrial e Engenharia de 
Produção da Universidade do Oeste de Santa Catarina ministrando respectivamente a disciplina de 
Manutenção de Elementos de Máquinas, Técnicas e Procedimentos de Mantenção e Gestão da 
Manutenção. No curso de Especialização em Projetos de Sistemas Mecânicos atua nas disciplinas de 
Metodologia de Projeto de Sistemas Mecânicos e Projeto para a Confiabilidade e Mantenabilidade. 
É perito técnico judicial, desenvolvendo trabalhos nas áreas automotiva e industrial na busca de causa 
raiz de falhas. 
Contato: Universidade do Oeste de Santa Catarina – Campus de Joaçaba 
 e-mail: douglas.zaions@unoesc.edu.br 
 Fone/Fax: (49) 3551 - 2216 
 
Resistência dos Materiais I iv 
Prof. Douglas Roberto Zaions 
 
ÍNDICE 
1 TENSÕES ....................................................................................................................................................................... 7 
1.1 INTRODUÇÃO A RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS ......................................................................................................... 7 
1.2 TIPOS DE CARGAS .................................................................................................................................................... 8 
1.3 EQUILÍBRIO DE UM CORPO DEFORMÁVEL ................................................................................................................ 9 
1.4 CARREGAMENTO RESULTANTE INTERNO ............................................................................................................... 10 
1.5 TENSÃO ................................................................................................................................................................. 14 
1.5.1 Tensão normal ............................................................................................................................................ 14 
1.5.2 Tensão cisalhante........................................................................................................................................ 14 
1.5.3 Estado geral de tensões .............................................................................................................................. 15 
1.5.4 Tensão normal média .................................................................................................................................. 16 
1.5.5 Tensão cisalhante média ............................................................................................................................. 19 
1.6 EXERCÍCIOS ........................................................................................................................................................... 20 
2 DEFORMAÇÕES ........................................................................................................................................................ 23 
2.1 DEFORMAÇÃO NORMAL ........................................................................................................................................ 23 
2.2 DEFORMAÇÃO POR CISALHAMENTO ...................................................................................................................... 26 
2.3 EXERCÍCIOS ........................................................................................................................................................... 29 
3 PROPRIEDADES MECÂNICAS DOS MATERIAIS ............................................................................................. 30 
3.1 DIAGRAMA TENSÃO-DEFORMAÇÃO ...................................................................................................................... 31 
3.1.1 Ductilidade .................................................................................................................................................. 34 
3.1.2 Maleabilidade ............................................................................................................................................. 35 
3.1.3 Dureza ......................................................................................................................................................... 35 
3.1.4 Resiliência ................................................................................................................................................... 35 
3.1.5 Tenacidade ..................................................................................................................................................35 
3.2 LEI DE HOOKE ....................................................................................................................................................... 36 
3.3 COEFICIENTE DE POISON ....................................................................................................................................... 37 
3.4 LEI DE HOOKE GENERALIZADA ............................................................................................................................. 39 
3.5 PROPRIEDADES MECÂNICAS DE ALGUNS MATERIAIS ............................................................................................. 40 
3.6 EXERCÍCIOS ........................................................................................................................................................... 41 
4 CARGA AXIAL ........................................................................................................................................................... 45 
4.1 TENSÃO NORMAL MÉDIA ....................................................................................................................................... 45 
4.2 PRINCÍPIO DE SAINT-VENANT ............................................................................................................................... 46 
4.3 DEFORMAÇÃO ELÁSTICA DE UM ELEMENTO SUBMETIDO A CARGA AXIAL ............................................................. 47 
4.3.1 Deformação em barras de área de seção transversal constante e carga constante ................................... 48 
4.3.2 Fórmulas para deslocamento total para alguns casos ............................................................................... 49 
4.4 TENSÕES TÉRMICAS............................................................................................................................................... 52 
4.4.1 Peça livre para deformar ............................................................................................................................ 53 
4.4.2 Peça impedida de deformar ........................................................................................................................ 53 
 
4.5 CONCENTRAÇÃO DE TENSÕES ............................................................................................................................... 55 
4.5.1 Efeito da Concentração de Tensões em materiais dúcteis .......................................................................... 56 
4.5.2 Efeito da Concentração de Tensões em materiais frágeis .......................................................................... 57 
4.6 DIMENSIONAMENTO DE PEÇAS E ESTRUTURAS CARREGADAS AXIALMENTE PELO CRITÉRIO DA RESISTÊNCIA ........ 61 
4.7 DIMENSIONAMENTO DE PEÇAS E ESTRUTURAS CARREGADAS AXIALMENTE PELO CRITÉRIO DA RIGIDEZ ............... 62 
4.8 EXERCÍCIOS ........................................................................................................................................................... 63 
4.8.1 Tensão e deformação .................................................................................................................................. 63 
4.8.2 Tensões térmicas ......................................................................................................................................... 65 
4.8.3 Concentração de Tensões ........................................................................................................................... 67 
5 SOLICITAÇÕES CORTANTES ............................................................................................................................... 69 
5.1 CISALHAMENTO SIMPLES ...................................................................................................................................... 69 
5.1.1 Dimensionamento de peças submetidas ao cisalhamento simples .............................................................. 70 
5.2 ESMAGAMENTO - PRESSÃO DE CONTATO (TENSÃO NORMAL) ................................................................................ 71 
5.3 EXERCÍCIOS CISALHAMENTO SIMPLES E ESMAGAMENTO ...................................................................................... 72 
6 FLEXÃO ....................................................................................................................................................................... 77 
6.1 CLASSIFICAÇÃO DA FLEXÃO .................................................................................................................................. 77 
6.2 CONVENÇÃO DE SINAIS DA FORÇA CORTANTE E MOMENTO FLETOR ...................................................................... 78 
6.3 CÁLCULO DA FORÇA CORTANTE ‘V’ E DO MOMENTO FLETOR ‘M’ ........................................................................ 79 
6.3.1 Força cortante ‘V’ ...................................................................................................................................... 79 
6.3.2 Momento fletor ‘M’ ..................................................................................................................................... 79 
6.4 FLEXÃO PURA E SIMPLES ...................................................................................................................................... 80 
6.4.1 Flexão Pura ................................................................................................................................................ 80 
6.4.2 Flexão Simples ............................................................................................................................................ 81 
6.5 TENSÃO GERADA NA FLEXÃO ............................................................................................................................... 81 
6.6 FATORES DE CONCENTRAÇÃO DE TENSÕES NA FLEXÃO ........................................................................................ 83 
6.7 DIMENSIONAMENTO DE PEÇAS SUBMETIDAS A FLEXÃO PELO CRITÉRIO DA RESISTÊNCIA ...................................... 86 
6.7.1 Tensões admissíveis .................................................................................................................................... 86 
6.8 FLECHA PRODUZIDA NA FLEXÃO ........................................................................................................................... 87 
6.9 EXERCÍCIOS ........................................................................................................................................................... 90 
7 TORÇÃO ...................................................................................................................................................................... 94 
7.1 FATORES DE CONCENTRAÇÃO DE TENSÕES NA TORÇÃO ........................................................................................ 96 
7.2 DIMENSIONAMENTO DE PEÇAS SUBMETIDAS A TORÇÃO PELO CRITÉRIO DA RESISTÊNCIA ..................................... 98 
7.3 DIMENSIONAMENTO DE PEÇAS SUBMETIDAS A TORÇÃO PELO CRITÉRIO DA RIGIDEZ ............................................. 98 
7.4 EXERCÍCIOS ........................................................................................................................................................... 99 
8 CARGAS COMBINADAS ........................................................................................................................................ 103 
8.1 INTRODUÇÃO ....................................................................................................................................................... 103 
8.2 SÍNTESE DAS PRINCIPAIS SOLICITAÇÕES E SUAS TENSÕES .................................................................................... 103 
8.2.1 Tensão Normal de Tração ou Compressão ...............................................................................................103 
8.2.2 Tensão de Corte devido ao Cisalhamento Simples ................................................................................... 104 
Resistência dos Materiais I vi 
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8.2.3 Tensão Normal na Flexão ......................................................................................................................... 105 
8.2.4 Tensão de Cisalhamento na Torção .......................................................................................................... 106 
8.2.5 Tensão de Cisalhamento na Flexão .......................................................................................................... 106 
8.3 ESTADO DE TENSÕES CAUSADO POR CARGAS COMBINADAS ................................................................................ 107 
8.3.1 Método de análise ..................................................................................................................................... 108 
8.4 TENSÕES PRINCIPAIS E DE CISALHAMENTO MÁXIMAS ......................................................................................... 109 
8.4.1 Equações de transformação ...................................................................................................................... 110 
8.4.2 Círculo de Mohr ........................................................................................................................................ 111 
8.5 EXERCÍCIOS ......................................................................................................................................................... 115 
9 TRANSFORMAÇÃO DE TENSÕES ...................................................................................................................... 118 
9.1 TRANSFORMAÇÃO DE TENSÃO ............................................................................................................................. 118 
9.1.1 Estado uniaxial de tensões ........................................................................................................................ 118 
9.1.2 Estado biaxial de tensões .......................................................................................................................... 119 
9.1.3 Estado plano de tensões ............................................................................................................................ 120 
9.2 ANÁLISE DE TENSÕES PRINCIPAIS E MÁXIMAS TENSÕES CISALHANTES ................................................................ 121 
9.2.1 Círculo de Mohr ........................................................................................................................................ 125 
9.3 EXERCÍCIOS ......................................................................................................................................................... 126 
9.3.1 Transformação de Tensões – Estado Plano de Tensões ........................................................................... 126 
10 TEORIAS PARA FALHAS ESTÁTICAS .......................................................................................................... 130 
10.1 PRINCIPAIS VARIÁVEIS UTILIZADAS NESTE CAPÍTULO ......................................................................................... 130 
10.2 INTRODUÇÃO ....................................................................................................................................................... 130 
10.3 TEORIA DA TENSÃO NORMAL MÁXIMA .............................................................................................................. 132 
10.4 TEORIA DA TENSÃO MÁXIMA DE CISALHAMENTO .............................................................................................. 134 
10.5 TEORIA DE HUBER-VON MISES - HENCKY OU DA MÁXIMA ENERGIA DE DISTORÇÃO ......................................... 138 
10.5.1 Comparação entre as três teorias aplicadas a materiais dúcteis ............................................................. 140 
10.6 TEORIA DE COULOMB MOHR .............................................................................................................................. 140 
10.7 TEORIA DE MOHR MODIFICADA .......................................................................................................................... 141 
10.8 EXERCÍCIOS ......................................................................................................................................................... 145 
11 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ................................................................................................................ 148 
 
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1 TENSÕES 
1.1 INTRODUÇÃO A RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
A resistência dos materiais é um ramo da mecânica que estuda as relações entre cargas externas 
aplicadas a um corpo deformável e a intensidade das forças internas que atuam dentro do corpo. Esse 
assunto abrange também o cálculo da deformação do corpo e o estudo de sua estabilidade, quando ele esta 
submetido a forças externas. 
No projeto de qualquer estrutura ou máquina é necessário primeiro usar os princípios da estática 
para determinar as forças que atuam tanto sobre como no interior de seus vários membros. As dimensões 
dos elementos, sua deflexão e sua estabilidade dependem não só das cargas internas como também do 
tipo de material do qual esses elementos são feitos. Assim, a determinação precisa e a compreensão do 
comportamento do material são de vital importância para o desenvolvimento das equações usadas na 
resistência dos materiais. 
O principal objetivo da Resistência dos Materiais é propiciar ao Engenheiro os meios que o 
habilitem para a análise e projeto de várias estruturas de máquinas, sujeitas a diferentes carregamentos. 
A Resistência dos Materiais visa a determinar as dimensões dos elementos de uma construção e que lhes 
possibilitem suportar os carregamentos ou forças a que provavelmente estarão sujeitos. 
 
Figura 1.1 – Objetivos da resistência dos manteriais 
Resistência dos Materiais I 8 
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Muitas fórmulas e procedimentos de projeto, definido nas normas técnicas de engenharia e usados 
na prática, baseiam-se nos fundamentos da resistência dos materiais e, por essa razão, compreender os 
princípios dessa matéria é extremamente importante. 
A Resistência dos Materiais I estuda o comportamento dos materiais sob esforços considerando como 
típicos: tração, compressão, flexão e torção. 
A Figura 1.2 ilustra a evolução da Resistência dos Materiais. 
 
Figura 1.2 – Origem da Resistência dos Materiais 
1.2 TIPOS DE CARGAS 
Um corpo pode estar sujeito a diferentes tipos de forças externas (Figura 1.3). As cargas podem ser: 
(i) Cargas concentradas; (ii) cargas distribuídas linearmente; e (iii) cargas distribuídas em uma superfície. 
Força de superfície: _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 
 
Força de concentrada: _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 
 
Força de distribuída: _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 
 
Força resultante (FR): _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 
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Idealização de uma força 
concentrada 
Idealização de uma 
carga distribuída 
linear 
Idealização de 
uma força de 
superfície 
FR 
 
Figura 1.3 – Forças externas 
O que se pretende na Engenharia é projetar e construir estruturas que resistam aos esforços externos. 
1.3 EQUILÍBRIO DE UM CORPO DEFORMÁVEL 
Na resistência dos materiais chamamos de vínculo, apoio ou ligação a qualquer elementos que impeça 
de alguma forma o livre movimento de um ou mais pontos de uma estrutura. 
Os apoios podem ser simples, duplos ou triplos (engaste perfeito). O apoio simples (a) impede a 
translação na direção normal da reta de vinculação. O apoio duplo (b) impede a translação nos eixos 
cartesianos x e y e o apoio triplo(c) ou engaste impede os movimentos de translação e também a rotação. 
 
(a) Apoio simples 
(c) _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 
 
(b) _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 
 
Figura 1.4 – Tipos de apoios 
Reações de apoio: _ _ _ _ _ _ 
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 
Resistência dos Materiais I 10 
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O vínculo, impedindo uma translação numa direção, deve ser capaz de introduzir pelo menos uma 
força que anula a componente da resultante final na mesma direção. 
O equilíbrio de um corpo requer: 
1 – Equilíbrio de forças; 
2 – Equilíbrio de momentos 
Matematicamente significa que : 
0F
 
0 oM
 
As equações de equilíbrio requerem a especificação completa de todas as forças que atuam sobre o 
corpo. “A melhor maneira de considerar essas forças é desenhando o diagrama de corpo livre” 
1.4 CARREGAMENTO RESULTANTE INTERNO 
Para obtermos as forças internas atuantes em uma região específica dentro de um corpo, é necessário 
utilizar o método das seções. Este método requer que um corte imaginário seja feito onde as forças 
internas devam ser determinadas. A (Figura 1.5) ilustra um corpo mantido em equilíbrio por quatro forças 
externas. Sob uma seção do corpo é então realizada um corte imaginário (Figura 1.5a) e então as duas 
partes são separadas e sobre uma delas é realizado o diagrama de corpo livre(Figura 1.5b). Este diagrama 
ilustra que existe, na realidade, uma distribuição das forças internas atuantes sobre a área da seção 
exposta. Estas forças representam os efeitos do material da parte superior do corpo atuantes sobre o 
material adjacente da parte inferior 
 
F1 
F2 
F3 
F4 
F1 
F2 
(a) (b) 
Diagrama de Corpo Livre 
F1 
F2 
(d) 
F1 
F2 
(c) 
MRO 
F 
FR 
O 
A 
F Fy 
Fx 
(e) 
 
Figura 1.5 – Método das seções 
No caso de um sistema coplanar de forças 
(plano x-y) as condições de equilíbrio são: 
 
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 
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O método das seções é usado para determinar a resultante das cargas internas em um ponto localizado 
na seção de um corpo. A aplicação do método das seções requer os seguintes passos para obter tais 
resultantes: 
Para o caso de cargas coplanares, Hibbler (2004) apresente o seguinte procedimento para avaliar o 
carregamento interno: 
1 - Reações de Apoio 
- Decidir primeiro qual segmento do corpo será considerado. Se esse segmento tiver um apoio ou 
elemento de ligação com outro corpo (tipo rótula), então antes de secionar o corpo será necessário 
determinar as reações que atuam sobre o segmento escolhido. Desenhar o diagrama livre de todo o 
corpo e aplicar então as equações de equilíbrio requeridas para obter as reações de apoio no 
segmento escolhido. 
2 - Diagrama de corpo livre 
- Manter todas as cargas externas distribuídas, momentos binários, torques e forças que atuam sobre 
o corpo em suas localizações exatas; traçar então uma seção imaginária através do corpo no ponto 
em que a resultante das cargas internas será determinada. 
- Se o corpo representa o elemento de uma estrutura ou dispositivo mecânico, a seção é, em geral, 
perpendicular ao eixo longitudinal do elemento. 
- Desenhar o diagrama de corpo livre de um dos elementos ‘cortados’, indicando as resultantes 
desconhecidas N, V, M e T na seção. Essas resultantes normalmente são colocadas no ponto que 
representa o centro geométrico ou centróide da área secionada. 
- Se o elemento esta submetido a um sistema de forças coplanares, somente N, V e M atuam sobre 
o centróide. 
- Definir os eixos de coordenadas x, y, z com origem no centróide e mostrar os componentes da 
resultante que atuam ao longo dos eixos. Equações de 
equilíbrio
Existirão esse 
componentes
 
Figura 1.6 – Método das seções aplicado a cargas coplanares 
Resistência dos Materiais I 12 
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Para o caso de cargas tridimensionais, a Figura 1.7 ilustra o procedimento. Neste caso os componentes 
de FR e MRo atuam tanto normal como no plano da área. 
 
Figura 1.7 – Método das seções aplicado ao caso de forças tridimensinais 
Fonte: Hibbler (2004) 
São definidos 4 tipos diferentes de cargas: 
Força normal “N”: atua perpendicularmente a área (empurram ou puxam as duas partes); 
Força de cisalhamento “V”: localiza-se no plano da área e tende a provocar um deslizamento das 
duas partes; 
Momento de torção, ou Torque “T”: este efeito é criado quando as cargas externas tendem a torcer 
uma parte do corpo em relação a outra; 
Momento Fletor “M”: é provocado pelas cargas externas que tendem a fletir o corpo em relação ao 
eixo localizado no plano da área. 
 
Exemplo 1: Hibbeler (2004) 
Determinar a resultante das cargas internas que atuam na seção transversal em C do eixo de uma máquina 
(Figura 1.8). O eixo é apoiado por rolamentos em A e B. 
 
Figura 1.8 – Exemplo 1. Fonte: Hibbeler (2004) 
a) Reações de apoio: 
 
A Figura 1.8b mostra um diagrama de corpo livre do eixo inteiro. Determinaremos a reação em A e 
posteriormente em B 
 
 
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Equilíbrio de forças na direção y 
Convensão de sinais de forças na direção y: 
 
+ - Para 
cima (+) 
Para 
baixo (-) 
0 yF
 
0225120  NBNA yy
 
NBA yy 345
 (1) 
 
Equilíbrio dos momentos 
Convensão de sinais de momentos: 
 
+ - 
Anti-horário (+) Horário (-) 
0 BM
 
0)100,0(225)125,0(120)400,0(  mNmNmAy
 
NAy 75,18
 (2) 
Substituindo a resposta (2) “
NAy 75,18
” na equação (1) “
NBA yy 345
” temos: 
NBy 34575,18 
 
NBy 75,363
 
b) Diagrama de corpo livre em C 
Se passarmos uma região imaginária perpendicular a linha de centro do eixo em C, obteremos o 
diagrama de corpo livre do segmento AC mostrado na Figura 1.8c ou repetida ao lado. 
 
Equilíbrio de forças na direção x 
Convensão de sinais de forças na direção x: 
 
+ - Para 
direita (+) 
Para 
esquerda (-) 
0 xF
 
0CN
 
Equilíbrio de forças na direção y 
Convensão de sinais de forças na direção y: 
 
+ - Para 
cima (+) 
Para 
baixo (-) 
0 yF
 
04075,18  CVNN
 
NVC 75,58Equilíbrio de momentos 
Convensão de sinais de momentos: 
 
+ - 
Anti-horário (+) Horário (-) 
0 CM
 
0)259,0(75,18)025,0(40  mNmNMC
 
mNMC  69,5
 
 
Obs.: Os sinais negativos para VC e MC indicam que agem em sentidos opostos às mostradas no 
diagrama de corpo livre. 
O sinal negativo para Ay indica 
que Ay age no sentido contrário ao 
mostrado no diagrama de corpo 
livre (Figura 1.8b) 
Como a equação (1) já havia sido definida 
anteriormente com o sentido de Ay para cima, 
simplesmente substituimos a resposta obtida 
Ay =-18,75N (com sinal negativo) em (1) 
Resistência dos Materiais I 14 
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1.5 TENSÃO 
Considere que a seção da área seja subdividida em áreas pequenas (A). Supõe-se duas hipóteses( 
material contínuo e material coeso). A força F subdivide-se nas três componentes (x, y e z). 
 
F1 
F2 
F 
A 
F 
Fz 
Fy 
z 
y x 
z 
x y 
Fx 
 
Figura 1.9 – Componentes da força F 
Quando 
0A
, 
0F
 
mas 
finito
A
F



. A relação entre a força e a área é chamada tensão 
1.5.1 Tensão normal 
A intensidade da força por unidade de área que atua no sentido perpendicular a A, é definida como 
tensão normal,  (sigma). Visto que Fz é normal à área, então: 
A
Fz
A
z



 0
lim
 
1.5.2 Tensão cisalhante 
A intensidade da força por unidade de área que atua no sentido tangente a A, é definida como tensão 
de Cisalhamento,  (tau). Os componentes de tensão de cisalhamento são: 
A
Fx
A
zx



 0
lim
 
A
Fy
A
zy



 0
lim
 
O índice z é usado para 
indicar a direção que afasta da 
reta normal, a qual especifica 
a orientação da área A. 
O eixo z especifica a 
orientação da área enquanto x e y 
referem-se às retas de direção das 
tensões de cisalhamento 
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1.5.3 Estado geral de tensões 
Se o corpo for secionado por planos paralelo ao plano x-z e ao plano y-z podemos então cortar um 
elemento cúbico do volume do material que representa o estado de tensão. 
 
Figura 1.10 - Estado geral de tensões 
Fonte: Hibbeler (2004) 
O índice z é usado para indicar a direção que afasta da reta normal, a qual especifica a 
orientação da área A. O eixo z especifica a orientação da área enquanto x e y referem-se às retas 
de direção das tensões de cisalhamento 
 
Figura 1.11 - Estado geral de tensões 
Fonte: Hibbeler (2004) 
As unidades de tensão são ilustradas na Figura 1.12. 
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Unidades de Tensão
No sistema internacional de unidades:
Usam-se prefixos
k – quilo (103)
M – mega (106)
G – giga (109)
Na indústria:
No sistema inglês:
Pa
m
N

2
2cm
kgf
2mm
kgf
psi
in
lb

2
ksi
in
lb

2
1000
quilolibra 11000  kiplb
2mm
N
Na mecânica:
MPammN 11 2 
 
Figura 1.12 – Unidades de tensão 
1.5.4 Tensão normal média 
Freqüentemente há elementos mecânicos ou estruturais que são submetidos a cargas axiais. 
 
P 
P 
P 
P 
 
Figura 1.13 – Barra submetida a força axial 
Visto que a barra esta submetida a uma deformação uniforme constante, a deformação é o resultado de 
uma tensão normal constante . 
Caso todas as seções transversais da barra 
sejam iguais a barra é denominada prismática 
Hipóteses para determinação da 
distribuição média de tensões 
- A barra deve permanecer reta (antes e 
depois da aplicação da carga; 
- A seção transversal deve permanecer 
plana 
Se as duas hipóteses ocorrerem então _ _ _ _ 
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 
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Figura 1.14 – Tensões. Fonte: Hibbeler (2004) 
O resultado que cada área A esta submetida 
a uma força F=.A, e o somatório destas 
forças deve ser equivalente a P. 
Se: 
dAA
 e
dFF 
 
Admitindo que  é constante: 
dAdF
A
  
 
AP 
 
A
P

 
 
O equilíbrio no elemento de volume só é conseguido quando os dois componentes da tensão normal 
devem ter intensidade igual mas sentidos opostos (Figura 1.15a). Essa condição é denominada tensão 
uniaxial e se aplica tanto a a tração como a compressão (Figura 1.15a). 
 
 (a) (b) 
Figura 1.15 – Equilíbrio no elemento de volume (elemento infinetesimal). Fonte: Hibbeler (2004) 
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Exemplo (Tensão normal média) 
A barra mostrada na Figura 1.16 tem uma largura constante de b = 40 mm e uma altura constante de h = 
10 mm. Determine a tensão média máxima atuante na barra quando esta submetida ao carregamento 
indicado. 
 
Figura 1.16 – Barra submetida a um carregamento axial 
Solução: 
 
Assim temos que: 
A
PBC
xBC  
)m010,0m040,0(
N000.28
xBC


 
Pa1070 6xBC  
MPa70xBC  
O primeiro passo para a solução do problema é 
construir o diagrama de força axial. Neste caso 
poderemos adotar que forças com o sentido 
orientado para a esquerda são positivas ( +) e 
forças com o sentido orientado para a direita são 
negativas ( -). O diagrama de forças axiais irá 
em cada seção somar ou subtrair as forças 
aplicadas. Assim temos que: 
A região da barra que apresenta a 
máxima força de tração é a região BC. 
Assim, uma vez que a área da seção 
transversal reta da barra é constante, a maior 
tensão média também ocorrerá nesta região 
da barra. 
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1.5.5 Tensão cisalhante média 
A tensão de cisalhamento média distribuída sobre cada área secionada que desenvolve a força de 
cisalhamento (V=F/2) é definida por: 
A
V
méd 
 
Onde: 
V – resultante interna da força de cisalhamento; 
A – Área da seção. 
 
Figura 1.17 – Tensão de cisalhamento média. Fonte Hibbeler (2004) 
O equilíbrio é realizado na direção y e x (F=0) chegando ao ilustrado na Figura 1.18. Para que ocorra o 
equilíbrio as quatro tensões de cisalhamento devem ter intensidades iguais, e ser direcionadas no mesmo 
sentido ou em sentido contrário uma da outra nas bordas opostos do elemento 
 
Figura 1.18 – Equilibrio de tensões cisalhantes. Fonte Hibbeler (2004) 
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Exemplo 2 (Tensão de cisalhamento média) 
A escora de madeira está suportada por uma haste de aço de 10 mm de diâmetro presa na parede. Se a 
escora suporta uma carga de 5 kN. Qual a tensão de cisalhamento médio na haste? 
NA HASTE
 
Figura 1.19 – Figura do exemplo 2. Fonte: Hibbeler (2004) 
Como mostra o diagrama de corpo livre da Figura 1.19, a haste resiste à força de cisalhamento de 5 kN no 
local onde esta presa à parede. 
Assim, a tensão de cisalhamento média na haste é: 
A
V
méd 
 
4
)01,0(
5000
2m
N
méd




 
2
24,63661977
m
N
méd 
 
MPaméd 7,63
 
1.6 EXERCÍCIOS 
1) Considerando que g = 9,81 m/s
2
 ouseja 1 kgf = 9,81 N, transforme faça as transformações de unidade 
solicitadas abaixo: 
a) 1 m para mm: 
b) 1 mm para m: 
c) 75 MPa para N/mm
2
: 
d) 75 MPa para kgf/cm
2
: 
e) 123.000.000 N/m
2
 para kgf/mm
2
: 
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2) Faça uma análise dimensional da seguinte expressão: 
JTF
tv
X



2 . sabendo-se que as unidades das 
variáveis são: F(N), J(m
4
), T(N.m), t(s), v(m/s). 
 
 
3) (A) Identifique na figura (a) qual a tensão normal () aplicada em cada uma das faces do elemento de 
volume (elementos infinitesimal). (B) Identifique na figura (b) qual a tensão cisalhante () aplicada em 
cada uma das faces do elemento de volume (elementos infinitesimal). z 
y 
x 
A 
B 
C 
(a) 
 
 z 
y 
x 
A 
B 
C 
D 
F 
E 
(b) 
 
4) Se a peça ilustrada na figura abaixo, apresenta um diâmetro d = 30 mm e seção constante determine: 
a) Faça o diagrama de esforço axial; 
b) Calcule a tensão média aplicada na seção DE. 
e) Calcule a tensão média máxima aplicada sobre a barra. 
 
10kN 5kN 10kN 5 kN 
A B C E 
10 kN 
D 
Diagrama de 
esforço axial 
 
5) Para a prensa esquematizada na figura abaixo, determine a força axial e a tensão normal aplicada sobre 
a barra CB que apresenta um diâmetro dCB = 5 mm = 0,005 m. 
 
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6) O guindaste da figura abaixo é composto pela viga AB e roldanas acopladas, além do cabo e do motor. 
(a) Calcule as reações de apoio em B se o motor levanta a carga W de 2000N com velocidade constante; 
(b) Determinar a resultante das cargas internas que atuam na seção transversal em C se o motor levanta a 
carga W de 2000N com velocidade constante; 
(c) Se a velocidade de içamento da carga deve ser de v = 3m/s, calcule o torque, a potência e a rotação do 
motor necessária para o acionamento. Fórmulas necessárias para este item: 
60
)()(
)/(
rpmnmd
smv


 )()().( mrNFmNT T  
   
 rpmn
WN
mNT


5493,9
.
 
2
1
1
2
1
2
n
n
z
z
d
d
i 
 
WHP 7461 
 
 
1,0 m 1,5 m 0,5 m 
r =125 mm 
r =100 mm 
125 mm 
W = 2000 N 
N = ? (potência) 
Nmotor = ? (rotação) 
z1 = 20 dentes 
z2 = 60 dentes 
rE = 100 mm 
mm 
FT vT 
Redutor 
i = ? 
 
 
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2 DEFORMAÇÕES 
Quando uma força é aplicada a um corpo, tende a mudar a forma e o tamanho dele. Essas mudanças 
são denominadas de deformação. 
Deformação
Perceptível
Uma borracha 
submetida a uma carga
Praticamente 
imperceptível
A estrutura de um prédio 
submetida ao carregamento das 
pessoas
pode ser
pode ser 
provocada
Força
pode ser 
provocada
Mudança de 
Temperatura
Expansão e contração de 
peças, telhados, estruturas
 
Figura 2.1 – Deformação 
2.1 DEFORMAÇÃO NORMAL 
O alongamento ou contração de um segmento de reta por unidade de comprimento é denominado 
deformação normal. 
Após 
deformação
Considere a reta 
AB contido no 
interior do corpo
Os pontos A e B são deslocados 
para as posições A’ e B’ e a 
reta torna-se curva com 
comprimento S’
A mudança de 
comprimento da 
reta é S’ - S
 
Figura 2.2 – Deformação normal em um corpo. Adaptado de Hibbeler (2004) 
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A partir da Figura 2.2, a deformação normal média é: 
S
SS
méd



'

 
Como o ponto B é escolhido cada vez mais próximo do ponto A, o comprimento da reta torna-se cada 
vez menor de modo que S→0. 
Além disso, isso faz com que B’ se aproxime cada vez mais de A’ tal que S’→0 
Como conseqüência, no limite, a deformação no ponto A e na direção de n é: 
S
SS
Lim
AB 



'
n eixo 

 
Se a deformação normal for conhecida, podemos usar a equação anterior para obter o comprimento 
final aproximado de um segmento de reta menor, na direção de n depois da deformação: 
SS  )1(' 
 
Se  é positivo a reta inicial alonga-se; 
Se  é negativo a reta inicial contrai-se; 
As unidades principais de deformação normal utilizadas são: 
No SI: m/m – metro/metro; 
Como na maioria das aplicações  é muito pequeno usa-se: m/m - micrometro/metro; 
Exemplo 1: Fonte: Hibbeler (2004) 
A haste delgada mostrada na Figura 2.3 é 
submetida a um aumento de temperatura ao 
longo de seu eixo o que cria uma deformação 
normal na haste de z = (40x10
-3
).z
1/2
, onde z é 
dado em metros. Determine: (a) o deslocamento 
da extremidade B da haste devido ao aumento da 
temperatura; e (b) a deformação normal média 
da haste. 
 
Figura 2.3 – Figura do exemplo 1. Fonte: 
Hibbeler (2004) 
 
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(a) o deslocamento da extremidade B da haste devido ao aumento da temperatura. 
Visto que a deformação normal é dada em cada ponto ao longo da haste, um segmento diferencial dz, 
localizado na posição z, terá um comprimento deformado que pode ser determinado pela eq. 
SS  )1(' 
, isto é: 
dzzdz   ))1040(1(' 2/13
 
A soma total desses segmentos ao longo do eixo da como resultado o comprimento deformado da haste, 
isto é: 
  dzzz
m
 

2,0
0
2/13)1040(1
 2,0
0
2/33 )
3
2
()1040( 





  zzz
 
mz 20239,0
 
Portanto, o deslocamento da extremidade da haste é: 
mmAB 2,020239,0 
 
mAB 00239,0
 
mmAB 39,2
 
(b) a deformação normal média da haste. 
A deformação normal média da haste é determinada pela expressão 
S
SS
méd



'

, a qual considera que 
a haste ou “segmento de reta” tem um comprimento original de 200 mm e uma mudança no comprimento 
de 2,39 mm. Assim, 
S
SS
méd



'

 
mm
mm
méd
200
39,2

 
mmmmméd 0119,0
 
Exemplo 2: Fonte: Hibbeler (2004) 
Uma força que atua na empunhadura do cabo da alavanca mostrada na Figura 2.4 provoca uma rotação no 
cabo da alavanca de  = 0,002 rad em sentido horário. Determine a deformação normal média 
desenvolvida no cabo BC. 
 
Figura 2.4 – Figura do exemplo 2. Fonte: Hibbeler (2004) 
Visto que  = 0,002 rad é um ângulo pequeno, o alongamento do cabo CB é BB´= (0,5m)., ou seja 
BB´= (0,5m).0,002rad = 0,001m e desta forma, a deformação normal média no cabo é: 
CB
BB
méd
'

 
mm
m
m
méd /001,0
1
001,0

 
Resistência dos Materiais I 26 
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2.2 DEFORMAÇÃO POR CISALHAMENTO 
A mudança de ângulo ocorrida entre dois segmentos de reta originalmente perpendiculares entre si 
(Figura 2.5) é denominada de deformação por cisalhamento. O ângulo é designado por  (gama) e é 
medido em radianos. 
Define-se a deformação por cisalhamento no ponto A associada aos eixos n e t como: 
'
2
 teixo 
n eixo 


 Lim
AC
AB
nt



 
Considere a reta AB e AC 
com origem no mesmo 
ponto A de um corpo e 
direcionados ao longo dos 
eixos perpendiculares n e t
Após a deformação, as 
extremidades das retas são 
deslocadas e as próprias 
retas transformam-se em 
curvas de modo que o 
ângulo entre elas emA é ’
 
Figura 2.5 - Deformação por cisalhamento  
Se ’ é menor que /2 ,  é positivo. Se ’ é maior que /2 ,  é negativa. 
A Figura 2.6 ilustra as componentes cartesianas da deformação; 
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Contêm dimensões não 
deformadas x, y e z
É formado por 
vários 
elementos 
iguais a:
Supondo que suas dimensões sejam muito 
pequenas, seu formato deformado será um 
paralepípedo , uma vez que segmentos de reta 
muito pequenos permanecem aproximadamente 
retos após a deformação do corpo
OBS.:
A deformação normal muda os comprimentos do elemento 
retangular e
A deformação por cisalhamento muda o ângulo de cada lado
 
Figura 2.6 – Componentes cartesianas da deformação. Adaptado de Hibbeler (2004) 
Usando-se a expressão: 
SS  )1(' 
 
em relação as retas x, y e z temos o comprimento aproximado dos lados do paralepípedo: 
xx  )1( 
 
yy  )1( 
 
zz  )1( 
 
Os ângulos aproximados entre os lados, originalmente definidos pelos lados x, y e z são: 
xy


2
 
yz


2
 
xz


2
 
Observações: 
1-Deformações Normais provocam mudança de volume do elemento retangular; 
2-Deformações por Cisalhamento provocam mudança no formato do elemento retangular 
Obs.: Ambos os efeitos ocorrem simultaneamente durante a deformação 
Resumindo, o estado de deformação em um ponto do corpo, requer a especificação de três 
deformações normais x, y e z e três deformações por cisalhamento xy, yz e xz . 
 
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Exemplo 3: Fonte: Hibbeler (2004) 
A chapa é deformada até a forma representada pela Figura 2.7a. Se, nessa forma deformada, as retas 
horizontais na chapa permanecerem horizontais e seus comprimentos não mudarem, determine (a) a 
deformação normal ao longo do lado AB; e (b) a deformação por cisalhamento média da chapa em 
relação aos eixos x e y. 
 
Figura 2.7 – Figura do exemplo 3. Fonte: Hibbeler (2004) 
(a) a deformação normal ao longo do lado AB 
A reta AB, coincidente com o eixo y, torna-se a reta AB’ após a deformação, como mostra a Figura 2.6b. 
O comprimento desta reta é 
  22 32250´ AB
 
mmAB 018,248´
 
Portanto, a deformação normal média para AB é 
AB
ABAB
médAB


'
)(
 
mm
mmmm
médAB
250
250018,248
)(


 
mmmmmédAB /1093,7)(
3 
O sinal negativo indica que a deformação causa uma contração de AB 
(b) a deformação por cisalhamento média da chapa em relação aos eixos x e y. 
Como observamos na Figura 2.6c, o ângulo BAC entre os lados da chapa, em relação aos eixos x, y que 
antes era de 90
o
, muda para ´devido ao deslocamento de B para B´. 
Visto que xy=/2-´, então xy é o ângulo mostrado na figura. Assim, 
rad
mmmm
mm
tgxy 0121,0
2250
31 






 
 
 
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2.3 EXERCÍCIOS 
1) A viga rígida é sustentada por um pino em A e pelos cabos BD e CE. Se a deformação normal 
admissível máxima em cada cabo for max=0,002 mm/mm, determine o deslocamento vertical máximo da 
carga P. 
 
Resposta= lP = 14 mm 
2) Os dois cabos estão interligados em A. Se a força P provocar um deslocamento vertical de 2 mm no 
ponto A, determine a deformação normal desenvolvida em cada cabo. 
 
Resposta: a) lAB = 1,73mm; b) = -,00433mm/mm 
3) A chapa retangular é submetida à deformação mostrada pela linha tracejada. Determine a deformação 
por cisalhamento média xy da chapa. 
 
Resistência dos Materiais I 30 
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3 PROPRIEDADES MECÂNICAS DOS MATERIAIS 
A resistência de um material depende de sua capacidade de suportar a carga sem deformação 
excessiva ou ruptura. 
As propriedades mecânicas dos materiais são obtidas a partir de ensaios de tração ou compressão. O 
corpo de prova ilustrado na Figura 3.1 com dimensões padronizadas é submetido a uma tração na 
máquina de tração Figura 3.2. 
 
Figura 3.1 – Corpo de prova 
 
Figura 3.2 – Máquina para ensaio de tração 
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3.1 DIAGRAMA TENSÃO-DEFORMAÇÃO 
Quando um corpo de prova é submetido a um ensaio de tração a máquina de ensaio fornece um 
gráfico (Figura 3.3) que mostra as relações entre a força aplicada e as deformações ocorridas durante o 
ensaio. 
Para determinar as propriedades do material o que interessa é a relação entre tensão e deformação. 
 
Figura 3.3 - Diagrama Tensão x Deformação 
No gráfico tensão x deformação, os valores de deformação estão representados pela letra grega  no 
eixo das abscissas (x) e os valores de tensão ou força indicados no eixo das ordenadas (y). 
Com os dados registrados, determina-se a tensão nominal dividindo-se a carga aplicada P pela área da 
seção transversal inicial do corpo. 
0A
P

 
Da mesma forma, calcula-se a deformação nominal, obtida diretamente pela leitura do extensômetro, ou 
dividindo-se a variação no comprimento de referência, , pelo comprimento de referência Lo. 
0L

 
 
A curva de Tensão x Deformação de um dado material é obtida, submetendo corpos de prova (Figura 
3.1) padronizados deste material a um ensaio de tração em uma máquina de ensaio (Figura 3.2), que 
possui um sistema de processamento o qual por meio de sensores/transdutores mede a força aplicada no 
Resistência dos Materiais I 32 
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corpo de prova e a respectiva deformação, processa essas informações e emite um gráfico Tensão x 
Deformação. 
A curva resultante apresenta certos pontos características que são comuns a diversos tipos de materiais 
usados na área engenharia mecânica(Figura 3.4). 
 
A 

A’ 
B 
Limite de 
Elasticidade 
Limite de 
Proporcionalidade 
Limite de 
Resistência 
Escoamento 
Limite de 
Ruptura 
Fase Elástica Fase Plástica 
Sut 
Sy 
Tensão 
Deformação 
C 
 
Figura 3.4 - Diagrama Tensão x Deformação 
Os pontos comuns ilustrados na Figura 3.4 são: 
Limite de Proporcionalidade: 
A lei de Hooke só vale até um determinado valor de Tensão, denominado Limite de 
Proporcionalidade, que é o ponto representado na figura 6 pela letra A, a partir do qual a deformação 
deixa de ser proporcional à carga aplicada. 
Exemplo: Se aplicarmos uma tensão de 10 MPa e a peça se alongar 0,1%, quando aplicamos uma 
tensão de 100 MPa, a peça se deformará 1%. 
Limite de Elasticidade: 
O limite elástico representado no diagrama acima pela letra A’. Este ponto representa a tensão 
máxima que pode ser aplicado a uma barra sem que apareçam deformações residuais, ou permanentes, 
UNOESC – Curso de Engenharia Mecânica 33 
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após a retirada integral da carga externa. Para muitos materiais, os valores dos limites de elasticidade e 
proporcionalidade são praticamente iguais e esses termos são então empregados como sinônimos. Nos 
casos em que são diferentes, em geral o limite de elasticidade é maior do que o de proporcionalidade. 
Fase Elástica: 
O trecho da curva tensão-deformação, compreendido entre a origem e o limite de elasticidade recebe o 
nome de fase elástica ou região elástica. 
Fase Plástica: 
Chama-se de fase plástica ou região plástica o trecho do diagramacompreendido entre o limite de 
elasticidade e o ponto correspondente à ruptura do material. 
Resistência ao Escoamento: 
Terminada a fase elástica, tem início a fase plástica, na qual ocorre uma deformação permanente no 
material, mesmo que se retire a força de tração. 
Em um ponto pouco acima do limite de elasticidade, aumentam as deformações sem que se altere, 
praticamente o valor da tensão. Quando se atinge o limite de escoamento, diz-se que o material passa a 
escoar. Durante o escoamento, a carga ou a tensão oscila entre valores muito próximos uns dos outros. 
Este ponto do gráfico é simbolizado por Sy e chamado Resistência ao Escoamento por tração, quando 
o respectivo ensaio é o de tração. 
 
Sy 
Strength (Resistência) 
Yield ( Escoamento) 
Limite de Resistência: 
Após o escoamento ocorre um encruamento que é um endurecimento causado pela quebra dos grãos 
que compõem o material quando deformado a frio. O material resiste cada vez mais a tração externa, 
exigindo uma tensão cada vez maior para se deformar. 
Nessa fase, a tensão recomeça a subir, até atingir um valor máximo num ponto chamado de limite de 
resistência caracterizado no gráfico pelo ponto B. 
Este ponto do gráfico é simbolizado por Sut e chamado Limite de Resistência a Tração, quando o 
respectivo ensaio é o de tração. 
Resistência dos Materiais I 34 
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Sut 
Strength (Resistência) 
Ultimate Tensile ( Limite de Tração) 
Limite de ruptura 
Continuando a tração, chega-se à ruptura do material, que ocorreu num ponto chamado de Limite de 
ruptura caracterizado no gráfico pelo ponto C. 
Note que a tensão no limite e ruptura é menor que no limite de resistência, devido à diminuição da 
área que ocorre no corpo de prova depois que se atinge a carga máxima. 
Estricção: 
É a redução percentual da área da seção transversal do corpo de prova na região onde vai se localizar a 
ruptura. 
A estricção determina a ductilidade do material. Quanto maior for a percentagem de estricção, mais 
dúctil será o material. 
Módulo de Elasticidade: 
Na fase elástica, se dividirmos a tensão pela deformação, em qualquer ponto obteremos sempre um 
valor constante. 
Este valor constante é chamado módulo de elasticidade. Quando relacionado com tensões normais, é 
chamado de módulo de elasticidade longitudinal e simbolizado pela letra E. Quando relacionado com 
tensões tangenciais, é chamado módulo de elasticidade transversal e simbolizado pela letra G. 
O módulo de elasticidade é a medida da rigidez do material. Quanto maior for o módulo, menor será a 
deformação elástica resultante da aplicação de uma força ou tensão e mais rígido será o material. 
3.1.1 Ductilidade 
Ductilidade é a propriedade que apresentam certos materiais de absorverem sobrecargas por um tempo 
maior que o normal, a custa de uma maior deformação plástica, antes de haver ruptura. 
A ductilidade é medida pela percentagem de elongação (deformação) que o material apresenta no 
momento da ruptura. 
Materiais são ditos frágeis para elongação até 5%. 
UNOESC – Curso de Engenharia Mecânica 35 
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Materiais são ditos dúcteis para elongação maior que 5%. 
Esta propriedade é muito importante nos casos em que trabalhamos o material a frio (Trefilação, 
Forjamento, etc..). 
 T 
Deformação 
T 
Deformação 
(a) Frágil (b) Dúctil 
Fratura Fratura 
 
Figura 3.5 - Exemplo de materiais de mesma dureza e resistência 
3.1.2 Maleabilidade 
Quando a ductilidade é referida em função da carga de compressão, passa a ser chamada de 
maleabilidade. 
3.1.3 Dureza 
Quando o material é resistente ao desgaste, a erosão, a deformação plástica é dito duro. Os testes de 
dureza mais usados são: BRINELL, ROCKWELL, VICKERS e SHORE. 
3.1.4 Resiliência 
A resiliência de um material é sua capacidade de absorver energia no campo elástico das 
deformações, ou seja, é a energia armazenada por um corpo solicitado até o seu limite elástico. 
3.1.5 Tenacidade 
Tenacidade é a habilidade de um material de absorver energia no campo plástico. A maioria das 
autoridade no assunto estão de acordo com esta definição, mas há muito desacordo a respeito de como se 
pode medir a tenacidade. Alguns dizem que a resistência ao impacto do material é a melhor medida, 
outros preferem usar o diagrama tensão - deformação de várias maneiras. O diagrama, contudo é uma 
Resistência dos Materiais I 36 
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avaliação das propriedades estáticas, enquanto tenacidade é uma propriedade desejável em peças sujeitas 
a choques e impactos, o que implicaria em ser ela medida dinamicamente. 
A Figura 3.6 ilustra um diagrama tensão-deformação convencional e real para um material dúctil e a 
respectiva terminologia adotada por Hibbeler (2004). 
 
Figura 3.6 – Diagrama tensão-deformação convencional e real para material dúctil (aço) (sem escala). 
Fonte Hibbeler (2004) 
3.2 LEI DE HOOKE 
O diagrama tensão deformação, para a maioria dos materiais de engenharia apresenta relação linear 
entre tensão e deformação na região de elasticidade. 
Esse fato foi descoberto por Robert Hooke em 1676: 
  E
 
E

 
 
Onde E = Módulo de Young (de elasticidade longitudinal) e representa a inclinação da reta e para 
todos os aços de maneira geral E=200GPa 
 
A 

A’ 
B 
Limite de 
Elasticidade 
Limite de 
Proporcionalidade 
Limite de 
Resistência 
Escoamento 
Limite de 
Ruptura 
Fase Elástica Fase Plástica 
Sut 
Sy 
Tensão 
Deformação 
C 
 
Figura 3.7 – Módulo de Young (E). 
UNOESC – Curso de Engenharia Mecânica 37 
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3.3 COEFICIENTE DE POISSON 
Quando um corpo é submetido a uma força axial de tração, ele se alonga e também se contrai. 
Se uma força de 
compressão atua 
sobre um corpo, 
o corpo se 
contrai na 
direção da força 
e se expande 
lateralmente
 
Figura 3.8 – Alongamento e contração de um corpo. Adaptado de Hibbeler (2004). 
Quando uma carga P é aplicada à uma barra circular, ocorre uma deformação  no seu comprimento e 
’ no seu raio. 
 
Figura 3.9 – Deformações longitudinais e transversais em uma barra. Adaptado de Hibbeler (2004). 
As deformações percentuais são: 
Deformação longitudinal 
L
long

 
 
L

 
 
Deformação lateral (transversal): 
r
transv
´
 
 
r
t
´
 
 
No século XIX, Poisson percebeu que na faixa de elasticidade, a razão entre as deformações 
percentuais era constante. A esta razão chamou-se Coeficiente de Poisson, representado por  (nu): 
long
transv


 
 


 t
 
Sinal (-) é usado para alongamento longitudinal, provocando contração lateral e vice-versa. 
Em geral, para a maioria 
dos materiais  varia entre 
¼ a 1/3 
Resistência dos Materiais I 38 
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Quando um material é submetido a um ensaio com tensão de cisalhamento simples apresentará um 
gráfico semelhante ao identificado na Figura 3.10. 
 
Sys 
Strength (Resistência) 
Yield ( Escoamento) 
Shear ( Corte, cisalhamento) 
 
Sus 
Strength (Resistência) 
Ultimate ( última) 
Shear ( Corte, cisalhamento) 
Distorção angular
Distorção angular
 
Figura 3.10 – Gráfico tensão-deformação para cisalhamento simples 
Para a maior parte dos materiais de engenharia, o comportamento elástico é linear e desse modoa lei de 
Hooke para o cisalhamento é expressa por: 


G
 
 G
 
Onde G também é conhecido por módulo de rigidez ou módulo de elasticidade transversal. [GPa]. 
A relação entre o Módulo de elasticidade longitudinal, Módulo de elasticidade transversal e Coeficiente 
de Poisson pode ser expressa pela seguinte fórmula: 
 
 

12
E
G
 
onde: 
G – Módulo de elasticidade transversal [Pa]; 
E – Módulo de elasticidade longitudinal [Pa]; 
- Coeficiente de Poisson [adimensional]. 
 
A 
Tabela 3.1 apresenta o coeficiente de Poisson para alguns tipos de materiais comuns em engenharia. 
UNOESC – Curso de Engenharia Mecânica 39 
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Tabela 3.1 – Coeficiente de Poisson 
Material Módulo de 
Elasticidade [GPa] 
Coeficiente de 
Poisson 
Aço ao Carbono 207 0,292 
Aço Inoxidável 180 0,305 
Aço Níquel 207 0,291 
Alumínio 71 0,334 
Bronze 111 0,349 
Cobre 119 0.326 
FoFo Cinzento 100 0,211 
Latão 106 0,324 
Magnésio 44,8 0,350 
Concreto ~0,200 
3.4 LEI DE HOOKE GENERALIZADA 
Na Figura 3.11, observa-se o caso de tensões uniaxiais. Nesta figura verifica-se a tensão x, aplicada 
no eixo x. Esta tensão provoca um alongamento no eixo x, e contrações nos eixos y e z. 
 
y y y 
z 
x 
 
 Figura 3.11 – Estado uniaxial de tensões 
As deformações para a situação da Figura 3.11 são: 
eixo y (alongamento) - 
E
y
 
 
eixo x (contração) - 
E
x
t
 
 
eixo z (contração) - 
E
x
t
 
 
Na Figura 3.12, observa-se o caso de tensões triaxiais. Nesta figura verifica-se a tensão x, 
aplicada no eixo x, y, aplicada no eixo y e z, aplicada no eixo z. 
Resistência dos Materiais I 40 
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y 
y 
y 
z 
x 
z 
z 
x 
x 
 
Figura 3.12 - Estado triaxial de tensões 
As tensões aplicadas x, y, e z, provocam deformações x, y e z. 
As deformações para a situação da Figura 3.12 são: 
eixo x - 
EEE
zyx
x


 
 
eixo y - 
EEE
zxy
y


 
 
eixo x - 
EEE
yxz
z

 
 
As expressões acima podem ser rearranjadas na seguinte forma: 
 )(1 zyxx
E
 
 
 )(1 zxyy
E
 
 e 
 )(1 yxzz
E
 
 
Obs.: As expressões acima são válidas para tensões de tração. Caso forem de compressão, deve-se usar 
sinal negativo. 
3.5 PROPRIEDADES MECÂNICAS DE ALGUNS MATERIAIS 
A Tabela 3.2 apresenta as propriedades mecânicas de alguns materiais utilizados na engenharia 
mecânica. 
Tabela 3.2 - Propriedades Mecânicas dos Aços Comuns 
Classificação 
SAE/ANSI 
Estado Limite de 
Resistência à 
Tração 
Sut 
MPa 
Resistência ao 
Escoamento 
Sy 
MPa 
Alongamento 
em 50,0 mm 
(%) 
Estricção 
(%) 
Dureza 
Brinell 
HB 
1015 Laminado 420,6 313,7 39,0 61,0 126 
Normalizado 424,0 324,1 37,0 69,6 121 
Recozido 386,1 284,4 37,0 69,7 111 
1020 Laminado 448,2 330,9 36,0 59,0 143 
As expressões abaixo constituem-
se na lei de Hooke generalizada. 
 
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Normalizado 441,3 346,5 35,8 67,9 131 
Recozido 394,7 294,8 36,5 66,0 111 
1030 Laminado 551,6 344,7 32.,0 57,0 179 
Normalizado 520,6 344,7 32,0 60,8 149 
Recozido 463,7 341,3 31,2 57,9 126 
1040 Laminado 620,5 413,7 25,0 50,0 201 
Normalizado 589,5 374,0 28,0 54,9 170 
Recozido 518,8 353,4 30,2 57,2 149 
1050 
 
1050 
Laminado 723,9 413,7 20,0 40,0 229 
Tabela 3.1 - Continuação 
Normalizado 748,1 427,5 20,0 39,4 217 
Recozido 636,0 365,4 23,7 39,9 187 
1095 Laminado 965,3 572,3 9,0 18,0 293 
Normalizado 1013,5 499,9 9,5 13,5 293 
Recozido 656,7 379,2 13,0 20,6 190 
1118 Laminado 521,2 316,5 32,0 70,0 149 
Normalizado 477,8 319,2 33,5 65,9 143 
Recozido 450,2 284,8 34,5 66,8 131 
3140 Normalizado 891,5 599,8 19,7 57,3 262 
Recozido 689,8 422,6 24,5 50,8 197 
4130 Normalizado 668,8 436,1 25,5 59,5 197 
Recozido 560,5 360,6 28,2 55,6 156 
4140 Normalizado 1020,4 655,0 17,7 46,8 302 
Recozido 655,0 417,1 25,7 56,9 197 
4340 Normalizado 1279,0 861,8 12,2 36,3 363 
Recozido 744,6 472,3 22,0 49,9 217 
6150 Normalizado 939,8 615,7 21,8 61,0 269 
Recozido 667,4 412,3 23,0 48,4 197 
8650 Normalizado 1023,9 688,1 14,0 48,4 302 
Recozido 715,7 386,1 22,5 46,4 212 
8740 Normalizado 929,4 606,7 16,0 47,9 269 
Recozido 695,0 415,8 22,2 46,4 201 
9255 Normalizado 932,9 579,2 19,7 43,4 269 
Recozido 774,3 112,3 70,5 41,1 229 
3.6 EXERCÍCIOS 
01 - Um cubo de aço com 50 mm de lado é submetido a uma pressão uniforme de 200.000 kN por m
2
 
agindo sobre todos as faces. Determinar a variação da dimensão entre duas faces paralelas do cubo. 
Admitir: E = 200 x 10
6
 KN/m
2
 e  = 0,25 
 
Resposta: a) x= -5x10
-4
 mm/mm MPa; b) x = y = z = -2,5x10
-5
 m 
Resistência dos Materiais I 42 
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02 - Uma peça constituída por uma placa de aço de 50 mm x 250 mm x 10 mm acha-se sujeita as forças 
Px = 100 kN e Py = 200 kN 
a. Que variação de espessura ocorre em conseqüência da aplicação destas forças? 
b. Para provocar a mesma variação de espessura (a mesma que em “a”) pela ação isolada de Px, qual 
deve ser o seu valor? 
E = 200.000 MN/m
2
 e  = 0,25 
 
 250mm 
 
Py 
Py 
Px Px 
50 mm 
 
Resposta: 
a) z= -3,5x10
-4
 mm/mm; 
b) z = -3,5x10
-6
 m 
c) Px = 140 KN 
 
 
03 - Um bloco retangular de aço tem as seguintes dimensões : a = 50 mm b =75 mm c = 100 mm. As 
faces deste bloco estao sujeitas as forças Px = 180 kN (tração) Py = 200 kN (tração) Pz = 240 kN 
(compressão). Determinar o valor de um único sistema de forças agindo somente na direção y que 
provocaria a mesma deformação na direção y que o sistema de forças iniciais. Adotar:  = ¼ e E = 200 
GPa 
 
Resposta: 
a) x = 24 MPa; b) y = 40 MPa; c) z = -64 MPa; y= 2,5x10
-4
 mm/mm (Agindo as três cargas juntas) 
b) (para a condição z = 0 MPa e x = 0 MPa) y = 50 MPa e então Py = 250 KN 
 
 
 
 
Dica: Calculem x, y, z para as três cargas. Depois 
calculem y usando a lei de Hooke generalizada. Em 
seguida usem a mesma expressão de y considerando 
x=0 e z=0. Encontrarão y. Então Py=y.A . 
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04 - Um cilindro A de borracha de diâmetro d = 5 cm é comprimido em uma forma cilíndrica B de aço 
por uma força P. Determinar a tensão sigma entre a borracha e o aço quando P = 500 Kgf e  = 0,45 
 
Resposta: 
a) z = -20,83 MPa; 
b) y = -20,83 MPa; 
 
 
 
 
 
05 - Determinar as tensões x e y para um elemento em estado duplo de tensão (Biaxial) se x = 0,001 e 
y = 0,0007 E = 21.000 kgf/mm
2
 0,3 
 
Resposta: 
a) z = 18,23 kgf/mm
2
; 
b) y = -9,23 kgf/mm
2
; 
 
 
 
Resistência dos Materiais I 44 
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06 - Dado o bloco de dimensões a = 18 cm b = 12 cm c = 10 cm encaixado na peça conforme a figura 
submetido a uma tensão  = 400 Kgf/cm2 de compressão, pede-se: x;z; e a variação total das arestas a 
e b. E = 2 x 10
5 
MPa e = 0,33 
 
 a 
 b 
 c 
 
 
Resposta: 
a) x = -132 Kgf/cm
2
; 
b) b = 1,053x10
-5 
m; 
 
 
07 - Um bloco retangular de aresta 0,4 cm; 0,2cm; 0,3cm deforma-se de modo que seus comprimentos 
chegam a valer 0,4004 cm; 0,020006 cm e 0,29985 cm. Achar a dilatação cúbica total. 
Resposta: 
a) V=0,0000192 cm3; 
 
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4 CARGA AXIAL 
Antes de iniciarmos este capítulo é importante fazer algumas considerações: 
- Tensão é um meio para medir a distribuição de força no interior de um corpo; 
- Deformação é a maneira de medir a modificação na geometria do corpo; 
- A relação entre tensão e deformação depende do tipo de material do qual o corpo é feito; 
- Aplicando-se a lei de Hooke há uma relação proporcional entre tensão e deformação. 
4.1 TENSÃO NORMAL MÉDIA 
Quando os elementos mecânicos ou estruturais estão submetidos a cargas axiais, surge a tensão 
normal média (conforme já estudada): 
A
P
 
Onde: 
P – Força (N); 
A – Área da seção transversal (m2); 
 - Tensão normal média (N/m2) 
 
P 
P 
P 
P 
 
Figura 4.1 – Barra submetida a força axial 
Resistência dos Materiais I 46 
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4.2 PRINCÍPIO DE SAINT-VENANT 
Considere como o corpo ilustrado na Figura 4.2 se deforma elásticamente quando submetido a uma 
força P aplicada o longo de seu centróide. Devido ao carregamento, a barra deforma-se como indicam as 
distorções das linhas da grade desenhadas sobre a barra, que antes eram horizontais everticais. Observe a 
deformação localizada que ocorre em cada extremidade. Esse efeito tende a diminuir conforme as 
medições são feitas mais distante das extremidades. Além disso, as deformações vão se nivelando e 
tornam-se uniformes em toda a seção média da barra. 
Barra retangular deforrmando-se 
elásticamente quando submetida a uma 
carga P
Barra fixada rigidamene
Deformação diminui nas 
regiões mais distantes
Em geral a seção c-c é igual 
a largura da peça
A partir daí a tensão é 
aproximadamente constante
A partir de observação 
experimental
 
Figura 4.2 – Princípio de Saint-Venant. Fonte: Adaptado de Hibbeler (2004) 
 
Observem que a tensão é proporcional a deformação. Assim, regiões que apresentam maior 
deformação apresentarão maior tensão. Observem na Figura 4.2 (lado direito), as seções a-a, b-b e c-c, 
com a distribuição de tensões. 
O fato de a tensão e a deformação comportarem-se dessa maneira é denominado princípio de Saint-
Venant, observado pela primeira vez pelo cientista francês Barré de Saint-Venant. 
O princípio de Saint-Venant diz que a tensão e a deformação produzidas em pontos do corpo 
suficientemente distantes da região de aplicação da carga (geralmente a largura) serão as mesmas 
UNOESC – Curso de Engenharia Mecânica 47 
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produzidas por quaisquer cargas aplicadas que tenham a mesma resultante equivalente e que sejam 
aplicadas na mesma região do corpo (Figura 4.3) 
Mesma resultante
a
b
c
Mesma tensão e deformação
Os efeitos localizados provocados por qualquer 
carga que atua sobre o corpo dissipam-se ou 
ajustam-se nas seções suficientemente distantes 
da carga
 
Figura 4.3 – Princípio de Saint-Venant. Fonte: Adaptado de Hibbeler (2004) 
4.3 DEFORMAÇÃO ELÁSTICA DE UM ELEMENTO SUBMETIDO A CARGA AXIAL 
Usando a lei de Hooke e as definições de tensão e deformação, desenvolve-se uma equação que pode 
ser usada para determinar a deformação elástica de um elemento submetido a cargas axiais. Para 
generalizar, considere a barra ilustrada na Figura 4.4. que apresenta uma variação gradual da seção ao 
longo do comprimento L. A barra esta sujeita a cargas concentradas em suas extremidades e a uma carga 
variável distribuída (atrito ou peso próprio) ao longo de seu comprimento. 
 
Figura 4.4 – Barra com variação gradual da seção ao longo do comprimento. Fonte: Hibbeler (2004) 
Resistência dos Materiais I 48 
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Quer-se determinar o deslocamento relativo  (delta) de uma extremidade da barra em relação ao 
outra. 
Usando o método das seções, isola-se um elemento diferencial da barra de comprimento dx e área de 
seção transversal A(x) em uma posição arbitrária x. o qual é mostrado na Figura 4.4b. A força axial 
interna é denotada por P(x). Essa carga deformará o elemeto até a forma indicada pela linha tracejada e 
portanto o deslocamento de uma extremidade do elemento em relação à outra extremidade será . A 
tensão e a deformação no elemento diferencial são: 
)(
)(
xA
xP

 
dx
d
 
 
Contanto que essas quantidades não ultrapassem o limite de proporcionalidade, podemos relacioná-las 
usando a lei de Hooke: 
  E
 
dx
d
E
xA
xP 

)(
)(
 
ExA
dxxP
d
)(
)(

 
Para o comprimento total da barra, L, devemos integrar essa expressão para determinar o 
deslocamento da extremidade exigido: 

L
ExA
dxxP
0 )(
)(

 
Onde: 
 - deslocamento de um ponto na barra relativo a outro ponto; 
L – distância original entre dois pontos; 
P(x) – força axial interna na seção, localizada a distância x de uma extremidade; 
A(x) – área da seção transversal da barra, expressa em função de x; 
E – Módulo de elasticidade longitudinal para o material. 
4.3.1 Deformação em barras de área de seção transversal constante e carga constante 
Muitos casos apresentam seção transversal constante A; material homogêneo, logo E é constante. 
 
Figura 4.5 – Barra com seção transversal constante A e material homogêneo. Fonte Hibbeler (2004) 
UNOESC – Curso de Engenharia Mecânica 49 
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O resultado da integração da expressão anterior fornece: 
AE
PL

 
Se a barra for submetida a diversas forças axiais diferentes, ou se a área da seção transversal ou 
módulo de elasticidade mudar, de uma seção para outra, a expressão anterior poderá ser aplicada para 
cada segmento, e posteriormente realizando a adição algébrica dos deslocamentos. Para esse caso geral: 

AE
PL

 
Convenção de sinais: 
1 - Considera-se força e deslocamento positivos se provocarem respectivamente tração e alongamento 
2 - Considera-se força e deslocamento negativos se provocarem respectivamente compressão e 
contração 
 
Figura 4.6 – Convesões de sinal para o deslocamento. Fonte: Hibbeler (2004) 
4.3.2 Fórmulas para deslocamento total para alguns casos 
As estruturas e peças carregadas axialmente podem apresentar ao longo de seu comprimento seções 
(áreas) diferentes, serem confeccionadas de materiais diferentes bem como estarem submetidas a cargas 
internas diferentes. Assim, a deformação total será proporcional a seus comprimentos, seções, cargas e 
materiais. 
4.3.2.1 – Deslocamento em peças com comprimento e seções diferentes 
Para o caso de uma barra de mesmo material e seções e comprimentos diferentes tal como ilustrado na 
Figura 4.7 teremos que: 
21  Total
 
ou 
2
2
1
1
AE
LP
AE
LP
Total 





 
 
L1 1 
P 
L2 
2 
 
Figura 4.7 – Barra transversal com seções e 
comprimentos diferentes
Resistência dos Materiais I 50 
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4.3.2.2 Deslocamento total em peças com comprimento, seções diferentes e materiais diferentes 
Quando temos materiais diferentes bem como seções e comprimentos diferentes tal como mostrado na 
Figura 4.8, tem-se: 
AlumínioAçoTotal
 
 
ou 
AlumínioAlumínio
Alumínio
AçoAço
Aço
AE
LP
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